PAU Andalucía — Integrales

Ejercicios de Matemáticas II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es integrales: 55 ejercicios de convocatorias ordinarias, extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la solución paso a paso con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

2026

Ordinaria 2026

Ejercicio 4.1 · Ordinaria 2026 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen

Dada la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\dfrac{8e^{x}-4e^{2x}}{1+e^{x}}\), halla la primitiva de \(f\) cuya gráfica tiene por tangente a la recta \(y=2x+12\ln(2)\) en el punto de abscisa \(x=0\). (Sugerencia: puedes hacer el cambio \(e^{x}=t\)).

Relacionado también con: Derivadas.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

Primitivas de \(f\). 1. Cambio de variable (la sugerencia): \(t=e^x\), de donde \(dx=\dfrac{dt}{t}\). 2. Se sustituye y se simplifica (el factor \(t\) del numerador cancela el del denominador): \[\int\dfrac{8e^x-4e^{2x}}{1+e^x}dx=\int\dfrac{8-4t}{1+t}dt.\] 3. Se divide: \(\dfrac{8-4t}{1+t}=-4+\dfrac{12}{1+t}\), así que \[\int\dfrac{8-4t}{1+t}dt=\int\left(-4+\dfrac{12}{1+t}\right)dt=-4t+12\ln(1+t)+C.\] 4. Se deshace el cambio: \(F(x)=-4e^x+12\ln(1+e^x)+C\).

Condición de la tangente. 1. La recta \(y=2x+12\ln2\) pasa por el punto de abscisa \(x=0\) con \(y=12\ln2\): \(F(0)=12\ln2\). Además, su pendiente debe ser \(F'(0)=f(0)=2\), y coincide con la pendiente de la recta. 2. Se calcula: \(F(0)=-4+12\ln2+C=12\ln2\), luego \(C=4\).

\(F(x)=-4e^x+12\ln(1+e^x)+4\).

Ordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 3.2 · Ordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f:[-2,2]\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\dfrac{x}{|x|+1}\).

  1. Calcula \(\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx\). (1,5 puntos)

  2. Estudia la simetría de la función \(f\) y deduce de ella el valor de \(\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\,dx\). (1 punto)

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

a) Integral entre \(0\) y \(2\). 1. En \([0,2]\), \(|x|=x\) y \(f(x)=\dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}\). 2. Se integra y se aplica Barrow: \[\int_0^2f=\big[x-\ln(x+1)\big]_0^2=(2-\ln3)-(0-\ln1).\]

\(2-\ln3\).

b) Simetría y integral entre \(-2\) y \(2\). 1. \(f(-x)=\dfrac{-x}{|-x|+1}=\dfrac{-x}{|x|+1}=-f(x)\): \(f\) es impar (simétrica respecto al origen). 2. En un intervalo simétrico, el área de \(0\) a \(2\) (positiva) se compensa con la de \(-2\) a \(0\) (negativa).

Por tanto \(\displaystyle\int_{-2}^2f(x)\,dx=\mathbf{0}\).

Extraordinaria 2026

Ejercicio 1 · Extraordinaria 2026 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · Examen

La velocidad de crecimiento de la población de peces en un lago al cabo del tiempo, \(t\) en años, viene dada por \(P'(t)=20\,t\,e^{-t/10}\), siendo \(P(t)\) la población de peces. Sabiendo que la población inicial es de 1000 peces, calcula cuántos tendrá el lago transcurridos 10 años.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Población a partir de su velocidad de crecimiento. 1. \(P'(t)\) es la velocidad, así que \(P(t)=P(0)+\displaystyle\int_0^tP'(s)\,ds\), con \(P(0)=1000\): \[P(t)=1000+\displaystyle\int_0^t20s\,e^{-s/10}ds.\] 2. Primitiva por partes: \(u=s\), \(dv=e^{-s/10}ds\), de donde \(du=ds\) y \(v=-10e^{-s/10}\): \[\int s\,e^{-s/10}ds=-10s\,e^{-s/10}+10\int e^{-s/10}ds=-10s\,e^{-s/10}-100\,e^{-s/10}.\] 3. Barrow entre \(0\) y \(10\) (se evalúa \(-10s\,e^{-s/10}-100e^{-s/10}\) en \(10\) y en \(0\)): \[\displaystyle\int_0^{10}20s\,e^{-s/10}ds=20\Big[-10s\,e^{-s/10}-100e^{-s/10}\Big]_0^{10}=20\big(100-200e^{-1}\big)=2000-\dfrac{4000}{e}.\] 4. Se suma la población inicial: \(P(10)=3000-\dfrac{4000}{e}\approx1528{,}5\).

Al cabo de 10 años habrá unos 1528 peces.

Extraordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 3.2 · Extraordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^{2}\cos(x)\).

  1. Calcula \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx\). (2 puntos)

  2. Estudia la simetría de la función \(f\) y deduce de ella la relación que existe entre \(\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx\) y \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx\). (0,5 puntos)

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

a) Integral entre \(0\) y \(\pi\). 1. Se integra por partes. Primera vez: \(u=x^2\), \(dv=\cos x\,dx\), luego \(\int x^2\cos x\,dx=x^2\operatorname{sen}x-\int2x\operatorname{sen}x\,dx\). 2. Segunda vez: \(u=2x\), \(dv=\operatorname{sen}x\,dx\), luego \(\int2x\operatorname{sen}x\,dx=-2x\cos x+2\operatorname{sen}x\). 3. Se juntan: \(\displaystyle\int x^2\cos x\,dx=x^2\operatorname{sen}x+2x\cos x-2\operatorname{sen}x\). 4. Barrow: \[\displaystyle\int_0^\pi x^2\cos x\,dx=\big[x^2\operatorname{sen}x+2x\cos x-2\operatorname{sen}x\big]_0^\pi=-2\pi.\]

Resultado: \(-2\pi\).

b) Simetría. 1. \(f(-x)=(-x)^2\cos(-x)=x^2\cos x=f(x)\): \(f\) es par (simétrica respecto al eje \(OY\)). 2. En un intervalo simétrico, la integral de una función par es el doble de la de la mitad positiva: \[\int_{-\pi}^{\pi}f=2\int_0^\pi f=-4\pi.\]

2025

Ordinaria 2025

Ejercicio 6 · Ordinaria 2025 · Bloque optativo 3 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Halla la función \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\) que pasa por los puntos \((2,e-2-2\ln(2))\) y \((1,0)\), y verifica que \(f''(x)=e^{x-1}-\dfrac{1}{x}\).

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Planteamiento. Hay que hallar \(f\) integrando dos veces y usar los dos puntos para fijar las constantes. 1. Primera integración: \(f'(x)=\displaystyle\int\left(e^{x-1}-\frac1x\right)dx=e^{x-1}-\ln x+C_1\). 2. Segunda integración: \(\displaystyle\int\ln x\,dx=x\ln x-x\) (por partes), luego \[f(x)=e^{x-1}-x\ln x+x+C_1x+C_2.\] 3. Pasa por \((1,0)\): \(f(1)=1+1+C_1+C_2=0\Rightarrow C_1+C_2=-2\). 4. Pasa por \((2,e-2-2\ln2)\): \(e-2\ln2+2+2C_1+C_2=e-2-2\ln2\Rightarrow2C_1+C_2=-4\). 5. Restando la ecuación del paso 3 de la del paso 4: \(C_1=-2\) y, entonces, \(C_2=0\).

\(f(x)=e^{x-1}-x\ln x-x\).

Ordinaria · Suplente 1 2025

Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente 1 2025 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sea la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=(x-1)^{2}\).

  1. Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de \(f\) y la recta \(y=a\) con \(a>0\). (0,75 puntos)

  2. Calcula \(a>0\) para que el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de \(f\) y la recta \(y=a\) sea \(\dfrac43\) unidades cuadradas. (1,75 puntos)

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Recinto. 1. \(f(x)=(x-1)^2\) es una parábola de vértice \((1,0)\) abierta hacia arriba. 2. La recta horizontal \(y=a\) la corta en \(x=1\pm\sqrt a\) (de \((x-1)^2=a\)). 3. El recinto acotado es el segmento parabólico entre ambos puntos: por encima de la parábola y por debajo de la recta.

Recinto limitado por la parábola f(x)=(x−1)² y la recta y=a (a>0), con los cortes en x=1±√a

Recinto limitado por la parábola f(x)=(x−1)² y la recta y=a (a>0), con los cortes en x=1±√a

b) Valor de \(a\). 1. Se traslada el recinto con \(t=x-1\): ahora la parábola es \(t^2\) y los límites son \(-\sqrt a\) y \(\sqrt a\). 2. Área (recta menos parábola), con simetría respecto de \(t=0\): \[A=\int_{-\sqrt a}^{\sqrt a}\big(a-t^2\big)dt=2\left[at-\frac{t^3}{3}\right]_0^{\sqrt a}=\frac43a^{3/2}.\] 3. Se iguala al área dada: \(\dfrac43a^{3/2}=\dfrac43\Rightarrow a^{3/2}=1\).

\(a=1\).

