PAU Andalucía — Aplicaciones de la derivada

Ejercicios de Matemáticas II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es aplicaciones de la derivada: 37 ejercicios de convocatorias ordinarias, extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la solución paso a paso con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

2026

Ordinaria 2026

Ejercicio 1 · Ordinaria 2026 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · Examen

Una ventana tiene forma de rectángulo y está coronada por un semicírculo. Sabiendo que el perímetro de la ventana mide 8 metros, halla las dimensiones de la ventana que permitan la mayor entrada de luz.

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

Planteamiento. 1. Sea \(r\) el radio del semicírculo (la ventana mide \(2r\) de ancho) y \(h\) la altura del rectángulo. 2. Perímetro: la ventana tiene la base \(2r\), los dos lados \(h\) y el arco del semicírculo \(\pi r\). Así \(2r+2h+\pi r=8\), de donde \(h=\dfrac{8-(2+\pi)r}{2}\). 3. La entrada de luz es el área: rectángulo más semicírculo, \(A(r)=2rh+\dfrac{\pi r^2}{2}\). Sustituyendo \(h\): \[A(r)=2rh+\dfrac{\pi r^2}{2}=8r-2r^2-\dfrac{\pi r^2}{2}.\] 4. Dominio con sentido: \(h>0\) obliga a \(0<r<\dfrac{8}{2+\pi}\).

Optimización. 1. Derivada: \(A'(r)=8-(4+\pi)r\). Se anula en \(r=\dfrac{8}{4+\pi}\), que está en el dominio. 2. Segunda derivada: \(A''(r)=-(4+\pi)<0\), luego es un máximo. 3. Altura: \(h=\dfrac{8-(2+\pi)\cdot\frac{8}{4+\pi}}{2}=\dfrac{8}{4+\pi}\) (también \(h=r\)).

Anchura \(\dfrac{16}{4+\pi}\approx2{,}24\) m y altura del rectángulo \(\dfrac{8}{4+\pi}\approx1{,}12\) m.

Interpretación: la altura del rectángulo coincide con el radio del semicírculo: la ventana de mayor luz es la que mide de alto lo mismo que de ancho la mitad.

Ordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente 1 2026 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · Examen

La producción de gas en una refinería, medida en metros cúbicos, viene dada por la función \(f(t)=7+e^{-(t-4)^{2}}\), donde \(t\) representa el tiempo medido en segundos.

  1. Razona que la producción de gas varía siempre entre 7 y 8 metros cúbicos. ¿Se producen 7 metros cúbicos de gas en algún momento concreto? (2 puntos)

  2. Justifica que la producción de gas se estabiliza con el paso del tiempo. (0,5 puntos)

Relacionado también con: Límites y continuidad.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

a) La producción está entre 7 y 8 m\(^3\). 1. El exponente cumple \(-(t-4)^2\le0\) para todo \(t\), con igualdad solo en \(t=4\). 2. La exponencial de un número no positivo está entre \(0\) (sin llegar a él) y \(1\): \(0<e^{-(t-4)^2}\le1\). 3. Sumando \(7\): \(7<f(t)\le8\). El máximo, 8 m\(^3\), se alcanza en \(t=4\) s. 4. Para que valiera \(7\) habría que tener \(e^{-(t-4)^2}=0\), y una exponencial nunca se anula.

La producción varía siempre entre 7 y 8 m\(^3\) y nunca llega a ser exactamente 7, porque \(e^{-(t-4)^2}>0\) siempre (no se anula para ningún \(t\)).

b) Estabilización. 1. Se calcula el límite cuando el tiempo crece: \(-(t-4)^2\to-\infty\), luego \(e^{-(t-4)^2}\to0\). 2. \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}f(t)=7+\lim_{t\to\infty}e^{-(t-4)^2}=7+0\).

Se estabiliza en 7 m\(^3\).

Interpretación: tras el pico de 8 m\(^3\) a los 4 s, la producción baja y se acerca a 7 m\(^3\) sin llegar nunca a ese valor (la recta \(y=7\) es una asíntota horizontal).

Ordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente 2 2026 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · Examen

La potencia de pérdida \(P(t)\) (en vatios) en una máquina, debido a la fricción, depende del tiempo de uso \(t\) (en años) según la función \(P(t)=\dfrac{4t}{1+t^{2}}\) siendo \(t\ge 0\).

  1. Calcula en qué momento la potencia de pérdida es máxima. (1,25 puntos)

  2. La energía total perdida en los \(t\) primeros años viene dada por la expresión \(E(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}P(x)\,dx\) (vatios por año). Calcula la energía total perdida en los tres primeros años. (1,25 puntos)

Relacionado también con: Integrales.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

a) Potencia de pérdida máxima. 1. Derivada (cociente): \(P'(t)=\dfrac{4(1+t^2)-4t\cdot2t}{(1+t^2)^2}=\dfrac{4(1-t^2)}{(1+t^2)^2}\). 2. Se anula si \(1-t^2=0\), es decir \(t=1\) (con \(t\ge0\), se descarta \(t=-1\)). 3. Signo: \(P'>0\) si \(t<1\) y \(P'<0\) si \(t>1\), luego en \(t=1\) hay un máximo. 4. Valor: \(P(1)=\dfrac{4}{2}=2\).

Máxima potencia de pérdida al cabo de 1 año (\(P(1)=2\) W).

b) Energía perdida en los tres primeros años. 1. Se pide \(E(3)=\displaystyle\int_0^3P(x)\,dx=\int_0^3\dfrac{4x}{1+x^2}dx\). 2. El numerador es, salvo constante, la derivada del denominador: \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|\) con \(u=1+x^2\), \(u'=2x\). 3. Barrow: \[E(3)=\displaystyle\int_0^3\dfrac{4x}{1+x^2}dx=\big[2\ln(1+x^2)\big]_0^3=2\ln10-2\ln1=2\ln10.\]

\(E(3)=2\ln10\approx4{,}61\).

Extraordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 1 · Extraordinaria · Suplente 1 2026 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · Examen

Un jardinero quiere vallar un campo rectangular que tiene un lado junto a un camino. La valla del lado del camino cuesta 80 euros por metro y el precio de la valla de los tres lados restantes es de 10 euros por metro. Halla las dimensiones del campo de mayor área que puede cercarse con 28800 euros. ¿Qué área tiene el campo?

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

Planteamiento. 1. Sea \(x\) el lado junto al camino (y su lado opuesto) e \(y\) cada uno de los otros dos lados. 2. Coste: el lado del camino cuesta \(80x\) y los otros tres lados \(10x+10y+10y\). Así \(80x+10x+20y=28800\), luego \(y=1440-4{,}5x\). 3. Área a maximizar: \(A(x)=x\,y=1440x-4{,}5x^2\), con \(0<x<320\) (para que \(y>0\)).

Optimización. 1. Derivada: \(A'(x)=1440-9x=0\Rightarrow x=160\), que está en el dominio. 2. \(A''=-9<0\): es un máximo. 3. Entonces \(y=1440-720=720\). 4. Área: \(160\cdot720=115\,200\).

Dimensiones: 160 m (lado del camino) por 720 m; área máxima \(=115\,200\ \text{m}^2\).

Ejercicio 2 · Extraordinaria · Suplente 1 2026 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=a\operatorname{sen}(x)+\cos(bx)\). Determina \(a\) y \(b\) (\(0<b<3\)), sabiendo que \(x=\dfrac{\pi}{2}\) es un punto crítico de \(f\) y que \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx=4\).

Relacionado también con: Integrales.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Valor de \(b\) (punto crítico). 1. Derivada: \(f'(x)=a\cos x-b\operatorname{sen}(bx)\). 2. En \(\pi/2\) se cumple \(a\cos\dfrac{\pi}{2}=0\), así que \(f'(\pi/2)=-b\operatorname{sen}(b\pi/2)=0\). 3. Como \(b\neq0\), hace falta \(\operatorname{sen}(b\pi/2)=0\), es decir \(b\pi/2=k\pi\). Con \(0<b<3\) solo vale \(b\pi/2=\pi\).

