PAU Andalucía — Derivadas

Ejercicios de Matemáticas II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es derivadas: 11 ejercicios de convocatorias ordinarias, extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la solución paso a paso con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

2026

Ordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 3.1 · Ordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen

Se sabe que la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dada por

\[f(x)=\begin{cases}2\,|x^{2}-1| & \text{si } x\le \tfrac12\\ax^{2}+bx & \text{si } x>\tfrac12\end{cases}\]

es derivable en \(x=\tfrac12\). Determina \(a\) y \(b\).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Derivabilidad.

\(f\) derivable en \(a\) si es continua en \(a\) y las derivadas laterales coinciden: \(f'(a^-)=f'(a^+)\). Derivable implica continua, pero no al revés.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

Derivabilidad.

  1. Impón primero la continuidad en el punto de cambio.
  2. Deriva cada trozo y evalúa en el punto, por la izquierda y por la derecha.
  3. Iguala las derivadas: segunda ecuación para los parámetros.
  4. Resuelve el sistema y comprueba.

Función sin valor absoluto cerca de \(x=\tfrac12\). 1. Para \(x\le\tfrac12\): \(x^2-1<0\), luego \(|x^2-1|=1-x^2\) y \(f(x)=2(1-x^2)\).

Condiciones. 1. Continuidad en \(\tfrac12\): los dos trozos coinciden, \(2\left(1-\tfrac14\right)=\tfrac32=\tfrac a4+\tfrac b2\), es decir \(a+2b=6\). 2. Derivabilidad: las derivadas laterales coinciden. Por la izquierda, \(f'(x)=-4x\to-2\); por la derecha, \(f'(x)=2ax+b\to a+b\). Así \(a+b=-2\). 3. Se resuelve el sistema \(a+2b=6\), \(a+b=-2\): restando, \(b=8\) y entonces \(a=-10\).

\(a=-10\), \(b=8\).

Extraordinaria 2026

Ejercicio 2 · Extraordinaria 2026 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · Examen

Se sabe que la función \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\), verifica que: \(f(1)=0\), \(x=0\) es un punto crítico de la función y la recta tangente a su gráfica en \(x=-1\), es paralela a la recta de ecuación \(y+3x=0\). Determina \(a\), \(b\) y \(c\).

Relacionado también con: Aplicaciones de la derivada.

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

Una ecuación por cada dato. 1. Derivada: \(f'(x)=3x^2+2ax+b\). 2. \(f(1)=0\): \(1+a+b+c=0\). 3. \(x=0\) punto crítico: \(f'(0)=b=0\). 4. La recta \(y+3x=0\) tiene pendiente \(-3\). La tangente en \(x=-1\) es paralela, luego \(f'(-1)=3-2a+b=-3\). Con \(b=0\): \(a=3\). 5. De la primera ecuación: \(c=-1-a-b=-4\).

\(a=3\), \(b=0\), \(c=-4\) (es decir, \(f(x)=x^3+3x^2-4\)).

2025

Extraordinaria · Suplente 1 2025

Ejercicio 3 · Extraordinaria · Suplente 1 2025 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Sean las funciones \(f:(-1,0)\cup(0,1)\to\mathbb{R}\) y \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definidas por \(f(x)=\ln\left(\dfrac{x^{2}}{e}\right)\) y \(g(x)=x^{3}+2\).

  1. Calcula \(a\neq 0\) de forma que en el punto \((a,f(a))\) la recta normal a la gráfica de la función \(f\) sea paralela a la recta tangente a la gráfica de \(g\) en el punto \((a,g(a))\). (1,5 puntos)

  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función \(f\). (1 punto)

Relacionado también con: Aplicaciones de la derivada.

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

a) Valor de \(a\). 1. Por las propiedades del logaritmo, \(f(x)=2\ln|x|-1\), luego \(f'(x)=\dfrac2x\). 2. Pendiente de la normal a \(f\) en \(x=a\): \(-\dfrac{1}{f'(a)}=-\dfrac{a}{2}\). 3. Pendiente de la tangente a \(g\) en \(x=a\): \(g'(a)=3a^2\). 4. Rectas paralelas tienen la misma pendiente: \[-\frac a2=3a^2\;\Rightarrow\;a(6a+1)=0\;\Rightarrow\;\textbf{a}=-\dfrac16\ (a\neq0).\]

\(a=-\dfrac16\), que está en el dominio \((-1,0)\cup(0,1)\).

b) Monotonía de \(f\). 1. \(f'(x)=\dfrac2x\) es negativa en \((-1,0)\) y positiva en \((0,1)\).

\(f\) decrece en \((-1,0)\) y crece en \((0,1)\).