Ejercicio 3 · Ordinaria · Suplente 1 2025 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera la función

\[f(x)=\begin{cases}x\operatorname{sen}(2x) & \text{si } x\le 0\\\cos(\pi x)-1 & \text{si } x>0\end{cases}\]

Calcula \(\displaystyle\int_{-\pi/4}^{1}f(x)\,dx\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Planteamiento. Se parte la integral en \(x=0\), donde cambia la expresión de \(f\).

  1. Tramo \(x\le0\) (por partes, con \(u=x\) y \(dv=\operatorname{sen}(2x)\,dx\)): \[\int_{-\pi/4}^{0}x\operatorname{sen}(2x)dx=\Big[-\dfrac{x\cos2x}{2}+\dfrac{\operatorname{sen}2x}{4}\Big]_{-\pi/4}^{0}=0-\Big(0-\dfrac14\Big)=\dfrac14.\] (En \(-\pi/4\): \(\cos\left(-\dfrac\pi2\right)=0\) y \(\operatorname{sen}\left(-\dfrac\pi2\right)=-1\).)
  2. Tramo \(x>0\): \[\int_0^1(\cos\pi x-1)dx=\Big[\dfrac{\operatorname{sen}\pi x}{\pi}-x\Big]_0^1=-1.\]
  3. Suma: \[\int_{-\pi/4}^1f=\frac14-1=\mathbf{-\frac34}.\]

Interpretación: es una integral con signo; en el tramo \(x>0\) la función es negativa y su parte negativa pesa más que el tramo positivo.

Ordinaria · Suplente 2 2025

Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente 2 2025 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Calcula \(\displaystyle\int_{\sqrt{3}}^{2}\dfrac{4x}{x^{4}-6x^{2}+10}\,dx\). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \(t=x^{2}-3\)).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Cambio de variable. 1. Se toma \(t=x^2-3\): \(dt=2x\,dx\), luego \(4x\,dx=2\,dt\). 2. El denominador queda como una suma de cuadrados: \(x^4-6x^2+10=(x^2-3)^2+1=t^2+1\). 3. Límites: \(x=\sqrt3\to t=0\) y \(x=2\to t=1\). 4. Se integra (arcotangente): \[\int_0^1\frac{2\,dt}{t^2+1}=2\big[\operatorname{arctg}t\big]_0^1=2\cdot\frac\pi4=\mathbf{\frac\pi2}.\]

Ejercicio 3 · Ordinaria · Suplente 2 2025 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sean las funciones \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definidas por \(f(x)=x^{3}-x\) y \(g(x)=-x^{2}+1\).

  1. Halla los puntos de corte (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de las gráficas de \(f\) y \(g\). Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas. (1 punto)

  2. Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de \(f\) y \(g\). (1,5 puntos)

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Puntos de corte y esbozo. 1. Se igualan: \(x^3-x=-x^2+1\Rightarrow x^3+x^2-x-1=0\). 2. Se factoriza: \(x^3+x^2-x-1=(x+1)^2(x-1)=0\). 3. Cortes en \(x=-1\) (raíz doble: las gráficas son tangentes) y \(x=1\). En ambos \(f=g=0\).

Puntos \((-1,0)\) y \((1,0)\).

Recinto entre f(x)=x³−x y g(x)=1−x², que se cortan en (−1,0) (tangentes) y (1,0)

Recinto entre f(x)=x³−x y g(x)=1−x², que se cortan en (−1,0) (tangentes) y (1,0)
  1. Esbozo: \(g\) es una parábola con vértice \((0,1)\) y cortes con \(OX\) en \(\pm1\); \(f\) es una cúbica que pasa por \((-1,0)\), \((0,0)\) y \((1,0)\) (máximo local en \(x=-1/\sqrt3\)). En \((-1,1)\) la parábola queda por encima de la cúbica.

b) Área. 1. En \([-1,1]\), \(g\ge f\) (se comprueba en \(x=0\): \(g(0)=1>f(0)=0\)), y \(g-f=-(x-1)(x+1)^2\ge0\). 2. La integral de la diferencia es: \[A=\int_{-1}^{1}(-x^3-x^2+x+1)\,dx=2\int_0^1(-x^2+1)\,dx=2\cdot\frac23=\mathbf{\frac43}\ u^2.\] (Los términos impares \(-x^3\) y \(x\) se anulan por la simetría del intervalo.)

Extraordinaria 2025

Ejercicio 2 · Extraordinaria 2025 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+2x+2}\). Calcula una primitiva de \(f\) cuya gráfica pase por el punto \(\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Planteamiento. El denominador no tiene raíces reales, así que se completa el cuadrado y se obtiene una arcotangente. 1. Completando cuadrados: \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\). 2. Primitivas: \[F(x)=\int\frac{dx}{(x+1)^2+1}=\operatorname{arctg}(x+1)+C.\] 3. Condición \(F(0)=\dfrac\pi4\): \(F(0)=\operatorname{arctg}1+C=\dfrac\pi4+C=\dfrac\pi4\Rightarrow C=0\).

\(F(x)=\operatorname{arctg}(x+1)\).

Ejercicio 3 · Extraordinaria 2025 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Calcula el valor de \(k\) para que \(\displaystyle\int_{1}^{3}e^{x-k}(x-2)\,dx=2\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Planteamiento. Se integra por partes y se impone el valor de la integral definida. 1. Se saca el factor constante: \(e^{x-k}=e^{-k}e^{x}\). 2. Por partes con \(u=x-2\) y \(dv=e^{x}dx\) (luego \(du=dx\) y \(v=e^{x}\)): \[\int e^{x-k}(x-2)\,dx=e^{-k}\big[(x-2)e^{x}-e^{x}\big]=e^{-k}(x-3)e^{x}.\] 3. Barrow entre \(1\) y \(3\): \[\int_1^3=e^{-k}\big[0-(-2e)\big]=2e^{1-k}.\] 4. Se iguala a \(2\): \(2e^{1-k}=2\Rightarrow e^{1-k}=1\Rightarrow1-k=0\).

\(k=1\).

Extraordinaria · Suplente 1 2025

Ejercicio 1 · Extraordinaria · Suplente 1 2025 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · PDF del examen

Sea \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) la función definida por \(f(x)=\dfrac{x^{3}+1}{x^{2}+1}\). Calcula una primitiva de \(f\) cuya gráfica pase por el punto \((0,5)\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Planteamiento. El grado del numerador es mayor que el del denominador: primero se divide y después se integra. 1. División: \(x^3+1=x(x^2+1)-x+1\), luego \[\frac{x^3+1}{x^2+1}=x-\frac{x-1}{x^2+1}=x-\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}.\] 2. Primitivas (inmediatas: potencia, logaritmo y arcotangente): \[F(x)=\int f=\frac{x^2}{2}-\frac12\ln(x^2+1)+\operatorname{arctg}x+C.\] 3. Condición \(F(0)=5\): \(F(0)=0-0+0+C=C=5\).

\(F(x)=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac12\ln(x^2+1)+\operatorname{arctg}x+5\).

Extraordinaria · Suplente 2 2025

Ejercicio 6 · Extraordinaria · Suplente 2 2025 · Bloque optativo 3 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera las funciones \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definidas por \(f(x)=-e^{x}\) y \(g(x)=-e^{-x}\).

  1. Esboza las gráficas de dichas funciones. (1 punto)

  2. Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por las gráficas de dichas funciones y las rectas \(x=-1\) y \(x=1\). (1,5 puntos)

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

a) Gráficas. 1. \(f=-e^x\) es creciente y negativa, y tiende a \(0\) en \(-\infty\). 2. \(g=-e^{-x}\) es decreciente y negativa, y tiende a \(0\) en \(+\infty\). 3. Ambas pasan por \((0,-1)\) (único corte entre ellas) y quedan por debajo del eje \(OX\) (asíntota \(y=0\)). 4. \(g\) queda por encima de \(f\) para \(x>0\) y por debajo para \(x<0\).