\(b=2\).

Valor de \(a\) (integral). 1. Se integra con \(b=2\) y se aplica Barrow: \[\int_0^\pi\big(a\operatorname{sen}x+\cos 2x\big)dx=\Big[-a\cos x+\tfrac{\operatorname{sen}2x}{2}\Big]_0^\pi=2a.\] 2. Se iguala a \(4\): \(2a=4\).

\(a=2\), \(b=2\).

Extraordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 1 · Extraordinaria · Suplente 2 2026 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · Examen

En un jardín botánico se desea crear un recinto floral con forma de triángulo rectángulo. Por la disposición del recinto y las características del terreno, la hipotenusa ha de medir 20 metros. ¿Qué longitudes han de tener los catetos del triángulo rectángulo para que su área sea lo mayor posible y cuál es el valor de esta área?

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Planteamiento. 1. Sean \(x\) e \(y\) los catetos. La hipotenusa mide \(20\): \(x^2+y^2=400\), luego \(y=\sqrt{400-x^2}\). 2. Área a maximizar: \(A(x)=\tfrac12\,x\,y=\tfrac12x\sqrt{400-x^2}\), con \(0<x<20\).

Optimización. 1. \(A\) es positiva y se anula en los extremos \(x=0\) y \(x=20\), así que su máximo está dentro y coincide con el de \(A^2=\tfrac14\,(400x^2-x^4)\) (más fácil de derivar). 2. Derivada del polinomio: \((400x^2-x^4)'=800x-4x^3=0\Rightarrow x^2=200\), \(x=10\sqrt2\). 3. Es un máximo (el área vale \(0\) en los extremos del intervalo). 4. Entonces \(y=\sqrt{200}=10\sqrt2\). 5. Área: \(\tfrac12\cdot10\sqrt2\cdot10\sqrt2=\tfrac12\cdot200\).

Catetos: \(10\sqrt2\approx14{,}14\) m cada uno; área máxima \(=\tfrac12\cdot200=100\ \text{m}^2\).

Interpretación: el triángulo rectángulo de mayor área con hipotenusa fija es el isósceles.

2025

Ordinaria 2025

Ejercicio 3 · Ordinaria 2025 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sea la función \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=a+\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}\).

  1. Calcula \(a\) para que \(y=1\) sea una asíntota horizontal de la gráfica de \(f\). (1 punto)

  2. Para \(a=0\), calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\). Estudia y halla los extremos relativos de \(f\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Límites y continuidad.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

a) Asíntota horizontal. 1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^2}=0\) (el logaritmo crece mucho más despacio que \(x^2\)). 2. Entonces \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=a\), y la asíntota horizontal es \(y=a\). 3. Para que sea \(y=1\), hace falta \(a=1\).

\(a=1\).

b) Monotonía y extremos (con \(a=0\), \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}\) en \((0,+\infty)\)). 1. Derivada (cociente): \(f'(x)=\dfrac{x-2x\ln x}{x^4}=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}\). 2. Se anula si \(1-2\ln x=0\), es decir, \(\ln x=\dfrac12\) y \(x=\sqrt e\). 3. Como \(x^3>0\), el signo de \(f'\) es el de \(1-2\ln x\): - \(f'>0\) en \((0,\sqrt e)\): crece. - \(f'<0\) en \((\sqrt e,+\infty)\): decrece. 4. En \(x=\sqrt e\) pasa de crecer a decrecer: máximo. Valor: \(f(\sqrt e)=\dfrac{\ln\sqrt e}{e}=\dfrac{1/2}{e}=\dfrac{1}{2e}\).

Máximo relativo en \(x=\sqrt e\), de valor \(f(\sqrt e)=\dfrac{1}{2e}\). No hay mínimos relativos.

Ordinaria · Suplente 1 2025

Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente 1 2025 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=(x-1)e^{x}\).

  1. Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de \(f\) en el punto de inflexión. (1,5 puntos)

  2. Estudia y calcula las asíntotas de la función. (1 punto)

Relacionado también con: Derivadas, Límites y continuidad.

Curvatura y puntos de inflexión.

\(f''>0\): convexa; \(f''<0\): cóncava. Punto de inflexión en \(x=a\): \(f''(a)=0\) y \(f''\) cambia de signo.

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Curvatura y puntos de inflexión.

  1. Calcula \(f''(x)\) y resuelve \(f''(x)=0\).
  2. Estudia el signo de \(f''\) en los intervalos que quedan.
  3. Indica los intervalos de convexidad y concavidad, y las coordenadas de los puntos de inflexión.

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

a) Recta tangente y recta normal en el punto de inflexión. 1. Derivadas (producto): \(f'(x)=e^{x}+(x-1)e^{x}=xe^{x}\) y \(f''(x)=(x+1)e^{x}\). 2. Punto de inflexión: \(f''(x)=0\Rightarrow x=-1\), y \(f''\) cambia de signo ahí (negativa a la izquierda, positiva a la derecha). El punto es \(\left(-1,-\dfrac2e\right)\), porque \(f(-1)=(-2)e^{-1}\). 3. Pendiente de la tangente: \(f'(-1)=-\dfrac1e\). 4. Tangente: \(y+\dfrac2e=-\dfrac1e(x+1)\), es decir, \(y=-\dfrac{x}{e}-\dfrac3e\). 5. La normal es perpendicular a la tangente: su pendiente es \(-\dfrac{1}{-1/e}=e\). Normal: \(y+\dfrac2e=e(x+1)\), es decir, \(y=ex+e-\dfrac2e\).

b) Asíntotas. 1. Verticales: ninguna, porque \(f\) es continua en todo \(\mathbb R\). 2. En \(-\infty\): \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x-1)e^{x}=0\) (la exponencial gana al polinomio), así que \(y=0\) es asíntota horizontal en \(-\infty\). 3. En \(+\infty\): el límite es \(+\infty\), luego no hay horizontal; y \(\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{(x-1)e^{x}}{x}\to+\infty\), luego tampoco hay oblicua.

Solo hay la asíntota horizontal \(y=0\) en \(-\infty\); no hay asíntota horizontal ni oblicua en \(+\infty\).

Ordinaria · Suplente 2 2025

Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente 2 2025 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sea \(f:[0,2]\to\mathbb{R}\) la función definida por

\[f(x)=\begin{cases}1-e^{x} & \text{si } 0\le x<1\\2x-1-e & \text{si } 1\le x\le 2\end{cases}\]

  1. Estudia la derivabilidad de \(f\). (1 punto)

  2. Halla los extremos absolutos de \(f\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Derivadas.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

a) Derivabilidad. 1. En cada tramo \(f\) es derivable: \(1-e^{x}\) y \(2x-1-e\) son funciones elementales. 2. Continuidad en \(x=1\): \(f(1^-)=1-e\) y \(f(1)=2-1-e=1-e\). Coinciden, luego \(f\) es continua. 3. Derivadas laterales: \(f'(x)=-e^{x}\) si \(x<1\), luego \(f'(1^-)=-e\); \(f'(x)=2\) si \(x>1\), luego \(f'(1^+)=2\). 4. Como \(-e\neq2\), hay un punto anguloso en \(x=1\).

\(f\) es derivable en \([0,2]\setminus\{1\}\) y no es derivable en \(x=1\).

b) Extremos absolutos (en el intervalo cerrado \([0,2]\)). 1. En \([0,1)\): \(f'=-e^{x}<0\), luego decrece desde \(f(0)=0\) hasta \(1-e\). 2. En \([1,2]\): \(f'=2>0\), luego crece desde \(f(1)=1-e\) hasta \(f(2)=3-e\approx0{,}28\). 3. Se comparan los candidatos: \(f(0)=0\), \(f(1)=1-e\approx-1{,}72\) y \(f(2)=3-e\approx0{,}28\).

Mínimo absoluto en \(x=1\), valor \(1-e\). Máximo absoluto en \(x=2\), valor \(3-e\) (mayor que \(f(0)=0\)).