Extraordinaria · Suplente 2 2025

Ejercicio 3 · Extraordinaria · Suplente 2 2025 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Sea la función \(f:(-1,1)\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\dfrac{1+|x|}{1-|x|}\).

  1. Estudia la derivabilidad de \(f\). (1,5 puntos)

  2. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\). (1 punto)

Relacionado también con: Aplicaciones de la derivada.

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Derivabilidad.

\(f\) derivable en \(a\) si es continua en \(a\) y las derivadas laterales coinciden: \(f'(a^-)=f'(a^+)\). Derivable implica continua, pero no al revés.

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

Derivabilidad.

  1. Impón primero la continuidad en el punto de cambio.
  2. Deriva cada trozo y evalúa en el punto, por la izquierda y por la derecha.
  3. Iguala las derivadas: segunda ecuación para los parámetros.
  4. Resuelve el sistema y comprueba.

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

a) Derivabilidad. 1. Se quita el valor absoluto. Para \(x\ge0\): \(f(x)=\dfrac{1+x}{1-x}\) y \(f'(x)=\dfrac{2}{(1-x)^2}\). 2. Para \(x<0\): \(f(x)=\dfrac{1-x}{1+x}\) y \(f'(x)=\dfrac{-2}{(1+x)^2}\). 3. \(f\) es continua en \(0\) (ambos límites laterales valen \(1\)), pero \(f'(0^+)=2\neq-2=f'(0^-)\).

\(f\) es derivable en \((-1,1)\setminus\{0\}\) y no es derivable en \(x=0\).

b) Monotonía. 1. \(f'<0\) en \((-1,0)\) y \(f'>0\) en \((0,1)\).

Decrece en \((-1,0)\) y crece en \((0,1)\) (mínimo en \(x=0\)).

2024

Ordinaria 2024

Ejercicio 1 · Ordinaria 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sea la función \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\ln(x)\), donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica \(A(1,0)\) y \(B(e,1)\).

  1. Determina, si existen, los puntos de la gráfica de \(f\) en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos \(A\) y \(B\). (1,5 puntos)

  2. Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de \(f\) en el punto \(A\). (1 punto)

Relacionado también con: Aplicaciones de la derivada.

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

a) Puntos con tangente paralela a \(AB\). 1. Pendiente de la recta \(AB\): \(\dfrac{1-0}{e-1}=\dfrac1{e-1}\). 2. Rectas paralelas tienen la misma pendiente, así que se busca \(f'(x)=\dfrac1{e-1}\). Derivada: \(f'(x)=\dfrac1x\) (definida para \(x>0\)). 3. Se iguala: \(\dfrac1x=\dfrac1{e-1}\Rightarrow x=e-1\), que está en el dominio \((0,+\infty)\) porque \(e-1\approx1{,}72>0\). 4. Ordenada del punto: \(f(e-1)=\ln(e-1)\).

Único punto: \(\left(e-1,\ \ln(e-1)\right)\).

b) Recta normal en \(A(1,0)\). 1. Pendiente de la tangente: \(f'(1)=1\). 2. La normal es perpendicular a la tangente, así que su pendiente es \(-\dfrac1{f'(1)}=-1\). 3. Ecuación punto-pendiente por \(A(1,0)\): \(y-0=-1\,(x-1)\).

\(y=-(x-1)\), es decir \(y=-x+1\).

Ordinaria · Reserva 2024

Ejercicio 2 · Ordinaria · Reserva 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sea la función derivable \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\begin{cases}a\,e^{-x}+b\ln(1-x) & \text{si } x<0\\ x+\ln(1+x) & \text{si } x\ge 0\end{cases}\]

donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano.

  1. Determina \(a\) y \(b\). (1,5 puntos)

  2. Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=0\). (1 punto)

Relacionado también con: Límites y continuidad.

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Derivabilidad.

\(f\) derivable en \(a\) si es continua en \(a\) y las derivadas laterales coinciden: \(f'(a^-)=f'(a^+)\). Derivable implica continua, pero no al revés.

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Derivabilidad.

  1. Impón primero la continuidad en el punto de cambio.
  2. Deriva cada trozo y evalúa en el punto, por la izquierda y por la derecha.
  3. Iguala las derivadas: segunda ecuación para los parámetros.
  4. Resuelve el sistema y comprueba.