Gráficas de f(x)=−eˣ y g(x)=−e⁻ˣ, simétricas respecto del eje Y y con asíntota y=0

Gráficas de f(x)=−eˣ y g(x)=−e⁻ˣ, simétricas respecto del eje Y y con asíntota y=0

b) Suma de las áreas. 1. Las gráficas se cortan en \(x=0\) y se piden dos recintos: entre \(x=-1\) y \(0\) y entre \(0\) y \(1\). 2. Son simétricos respecto del eje \(OY\) (cada función es el reflejo de la otra), así que tienen la misma área. 3. En \([0,1]\), \(g\ge f\) (pues \(-e^{-x}\ge-e^{x}\) si \(x\ge0\)), luego el área es \(\int_0^1(g-f)\) y la suma de las dos áreas es el doble: \[A=2\int_0^1\big(-e^{-x}+e^{x}\big)dx=2\big[e^{x}+e^{-x}\big]_0^1=\mathbf{2\left(e+\dfrac1e-2\right)}\approx2{,}17\ u^2.\]

2024

Ordinaria 2024

Ejercicio 3 · Ordinaria 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera la función \(f\) definida por \(f(x)=\dfrac{x^{3}+2}{x^{2}-1}\), para \(x\neq -1\), \(x\neq 1\). Calcula una primitiva de \(f\) cuya gráfica pase por el punto \((0,1)\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Primitiva con condición. 1. El grado del numerador (3) supera al del denominador (2): se divide. \(\dfrac{x^3+2}{x^2-1}=x+\dfrac{x+2}{x^2-1}\). 2. Se descompone en fracciones simples: \(\dfrac{x+2}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{3/2}{x-1}-\dfrac{1/2}{x+1}\) (comprobación: en \(x=1\) el numerador vale \(3\), entre \(x+1=2\) da \(\tfrac32\); en \(x=-1\) vale \(1\), entre \(x-1=-2\) da \(-\tfrac12\)). 3. Se integra término a término: \(F(x)=\dfrac{x^2}2+\dfrac32\ln|x-1|-\dfrac12\ln|x+1|+C\). 4. La condición \(F(0)=1\) se aplica en el intervalo \((-1,1)\), que contiene a \(x=0\): \(F(0)=0+\tfrac32\ln1-\tfrac12\ln1+C=C=1\).

\[\mathbf{F(x)=\frac{x^2}2+\frac32\ln|x-1|-\frac12\ln|x+1|+1}\]

Ejercicio 4 · Ordinaria 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Halla la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) tal que \(f''(x)=x\cos(x)\) y cuya gráfica pasa por los puntos \(\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\) y \((\pi,2\pi)\).

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Función a partir de su segunda derivada. 1. Se integra una vez, por partes (\(u=x\), \(dv=\cos x\,dx\)): \(f'(x)=\int x\cos x\,dx=x\operatorname{sen}x+\cos x+C_1\). 2. Se integra otra vez. Como \(\int x\operatorname{sen}x\,dx=-x\cos x+\operatorname{sen}x\) (otra vez por partes) y \(\int\cos x\,dx=\operatorname{sen}x\): \[f(x)=\int(x\operatorname{sen}x+\cos x)\,dx+C_1x=-x\cos x+2\operatorname{sen}x+C_1x+C_2.\] 3. Primer punto, \(f(0)=\dfrac\pi2\): \(f(0)=C_2=\dfrac\pi2\). 4. Segundo punto, \(f(\pi)=2\pi\): \(f(\pi)=\pi+C_1\pi+\dfrac\pi2=2\pi\Rightarrow C_1=\dfrac12\).

\[\mathbf{f(x)=-x\cos x+2\operatorname{sen}x+\frac x2+\frac\pi2}\]

Ordinaria · Reserva 2024

Ejercicio 3 · Ordinaria · Reserva 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+8x\).

  1. Calcula los puntos de corte de la gráfica de \(f\) con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica. (1 punto)

  2. Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por la gráfica de \(f\) y el eje de abscisas. (1,5 puntos)

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Cortes y esbozo. 1. Se factoriza: \(f(x)=x(x-2)(x-4)\). 2. Cortes con el eje \(OX\): \((0,0)\), \((2,0)\), \((4,0)\); con el eje \(OY\): \((0,0)\) (porque \(f(0)=0\)). 3. Extremos: \(f'(x)=3x^2-12x+8=0\Rightarrow x=2\pm\dfrac{2}{\sqrt3}\). 4. Forma: cúbica con \(f\to-\infty\) a la izquierda y \(+\infty\) a la derecha; \(f>0\) en \((0,2)\) (máximo local en \(x=2-\tfrac{2}{\sqrt3}\approx0{,}85\)) y \(f<0\) en \((2,4)\) (mínimo local en \(x=2+\tfrac{2}{\sqrt3}\approx3{,}15\)).

Gráfica de f(x)=x³−6x²+8x con cortes en x=0, 2 y 4 y sus extremos relativos

Gráfica de f(x)=x³−6x²+8x con cortes en x=0, 2 y 4 y sus extremos relativos

b) Suma de las áreas. 1. Hay dos recintos acotados: de \(x=0\) a \(x=2\) (sobre el eje) y de \(x=2\) a \(x=4\) (bajo el eje). 2. Primitiva: \(F(x)=\dfrac{x^4}{4}-2x^3+4x^2\). 3. Barrow en cada tramo: \(\int_0^2f=F(2)-F(0)=4\) y \(\int_2^4f=F(4)-F(2)=0-4=-4\). 4. El área es siempre positiva, así que se toma el valor absoluto de cada tramo:

\[A=|4|+|-4|=\mathbf{8\ u^2}.\]

Observación: la integral de \(0\) a \(4\) vale \(0\) (los dos recintos se compensan), pero el área total no.

Ejercicio 4 · Ordinaria · Reserva 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Calcula \(\displaystyle\int\dfrac{e^{3x}-1}{e^{x}-3}\,dx\). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \(t=e^{x}\).)

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Cambio de variable. 1. Con \(t=e^x\): \(dx=\dfrac{dt}{t}\). 2. La integral queda racional: \(\displaystyle\int\frac{t^3-1}{t(t-3)}\,dt\). 3. Se divide (grado del numerador mayor): \(\dfrac{t^3-1}{t(t-3)}=t+3+\dfrac{9t-1}{t(t-3)}\). 4. Fracciones simples: \(\dfrac{9t-1}{t(t-3)}=\dfrac{1/3}{t}+\dfrac{26/3}{t-3}\). 5. Se integra y se deshace el cambio (\(t=e^x\), \(\ln t=x\)):

\[\mathbf{\int\frac{e^{3x}-1}{e^x-3}\,dx=\frac{e^{2x}}2+3e^x+\frac x3+\frac{26}3\ln|e^x-3|+C}\]

Ordinaria · Suplente 2024

Ejercicio 3 · Ordinaria · Suplente 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Halla la función \(f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}\) que pasa por el punto \((3,-4\ln 5)\) y verifica \(f'(x)=\dfrac{3x^{2}+4x+12}{x^{2}-4}\), donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Función a partir de su derivada. 1. El grado del numerador es igual al del denominador: se divide. \(\dfrac{3x^2+4x+12}{x^2-4}=3+\dfrac{4x+24}{x^2-4}\). 2. Fracciones simples con \(x^2-4=(x-2)(x+2)\): \(\dfrac{4x+24}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{8}{x-2}-\dfrac{4}{x+2}\) (en \(x=2\) el numerador vale \(32\), entre \(4\) da \(8\); en \(x=-2\) vale \(16\), entre \(-4\) da \(-4\)). 3. En \((2,+\infty)\) los argumentos son positivos: \(f(x)=3x+8\ln(x-2)-4\ln(x+2)+C\). 4. Condición \(f(3)=-4\ln5\): \(9+0-4\ln5+C=-4\ln5\) (pues \(\ln1=0\)), de donde \(C=-9\).

\[\mathbf{f(x)=3x-9+8\ln(x-2)-4\ln(x+2)}\]

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sea \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) la función definida por \(f(x)=(x^{2}-3x+5)e^{x}\). Halla una primitiva de \(f\) cuya gráfica pase por el punto \((0,5)\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Primitiva con condición. Se busca \(F\) de la forma \((x^2+px+q)e^x\) (el integrando es un polinomio por \(e^x\), y esa forma se conserva al integrar). 1. Se deriva: \(F'=\big(x^2+(p+2)x+(p+q)\big)e^x\). 2. Se iguala a \((x^2-3x+5)e^x\): \(p+2=-3\) y \(p+q=5\), luego \(p=-5\) y \(q=10\). (El mismo resultado sale integrando por partes dos veces.) 3. Primitiva general: \(F(x)=(x^2-5x+10)e^x+C\). 4. Condición \(F(0)=5\): \(10+C=5\Rightarrow C=-5\).

\[\mathbf{F(x)=(x^2-5x+10)e^x-5}\]

Extraordinaria 2024

Ejercicio 3 · Extraordinaria 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Sean \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) las funciones definidas por \(f(x)=-x^{2}+7\) y \(g(x)=|x^{2}-1|\).

  1. Halla los puntos de intersección de las gráficas de \(f\) y \(g\). Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas. (1 punto)

  2. Calcula el área de dicho recinto. (1,5 puntos)

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Puntos de corte y esbozo. 1. Se igualan las funciones. Si \(|x|\ge1\), \(g(x)=x^2-1\): \(7-x^2=x^2-1\Rightarrow x=\pm2\). 2. Si \(|x|<1\), \(g(x)=1-x^2\): \(7-x^2=1-x^2\) es imposible. 3. Ordenadas: \(f(\pm2)=3\).

Puntos de corte: \((-2,3)\) y \((2,3)\).

  1. Esbozo: parábola invertida de vértice \((0,7)\) por encima de la gráfica de \(g\) (una «W» con mínimos \(0\) en \(x=\pm1\), máximo local \(1\) en \(x=0\) y ramas hacia arriba), entre \(x=-2\) y \(x=2\).