Extraordinaria · Suplente 1 2025

Ejercicio 2 · Extraordinaria · Suplente 1 2025 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera la función \(f:(-1,1)\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\dfrac{1}{(1-|x|)^{2}}\).

  1. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función \(f\). (1,25 puntos)

  2. Halla, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Límites y continuidad, Derivadas.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

a) Continuidad y derivabilidad. 1. Se quita el valor absoluto: para \(x\ge0\), \(f(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2}\) y, para \(x<0\), \(f(x)=\dfrac{1}{(1+x)^2}\). 2. Cada rama es continua en su intervalo (el denominador no se anula en \((-1,1)\)). En \(x=0\), ambos límites laterales valen \(1=f(0)\).

\(f\) es continua en \((-1,1)\).

  1. Derivadas: \(f'(x)=\dfrac{2}{(1-x)^3}\) si \(x>0\) y \(f'(x)=-\dfrac{2}{(1+x)^3}\) si \(x<0\).
  2. En \(x=0\): \(f'(0^+)=2\neq-2=f'(0^-)\).

\(f\) es derivable en \((-1,1)\setminus\{0\}\) y no lo es en \(x=0\).

b) Extremos absolutos. 1. Signo de \(f'\): negativo en \((-1,0)\) y positivo en \((0,1)\). 2. Decrece hasta \(x=0\) y crece después: mínimo en \(x=0\), con \(f(0)=1\). 3. Cuando \(x\to\pm1\), el denominador tiende a \(0\) y \(f(x)\to+\infty\).

Mínimo absoluto en \(x=0\), de valor \(f(0)=1\). No hay máximo absoluto porque \(f(x)\to+\infty\) cuando \(x\to\pm1\).

Extraordinaria · Suplente 2 2025

Ejercicio 2 · Extraordinaria · Suplente 2 2025 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Un náufrago se encuentra en una isla situada en el punto de coordenadas \((2,0)\) de un plano. Se sabe que un ferry navega en el mismo plano siempre en la trayectoria dada por la gráfica de la función \(f(x)=\sqrt{x+1}\). ¿Hacia qué punto de la trayectoria debe nadar el náufrago para recorrer la menor distancia posible? Calcula dicha distancia.

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

Planteamiento. Se minimiza la distancia al punto \((2,0)\) desde los puntos de la trayectoria. Es más cómodo minimizar su cuadrado. 1. Un punto de la trayectoria es \((x,\sqrt{x+1})\), con \(x\ge-1\). 2. El cuadrado de la distancia a \((2,0)\) es \[d^2(x)=(x-2)^2+x+1.\] 3. Se deriva e iguala a \(0\): \((d^2)'=2(x-2)+1=0\Rightarrow x=\tfrac32\). 4. Como \((d^2)''=2>0\), es un mínimo (en el extremo \(x=-1\) la distancia es \(3\), mayor que la hallada). 5. Punto: \(y=\sqrt{\tfrac32+1}=\sqrt{\tfrac52}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\). 6. Distancia: \(d=\sqrt{\tfrac14+\tfrac52}=\sqrt{\tfrac{11}{4}}\).

Debe nadar hacia el punto \(\left(\dfrac32,\dfrac{\sqrt{10}}{2}\right)\), a una distancia \(d=\mathbf{\dfrac{\sqrt{11}}{2}}\approx1{,}66\).

2024

Ordinaria · Reserva 2024

Ejercicio 1 · Ordinaria · Reserva 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sea la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=(x^{2}+1)e^{x}\).

  1. Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\). (1 punto)

  2. Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \(f\) y los puntos de inflexión de su gráfica (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan). (1,5 puntos)

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Curvatura y puntos de inflexión.

\(f''>0\): convexa; \(f''<0\): cóncava. Punto de inflexión en \(x=a\): \(f''(a)=0\) y \(f''\) cambia de signo.

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Curvatura y puntos de inflexión.

  1. Calcula \(f''(x)\) y resuelve \(f''(x)=0\).
  2. Estudia el signo de \(f''\) en los intervalos que quedan.
  3. Indica los intervalos de convexidad y concavidad, y las coordenadas de los puntos de inflexión.

Derivadas previas. \(f(x)=(x^2+1)e^x\), definida en todo \(\mathbb R\). 1. Primera derivada (producto): \(f'(x)=(2x+x^2+1)e^x=(x+1)^2e^x\). 2. Segunda derivada: \(f''(x)=(x+1)(x+3)e^x\).

a) Crecimiento y decrecimiento. 1. \(e^x>0\) siempre y \((x+1)^2\ge0\), así que \(f'(x)\ge0\) para todo \(x\). 2. Solo se anula en \(x=-1\). 3. Como \(f'\) no cambia de signo, no hay extremo en \(x=-1\).

\(f\) es creciente en todo \(\mathbb{R}\) (nunca decrece; en \(x=-1\) hay tangente horizontal sin extremo).

b) Curvatura e inflexión. 1. \(f''=0\) en \(x=-3\) y \(x=-1\). 2. Signo de \(f''\): \(+\) en \((-\infty,-3)\), \(-\) en \((-3,-1)\), \(+\) en \((-1,+\infty)\). 3. Convexa donde \(f''>0\) y cóncava donde \(f''<0\). Hay inflexión donde \(f''\) cambia de signo, en los dos puntos. 4. Ordenadas: \(f(-3)=10e^{-3}\) y \(f(-1)=2e^{-1}\).

Convexa en \((-\infty,-3)\cup(-1,+\infty)\); cóncava en \((-3,-1)\). Puntos de inflexión: \(\left(-3,\,10e^{-3}\right)\) y \(\left(-1,\,2e^{-1}\right)\).

Ordinaria · Suplente 2024

Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\operatorname{arctg}(x+\pi)\), donde \(\operatorname{arctg}\) denota la función arcotangente.

  1. Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de \(f\). Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de \(f\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (1,5 puntos)

  2. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to-\pi}\dfrac{\operatorname{arctg}(x+\pi)}{\operatorname{sen}(x)}\). (1 punto)

Relacionado también con: Límites y continuidad.

Curvatura y puntos de inflexión.

\(f''>0\): convexa; \(f''<0\): cóncava. Punto de inflexión en \(x=a\): \(f''(a)=0\) y \(f''\) cambia de signo.

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

Curvatura y puntos de inflexión.

  1. Calcula \(f''(x)\) y resuelve \(f''(x)=0\).
  2. Estudia el signo de \(f''\) en los intervalos que quedan.
  3. Indica los intervalos de convexidad y concavidad, y las coordenadas de los puntos de inflexión.

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

a) Curvatura e inflexión. 1. Primera derivada: \(f'(x)=\dfrac1{1+(x+\pi)^2}\). 2. Segunda derivada: \(f''(x)=\dfrac{-2(x+\pi)}{\left(1+(x+\pi)^2\right)^2}\). El denominador es siempre positivo y el numerador solo se anula en \(x=-\pi\). 3. Signo: \(f''>0\) si \(x<-\pi\) y \(f''<0\) si \(x>-\pi\). 4. \(f''\) cambia de signo en \(x=-\pi\): es punto de inflexión, con \(f(-\pi)=\operatorname{arctg}0=0\).

Convexa en \((-\infty,-\pi)\) y cóncava en \((-\pi,+\infty)\); punto de inflexión en \(x=-\pi\), con \(f(-\pi)=\operatorname{arctg}0=0\), es decir en \((-\pi,0)\).

b) Límite. 1. Al sustituir \(x=-\pi\) se obtiene \(\dfrac{\operatorname{arctg}0}{\operatorname{sen}(-\pi)}=\dfrac00\): indeterminación. 2. Se aplica L’Hôpital (numerador y denominador son derivables): \[\lim_{x\to-\pi}\frac{\operatorname{arctg}(x+\pi)}{\operatorname{sen}x}=\lim_{x\to-\pi}\frac{1/(1+(x+\pi)^2)}{\cos x}=\frac{1}{\cos(-\pi)}=\mathbf{-1}.\]

Extraordinaria 2024

Ejercicio 2 · Extraordinaria 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Sea la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dada por \(f(x)=\left(x-\dfrac12\right)e^{-x^{2}}\).

