Integrales — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 6 son básicos y del 7 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía (2021 en adelante). Las soluciones están al final.

Integrales inmediatas

1. Calcula \(\displaystyle\int(3x^2-4x+5)\,dx\).

2. Calcula \(\displaystyle\int\left(\frac1x+e^x+\sqrt x\right)dx\).

3. Calcula \(\displaystyle\int\sin3x\,dx\).

4. Calcula \(\displaystyle\int\frac{x}{x^2+1}\,dx\).

5. Calcula \(\displaystyle\int xe^{x^2}\,dx\).

6. Calcula \(\displaystyle\int\frac{\cos x}{1+\sin^2x}\,dx\).

Integración por partes

7. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\int xe^x\,dx\).

8. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\int x\ln x\,dx\).

9. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\int x^2e^x\,dx\).

10. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\int e^x\sin x\,dx\).

11. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\int\ln x\,dx\) y \(\displaystyle\int\arctan x\,dx\).

Racionales y cambio de variable

12. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\int\frac{3x+5}{(x-1)(x+3)}\,dx\).

13. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2-4}\).

14. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+4x+5}\).

15. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x-1}\,dx\).

16. (Tipo PAU) Calcula, con el cambio \(x=t^2\), \(\displaystyle\int e^{\sqrt x}\,dx\).

17. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x}\) con el cambio \(t=\ln x\).

Integral definida y teorema fundamental

18. Calcula \(\displaystyle\int_0^1(x^2+1)\,dx\) y \(\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx\).

19. (Tipo PAU) Sea \(F(x)=\displaystyle\int_0^xe^{t^2}\,dt\). Calcula \(F'(x)\) y \(F'(0)\).

20. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\int_0^x\sin(t^2)\,dt}{x^3}\).

21. (Tipo PAU) Halla la función \(f\) con \(f''(x)=6x\), \(f'(0)=1\) y \(f(0)=2\).

Áreas

22. (Tipo PAU) Calcula el área encerrada entre \(y=x^2\) e \(y=x\).

23. (Tipo PAU) Calcula el área encerrada entre \(f(x)=x^3-x\) y el eje \(X\).

24. (Tipo PAU) Calcula el área de la región limitada por la parábola \(y=4-x^2\) y el eje \(X\).

25. (Tipo PAU) Calcula el área de la región limitada por \(y=\sin x\), \(y=\cos x\), y las rectas \(x=0\) y \(x=\dfrac\pi4\).

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Soluciones

Nota1

\(\displaystyle\int(3x^2-4x+5)dx=x^3-2x^2+5x+C\).

Nota2

\(\displaystyle\int\left(\frac1x+e^x+x^{1/2}\right)dx=\ln|x|+e^x+\frac23x^{3/2}+C\).

Nota3

\(\displaystyle\int\sin3x\,dx=-\frac{\cos3x}{3}+C\).

Nota4

Con \(u=x^2+1\), \(u'=2x\): \(\displaystyle\int\frac{x}{x^2+1}dx=\frac12\int\frac{2x}{x^2+1}dx=\frac12\ln(x^2+1)+C\).

Nota5

Con \(u=x^2\): \(\displaystyle\int xe^{x^2}dx=\frac12\int2xe^{x^2}dx=\frac12e^{x^2}+C\).

Nota6

Con \(u=\sin x\), \(u'=\cos x\): \(\displaystyle\int\frac{u'}{1+u^2}dx=\arctan(\sin x)+C\).

Nota7

\(u=x\), \(dv=e^xdx\): \(\displaystyle\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C\).

Nota8

\(u=\ln x\), \(dv=x\,dx\), \(du=\frac1xdx\), \(v=\frac{x^2}{2}\): \[\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac x2dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C\]

Nota9

Primera vez: \(u=x^2\), \(dv=e^xdx\): \(\displaystyle\int x^2e^xdx=x^2e^x-2\int xe^xdx\). Por el ejercicio 7: \[\int x^2e^xdx=x^2e^x-2(x-1)e^x+C=(x^2-2x+2)e^x+C\]

Nota10

Sea \(I=\displaystyle\int e^x\sin x\,dx\). Por partes (\(u=\sin x\), \(dv=e^xdx\)): \(I=e^x\sin x-\displaystyle\int e^x\cos x\,dx\).

Otra vez (\(u=\cos x\)): \(\displaystyle\int e^x\cos x\,dx=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx=e^x\cos x+I\).