Recinto entre f(x)=−x²+7 y g(x)=|x²−1|, con cortes en (±2,3)

Recinto entre f(x)=−x²+7 y g(x)=|x²−1|, con cortes en (±2,3)

b) Área. 1. En \([-2,2]\), \(f\ge g\). El recinto es simétrico respecto del eje \(OY\): se calcula la mitad (\(x\ge0\)) y se duplica. 2. En \([0,2]\), \(g\) cambia de expresión en \(x=1\): \(g=1-x^2\) en \([0,1]\) y \(g=x^2-1\) en \([1,2]\). 3. Integrales: \(\int_0^2(7-x^2)\,dx=\dfrac{34}{3}\), \(\int_0^1(1-x^2)\,dx=\dfrac23\) y \(\int_1^2(x^2-1)\,dx=\dfrac43\). 4. Área: \[A=2\left[\int_0^2(7-x^2)\,dx-\int_0^1(1-x^2)\,dx-\int_1^2(x^2-1)\,dx\right]=2\left[\frac{34}{3}-\frac23-\frac43\right]=\mathbf{\frac{56}{3}\ u^2}.\]

Ejercicio 4 · Extraordinaria 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Halla \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}e^{x}\cos(x)\,dx\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Integral definida por partes. 1. \(\int e^x\cos x\,dx\) es cíclica: se hace por partes dos veces y reaparece la misma integral, que se despeja. El resultado es \(\int e^x\cos x\,dx=\dfrac{e^x(\operatorname{sen}x+\cos x)}{2}\). 2. Se aplica Barrow de \(0\) a \(\pi/2\) con \(\operatorname{sen}\frac\pi2=1\) y \(\cos\frac\pi2=0\): \[\int_0^{\pi/2}e^x\cos x\,dx=\frac{e^{\pi/2}(1+0)-(0+1)}{2}=\mathbf{\frac{e^{\pi/2}-1}{2}}.\]

Extraordinaria · Reserva 2024

Ejercicio 3 · Extraordinaria · Reserva 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera la función

\[f(x)=\begin{cases}1-e^{x} & \text{si } x\le 0\\ x\cos(x) & \text{si } x>0\end{cases}\]

Calcula \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Integral de una función a trozos. 1. Se parte en el punto de cambio, \(x=0\): \(\int_{-\pi}^{\pi}f=\int_{-\pi}^{0}(1-e^x)\,dx+\int_0^{\pi}x\cos x\,dx\). 2. Primer trozo: \[\int_{-\pi}^{0}(1-e^x)\,dx=\Big[x-e^x\Big]_{-\pi}^{0}=-1-(-\pi-e^{-\pi})=\pi-1+e^{-\pi}.\] 3. Segundo trozo, por partes (\(u=x\), \(dv=\cos x\,dx\)): \(\int_0^{\pi}x\cos x\,dx=\big[x\operatorname{sen}x+\cos x\big]_0^{\pi}=-1-1=-2\). 4. Se suman:

\[\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\mathbf{\pi-3+e^{-\pi}}\approx 0{,}185.\]

Ejercicio 4 · Extraordinaria · Reserva 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Calcula una primitiva de la función \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=(x-1)^{2}\ln\dfrac{\sqrt{x-1}}{2}\) cuya gráfica pase por el punto \(\left(5,-\dfrac72\right)\), donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \(x-1=t^{2}\)).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Primitiva con condición. 1. Cambio sugerido: \(x-1=t^2\), luego \(dx=2t\,dt\), \((x-1)^2=t^4\) y \(\ln\dfrac{\sqrt{x-1}}{2}=\ln\dfrac t2\) (con \(t>0\) porque \(x>1\)). 2. La integral queda \(2\int t^5\ln\dfrac t2\,dt\). Se hace por partes con \(u=\ln\dfrac t2\) y \(dv=t^5\,dt\): \[\int (x-1)^2\ln\frac{\sqrt{x-1}}2\,dx=2\int t^5\ln\frac t2\,dt=\frac{t^6}{3}\ln\frac t2-\int\frac{t^5}{3}\,dt=\frac{t^6}{3}\ln\frac t2-\frac{t^6}{18}+C.\] 3. Se deshace el cambio (\(t^6=(x-1)^3\)): \(F(x)=\dfrac{(x-1)^3}{3}\ln\dfrac{\sqrt{x-1}}2-\dfrac{(x-1)^3}{18}+C\). 4. Condición \(F(5)=-\dfrac72\): con \(x=5\), \(t=2\) y \(\ln\dfrac22=\ln1=0\): \(F(5)=\frac{64}{3}\ln1-\frac{64}{18}+C=-\frac{32}{9}+C=-\frac72\Rightarrow C=\frac1{18}\).

\[\mathbf{F(x)=\frac{(x-1)^3}{3}\ln\frac{\sqrt{x-1}}2-\frac{(x-1)^3}{18}+\frac1{18}}\]

Extraordinaria · Suplente 2024

Ejercicio 3 · Extraordinaria · Suplente 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\int_{0}^{x}\cos(t)\operatorname{sen}^{2}(t)\,dt.\]

Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=\dfrac{\pi}{4}\).

Relacionado también con: Derivadas.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

Tangente y normal a una función definida por una integral. 1. Teorema fundamental del cálculo: \(f'(x)=\cos x\operatorname{sen}^2x\). 2. Además, la integral se puede calcular (cambio \(u=\operatorname{sen}t\)): \(f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}^3x}{3}\). 3. Punto: \(f\!\left(\frac\pi4\right)=\dfrac{(\sqrt2/2)^3}{3}=\dfrac{\sqrt2}{12}\). 4. Pendiente de la tangente: \(f'\!\left(\frac\pi4\right)=\dfrac{\sqrt2}2\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt2}{4}\). 5. Pendiente de la normal: \(-\dfrac1{f'}=-\dfrac4{\sqrt2}=-2\sqrt2\).

Tangente: \(y=\dfrac{\sqrt2}{12}+\dfrac{\sqrt2}{4}\left(x-\dfrac\pi4\right)\).

Normal: \(y=\dfrac{\sqrt2}{12}-2\sqrt2\left(x-\dfrac\pi4\right)\) (pendiente \(-1/f'=-4/\sqrt2=-2\sqrt2\)).

Ejercicio 4 · Extraordinaria · Suplente 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Calcula \(\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{4+4e^{x}}}\). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \(t=\sqrt{1+e^{x}}\)).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Cambio de variable. 1. Con \(t=\sqrt{1+e^x}\): \(e^x=t^2-1\), luego \(e^x\,dx=2t\,dt\) y \(dx=\dfrac{2t}{t^2-1}\,dt\). 2. Además \(\sqrt{4+4e^x}=2\sqrt{1+e^x}=2t\). 3. La integral queda racional: \[\int\frac{dx}{\sqrt{4+4e^x}}=\int\frac{1}{2t}\cdot\frac{2t}{t^2-1}\,dt=\int\frac{dt}{t^2-1}.\] 4. Fracciones simples: \(\dfrac1{t^2-1}=\dfrac12\left(\dfrac1{t-1}-\dfrac1{t+1}\right)\), y se integra: \[\int\frac{dt}{t^2-1}=\frac12\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C.\] 5. Se deshace el cambio (\(t=\sqrt{1+e^x}>1\), así que no hace falta el valor absoluto):

\[\mathbf{\frac12\ln\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C}\]

2023

Ordinaria 2023

Ejercicio 3 · Ordinaria 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=x\,|x-1|\). Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa \(x=0\).

Relacionado también con: Derivadas.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

Área entre \(f\) y su tangente en \(x=0\). 1. Se quita el valor absoluto: \(f(x)=x(1-x)\) para \(x\le1\) y \(f(x)=x(x-1)\) para \(x>1\). 2. Tangente en \(x=0\): \(f(0)=0\) y \(f'(0)=1\) (en \(x\le1\), \(f'(x)=1-2x\)), luego \(y=x\). 3. Puntos de corte de \(f\) con la tangente: para \(x\le1\), \(x-x^{2}=x\Rightarrow x=0\); para \(x>1\), \(x^{2}-x=x\Rightarrow x=2\). 4. En \([0,2]\) la tangente queda por encima de \(f\). En \([0,1]\) la diferencia es \(x-(x-x^{2})=x^{2}\) y en \([1,2]\) es \(x-(x^{2}-x)=2x-x^{2}\). 5. Se integra por tramos: \[A=\int_0^1x^{2}dx+\int_1^2(2x-x^{2})dx=\dfrac13+\dfrac23.\]

Área \(=1\ \text{u}^2\).

Ordinaria · Reserva 2023

Ejercicio 3 · Ordinaria · Reserva 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Calcula \(\displaystyle\int_{6}^{12}\dfrac{1}{9-x^{2}}\,dx\).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Integral de una función racional. 1. Se factoriza el denominador, \(9-x^{2}=(3-x)(3+x)\), y se descompone en fracciones simples: \(\dfrac1{9-x^{2}}=\dfrac16\left(\dfrac1{3-x}+\dfrac1{3+x}\right)\). 2. Primitiva: \(\dfrac16\ln\left|\dfrac{3+x}{3-x}\right|\). 3. Regla de Barrow, con \(x\in[6,12]\) (no se pasa por \(x=3\), donde la función no está definida): \[\int_6^{12}\dfrac{dx}{9-x^{2}}=\dfrac16\left(\ln\dfrac{15}{9}-\ln\dfrac93\right)=\dfrac16\ln\dfrac{5/3}{3}.\]

Resultado: \(\dfrac16\ln\dfrac59\approx-0{,}098\).