  1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\). (1,5 puntos)

  2. Halla los extremos absolutos de \(f\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (1 punto)

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Derivada. 1. Producto: \(f'(x)=e^{-x^2}\big(1-2x(x-\tfrac12)\big)=e^{-x^2}(-2x^2+x+1)=-(2x+1)(x-1)e^{-x^2}\). 2. Como \(e^{-x^2}>0\), el signo lo da el factor \(-(2x+1)(x-1)\), que se anula en \(x=-\tfrac12\) y \(x=1\).

a) Crecimiento y decrecimiento. 1. Signo de \(f'\): \(<0\) en \((-\infty,-\tfrac12)\), \(>0\) en \((-\tfrac12,1)\), \(<0\) en \((1,+\infty)\).

Decrece en \((-\infty,-\frac12)\cup(1,+\infty)\) y crece en \((-\frac12,1)\).

b) Extremos absolutos. 1. Mínimo relativo en \(x=-\tfrac12\) (\(f'\) pasa de \(-\) a \(+\)): \(f(-\tfrac12)=-e^{-1/4}\). 2. Máximo relativo en \(x=1\) (\(f'\) pasa de \(+\) a \(-\)): \(f(1)=\dfrac1{2e}\). 3. Para saber si son absolutos se mira el comportamiento en los extremos del dominio: \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0\). 4. Como \(f(-\tfrac12)<0<f(1)\) y los únicos puntos con \(f'=0\) son esos dos, ningún valor de \(f\) queda por debajo de \(f(-\tfrac12)\) ni por encima de \(f(1)\): los dos extremos son absolutos.

mínimo absoluto \(-e^{-1/4}\) en \(x=-\frac12\); máximo absoluto \(\dfrac1{2e}\) en \(x=1\).

Extraordinaria · Reserva 2024

Ejercicio 1 · Extraordinaria · Reserva 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

De entre todos los rectángulos de área 25 cm², determina las dimensiones de aquel en el que el producto de las longitudes de sus dos diagonales sea el menor posible.

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

Planteamiento. 1. Rectángulo de lados \(x\) e \(y\) con área \(xy=25\), luego \(y=25/x\) (con \(x>0\)). 2. Las dos diagonales de un rectángulo miden lo mismo, \(d=\sqrt{x^2+y^2}\), así que el producto de las dos es \(d^2=x^2+\dfrac{625}{x^2}\). 3. Hay que minimizar \(g(x)=x^2+\dfrac{625}{x^2}\) en \((0,+\infty)\).

Optimización. 1. Derivada: \(g'(x)=2x-\dfrac{1250}{x^3}\). 2. Se iguala a cero: \(2x^4=1250\Rightarrow x^4=625\Rightarrow x=5\) (solo la raíz positiva tiene sentido). 3. Tipo de punto: \(g'<0\) si \(x<5\) y \(g'>0\) si \(x>5\), luego es un mínimo. 4. El otro lado: \(y=\dfrac{25}{5}=5\).

El rectángulo es un cuadrado de \(5\times5\) cm (producto de diagonales mínimo: \(50\) cm²).

Extraordinaria · Suplente 2024

Ejercicio 1 · Extraordinaria · Suplente 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Sea la función \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=\ln\left(\dfrac{x^{2}+1}{x}\right)\), donde \(\ln\) denota el logaritmo neperiano.

  1. Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. (1 punto)

  2. Estudia y halla los extremos relativos y absolutos de \(f\) (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan). (1,5 puntos)

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Planteamiento. \(f(x)=\ln g(x)\) con \(g(x)=\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac1x>0\) en \((0,+\infty)\), así que \(f\) está bien definida. Como \(\ln\) es creciente, \(f\) y \(g\) tienen el mismo crecimiento. 1. Derivada: \(f'(x)=\dfrac{g'(x)}{g(x)}=\dfrac{1-\frac1{x^2}}{x+\frac1x}=\dfrac{x^2-1}{x(x^2+1)}\). 2. El denominador \(x(x^2+1)\) es positivo en el dominio, así que el signo lo da \(x^2-1\), que se anula en \(x=1\).

a) Crecimiento y decrecimiento. 1. \(f'<0\) en \((0,1)\) y \(f'>0\) en \((1,+\infty)\).

Decrece en \((0,1)\) y crece en \((1,+\infty)\).

b) Extremos relativos y absolutos. 1. \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) en \(x=1\): mínimo relativo, con \(f(1)=\ln2\). 2. Límites en los extremos del dominio: \(\lim_{x\to0^+}f=+\infty\) y \(\lim_{x\to+\infty}f=+\infty\). 3. Como \(f\) sube hacia \(+\infty\) en ambos extremos, el mínimo relativo es absoluto, y no hay máximo.

Mínimo absoluto en \(x=1\), valor \(\ln2\); no hay máximo (ni relativo ni absoluto).

2023

Ordinaria 2023

Ejercicio 1 · Ordinaria 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\dfrac{1}{e^{x}+e^{-x}}\).

  1. Estudia y halla los máximos y mínimos absolutos de \(f\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (1,5 puntos)

  2. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x^{2}f(x)\right)\). (1 punto)

Relacionado también con: Límites y continuidad.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

a) Extremos absolutos. 1. \(f(x)=\dfrac{1}{e^{x}+e^{-x}}\) está definida en todo \(\mathbb R\), es positiva (el denominador es suma de exponenciales positivas) y es par: \(f(-x)=f(x)\). 2. Derivada: \(f'(x)=-\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}\). Se anula si \(e^{x}=e^{-x}\), es decir, solo en \(x=0\). 3. Signo de \(f'\): el denominador es positivo, así que el signo lo da \(-(e^{x}-e^{-x})\). Por tanto \(f'>0\) para \(x<0\) y \(f'<0\) para \(x>0\): \(f\) crece hasta \(x=0\) y decrece después, luego hay un máximo en \(x=0\), con \(f(0)=\dfrac12\). 4. Comportamiento en el infinito: \(f(x)\to0\) cuando \(x\to\pm\infty\) y \(f>0\) en todo punto. El valor \(0\) es una cota inferior que no se alcanza nunca.

Máximo absoluto en \(x=0\), de valor \(\dfrac12\); no hay mínimo absoluto.

b) Límite. 1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x^{2}f(x)\right)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}}{e^{x}+e^{-x}}\) es una indeterminación \(\dfrac{\infty}{\infty}\). 2. Se aplica L’Hôpital dos veces: \(\dfrac{x^{2}}{e^{x}+e^{-x}}\to\dfrac{2x}{e^{x}-e^{-x}}\to\dfrac{2}{e^{x}+e^{-x}}\), que tiende a \(0\). 3. Conclusión: la exponencial domina a cualquier potencia.

Límite \(=0\).

Ejercicio 2 · Ordinaria 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sea la función \(f:[-2,2]\longrightarrow\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=x^{3}-2x+5\).

  1. Determina las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos \((-2,f(-2))\) y \((2,f(2))\). (1,5 puntos)

  2. Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de \(f\) en el punto de inflexión. (1 punto)

Relacionado también con: Derivadas.

Curvatura y puntos de inflexión.

\(f''>0\): convexa; \(f''<0\): cóncava. Punto de inflexión en \(x=a\): \(f''(a)=0\) y \(f''\) cambia de signo.

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Curvatura y puntos de inflexión.

  1. Calcula \(f''(x)\) y resuelve \(f''(x)=0\).
  2. Estudia el signo de \(f''\) en los intervalos que quedan.
  3. Indica los intervalos de convexidad y concavidad, y las coordenadas de los puntos de inflexión.

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

a) Abscisas de la tangente paralela a la secante. 1. Pendiente de la recta que une \((-2,f(-2))\) y \((2,f(2))\): \(f(-2)=1\) y \(f(2)=9\), luego la pendiente es \(\dfrac{f(2)-f(-2)}{4}=\dfrac{9-1}{4}=2\). 2. Se iguala la derivada, \(f'(x)=3x^{2}-2\), a esa pendiente: \(3x^{2}-2=2\Rightarrow x^{2}=\dfrac43\). 3. Se comprueba que las soluciones están en el dominio \([-2,2]\): \(\dfrac{2\sqrt3}{3}\approx1{,}15\).