Entonces \(I=e^x\sin x-e^x\cos x-I\), luego \(2I=e^x(\sin x-\cos x)\) y \[I=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C\]

Nota11

\(\displaystyle\int\ln x\,dx\): \(u=\ln x\), \(dv=dx\). \(=x\ln x-\int1\,dx=x(\ln x-1)+C\).

\(\displaystyle\int\arctan x\,dx\): \(u=\arctan x\), \(dv=dx\). \(=x\arctan x-\int\frac{x}{1+x^2}dx=x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)+C\).

Nota12

\(\dfrac{3x+5}{(x-1)(x+3)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+3}\) da \(3x+5=A(x+3)+B(x-1)\). Con \(x=1\): \(A=2\). Con \(x=-3\): \(B=1\). \[\int\frac{3x+5}{(x-1)(x+3)}dx=2\ln|x-1|+\ln|x+3|+C\]

Nota13

\(\dfrac{1}{x^2-4}=\dfrac{1}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+2}\), con \(1=A(x+2)+B(x-2)\): \(A=\frac14\) y \(B=-\frac14\). \[\int\frac{dx}{x^2-4}=\frac14\ln|x-2|-\frac14\ln|x+2|+C=\frac14\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C\]

Nota14

El denominador no tiene raíces reales. \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1\), luego \[\int\frac{dx}{(x+2)^2+1}=\arctan(x+2)+C\]

Nota15

El grado del numerador es mayor o igual que el del denominador: se divide. \(x^2+1=(x-1)(x+1)+2\), luego \(\dfrac{x^2+1}{x-1}=x+1+\dfrac{2}{x-1}\). \[\int\frac{x^2+1}{x-1}dx=\frac{x^2}{2}+x+2\ln|x-1|+C\]

Nota16

\(x=t^2\), \(dx=2t\,dt\), \(\sqrt x=t\): \(\displaystyle\int e^t\cdot2t\,dt=2\int te^tdt=2(t-1)e^t+C\) (por partes, ejercicio 7).

Deshaciendo el cambio: \(2(\sqrt x-1)e^{\sqrt x}+C\).

Nota17

\(t=\ln x\), \(dt=\dfrac{dx}{x}\): \(\displaystyle\int\frac{dt}{t}=\ln|t|+C=\ln|\ln x|+C\).

Nota18

\(\displaystyle\int_0^1(x^2+1)dx=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^1=\frac13+1=\frac43\).

\(\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx=\big[x(\ln x-1)\big]_1^e=0-(1\cdot(0-1))=1\).

Nota19

Por el teorema fundamental del cálculo, \(F'(x)=e^{x^2}\). Por tanto \(F'(0)=e^0=1\).

Nota20

El límite es \(\dfrac00\). Por L’Hôpital y el teorema fundamental: \[\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^2)}{3x^2}=\frac13\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^2)}{x^2}=\frac13\]

Nota21

\(f'(x)=\displaystyle\int6x\,dx=3x^2+C_1\) y \(f'(0)=1\Rightarrow C_1=1\). Luego \(f'(x)=3x^2+1\).

\(f(x)=x^3+x+C_2\) y \(f(0)=2\Rightarrow C_2=2\).

\(f(x)=x^3+x+2\).

Nota22

Cortes: \(x^2=x\Rightarrow x=0,\ x=1\). En \([0,1]\), \(x\ge x^2\). \[A=\int_0^1(x-x^2)dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16\text{ u}^2\]

Nota23

\(x^3-x=x(x-1)(x+1)\): cortes en \(x=-1,0,1\). Una primitiva es \(F(x)=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}\).

En \([-1,0]\): \(\displaystyle\int_{-1}^0(x^3-x)dx=F(0)-F(-1)=0-\left(\frac14-\frac12\right)=\frac14\) (positiva).

En \([0,1]\): \(F(1)-F(0)=\frac14-\frac12=-\frac14\) (negativa, se toma el valor absoluto).

Área \(=\dfrac14+\dfrac14=\dfrac12\) u\(^2\).

Nota24

Cortes con el eje: \(4-x^2=0\Rightarrow x=\pm2\). La parábola está por encima del eje en \([-2,2]\). \[A=\int_{-2}^2(4-x^2)dx=\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\left(8-\frac83\right)-\left(-8+\frac83\right)=\frac{32}{3}\text{ u}^2\]

Nota25

En \([0,\frac\pi4]\) se cumple \(\cos x\ge\sin x\) (se cortan en \(x=\frac\pi4\)). \[A=\int_0^{\pi/4}(\cos x-\sin x)dx=\big[\sin x+\cos x\big]_0^{\pi/4}=\sqrt2-1\approx0{,}414\text{ u}^2\]