Interpretación: es negativo porque \(\dfrac1{9-x^{2}}<0\) para \(x>3\).

Ejercicio 4 · Ordinaria · Reserva 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^{2}+1\).

  1. Determina el punto de la gráfica de \(f\) en el que la recta tangente es \(y=4x-3\). (0,75 puntos)

  2. Haz un esbozo del recinto limitado por la gráfica de \(f\), la recta \(y=4x-3\) y el eje de ordenadas. Calcula el área del recinto indicado. (1,75 puntos)

Relacionado también con: Derivadas.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Punto de tangencia. 1. La pendiente de la tangente es \(4\): \(f'(x)=2x=4\Rightarrow x=2\). 2. Ordenada: \(f(2)=5\), y la recta da \(4\cdot2-3=5\), así que el punto es el de tangencia.

Recinto entre f(x)=x²+1, su tangente y=4x−3 en (2,5) y el eje de ordenadas

Recinto entre f(x)=x²+1, su tangente y=4x−3 en (2,5) y el eje de ordenadas

Punto \((2,5)\).

b) Área del recinto. 1. La parábola \(y=x^{2}+1\) queda por encima de la recta, que es tangente en \(x=2\). 2. El recinto está entre \(x=0\) (eje de ordenadas) y \(x=2\). 3. Se integra la diferencia, que es un cuadrado perfecto: \[A=\int_0^2\left[(x^{2}+1)-(4x-3)\right]dx=\int_0^2(x-2)^{2}dx=\left[\dfrac{(x-2)^{3}}3\right]_0^2=\dfrac83.\]

Área \(=\dfrac83\ \text{u}^2\).

Ordinaria · Suplente 2023

Ejercicio 3 · Ordinaria · Suplente 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Determina la función \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto \((1,0)\), \(f'(e)=e\) y \(f''(x)=2\ln(x)+1\), para todo \(x>0\) (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Función a partir de su segunda derivada. 1. Primera derivada: \(f'(x)=\int(2\ln x+1)dx=2x\ln x-x+C\) (por partes: \(\int2\ln x\,dx=2x\ln x-2x\)). 2. Condición \(f'(e)=e\): \(2e-e+C=e\Rightarrow C=0\). 3. Función, integrando de nuevo por partes: \(f(x)=\int(2x\ln x-x)dx=x^{2}\ln x-\dfrac{x^{2}}2-\dfrac{x^{2}}2+K=x^{2}\ln x-x^{2}+K\). 4. Condición \(f(1)=0\): \(-1+K=0\Rightarrow K=1\).

\(f(x)=x^{2}\ln x-x^{2}+1\).

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera las funciones \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definidas por \(f(x)=|x^{2}-1|\) y \(g(x)=x+5\).

  1. Calcula los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que determinan. (1,25 puntos)

  2. Determina el área del recinto anterior. (1,25 puntos)

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Cortes y recinto. 1. Si \(|x|\ge1\): \(f(x)=x^{2}-1\) y \(x^{2}-1=x+5\Rightarrow x^{2}-x-6=0\Rightarrow x=-2,\ 3\) (ambos cumplen \(|x|\ge1\)). 2. Si \(|x|<1\): \(f(x)=1-x^{2}\) y \(1-x^{2}=x+5\) no tiene solución real. 3. Ordenadas: \(g(-2)=3\) y \(g(3)=8\).

Recinto entre f(x)=|x²−1| y g(x)=x+5, con cortes en (−2,3) y (3,8)

Recinto entre f(x)=|x²−1| y g(x)=x+5, con cortes en (−2,3) y (3,8)

Puntos de corte: \((-2,3)\) y \((3,8)\). El recinto está limitado por arriba por la recta \(y=x+5\) y por abajo por \(|x^{2}-1|\) (dos arcos de parábola hacia arriba y un arco invertido entre \(-1\) y \(1\)).

b) Área. 1. Se parte la integral en los puntos \(x=-1\) y \(x=1\), donde cambia la expresión de \(f\). 2. En \([-2,-1]\) y \([1,3]\) la distancia vertical es \(x+5-(x^{2}-1)\); en \([-1,1]\) es \(x+5-(1-x^{2})\): \[A=\int_{-2}^{-1}(x+5-x^{2}+1)dx+\int_{-1}^{1}(x+5-1+x^{2})dx+\int_{1}^{3}(x+5-x^{2}+1)dx=\dfrac{13}6+\dfrac{26}3+\dfrac{22}3.\]

Área \(=\dfrac{109}6\ \text{u}^2\).

Extraordinaria 2023

Ejercicio 3 · Extraordinaria 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Calcula \(a\) con \(0<a<1\), tal que \(\displaystyle\int_{a}^{1}\dfrac{\ln(x)}{x}\,dx+2=0\) (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Cálculo de \(a\). 1. Primitiva inmediata (\(\int\dfrac{\ln x}{x}dx=\dfrac{\ln^{2}x}{2}\), porque \(\ln x\) y su derivada \(\dfrac1x\) aparecen multiplicadas): \[\int_a^1\dfrac{\ln x}{x}dx=\left[\dfrac{\ln^{2}x}{2}\right]_a^1=-\dfrac{\ln^{2}a}{2}.\] 2. Se impone la condición: \(-\dfrac{\ln^{2}a}{2}+2=0\Rightarrow\ln^{2}a=4\Rightarrow\ln a=\pm2\). 3. Como \(0<a<1\), \(\ln a<0\), y se elige el signo negativo.

\(a=e^{-2}\).

Ejercicio 4 · Extraordinaria 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera las funciones \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) y \(g:\mathbb{R}-\{0\}\to\mathbb{R}\) definidas por \(f(x)=5-x^{2}\) y \(g(x)=\dfrac{4}{x^{2}}\).

  1. Esboza las gráficas de las dos funciones y calcula los puntos de corte entre ellas. (1,25 puntos)

  2. Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de \(f\) y \(g\). (1,25 puntos)

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Gráficas y puntos de corte. 1. \(f\) es una parábola de vértice \((0,5)\) abierta hacia abajo. 2. \(g\) es positiva y par, con asíntota vertical \(x=0\) y horizontal \(y=0\).

Gráficas de f(x)=5−x² y g(x)=4/x², que se cortan en (±1,4) y (±2,1)

Gráficas de f(x)=5−x² y g(x)=4/x², que se cortan en (±1,4) y (±2,1)
  1. Cortes: \(5-x^{2}=\dfrac4{x^{2}}\Rightarrow x^{4}-5x^{2}+4=0\Rightarrow x^{2}=1,\,4\).
  2. Ordenadas: \(f(\pm1)=4\) y \(f(\pm2)=1\).

Puntos de corte: \((\pm1,4)\) y \((\pm2,1)\).

b) Suma de las áreas. 1. Los recintos acotados son los de \(1\le|x|\le2\) (entre \(-1\) y \(1\), \(g\) no está acotada, así que no hay recinto). 2. En esos tramos \(f\ge g\), y por simetría las dos áreas son iguales. 3. Se integra la diferencia y se multiplica por \(2\): \[2\int_1^2\left(5-x^{2}-\dfrac4{x^{2}}\right)dx=2\left[5x-\dfrac{x^{3}}3+\dfrac4x\right]_1^2=2\cdot\dfrac23.\]

Suma de áreas \(=\dfrac43\ \text{u}^2\).

Extraordinaria · Reserva 2023

Ejercicio 3 · Extraordinaria · Reserva 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Sabiendo que \(F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(F(x)=e^{x^{2}}\) es una primitiva de \(f\).

  1. Comprueba que \(f\) es creciente. (1,25 puntos)

  2. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función \(f\), el eje de abscisas y la recta \(x=1\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Aplicaciones de la derivada.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Función a partir de su primitiva. 1. Como \(F\) es primitiva de \(f\), \(f(x)=F'(x)=2x\,e^{x^{2}}\).

a) \(f\) es creciente. 1. Derivada: \(f'(x)=(2+4x^{2})e^{x^{2}}\). 2. \(f'(x)>0\) para todo \(x\) (suma de un positivo y un no negativo, por una exponencial positiva).

\(f\) es creciente.

b) Área. 1. \(f(0)=0\) y \(f\ge 0\) en \([0,1]\), así que el recinto está entre \(x=0\) y \(x=1\). 2. Barrow, con la primitiva dada: \[\int_0^1 2x\,e^{x^{2}}dx=\left[e^{x^{2}}\right]_0^1=e-1.\]

Área \(=e-1\approx 1{,}72\ \text{u}^{2}\).

Ejercicio 4 · Extraordinaria · Reserva 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera la función \(f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\cos(\sqrt{x})\). Calcula, si es posible, una primitiva de \(f\) cuya gráfica pase por el punto \((0,5)\). Sugerencia: haz el cambio \(t=\sqrt{x}\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Primitiva con condición inicial. 1. Cambio de variable. Con \(t=\sqrt{x}\), \(x=t^{2}\) y \(dx=2t\,dt\): \(\int\cos\sqrt{x}\,dx=\int 2t\cos t\,dt\). 2. Por partes (\(u=2t\), \(dv=\cos t\,dt\)): \(=2t\operatorname{sen}t+2\cos t+C=2\sqrt{x}\operatorname{sen}\sqrt{x}+2\cos\sqrt{x}+C\). 3. Condición \(F(0)=5\): \(2+C=5\Rightarrow C=3\).