\(x=\pm\dfrac{2\sqrt3}3\) (ambos en \([-2,2]\)).

b) Tangente y normal en el punto de inflexión. 1. Segunda derivada: \(f''(x)=6x=0\Rightarrow x=0\), y \(f''\) cambia de signo en \(0\): punto de inflexión \((0,5)\). 2. Pendiente de la tangente: \(f'(0)=-2\), y la de la normal es la opuesta del inverso: \(\dfrac12\). 3. Ecuaciones por el punto \((0,5)\).

Tangente: \(y=-2x+5\). Normal: \(y=\dfrac12x+5\).

Ordinaria · Reserva 2023

Ejercicio 1 · Ordinaria · Reserva 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Determina las longitudes de los lados de un rectángulo de área máxima que está inscrito en una semicircunferencia de 6 cm de radio, teniendo uno de sus lados sobre el diámetro de ella.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Rectángulo de área máxima inscrito en una semicircunferencia. 1. Incógnita. Sea \(x\) la distancia del centro a un extremo de la base: la base mide \(2x\) y el vértice superior está en la circunferencia, así que la altura es \(\sqrt{36-x^{2}}\) (con \(0<x<6\)). 2. Función a maximizar. \(A(x)=2x\sqrt{36-x^{2}}\). 3. Derivada. \(A'(x)=\dfrac{2(36-2x^{2})}{\sqrt{36-x^{2}}}=0\Rightarrow x^{2}=18\Rightarrow x=3\sqrt2\). 4. Es máximo. \(A(0)=A(6)=0\) y \(A>0\) en el interior, luego el único punto crítico es el máximo. 5. Dimensiones. Base \(2x=6\sqrt2\) y altura \(\sqrt{36-18}=3\sqrt2\).

Base \(6\sqrt2\approx8{,}49\) cm y altura \(3\sqrt2\approx4{,}24\) cm (área \(36\ \text{cm}^2\)).

Ordinaria · Suplente 2023

Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

De entre todos los rectángulos de diagonal 10 cm (cada una), calcula las dimensiones del que tiene mayor área.

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

Rectángulo de diagonal \(10\) y área máxima. 1. Incógnitas. Lados \(x\) e \(y\). Por Pitágoras, \(x^{2}+y^{2}=100\), luego \(y=\sqrt{100-x^{2}}\) (con \(0<x<10\)). 2. Función a maximizar. \(A=xy=x\sqrt{100-x^{2}}\). 3. Derivada. \(A'(x)=\dfrac{100-2x^{2}}{\sqrt{100-x^{2}}}=0\Rightarrow x=5\sqrt2\), y entonces \(y=5\sqrt2\). 4. Es máximo. \(A=0\) en los extremos \(x=0\) y \(x=10\) y \(A>0\) en el interior.

Es un cuadrado de lado \(5\sqrt2\approx7{,}07\) cm (área \(50\ \text{cm}^2\)).

Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera la función \(f(x)=\dfrac{1}{x|x|}\), para \(x\neq 0\).

  1. Calcula los intervalos de concavidad y de convexidad de \(f\), así como los puntos de inflexión de su gráfica, si existen. (1 punto)

  2. Estudia y calcula las asíntotas de la función. Esboza su gráfica. (1,5 puntos)

Relacionado también con: Límites y continuidad.

Curvatura y puntos de inflexión.

\(f''>0\): convexa; \(f''<0\): cóncava. Punto de inflexión en \(x=a\): \(f''(a)=0\) y \(f''\) cambia de signo.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

Curvatura y puntos de inflexión.

  1. Calcula \(f''(x)\) y resuelve \(f''(x)=0\).
  2. Estudia el signo de \(f''\) en los intervalos que quedan.
  3. Indica los intervalos de convexidad y concavidad, y las coordenadas de los puntos de inflexión.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.
  1. Expresión sin valor absoluto. \(f(x)=\dfrac1{x^{2}}\) si \(x>0\) y \(f(x)=-\dfrac1{x^{2}}\) si \(x<0\).

a) Concavidad y puntos de inflexión. 1. Primera derivada: \(f'(x)=-\dfrac2{x^{3}}\) si \(x>0\) y \(f'(x)=\dfrac2{x^{3}}\) si \(x<0\). 2. Segunda derivada: \(f''(x)=\dfrac6{x^{4}}\) si \(x>0\) y \(f''(x)=-\dfrac6{x^{4}}\) si \(x<0\). 3. Signo: \(f''>0\) en \((0,+\infty)\) (convexa) y \(f''<0\) en \((-\infty,0)\) (cóncava). 4. Inflexión: \(f''\) no se anula y el único punto donde cambia de signo, \(x=0\), no está en el dominio.

Convexa en \((0,+\infty)\), cóncava en \((-\infty,0)\). No hay puntos de inflexión (\(x=0\) no está en el dominio).

b) Asíntotas y gráfica. 1. Vertical: \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=+\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}f=-\infty\): \(x=0\). 2. Horizontal: \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f=0\): \(y=0\) (en ambos lados). 3. No hay oblicua, porque existe la horizontal. 4. Gráfica: función impar, decreciente en cada rama. Para \(x>0\) es la rama de \(1/x^{2}\) (primer cuadrante) y para \(x<0\) su simétrica respecto al origen (tercer cuadrante), ambas pegadas a los ejes.

Gráfica de f(x)=1/(x|x|): asíntota vertical x=0 y horizontal y=0, positiva a la derecha y negativa a la izquierda

Gráfica de f(x)=1/(x|x|): asíntota vertical x=0 y horizontal y=0, positiva a la derecha y negativa a la izquierda

Extraordinaria 2023

Ejercicio 1 · Extraordinaria 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Sea la función \(f:[-2,2\pi]\longrightarrow\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=\begin{cases}5x+1 & \text{si } -2\le x\le 0\\ e^{x}\cos(x) & \text{si } 0<x\le 2\pi\end{cases}\)

  1. Halla los extremos relativos y absolutos de \(f\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (2 puntos)

  2. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=\dfrac{\pi}{2}\). (0,5 puntos)

Relacionado también con: Derivadas.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

a) Extremos relativos y absolutos. 1. Continuidad. \(f\) es continua en \(x=0\): \(f(0^-)=5\cdot0+1=1=f(0^+)=e^{0}\cos0\). 2. Primer trozo \([-2,0]\): \(f'=5>0\), creciente, sin puntos críticos. 3. Segundo trozo \((0,2\pi]\): \(f'(x)=e^{x}(\cos x-\operatorname{sen}x)=0\iff\operatorname{tg}x=1\iff x=\dfrac\pi4,\ \dfrac{5\pi}4\). 4. Signo de \(f'\): - \(f'>0\) en \((0,\pi/4)\), \(f'<0\) en \((\pi/4,5\pi/4)\) y \(f'>0\) en \((5\pi/4,2\pi)\). - Máximo relativo en \(x=\dfrac\pi4\): \(f=\dfrac{\sqrt2}{2}e^{\pi/4}\approx1{,}55\). - Mínimo relativo en \(x=\dfrac{5\pi}4\): \(f=-\dfrac{\sqrt2}{2}e^{5\pi/4}\approx-35{,}89\). 5. Extremos del intervalo. \(f(-2)=-9\) y \(f(2\pi)=e^{2\pi}\approx535{,}49\). 6. Comparación. El mayor valor es \(f(2\pi)\) y el menor es el mínimo relativo en \(\dfrac{5\pi}4\) (es menor que \(f(-2)=-9\)).

Máximo absoluto en \(x=2\pi\) (valor \(e^{2\pi}\)); mínimo absoluto en \(x=\dfrac{5\pi}4\) (valor \(-\dfrac{\sqrt2}{2}e^{5\pi/4}\)).

b) Recta tangente en \(x=\dfrac\pi2\). 1. Punto: \(f(\pi/2)=e^{\pi/2}\cos\dfrac\pi2=0\). 2. Pendiente: \(f'(\pi/2)=e^{\pi/2}\left(\cos\dfrac\pi2-\operatorname{sen}\dfrac\pi2\right)=-e^{\pi/2}\). 3. Ecuación punto-pendiente.