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

a) Parámetros \(a\) y \(b\). \(f\) es derivable, luego es continua y sus derivadas laterales coinciden en \(x=0\). 1. Continuidad en \(x=0\): \(\lim_{x\to0^-}f=a\,e^0+b\ln1=a\) y \(f(0)=0+\ln1=0\), así que \(a=0\). 2. Derivada por la izquierda: \(f'(x)=-a\,e^{-x}-\dfrac{b}{1-x}\), luego \(f'(0^-)=-a-b\). 3. Derivada por la derecha: \(f'(x)=1+\dfrac1{1+x}\), luego \(f'(0^+)=1+\dfrac1{1+0}=2\). 4. Derivabilidad: \(-a-b=2\). Con \(a=0\), \(b=-2\).

\[\mathbf{a=0,\quad b=-2}\]

b) Tangente y normal en \(x=0\). 1. Punto: \(f(0)=0\). Pendiente: \(f'(0)=2\). 2. Tangente: \(y-0=2(x-0)\). 3. Normal: pendiente \(-\dfrac12\) (opuesta de la inversa), \(y=-\dfrac12x\).

Tangente: \(y=2x\). Normal: \(y=-\dfrac x2\).

Extraordinaria 2024

Ejercicio 1 · Extraordinaria 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Sea \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) la función definida por

\[f(x)=a+b\cos(x)+c\operatorname{sen}(x).\]

Halla \(a\), \(b\) y \(c\) sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa \(x=\dfrac{\pi}{2}\) a la recta \(y=1\) como recta tangente, y que la recta \(y=x-1\) corta a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=0\).

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Parámetros \(a\), \(b\) y \(c\). 1. Derivada: \(f'(x)=-b\operatorname{sen}x+c\cos x\). 2. La tangente en \(x=\pi/2\) es \(y=1\): horizontal, luego \(f'(\pi/2)=-b=0\Rightarrow b=0\); y pasa por la gráfica, luego \(f(\pi/2)=a+c=1\). 3. La recta \(y=x-1\) corta a la gráfica en \(x=0\): \(f(0)=0-1=-1\), es decir, \(a+b=-1\). Con \(b=0\), \(a=-1\). 4. De \(a+c=1\): \(c=1-a=2\).

\[\mathbf{a=-1,\quad b=0,\quad c=2}\qquad(f(x)=-1+2\operatorname{sen}x).\]

Comprobación: \(f(\pi/2)=-1+2=1\) y \(f'(x)=2\cos x\) se anula en \(\pi/2\).

2022

Ordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Sea \(f\) la función continua definida por

\[f(x)=\begin{cases}x^{2}+2 & \text{si } x\le 0\\[1mm]\sqrt{ax+b} & \text{si } 0<x\le 2\\[1mm]\dfrac{-x}{2\sqrt{2}}+\dfrac{3}{\sqrt{2}} & \text{si } 2<x\end{cases}\]

  1. Calcula \(a\) y \(b\). (1,25 puntos)

  2. Para \(a=-1\) y \(b=4\), estudia si existe la derivada de \(f\) en \(x=2\). En caso afirmativo, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en dicho punto. (1,25 puntos)

Relacionado también con: Límites y continuidad.

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

a) Valores de \(a\) y \(b\). 1. \(f\) es continua (dato), así que los trozos empalman en \(x=0\) y en \(x=2\). 2. En \(x=0\): por la izquierda \(f(0)=0^2+2=2\) y por la derecha \(\sqrt{b}\). Luego \(\sqrt{b}=2\Rightarrow b=4\). 3. En \(x=2\): por la derecha \(-\dfrac{2}{2\sqrt2}+\dfrac{3}{\sqrt2}=\dfrac{-1+3}{\sqrt2}=\sqrt2\) y por la izquierda \(\sqrt{2a+b}=\sqrt{2a+4}\). Igualando, \(\sqrt{2a+4}=\sqrt2\Rightarrow2a+4=2\), de donde \(a=-1\).

\(a=-1\), \(b=4\).

b) Derivada en \(x=2\) y tangente. 1. Con esos valores, \(f(x)=\sqrt{4-x}\) en \((0,2]\). Por la izquierda: \(f'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{4-x}}\), luego \(f'(2^-)=\dfrac{-1}{2\sqrt{4-2}}=-\dfrac{1}{2\sqrt2}\). 2. Por la derecha: la rama es una recta de pendiente \(-\dfrac{1}{2\sqrt2}\), luego \(f'(2^+)=-\dfrac{1}{2\sqrt2}\). 3. Las derivadas laterales coinciden, así que existe \(f'(2)=-\dfrac{1}{2\sqrt2}\). Además \(f(2)=\sqrt2\). 4. Recta tangente: \(y-f(2)=f'(2)(x-2)\).

Sí existe; tangente: \(y=\sqrt2-\dfrac{1}{2\sqrt2}(x-2)\).