\(F(x)=2\sqrt{x}\operatorname{sen}\sqrt{x}+2\cos\sqrt{x}+3\).

Extraordinaria · Suplente 2023

Ejercicio 3 · Extraordinaria · Suplente 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Calcula una primitiva de la función \(f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\operatorname{arctg}(\sqrt{x})\) cuya gráfica pase por el punto \((0,1)\) (\(\operatorname{arctg}\) denota la función arco tangente). Sugerencia: efectúa el cambio \(x=t^{2}\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Primitiva con condición inicial. 1. Cambio de variable. Con \(x=t^{2}\), \(dx=2t\,dt\): \(\int\operatorname{arctg}\sqrt{x}\,dx=\int2t\operatorname{arctg}t\,dt\). 2. Por partes (\(u=\operatorname{arctg}t\), \(dv=2t\,dt\)): \(=t^{2}\operatorname{arctg}t-\int\dfrac{t^{2}}{1+t^{2}}dt=t^{2}\operatorname{arctg}t-t+\operatorname{arctg}t+C\) (porque \(\dfrac{t^{2}}{1+t^{2}}=1-\dfrac1{1+t^{2}}\)). 3. Se deshace el cambio (\(t=\sqrt x\)): \(F(x)=(x+1)\operatorname{arctg}\sqrt{x}-\sqrt{x}+C\). 4. Condición \(F(0)=1\): \(F(0)=C=1\).

\(F(x)=(x+1)\operatorname{arctg}\sqrt{x}-\sqrt{x}+1\).

Ejercicio 4 · Extraordinaria · Suplente 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera la función \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=\ln(x+1)\), donde \(\ln\) denota el logaritmo neperiano. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \(f\), el eje de abscisas y la recta \(x=e-1\).

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Área bajo \(\ln(x+1)\). 1. \(\ln(x+1)=0\iff x=0\), y \(f\ge0\) en \([0,e-1]\), así que el área es la integral. 2. Primitiva por partes (\(u=\ln(x+1)\), \(dv=dx\)): \((x+1)\ln(x+1)-x\). 3. Barrow: \[A=\int_0^{e-1}\ln(x+1)\,dx=\Big[(x+1)\ln(x+1)-x\Big]_0^{e-1}=e-(e-1)-0.\]

Área \(=1\ \text{u}^2\).

2022

Ordinaria 2022

Ejercicio 3 · Ordinaria 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Sea \(f\) la función definida por \(f(x)=\begin{cases}2x+4 & \text{si } x<0\\(x-2)^{2} & \text{si } x\ge 0\end{cases}\)

  1. Calcula los puntos de corte de la gráfica de \(f\) con el eje de abscisas y esboza la gráfica de la función. (1 punto)

  2. Halla el área del recinto limitado por la gráfica de \(f\) y por el eje de abscisas. (1,5 puntos)

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Cortes con el eje y gráfica. 1. Primer trozo (\(x<0\)): \(2x+4=0\Rightarrow x=-2\), que cumple \(x<0\). 2. Segundo trozo (\(x\ge0\)): \((x-2)^2=0\Rightarrow x=2\) (raíz doble, la parábola es tangente al eje en su vértice).

Cortes con el eje: \((-2,0)\) y \((2,0)\).

  1. Gráfica: una recta de pendiente 2 desde \((-2,0)\) hasta \((0,4)\) y, desde ahí, una parábola de vértice \((2,0)\) que pasa por \((0,4)\).

Gráfica de la función definida a trozos: recta 2x+4 hasta x=0 y parábola (x−2)² desde x=0; cortes en x=−2 y x=2

Gráfica de la función definida a trozos: recta 2x+4 hasta x=0 y parábola (x−2)² desde x=0; cortes en x=−2 y x=2

b) Área. 1. El recinto está entre \(x=-2\) y \(x=2\) y siempre por encima del eje, porque \(f\ge0\) (\(2x+4\ge0\) si \(x\ge-2\), y un cuadrado no es negativo). 2. Se parte en los dos trozos y se aplica la regla de Barrow: \[A=\int_{-2}^0(2x+4)\,dx+\int_0^2(x-2)^2\,dx=\Big[x^2+4x\Big]_{-2}^{0}+\left[\frac{(x-2)^3}{3}\right]_0^2=4+\tfrac83.\]

\(A=\dfrac{20}{3}\) u\(^2\).

Ejercicio 4 · Ordinaria 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f\) definida por \(f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}-2x+1}\) para \(x\neq 1\). Halla una primitiva de \(f\) que pase por el punto \((2,6)\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.
  1. El grado del numerador (3) es mayor que el del denominador (2), así que primero se divide. Como \(x^2-2x+1=(x-1)^2\), dividiendo \(x^3\) entre \(x^2-2x+1\) se obtiene cociente \(x+2\) y resto \(3x-2\): \[\frac{x^3}{(x-1)^2}=x+2+\frac{3x-2}{(x-1)^2}.\]
  2. El resto se descompone en fracciones simples: \(\dfrac{3x-2}{(x-1)^2}=\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^2}\).
  3. Se integra término a término: \[F(x)=\int\left(x+2+\frac3{x-1}+\frac1{(x-1)^2}\right)dx=\frac{x^2}2+2x+3\ln|x-1|-\frac1{x-1}+C.\]
  4. La primitiva debe pasar por \((2,6)\), es decir, \(F(2)=6\): \(F(2)=2+4+3\ln1-1+C=2+4+0-1+C=5+C=6\), de donde \(C=1\).

\(F(x)=\dfrac{x^2}{2}+2x+3\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}+1\).

Ordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 3 · Ordinaria · Reserva 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=e^{x}\operatorname{sen}(2x)\). Halla la primitiva de \(f\) cuya gráfica pase por el punto \((0,0)\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.
  1. Es una integral de un producto de exponencial por seno: se integra por partes dos veces y se despeja la integral (reaparece en el segundo miembro). El resultado es \[\int e^x\operatorname{sen}(2x)\,dx=\frac{e^x(\operatorname{sen}2x-2\cos2x)}{5}+C.\]
  2. Comprobación: derivando, \(\dfrac{e^x(\operatorname{sen}2x-2\cos2x)+e^x(2\cos2x+4\operatorname{sen}2x)}{5}=e^x\operatorname{sen}2x\) ✓.
  3. La primitiva debe pasar por \((0,0)\), es decir, \(F(0)=0\): \(F(0)=\dfrac{e^0(0-2)}{5}+C=\tfrac{-2}{5}+C=0\), de donde \(C=\tfrac25\).

\(F(x)=\dfrac{e^x\left(\operatorname{sen}(2x)-2\cos(2x)\right)}{5}+\dfrac25\).

Ejercicio 4 · Ordinaria · Reserva 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera las funciones \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definidas por \(f(x)=1-x^{2}\) y \(g(x)=2x^{2}\).

  1. Calcula los puntos de corte de las gráficas de \(f\) y \(g\). Esboza el recinto que delimitan. (1,25 puntos)

  2. Determina el área del recinto anterior. (1,25 puntos)

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Puntos de corte y recinto. 1. Se igualan las funciones: \(1-x^2=2x^2\Rightarrow3x^2=1\Rightarrow x^2=\tfrac13\), es decir, \(x=\pm\tfrac{\sqrt3}{3}\). 2. Se sustituye en \(g\): \(g\left(\pm\tfrac{\sqrt3}{3}\right)=2\cdot\tfrac13=\tfrac23\).

Recinto entre f(x)=1−x² y g(x)=2x², con cortes en x=±1/√3

Recinto entre f(x)=1−x² y g(x)=2x², con cortes en x=±1/√3

Puntos de corte: \(\left(\pm\tfrac{\sqrt3}{3},\tfrac23\right)\).

  1. El recinto está entre la parábola \(f\) (hacia abajo, vértice \((0,1)\)) y la parábola \(g\) (hacia arriba, vértice \((0,0)\)). Por ejemplo, en \(x=0\) se tiene \(f(0)=1>g(0)=0\): \(f\ge g\) para \(|x|\le\tfrac{\sqrt3}{3}\).

b) Área. 1. Se integra la diferencia \(f-g=1-3x^2\) entre los puntos de corte. Como es par, el área es el doble de la de \([0,\tfrac{\sqrt3}{3}]\): \[A=\int_{-\sqrt3/3}^{\sqrt3/3}(1-3x^2)\,dx=2\left[x-x^3\right]_0^{\sqrt3/3}=2\left(\tfrac{\sqrt3}{3}-\tfrac{\sqrt3}{9}\right).\]

\(A=\dfrac{4\sqrt3}{9}\) u\(^2\).

Ordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 3 · Ordinaria · Suplente 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(F:[0,2\pi]\to\mathbb{R}\) definida por \(F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}2t\cos(t)\,dt\).