Recta tangente: \(y=-e^{\pi/2}\left(x-\dfrac\pi2\right)\).

Ejercicio 2 · Extraordinaria 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Sea \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\) la función definida por \(f(x)=x\left(\ln(x)\right)^{2}\) (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

  1. Calcula, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (1,25 puntos)

  2. Calcula, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (1,25 puntos)

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Derivadas previas. 1. Primera: \(f'(x)=\ln^{2}x+2\ln x=\ln x\,(\ln x+2)=0\Rightarrow x=1,\ x=e^{-2}\). 2. Segunda: \(f''(x)=\dfrac{2(\ln x+1)}{x}\).

a) Extremos relativos. 1. En \(x=e^{-2}\): \(f''(e^{-2})=-2e^{2}<0\), máximo, con \(f(e^{-2})=4e^{-2}\). 2. En \(x=1\): \(f''(1)=2>0\), mínimo, con \(f(1)=0\).

Máximo relativo en \(x=e^{-2}\), valor \(4e^{-2}\); mínimo relativo en \(x=1\), valor \(0\).

b) Extremos absolutos. 1. \(f(x)=x\ln^{2}x\ge0\) y \(f(1)=0\): el mínimo relativo es el menor valor posible. 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\): la función no está acotada superiormente.

Mínimo absoluto en \(x=1\) (valor 0); no hay máximo absoluto.

Extraordinaria · Reserva 2023

Ejercicio 1 · Extraordinaria · Reserva 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Halla dos números mayores o iguales que 0, cuya suma sea 1, y el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro sea máximo.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Dos números no negativos de suma \(1\) con \(x\sqrt y\) máximo. 1. Incógnitas. Los números son \(x\) e \(y=1-x\), con \(x\in[0,1]\). Hay que maximizar \(f(x)=x\sqrt{1-x}\). 2. Derivada. \(f'(x)=\sqrt{1-x}-\dfrac{x}{2\sqrt{1-x}}=\dfrac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}=0\Rightarrow x=\dfrac23\). 3. Es máximo. \(f'>0\) a la izquierda y \(f'<0\) a la derecha; además en los extremos \(f(0)=f(1)=0\). 4. Valor máximo. \(f(2/3)=\dfrac23\sqrt{\dfrac13}=\dfrac{2\sqrt3}{9}\).

Los números son \(\dfrac23\) y \(\dfrac13\) (el máximo es \(f(2/3)=\dfrac{2\sqrt3}{9}\)).

Extraordinaria · Suplente 2023

Ejercicio 2 · Extraordinaria · Suplente 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

En una fábrica de pinturas, las latas que se utilizan para envasar la pintura tienen forma cilíndrica y una capacidad de 20 litros. Halla las dimensiones del cilindro, con tapas, para que la chapa empleada en su construcción sea mínima.

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Lata cilíndrica de \(20\) L con chapa mínima. 1. Capacidad. \(20\ \text{L}=20\ \text{dm}^3\): \(\pi r^{2}h=20\Rightarrow h=\dfrac{20}{\pi r^{2}}\). 2. Superficie con tapas. \(S(r)=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r^{2}+\dfrac{40}{r}\). 3. Derivada. \(S'(r)=4\pi r-\dfrac{40}{r^{2}}=0\Rightarrow r^{3}=\dfrac{10}{\pi}\). 4. Es mínimo. \(S''(r)=4\pi+\dfrac{80}{r^{3}}>0\). 5. Altura. \(h=\dfrac{20}{\pi r^{2}}=2r\).

\(r=\sqrt[3]{10/\pi}\approx1{,}47\ \text{dm}\) y \(h=2r\approx2{,}94\ \text{dm}\) (altura igual al diámetro).

2022

Ordinaria 2022

Ejercicio 2 · Ordinaria 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas, determina las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definidas por \(f(x)=4-\dfrac{x^{2}}{3}\) y \(g(x)=\dfrac{x^{2}}{6}-2\).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Planteamiento. 1. Se calculan los cortes de las dos gráficas: \(4-\tfrac{x^2}{3}=\tfrac{x^2}{6}-2\Rightarrow6=\tfrac{x^2}{2}\Rightarrow x^2=12\), es decir, \(x=\pm\sqrt{12}\). La región queda encerrada entre la parábola \(f\) (arriba) y la parábola \(g\) (abajo). 2. Las dos funciones son pares, luego la región es simétrica respecto del eje \(Y\). Un rectángulo con lados paralelos a los ejes se coloca de forma simétrica, con vértices en \(x=\pm x\), sobre \(g\) (abajo) y sobre \(f\) (arriba). 3. Base \(=2x\) y altura \(=f(x)-g(x)=6-\tfrac{x^2}{2}\). Se necesita \(0<x<\sqrt{12}\).

Función a maximizar. 4. Área: \(A(x)=2x\left(6-\tfrac{x^2}2\right)=12x-x^3\). 5. Derivada: \(A'(x)=12-3x^2=0\Rightarrow x=2\) (se descarta \(x=-2\) por no tener sentido). Cumple \(2<\sqrt{12}\). 6. Segunda derivada: \(A''(x)=-6x\), y \(A''(2)=-12<0\): es un máximo. 7. Dimensiones: base \(2x=4\) y altura \(6-\tfrac{2^2}{2}=4\).

Base \(4\) y altura \(4\) (cuadrado de lado 4, área 16 u\(^2\)).

Ordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 1 · Ordinaria · Reserva 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Sea \(f\) la función continua definida por

\[f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}+1}{x-1} & \text{si } x\le 0\\[2mm]\dfrac{ax+b}{(x+1)^{2}} & \text{si } x>0\end{cases}\]

  1. Determina \(a\) y \(b\) sabiendo que \(f\) tiene un extremo relativo en el punto de abscisa \(x=2\). (1,5 puntos)

  2. Para \(a=2\) y \(b=-1\), estudia la derivabilidad de \(f\). (1 punto)

Relacionado también con: Límites y continuidad, Derivadas.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

a) Valores de \(a\) y \(b\). 1. Continuidad en \(x=0\): por la izquierda \(f(0)=\dfrac{0+1}{0-1}=-1\) y por la derecha \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=\dfrac{b}{1}=b\). Igualando, \(b=-1\). 2. Derivada de la rama \(x>0\) (cociente): \(f'(x)=\dfrac{a(x+1)^2-(ax+b)\cdot2(x+1)}{(x+1)^4}=\dfrac{-ax+a-2b}{(x+1)^3}\). 3. Extremo relativo en \(x=2\) (dentro de la rama derecha, donde \(f\) es derivable) exige \(f'(2)=0\): \(\dfrac{-2a+a-2b}{27}=0\Rightarrow -a-2b=0\Rightarrow a=-2b\). 4. Con \(b=-1\): \(a=2\).

\(a=2\), \(b=-1\).

b) Derivabilidad (con \(a=2\), \(b=-1\)). 1. Fuera de \(x=0\), cada trozo es una función racional con denominador no nulo, luego es derivable. Solo hay que estudiar \(x=0\) (la función es continua ahí). 2. Para \(x<0\): \(f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}\), y \(f'(0^-)=\dfrac{-1}{1}=-1\). 3. Para \(x>0\): \(f'(x)=\dfrac{-2x+4}{(x+1)^3}\) y \(f'(0^+)=4\). 4. Las derivadas laterales en \(0\) no coinciden (\(-1\neq4\)): la gráfica tiene un punto anguloso.

\(f\) es derivable en \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) y no lo es en \(x=0\).

Ejercicio 2 · Ordinaria · Reserva 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se quiere cercar un trozo de terreno como el de la figura, de modo que el área del recinto central rectangular sea de \(\dfrac{200}{\pi}\) metros cuadrados. Sabiendo que el coste de la cerca que se puede poner en los tramos rectos es de 10 euros por metro lineal, y en los tramos circulares de 20 euros por metro lineal, calcula las dimensiones \(a\) y \(b\) del terreno para las que se minimiza el coste del cercado.

