Integrales

1. Integral indefinida

\(F\) es una primitiva de \(f\) si \(F'(x)=f(x)\). La integral indefinida es el conjunto de todas las primitivas: \[\int f(x)\,dx=F(x)+C\]

Propiedades: \(\displaystyle\int(f+g)=\int f+\int g\) y \(\displaystyle\int kf=k\int f\).

2. Integrales inmediatas

Con \(u=u(x)\) y \(u'=\dfrac{du}{dx}\) (forma generalizada, que se usa casi siempre):

Integral Resultado
\(\displaystyle\int u^n\,u'\,dx\) (\(n\neq-1\)) \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C\)
\(\displaystyle\int\dfrac{u'}{u}\,dx\) \(\ln|u|+C\)
\(\displaystyle\int e^u\,u'\,dx\) \(e^u+C\)
\(\displaystyle\int a^u\,u'\,dx\) \(\dfrac{a^u}{\ln a}+C\)
\(\displaystyle\int\cos u\,u'\,dx\) \(\sin u+C\)
\(\displaystyle\int\sin u\,u'\,dx\) \(-\cos u+C\)
\(\displaystyle\int\dfrac{u'}{\cos^2u}\,dx\) \(\tan u+C\)
\(\displaystyle\int\dfrac{u'}{1+u^2}\,dx\) \(\arctan u+C\)
\(\displaystyle\int\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\,dx\) \(\arcsin u+C\)

Ejemplos: \(\displaystyle\int\frac{x}{x^2+1}dx=\frac12\ln(x^2+1)+C\); \(\displaystyle\int xe^{x^2}dx=\frac12e^{x^2}+C\); \(\displaystyle\int\sin3x\,dx=-\frac{\cos3x}{3}+C\).

3. Integración por partes

\[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]

Se elige \(u\) en este orden de prioridad (regla ALPES): Arco (arctan…), Logaritmo, Polinomio, Exponencial, Seno/coseno. El resto es \(dv\).

Ejemplo: \(\displaystyle\int xe^x\,dx\) con \(u=x\), \(dv=e^xdx\), \(du=dx\), \(v=e^x\): \[\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=(x-1)e^x+C\]

  • Para \(\int x^ne^x\) se repite \(n\) veces.
  • Para \(\int\ln x\,dx\) se toma \(u=\ln x\), \(dv=dx\).
  • Para \(\int e^x\sin x\,dx\) se aplica dos veces y reaparece la integral inicial, que se despeja: \(\int e^x\sin x\,dx=\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C\).

4. Cambio de variable

Se sustituye \(t=g(x)\) y \(dt=g'(x)dx\), se integra en \(t\) y se deshace el cambio.

Ejemplo: \(\displaystyle\int e^{\sqrt x}dx\) con \(x=t^2\), \(dx=2t\,dt\): \(\displaystyle\int2te^tdt=2(t-1)e^t+C=2(\sqrt x-1)e^{\sqrt x}+C\).

5. Integrales racionales

Para \(\displaystyle\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx\):

  1. Si \(\operatorname{gr}P\ge\operatorname{gr}Q\), divide: \(\dfrac PQ=C+\dfrac RQ\).
  2. Factoriza \(Q\).
  3. Según las raíces de \(Q\):
    • Raíces reales simples: \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\), que da logaritmos.
    • Raíz doble: \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}\).
    • Denominador sin raíces reales: se completa el cuadrado y sale un arcotangente.

Ejemplo: \(\displaystyle\int\frac{3x+5}{(x-1)(x+3)}dx\). Se escribe \(\dfrac{3x+5}{(x-1)(x+3)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+3}\), es decir \(3x+5=A(x+3)+B(x-1)\). Con \(x=1\): \(8=4A\), \(A=2\); con \(x=-3\): \(-4=-4B\), \(B=1\). Resultado: \(2\ln|x-1|+\ln|x+3|+C\).

Para un denominador sin raíces: \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+4x+5}=\int\frac{dx}{(x+2)^2+1}=\arctan(x+2)+C\).

6. Integral definida y regla de Barrow

\(\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\) es el área con signo entre la gráfica de \(f\) y el eje \(X\) en \([a,b]\).

Regla de Barrow: si \(F\) es una primitiva de \(f\) (continua), \[\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)\]

Gráfica de x al cubo menos 3x con la zona positiva a la izquierda y la zona negativa a la derecha sombreadas

La parte de la gráfica sobre el eje \(X\) suma y la que queda debajo resta: para calcular un área hay que partir en los cortes con el eje.

Propiedades: \(\displaystyle\int_a^bf=-\int_b^af\); \(\displaystyle\int_a^bf=\int_a^cf+\int_c^bf\); \(\displaystyle\int_a^af=0\).

Teorema fundamental del cálculo: si \(f\) es continua y \(F(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt\), entonces \(F'(x)=f(x)\). Con un límite superior \(g(x)\): \(F'(x)=f(g(x))\,g'(x)\).

7. Cálculo de áreas

  • Área entre \(f\) y el eje \(X\) en \([a,b]\): \(\displaystyle\int_a^b|f(x)|dx\). Hay que hallar los cortes con el eje y separar los trozos donde \(f\) cambia de signo.
  • Área entre dos curvas (\(f\ge g\) en \([a,b]\)): \(\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)dx\). Los límites de integración son los puntos de corte, resolviendo \(f(x)=g(x)\). Si las curvas se cruzan, se separa por intervalos.

Región sombreada entre la parábola 4 menos x al cuadrado y la recta x más 2, entre x igual a menos 2 y x igual a 1

Área entre \(f(x)=4-x^2\) y \(g(x)=x+2\): se cortan en \(x=-2\) y \(x=1\), y \(A=\int_{-2}^{1}\big((4-x^2)-(x+2)\big)dx=\frac92\).
Advertencia

Si \(f\) cambia de signo, \(\int_a^bf\) no es el área (las partes negativas restan). Calcula cada trozo por separado y suma los valores absolutos.

TipResumen rápido
  • Inmediatas: usa la forma \(u'\) (logaritmo si \(\frac{u'}{u}\), arctan si \(\frac{u'}{1+u^2}\)).
  • Partes: \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\), con orden ALPES.
  • Racionales: dividir, factorizar y descomponer en fracciones simples.
  • Barrow: \(\int_a^bf=F(b)-F(a)\).
  • Área: separar donde cambie el signo; entre curvas, \(\int(f-g)\).