  1. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(F\). (1 punto)

  2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(F\) en el punto de abscisa \(x=\pi\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Aplicaciones de la derivada.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.
  1. Por el teorema fundamental del cálculo, \(F'(x)=2x\cos x\) en \([0,2\pi]\).

a) Crecimiento y decrecimiento. 1. En \((0,2\pi)\) se tiene \(2x>0\), así que el signo de \(F'\) es el de \(\cos x\). 2. \(\cos x=0\) en \(x=\tfrac\pi2\) y \(x=\tfrac{3\pi}2\). Positivo en \(\left(0,\tfrac\pi2\right)\) y \(\left(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right)\); negativo en \(\left(\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2\right)\).

\(F\) crece en \(\left(0,\tfrac\pi2\right)\cup\left(\tfrac{3\pi}2,2\pi\right)\) y decrece en \(\left(\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2\right)\).

b) Recta tangente en \(x=\pi\). 1. Pendiente: \(F'(\pi)=2\pi\cos\pi=-2\pi\). 2. Ordenada: se calcula la integral por partes (\(u=2t\), \(dv=\cos t\,dt\)): una primitiva es \(2t\operatorname{sen}t+2\cos t\), así que \(F(\pi)=\left[2t\operatorname{sen}t+2\cos t\right]_0^\pi=(0-2)-(0+2)=-4\). 3. Tangente: \(y-F(\pi)=F'(\pi)(x-\pi)\).

Tangente: \(y=-4-2\pi(x-\pi)\), es decir, \(y=-2\pi x+2\pi^2-4\).

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Calcula \(\displaystyle\int_{0}^{1}x\operatorname{arctg}(x)\,dx\) (donde \(\operatorname{arctg}\) denota la función arcotangente).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Integración por partes. 1. Se elige \(u=\operatorname{arctg}x\) (que al derivar se simplifica) y \(dv=x\,dx\), con \(du=\dfrac{dx}{1+x^2}\) y \(v=\dfrac{x^2}{2}\). 2. Se aplica \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\): \[\int_0^1x\operatorname{arctg}x\,dx=\left[\tfrac{x^2}{2}\operatorname{arctg}x\right]_0^1-\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\frac\pi8-\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,dx.\] 3. En la integral restante se escribe \(\dfrac{x^2}{1+x^2}=1-\dfrac{1}{1+x^2}\), y queda \(\displaystyle\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\big[x-\operatorname{arctg}x\big]_0^1=1-\dfrac\pi4\): \[\frac\pi8-\frac12\big[x-\operatorname{arctg}x\big]_0^1=\frac\pi8-\frac12\left(1-\frac\pi4\right).\]

\(\dfrac\pi4-\dfrac12\).

Extraordinaria 2022

Ejercicio 3 · Extraordinaria 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Calcula \(\displaystyle\int_{3}^{8}\dfrac{1}{\sqrt{1+x}-1}\,dx\). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \(t=\sqrt{1+x}-1\).)

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Cambio de variable \(t=\sqrt{1+x}-1\). 1. Se despeja \(x\): \(\sqrt{1+x}=t+1\Rightarrow x=(t+1)^2-1\), luego \(dx=2(t+1)\,dt\). 2. El denominador pasa a ser \(\sqrt{1+x}-1=t\). 3. Los límites cambian: para \(x=3\), \(t=\sqrt4-1=1\); para \(x=8\), \(t=\sqrt9-1=2\). 4. Se sustituye y se simplifica: \[\int_1^2\frac{2(t+1)}{t}\,dt=2\int_1^2\left(1+\frac1t\right)dt=2\big[t+\ln t\big]_1^2=2(1+\ln2).\]

\(2+2\ln2\).

Ejercicio 4 · Extraordinaria 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera las funciones \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definidas por \(f(x)=x^{3}+2\) y \(g(x)=-x^{2}+2x+2\).

  1. Calcula los puntos de corte de las gráficas de \(f\) y \(g\). Esboza sus gráficas. (1,25 puntos)

  2. Determina el área del recinto limitado por las gráficas de \(f\) y \(g\) en el primer cuadrante. (1,25 puntos)

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Puntos de corte y gráficas. 1. Se igualan: \(x^3+2=-x^2+2x+2\Rightarrow x^3+x^2-2x=0\). 2. Se factoriza: \(x(x-1)(x+2)=0\), con raíces \(x=0,\ 1,\ -2\). 3. Se calcula la ordenada con \(f\): \(f(-2)=-6\), \(f(0)=2\), \(f(1)=3\).

Gráficas de f(x)=x³+2 y g(x)=−x²+2x+2, que se cortan en (−2,−6), (0,2) y (1,3)

Gráficas de f(x)=x³+2 y g(x)=−x²+2x+2, que se cortan en (−2,−6), (0,2) y (1,3)

Puntos de corte: \((-2,-6)\), \((0,2)\) y \((1,3)\).

  1. \(f\) es una cúbica creciente que pasa por \((0,2)\); \(g\) es una parábola con vértice en \((1,3)\) abierta hacia abajo; ambas se cortan en los tres puntos.

b) Área en el primer cuadrante. 1. En el primer cuadrante (\(x\ge0\), \(y\ge0\)) los cortes son \(x=0\) y \(x=1\). 2. Se averigua cuál va por encima probando un punto: en \(x=\tfrac12\), \(g=\tfrac{11}{4}>f=\tfrac{17}{8}\), luego \(g\ge f\) en \([0,1]\). 3. Se integra \(g-f=-x^3-x^2+2x\): \[A=\int_0^1(-x^3-x^2+2x)\,dx=-\tfrac14-\tfrac13+1.\]

\(A=\tfrac{5}{12}\) u\(^2\).

Extraordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 3 · Extraordinaria · Reserva 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=x^{3}-x\). Calcula el área total de los recintos limitados por la gráfica de la función \(f\) y la recta normal a dicha gráfica en el punto de abscisa \(x=0\).

Relacionado también con: Derivadas.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

Recta normal. 1. En \(x=0\): \(f(0)=0\) y \(f'(x)=3x^2-1\), así que \(f'(0)=-1\). 2. La normal es perpendicular a la tangente y tiene pendiente \(-\dfrac{1}{f'(0)}=-\dfrac{1}{-1}=1\). Pasa por \((0,0)\): \(y=x\).

Recinto. 3. Cortes de \(f\) con la normal: \(x^3-x=x\Rightarrow x^3-2x=0\Rightarrow x(x^2-2)=0\Rightarrow x=0,\ \pm\sqrt2\). 4. Tanto \(f\) como la recta son funciones impares, así que el recinto total es simétrico respecto del origen: el área es el doble de la de \([0,\sqrt2]\). 5. En \([0,\sqrt2]\) la recta está por encima de \(f\) (por ejemplo, en \(x=1\): recta \(1\), \(f=0\)). Se integra la diferencia \(x-(x^3-x)=2x-x^3\): \[A=2\int_0^{\sqrt2}(2x-x^3)\,dx=2\left[x^2-\tfrac{x^4}{4}\right]_0^{\sqrt2}=2(2-1).\]

\(A=2\) u\(^2\).

Ejercicio 4 · Extraordinaria · Reserva 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Calcula \(\displaystyle\int_{0}^{3}\dfrac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx\). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \(t=\sqrt{1+x}\).)

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Cambio de variable \(t=\sqrt{1+x}\). 1. Se despeja: \(x=t^2-1\), luego \(dx=2t\,dt\). 2. Los límites cambian: para \(x=0\), \(t=1\); para \(x=3\), \(t=2\). 3. Se sustituye y se simplifica (\(t\) se cancela): \[\int_1^2\frac{t^2-1}{t}\,2t\,dt=2\int_1^2(t^2-1)\,dt=2\left[\tfrac{t^3}{3}-t\right]_1^2=2\left(\tfrac23+\tfrac23\right).\]

\(\dfrac{8}{3}\).

Extraordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 3 · Extraordinaria · Suplente 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Calcula \(\displaystyle\int\dfrac{2x^{3}+2x^{2}-2x+7}{x^{2}+x-2}\,dx\).

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Integral racional. 1. El grado del numerador (3) supera al del denominador (2): se divide. El cociente es \(2x\) y el resto \(2x+7\): \[\frac{2x^3+2x^2-2x+7}{x^2+x-2}=2x+\frac{2x+7}{x^2+x-2}.\] 2. Se factoriza el denominador: \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\). 3. Fracciones simples: \(\dfrac{2x+7}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}\), con \(A=\dfrac{2+7}{3}=3\) y \(B=\dfrac{-4+7}{-3}=-1\): \[\frac{2x+7}{(x-1)(x+2)}=\frac{3}{x-1}-\frac{1}{x+2}.\] 4. Se integra término a término:

\(x^2+3\ln|x-1|-\ln|x+2|+C\).

Ejercicio 4 · Extraordinaria · Suplente 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera las funciones \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definidas por \(f(x)=x^{2}\) y \(g(x)=a|x|\), con \(a>0\). Determina el valor de \(a\) para que el área total de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones sea de 9 unidades cuadradas.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Cortes y simetría. 1. Las gráficas se cortan donde \(x^2=a|x|\): \(|x|(|x|-a)=0\Rightarrow x=0,\ \pm a\). 2. Las dos funciones son pares, así que el área total es el doble de la de \([0,a]\). En ese intervalo, \(g\ge f\) (por ejemplo, en \(x=\tfrac a2\): \(g=\tfrac{a^2}{2}>f=\tfrac{a^2}{4}\)).