(La figura muestra un rectángulo de lados \(a\) (horizontal) y \(b\) (vertical) con un semicírculo de diámetro \(b\) añadido en cada uno de los lados verticales.)

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

Planteamiento. 1. El área del rectángulo central es \(ab=\dfrac{200}{\pi}\), de donde \(a=\dfrac{200}{\pi b}\). 2. Tramos rectos: los dos lados de longitud \(a\), a \(10\) €/m: coste \(2a\cdot10=20a\). 3. Tramos circulares: dos semicírculos de diámetro \(b\), que juntos forman una circunferencia de longitud \(\pi b\), a \(20\) €/m: coste \(20\pi b\). 4. Coste total, en función de \(b\) (se sustituye \(a\)): \[C(b)=20a+20\pi b=\frac{4000}{\pi b}+20\pi b,\qquad b>0.\]

Mínimo. 5. Derivada: \(C'(b)=-\dfrac{4000}{\pi b^2}+20\pi=0\Rightarrow b^2=\dfrac{200}{\pi^2}\Rightarrow b=\dfrac{10\sqrt2}{\pi}\). 6. \(C''(b)=\dfrac{8000}{\pi b^3}>0\) para \(b>0\): es un mínimo. 7. Se calcula \(a\): \(a=\dfrac{200}{\pi b}=\dfrac{200}{10\sqrt2}=10\sqrt2\).

\(b=\dfrac{10\sqrt2}{\pi}\approx4{,}5\) m y \(a=10\sqrt2\approx14{,}1\) m.

Ordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\ln(x^{2}+1)\) (donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

  1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\). (1 punto)

  2. Determina los intervalos de convexidad y de concavidad de \(f\) y los puntos de inflexión de su gráfica. (1,5 puntos)

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Curvatura y puntos de inflexión.

\(f''>0\): convexa; \(f''<0\): cóncava. Punto de inflexión en \(x=a\): \(f''(a)=0\) y \(f''\) cambia de signo.

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Curvatura y puntos de inflexión.

  1. Calcula \(f''(x)\) y resuelve \(f''(x)=0\).
  2. Estudia el signo de \(f''\) en los intervalos que quedan.
  3. Indica los intervalos de convexidad y concavidad, y las coordenadas de los puntos de inflexión.

Derivadas. 1. \(f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\) (la derivada de \(\ln u\) es \(\dfrac{u'}{u}\)). 2. \(f''(x)=\dfrac{2(x^2+1)-2x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\).

a) Crecimiento y decrecimiento. 1. El denominador \(x^2+1\) es siempre positivo, así que el signo de \(f'\) es el de \(2x\). 2. \(f'<0\) si \(x<0\) y \(f'>0\) si \(x>0\). (Hay un mínimo en \(x=0\), con \(f(0)=0\).)

Decreciente en \((-\infty,0)\); creciente en \((0,+\infty)\).

b) Curvatura e inflexión. 1. El denominador \((x^2+1)^2\) es positivo, así que el signo de \(f''\) es el de \(1-x^2\). 2. \(f''=0\) en \(x=\pm1\). \(f''>0\) si \(|x|<1\) y \(f''<0\) si \(|x|>1\). 3. Como \(f''\) cambia de signo en \(x=\pm1\), hay puntos de inflexión; \(f(\pm1)=\ln2\).

Convexa en \((-1,1)\); cóncava en \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\); puntos de inflexión en \((-1,\ln2)\) y \((1,\ln2)\).

Extraordinaria 2022

Ejercicio 2 · Extraordinaria 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por la gráfica de la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=-x^{2}+12\) y el eje de abscisas, y que tiene su base sobre dicho eje.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Planteamiento. 1. La gráfica \(y=12-x^2\) es una parábola que corta al eje \(X\) en \(x=\pm\sqrt{12}\). El recinto es la región bajo ella y sobre el eje. 2. Un rectángulo con base sobre el eje, simétrico respecto del eje \(Y\) (por la simetría de la parábola), tiene vértices \((\pm x,0)\) y \((\pm x,12-x^2)\), con \(0<x<\sqrt{12}\). 3. Base \(=2x\) y altura \(=12-x^2\).

Función a maximizar. 4. Área: \(A(x)=2x(12-x^2)=24x-2x^3\). 5. Derivada: \(A'(x)=24-6x^2=0\Rightarrow x=2\) (se descarta \(x=-2\)). 6. \(A''(x)=-12x\), y \(A''(2)=-24<0\): es un máximo. 7. Altura: \(12-2^2=8\). Área: \(A(2)=4\cdot8=32\).

Vértices \((-2,0)\), \((2,0)\), \((2,8)\), \((-2,8)\); área máxima \(32\) u\(^2\).

Extraordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 2 · Extraordinaria · Reserva 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Sea \(f:[0,2\pi]\to\mathbb{R}\) la función definida por \(f(x)=e^{x}\left(\cos(x)+\operatorname{sen}(x)\right)\).

  1. Halla los extremos absolutos de \(f\) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (2 puntos)

  2. Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=\tfrac{3\pi}{2}\). (0,5 puntos)

Relacionado también con: Derivadas.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

Derivada. 1. Por la regla del producto: \(f'(x)=e^{x}(\cos x+\operatorname{sen}x)+e^{x}(-\operatorname{sen}x+\cos x)=2e^{x}\cos x\).

a) Extremos absolutos en \([0,2\pi]\). 1. \(f'(x)=0\iff\cos x=0\), es decir, \(x=\tfrac{\pi}{2}\) y \(x=\tfrac{3\pi}{2}\) (puntos críticos dentro del intervalo). 2. El teorema de Weierstrass asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza máximo y mínimo absolutos: se comparan los valores en los puntos críticos y en los extremos del intervalo. 3. \(f(0)=1\), \(f(\tfrac{\pi}{2})=e^{\pi/2}\approx 4{,}81\), \(f(\tfrac{3\pi}{2})=-e^{3\pi/2}\approx-111{,}3\), \(f(2\pi)=e^{2\pi}\approx 535{,}5\). 4. El mayor es \(f(2\pi)\) y el menor es \(f(\tfrac{3\pi}{2})\).

Máximo absoluto en \(x=2\pi\), de valor \(e^{2\pi}\); mínimo absoluto en \(x=\tfrac{3\pi}{2}\), de valor \(-e^{3\pi/2}\).

b) Tangente y normal en \(x=\tfrac{3\pi}{2}\). 1. Punto: \(f(\tfrac{3\pi}{2})=-e^{3\pi/2}\). 2. Pendiente: \(f'(\tfrac{3\pi}{2})=2e^{3\pi/2}\cos\tfrac{3\pi}{2}=0\): la tangente es horizontal. 3. La normal es perpendicular a la tangente, luego es vertical y pasa por el mismo punto.

Tangente: \(y=-e^{3\pi/2}\). Normal: \(x=\tfrac{3\pi}{2}\).

2021

Ordinaria 2021

Ejercicio 3 · Ordinaria 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=4x^{3}-x^{4}\).

  1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\). (1 punto)

  2. Esboza la gráfica de \(f\) y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas. (1,5 puntos)

Relacionado también con: Integrales.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

a) Crecimiento y decrecimiento. 1. Derivada: \(f'(x)=12x^2-4x^3=4x^2(3-x)\). 2. Se anula en \(x=0\) y \(x=3\). El factor \(4x^2\) es positivo salvo en \(x=0\), así que el signo lo da \(3-x\). 3. \(f'>0\) si \(x<3\) (\(x\neq0\)) y \(f'<0\) si \(x>3\).