2021

Ordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 1 · Ordinaria · Reserva 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Sea la función derivable \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\begin{cases}\dfrac{ax+b}{x-1} & \text{si } x\le 0\\[2mm]\ln(1+x) & \text{si } x>0\end{cases}\]

(\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

  1. Determina \(a\) y \(b\). (1,5 puntos)

  2. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=2\). (1 punto)

Relacionado también con: Límites y continuidad.

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Derivabilidad.

\(f\) derivable en \(a\) si es continua en \(a\) y las derivadas laterales coinciden: \(f'(a^-)=f'(a^+)\). Derivable implica continua, pero no al revés.

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Derivabilidad.

  1. Impón primero la continuidad en el punto de cambio.
  2. Deriva cada trozo y evalúa en el punto, por la izquierda y por la derecha.
  3. Iguala las derivadas: segunda ecuación para los parámetros.
  4. Resuelve el sistema y comprueba.

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

a) Valores de \(a\) y \(b\). 1. \(f\) es derivable, luego es continua; empezamos por \(x=0\), donde cambia la expresión. 2. Continuidad en \(0\): \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac{ax+b}{x-1}=-b\) y \(\ln1=0\), luego \(b=0\). 3. Derivabilidad en \(0\): para \(x<0\), \(f'(x)=\dfrac{-a-b}{(x-1)^2}\), con \(f'(0^-)=-a\); para \(x>0\), \(f'(x)=\dfrac1{1+x}\), con \(f'(0^+)=1\). 4. Las derivadas laterales deben coincidir: \(-a=1\).

\(a=-1,\ b=0\)

b) Tangente y normal en \(x=2\). 1. En \(x=2>0\) la función es \(\ln(1+x)\): \(f(2)=\ln3\) y \(f'(2)=\frac13\). 2. Tangente: \(y-f(2)=f'(2)(x-2)\). 3. Normal: es perpendicular a la tangente, con pendiente \(-\dfrac{1}{f'(2)}=-3\).

Tangente: \(y=\ln3+\dfrac13(x-2)\). Normal: \(y=\ln3-3(x-2)\).

Ejercicio 2 · Ordinaria · Reserva 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Halla \(a\), \(b\) y \(c\) sabiendo que la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) dada por \(f(x)=a+b\operatorname{sen}(x)+c\operatorname{sen}(2x)\) tiene un punto crítico en el punto de abscisa \(x=\pi\) y la recta \(y=-\dfrac12x+3\) es normal a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=0\).

Relacionado también con: Aplicaciones de la derivada.

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?
  1. Derivada. \(f'(x)=b\cos x+2c\cos2x\).
  2. Punto crítico en \(x=\pi\). \(f'(\pi)=-b+2c=0\).
  3. Normal en \(x=0\). La normal \(y=-\frac12x+3\) tiene pendiente \(-\frac12\), luego la tangente tiene pendiente \(2\) (producto de pendientes \(=-1\)): \(f'(0)=b+2c=2\).
  4. Valor en \(x=0\). La normal pasa por \((0,3)\), que está en la gráfica: \(f(0)=a=3\).
  5. Sistema. De las dos ecuaciones en \(b\) y \(c\): \(b=1\), \(c=\frac12\).

\(a=3,\ b=1,\ c=\dfrac12\)

Extraordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 3 · Extraordinaria · Reserva 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=e^{x}\).

  1. Calcula \(a\) para que la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \((a,f(a))\) pase por el origen de coordenadas. (1,25 puntos)

  2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \(f\), la recta tangente a la misma en el punto \((1,f(1))\) y el eje de ordenadas. (1,25 puntos)

Relacionado también con: Integrales.

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

a) Tangente por el origen. 1. Tangente en \(x=a\): \(y-e^a=e^a(x-a)\) (porque \(f'(x)=e^x\)). 2. Pasa por el origen \((0,0)\): \(-e^a=-ae^a\). 3. Se divide entre \(e^a\neq0\): \(a=1\).

\(a=1\) (la tangente es \(y=ex\)).

b) Área. 1. Tangente en \(x=1\): \(y=ex\) (la misma del apartado anterior). 2. En \([0,1]\) se cumple \(e^x\ge ex\) (la curva queda por encima de su tangente, porque \(e^x\) es convexa), y el recinto está entre el eje de ordenadas \(x=0\) y \(x=1\). 3. Barrow:

\[A=\int_0^1(e^x-ex)\,dx=\left[e^x-\tfrac{e}{2}x^2\right]_0^1=e-\tfrac e2-1=\tfrac e2-1.\]

\(A=\dfrac e2-1\approx0{,}359\ \text{u}^2\)

También trabajan este tema

Ejercicios cuyo tema principal es otro pero en los que aparece este tema:

Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.