Área. 3. Barrow: \[A=2\int_0^a(ax-x^2)\,dx=2\left[\tfrac{a x^2}{2}-\tfrac{x^3}{3}\right]_0^a=2\left(\tfrac{a^3}{2}-\tfrac{a^3}{3}\right)=\frac{a^3}{3}.\] 4. Se impone que el área sea \(9\): \(\dfrac{a^3}{3}=9\Rightarrow a^3=27\).

\(a=3\).

2021

Ordinaria 2021

Ejercicio 4 · Ordinaria 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(F:[0,+\infty)\to\mathbb{R}\) definida por

\[F(x)=\int_{0}^{x}\left(2t+\sqrt{t}\right)dt.\]

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(F\) en el punto de abscisa \(x=1\).

Relacionado también con: Derivadas.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.
  1. Derivada de \(F\). Por el teorema fundamental del cálculo, \(F'(x)=2x+\sqrt x\) (el integrando evaluado en \(x\)).
  2. Pendiente. \(F'(1)=2+1=3\).
  3. Punto. \(F(1)=\displaystyle\int_0^1(2t+\sqrt t)\,dt=\left[t^2+\tfrac23t^{3/2}\right]_0^1=1+\tfrac23=\tfrac53\).
  4. Recta. \(y-F(1)=F'(1)(x-1)\).

\(y=\dfrac53+3(x-1)\), es decir, \(y=3x-\dfrac43\).

Ordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 4 · Ordinaria · Reserva 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Calcula \(\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{1}{1+\sqrt{e^{x}}}\,dx\). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \(t=\sqrt{e^{x}}\).)

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.
  1. Cambio de variable. \(t=\sqrt{e^x}=e^{x/2}\), de donde \(x=2\ln t\) y \(dx=\dfrac{2}{t}\,dt\).
  2. Límites nuevos. \(x=0\to t=1\) y \(x=2\to t=e\).
  3. Integral transformada. Se descompone en fracciones simples, \(\dfrac{1}{t(1+t)}=\dfrac1t-\dfrac1{1+t}\).
  4. Cálculo. \[I=\int_1^e\frac{2}{t(1+t)}\,dt=2\int_1^e\left(\frac1t-\frac1{1+t}\right)dt=2\left[\ln\frac{t}{1+t}\right]_1^e=2\left(\ln\frac{e}{1+e}+\ln2\right).\]
  5. Se simplifica: \(\ln e=1\).

\(I=2-2\ln(1+e)+2\ln2\approx0{,}760\)

Ordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 3 · Ordinaria · Suplente 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Calcula \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\left(2\operatorname{sen}^{2}(x)-\cos^{2}(x)\right)dx\).

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.
  1. Reducir la potencia. Con \(\operatorname{sen}^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}\) y \(\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}\): \(2\operatorname{sen}^2x-\cos^2x=(1-\cos2x)-\dfrac{1+\cos2x}{2}=\dfrac12-\dfrac32\cos2x\).
  2. Primitiva. \(\displaystyle\int\left(\tfrac12-\tfrac32\cos2x\right)dx=\tfrac x2-\tfrac34\operatorname{sen}2x\).
  3. Barrow. \[\int_0^{\pi/2}\left(\tfrac12-\tfrac32\cos2x\right)dx=\left[\tfrac x2-\tfrac34\operatorname{sen}2x\right]_0^{\pi/2}=\frac\pi4.\]

\(\dfrac\pi4\)

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera las funciones \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definidas por \(f(x)=|x|-2\) y por \(g(x)=4-x^{2}\).

  1. Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan. (1 punto)

  2. Determina el área del recinto anterior. (1,5 puntos)

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Cortes y recinto. 1. Se separa el valor absoluto. Para \(x\ge0\): \(x-2=4-x^2\Rightarrow x^2+x-6=0\Rightarrow x=2\). 2. Para \(x<0\): \(-x-2=4-x^2\Rightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow x=-2\). 3. Las otras raíces de cada ecuación (\(x=-3\) y \(x=3\)) no están en su rama.

Recinto entre f(x)=|x|−2 y g(x)=4−x², con cortes en (−2,0) y (2,0)

Recinto entre f(x)=|x|−2 y g(x)=4−x², con cortes en (−2,0) y (2,0)

Puntos de corte: \((-2,0)\) y \((2,0)\). El recinto está limitado por arriba por la parábola \(g(x)=4-x^2\) (vértice \((0,4)\)) y por abajo por la «V» \(f(x)=|x|-2\) (vértice \((0,-2)\)), entre \(x=-2\) y \(x=2\).

b) Área. 1. La figura es simétrica respecto del eje \(Y\): el área es el doble de la de \([0,2]\). 2. En \([0,2]\) la función de arriba es \(g\) y la de abajo es \(f(x)=x-2\). 3. Barrow:

\[A=2\int_0^2\bigl[(4-x^2)-(x-2)\bigr]dx=2\int_0^2(6-x-x^2)\,dx=2\left[6x-\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^3}{3}\right]_0^2=2\cdot\tfrac{22}{3}.\]

\(A=\dfrac{44}{3}\ \text{u}^2\)

Extraordinaria 2021

Ejercicio 4 · Extraordinaria 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f\) definida por \(f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\) (para \(x\neq -1\), \(x\neq 1\)). Halla una primitiva de \(f\) cuya gráfica pase por el punto \((2,4)\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.
  1. Descomponer. El grado del numerador es igual al del denominador: \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=1+\dfrac{2}{x^2-1}\).
  2. Fracciones simples. \(\dfrac{2}{x^2-1}=\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+1}\), luego \(f(x)=1-\dfrac1{x+1}+\dfrac1{x-1}\).
  3. Primitivas. \[F(x)=x+\ln|x-1|-\ln|x+1|+C=x+\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C.\]
  4. Condición. La gráfica pasa por \((2,4)\): \(F(2)=2+\ln\frac13+C=4\Rightarrow C=2+\ln3\).

\(F(x)=x+\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+2+\ln3\)

Extraordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 4 · Extraordinaria · Reserva 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Calcula \(\displaystyle\int_{1}^{3}\left|x^{2}-3x+2\right|dx\).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.
  1. Signo del integrando. \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) es \(\le0\) en \([1,2]\) y \(\ge0\) en \([2,3]\).
  2. Dividir la integral. En \([1,2]\) el valor absoluto cambia el signo; en \([2,3]\) no.
  3. Primitiva. \(F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x\): \(F(1)=\frac56\), \(F(2)=\frac23\), \(F(3)=\frac32\).
  4. Cálculo. \[\int_1^3|x^2-3x+2|\,dx=-\bigl(F(2)-F(1)\bigr)+\bigl(F(3)-F(2)\bigr)=\tfrac16+\tfrac56.\]

Resultado: \(1\)

Extraordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 4 · Extraordinaria · Suplente 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}\) definida por \(f(x)=xe^{x}\).

  1. Esboza el recinto limitado por la gráfica de \(f\) y las rectas \(x=2\), \(y=x\). (1 punto)

  2. Determina el área del recinto anterior. (1,5 puntos)

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

Cambio de variable: \(t=g(x)\), \(dt=g'(x)\,dx\). Por partes: \(\int u\,dv=u\,v-\int v\,du\) (regla ALPES: arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos). Racionales: si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se divide; después se descompone en fracciones simples \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Integrales: cambio de variable, partes y fracciones simples.

  1. Decide el método: ¿hay una función y su derivada (cambio de variable)?, ¿un producto de tipos distintos (partes)?, ¿un cociente de polinomios (fracciones simples)?
  2. Aplica el método y simplifica; si es por partes, elige \(u\) y \(dv\) y repite si es necesario.
  3. Deshaz el cambio y añade \(+C\).
  4. Si es definida, cambia los límites con la variable o deshaz el cambio antes de aplicar Barrow.
  5. Comprueba derivando.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

a) Recinto. 1. Para \(x\ge0\) se cumple \(xe^x\ge x\) (igualdad solo en \(x=0\), pues \(xe^x=x\iff x(e^x-1)=0\)). 2. El recinto está entre \(y=x\) (debajo) y \(y=xe^x\) (encima), desde \(x=0\) hasta \(x=2\). 3. Ambas curvas parten de \((0,0)\); en \(x=2\) valen \(2\) y \(2e^2\).

Recinto limitado por f(x)=x·eˣ, la recta y=x y la recta x=2

Recinto limitado por f(x)=x·eˣ, la recta y=x y la recta x=2

b) Área. 1. Una primitiva de \(xe^x\) es \((x-1)e^x\) (por partes). 2. Barrow:

\[A=\int_0^2(xe^x-x)\,dx=\left[(x-1)e^x-\tfrac{x^2}{2}\right]_0^2=(e^2-2)-(-1).\]

\(A=e^2-1\approx6{,}389\ \text{u}^2\)

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