Crece en \((-\infty,3)\) y decrece en \((3,+\infty)\); máximo relativo en \(x=3\), con \(f(3)=27\) (en \(x=0\) hay punto de inflexión de tangente horizontal).

b) Gráfica y área. 1. Cortes: \(f(x)=x^3(4-x)\) corta al eje en \(x=0\) (con tangente horizontal) y en \(x=4\); es \(\ge0\) en \([0,4]\). 2. Curvatura: \(f''(x)=12x(2-x)\) se anula en \(x=0\) y \(x=2\) y cambia de signo en ambos: dos puntos de inflexión. 3. Forma: la gráfica sube con un punto de inflexión en \((0,0)\), tiene el máximo en \((3,27)\) y baja pasando por \((4,0)\); otro punto de inflexión en \(x=2\), con \(f(2)=16\).

Gráfica de f(x)=4x³−x⁴: cortes en x=0 y x=4, máximo en (3,27) y recinto sombreado entre la curva y el eje X

Gráfica de f(x)=4x³−x⁴: cortes en x=0 y x=4, máximo en (3,27) y recinto sombreado entre la curva y el eje X
  1. Área: el recinto está entre \(x=0\) y \(x=4\), donde \(f\ge0\). Regla de Barrow: \[A=\int_0^4(4x^3-x^4)\,dx=\left[x^4-\frac{x^5}{5}\right]_0^4=256-\frac{1024}{5}.\]

\(A=\dfrac{256}{5}\ \text{u}^2\)

Ordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 3 · Ordinaria · Reserva 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\left(\ln(x)\right)^{2}\) (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

  1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\), así como sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (1 punto)

  2. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función \(f\) y las rectas \(y=0\), \(x=1\), \(x=e\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Integrales.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

a) Crecimiento, decrecimiento y extremos. 1. Dominio \((0,+\infty)\). Derivada: \(f'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}\). 2. Se anula en \(x=1\). El denominador \(x\) es positivo, así que el signo lo da \(\ln x\). 3. \(f'<0\) si \(0<x<1\) y \(f'>0\) si \(x>1\).

Decrece en \((0,1)\) y crece en \((1,+\infty)\); mínimo relativo en \(x=1\) con valor \(f(1)=0\).

b) Área. 1. \(f(x)=\ln^2x\ge0\), así que el área es la integral entre \(x=1\) y \(x=e\). 2. Primitiva, integrando por partes (dos veces): \(\displaystyle\int\ln^2x\,dx=x\ln^2x-2x\ln x+2x\). 3. Regla de Barrow:

\[A=\bigl[x\ln^2x-2x\ln x+2x\bigr]_1^e=(e-2e+2e)-2=e-2.\]

\(A=e-2\approx0{,}718\ \text{u}^2\)

Extraordinaria 2021

Ejercicio 2 · Extraordinaria 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Halla \(a>0\) y \(b>0\) sabiendo que la gráfica de la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dada por \(f(x)=\dfrac{bx^{2}}{1+ax^{4}}\) tiene en el punto \((1,2)\) un punto crítico.

Relacionado también con: Derivadas.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.
  1. Condición del punto. La gráfica pasa por \((1,2)\): \(f(1)=\dfrac{b}{1+a}=2\Rightarrow b=2+2a\).
  2. Punto crítico. \(f'(1)=0\).
  3. Derivada. \(f'(x)=\dfrac{2bx(1+ax^4)-4abx^5}{(1+ax^4)^2}=\dfrac{2bx(1-ax^4)}{(1+ax^4)^2}\).
  4. Resolver. \(f'(1)=0\Rightarrow 1-a=0\Rightarrow a=1\) (pues \(b>0\) y el denominador es positivo, el único factor que se anula es \(1-a\)).
  5. Segundo parámetro. \(b=2+2a=2+2=4\).

\(a=1,\ b=4\)

Ejercicio 3 · Extraordinaria 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=1+\int_{0}^{x}t\,e^{t}\,dt.\]

Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \(f\) y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Relacionado también con: Integrales.

Curvatura y puntos de inflexión.

\(f''>0\): convexa; \(f''<0\): cóncava. Punto de inflexión en \(x=a\): \(f''(a)=0\) y \(f''\) cambia de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Curvatura y puntos de inflexión.

  1. Calcula \(f''(x)\) y resuelve \(f''(x)=0\).
  2. Estudia el signo de \(f''\) en los intervalos que quedan.
  3. Indica los intervalos de convexidad y concavidad, y las coordenadas de los puntos de inflexión.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.
  1. Derivadas. Por el teorema fundamental del cálculo, \(f'(x)=xe^x\). Derivando de nuevo (producto): \(f''(x)=(x+1)e^x\).
  2. Signo de \(f''\). \(e^x>0\), así que el signo lo da \(x+1\): \(f''<0\) si \(x<-1\) y \(f''>0\) si \(x>-1\).
  3. Curvatura. Cóncava donde \(f''<0\) y convexa donde \(f''>0\); en \(x=-1\) cambia el signo.

Cóncava en \((-\infty,-1)\), convexa en \((-1,+\infty)\); punto de inflexión en \(x=-1\).

  1. Valor en el punto de inflexión. Una primitiva de \(te^t\) es \((t-1)e^t\) (por partes). Entonces \(f(-1)=1+\bigl[(t-1)e^t\bigr]_0^{-1}=1+(-2e^{-1}+1)=\) \(2-\dfrac2e\).

Extraordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 1 · Extraordinaria · Reserva 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Calcula \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) sabiendo que la gráfica de la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\) tiene un punto de inflexión en \((0,4)\) y su recta normal en el punto \((1,8)\) es paralela al eje de ordenadas.

Relacionado también con: Derivadas.

Curvatura y puntos de inflexión.

\(f''>0\): convexa; \(f''<0\): cóncava. Punto de inflexión en \(x=a\): \(f''(a)=0\) y \(f''\) cambia de signo.

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Curvatura y puntos de inflexión.

  1. Calcula \(f''(x)\) y resuelve \(f''(x)=0\).
  2. Estudia el signo de \(f''\) en los intervalos que quedan.
  3. Indica los intervalos de convexidad y concavidad, y las coordenadas de los puntos de inflexión.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.
  1. Condiciones. Hay cuatro parámetros y cuatro datos, uno por ecuación.
  2. Punto de inflexión en \((0,4)\). Está en la gráfica: \(f(0)=4\Rightarrow d=4\). Y la segunda derivada se anula: \(f''(x)=6ax+2b\), luego \(f''(0)=2b=0\Rightarrow b=0\).
  3. Normal en \((1,8)\). Una normal paralela al eje de ordenadas es vertical, así que la tangente es horizontal: \(f'(1)=3a+c=0\).
  4. Punto \((1,8)\) en la gráfica. \(f(1)=a+c+4=8\Rightarrow a+c=4\).
  5. Sistema. De \(3a+c=0\) y \(a+c=4\) se obtiene \(a=-2\) y \(c=6\).

\(a=-2,\; b=0,\; c=6,\; d=4\), es decir, \(f(x)=-2x^3+6x+4\).

Extraordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 3 · Extraordinaria · Suplente 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^{2}+|x-1|\).

  1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\). (1,25 puntos)

  2. Calcula \(\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Integrales.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Previo. Se quita el valor absoluto: \(f(x)=\begin{cases}x^2-x+1&x<1\\x^2+x-1&x\ge1\end{cases}\), con \(f'(x)=2x-1\) si \(x<1\) y \(f'(x)=2x+1\) si \(x>1\).

a) Crecimiento y decrecimiento. 1. Para \(x<1\), \(f'=0\) en \(x=\frac12\); \(f'<0\) a su izquierda y \(f'>0\) a su derecha (hasta \(x=1\)). 2. Para \(x>1\): \(f'=2x+1>0\).

Decrece en \(\left(-\infty,\tfrac12\right)\) y crece en \(\left(\tfrac12,+\infty\right)\) (mínimo relativo en \(x=\frac12\)).

b) Integral. 1. Se parte en \(x=1\), donde cambia la expresión. 2. Cada trozo con Barrow: \[\int_0^2f=\int_0^1(x^2-x+1)\,dx+\int_1^2(x^2+x-1)\,dx=\frac56+\frac{17}{6}.\]

\(\dfrac{11}{3}\)

También trabajan este tema

Ejercicios cuyo tema principal es otro pero en los que aparece este tema:

Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.