PAU Andalucía — Límites y continuidad

Ejercicios de Matemáticas II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es límites y continuidad: 25 ejercicios de convocatorias ordinarias, extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la solución paso a paso con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

2026

Ordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 4.1 · Ordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen

Determina para qué valores de \(a\) el límite

\[\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{-ax}-(1-ax)\cos(2x)}{x^{2}}\]

vale 6.

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Límite con desarrollos de Taylor (también vale L’Hôpital dos veces). 1. El numerador y el denominador tienden a \(0\) (indeterminación \(\tfrac00\)). 2. Desarrollando con \(x\to0\): \(e^{-ax}=1-ax+\dfrac{a^2x^2}{2}+\dots\) y \((1-ax)\cos2x=(1-ax)(1-2x^2+\dots)=1-ax-2x^2+O(x^3)\). 3. El numerador es la diferencia: \(\left(\dfrac{a^2}{2}+2\right)x^2+O(x^3)\). 4. Se divide entre \(x^2\): el límite vale \(\dfrac{a^2}{2}+2\). 5. Se iguala a \(6\): \(\dfrac{a^2}{2}+2=6\Rightarrow a^2=8\).

\(a=2\sqrt2\) o \(a=-2\sqrt2\).

Extraordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 3.1 · Extraordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen

Calcula el siguiente límite

\[\lim_{x\to 0}\dfrac{x^{2}-\operatorname{sen}(x^{2})}{1-\cos(x)}\]

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

Límite \(\tfrac00\). 1. Al sustituir \(x=0\) salen \(0\) en numerador y denominador: indeterminación \(\tfrac00\). 2. Con \(x\to0\) se usan los desarrollos \(\operatorname{sen}u=u-\dfrac{u^3}{6}+\dots\) y \(\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dots\). 3. Con \(u=x^2\): \(x^2-\operatorname{sen}(x^2)\sim\dfrac{x^6}{6}\). Además, \(1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}\). 4. El cociente se comporta como \(\dfrac{x^6/6}{x^2/2}=\dfrac{x^4}{3}\), que tiende a \(0\).

El límite vale \(0\).

2025

Ordinaria 2025

Ejercicio 2 · Ordinaria 2025 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sabiendo que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(x)-ax+2-2\cos(x)}{e^{x}-x\cos(x)-1}\) es finito, calcula \(a\) y el valor del límite.

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

Planteamiento. Al hacer \(x=0\) el numerador y el denominador valen \(0\) (indeterminación \(\dfrac00\)). Se desarrollan ambos en potencias de \(x\). 1. Numerador: \(\operatorname{sen}x-ax+2-2\cos x=(1-a)x+x^2+\cdots\) (porque \(\operatorname{sen}x=x-\dfrac{x^3}{6}+\cdots\) y \(2-2\cos x=x^2-\dfrac{x^4}{12}+\cdots\)). 2. Denominador: \(e^{x}-x\cos x-1=\dfrac{x^2}{2}+\cdots\), pues \(e^x-1=x+\dfrac{x^2}2+\cdots\) y \(x\cos x=x-\dfrac{x^3}{2}+\cdots\). 3. El denominador es de orden \(2\). Para que el límite sea finito, el numerador no puede ser de orden \(1\): hace falta \(1-a=0\), es decir, \(a=1\). 4. Con \(a=1\) el numerador es \(x^2+\cdots\) y \[\lim_{x\to0}\frac{x^2+\cdots}{x^2/2+\cdots}=2.\]

\(a=1\) y el límite vale \(2\).

Comprobación con L’Hôpital: con \(a=1\), la derivada segunda del numerador es \(-\operatorname{sen}x+2\cos x\to2\) y la del denominador es \(e^{x}+2\operatorname{sen}x+x\cos x\to1\), luego el límite es \(\dfrac{2}{1}=2\).

Extraordinaria 2025

Ejercicio 6 · Extraordinaria 2025 · Bloque optativo 3 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Calcula \(a\) y \(b\) sabiendo que

\[\lim_{x\to 0}\dfrac{x\operatorname{sen}(x)+a(e^{x}-1)+\operatorname{sen}(x)}{bx^{2}+x-\operatorname{sen}(x)}=1.\]

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

Planteamiento. Al hacer \(x=0\), numerador y denominador valen \(0\) (\(\dfrac00\)). Se desarrollan en potencias de \(x\). 1. Desarrollos en \(x=0\): \(\operatorname{sen}x=x-\dfrac{x^3}{6}+\cdots\) y \(e^x-1=x+\dfrac{x^2}{2}+\cdots\). 2. Numerador: \(x\operatorname{sen}x+a(e^x-1)+\operatorname{sen}x=(1+a)\,x+\left(1+\dfrac a2\right)x^2+\cdots\). 3. Denominador: \(bx^2+x-\operatorname{sen}x=b\,x^2+\dfrac{x^3}{6}+\cdots\). 4. Para que el límite sea finito, el numerador debe ser de orden al menos igual que el denominador (de orden \(\le2\)): hace falta \(1+a=0\), es decir, \(a=-1\). 5. Con \(a=-1\), el numerador es \(\dfrac{x^2}{2}+\cdots\) y el límite es \(\dfrac{1/2}{b}=1\), luego \(b=\dfrac12\). (Si fuera \(b=0\), el denominador sería \(\sim x^3/6\) y el límite sería infinito.)

\(a=-1\), \(b=\dfrac12\).

2024

Ordinaria 2024

Ejercicio 2 · Ordinaria 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera la función continua \(f\) definida por

\[f(x)=\begin{cases}\dfrac{x\cos(x)-a\operatorname{sen}(x)}{x^{3}} & \text{si } x<0\\[2mm]b\cos(x)-1 & \text{si } x\ge 0\end{cases}\]

Calcula \(a\) y \(b\).

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Planteamiento. \(f\) es continua en todo \(\mathbb R\) por el enunciado. Cada trozo es continuo en su intervalo, así que la condición está en \(x=0\): \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)\).

  1. Valor en el punto: para \(x\ge0\), \(f(0)=b\cos0-1=b-1\).
  2. Límite por la izquierda: \(\dfrac{x\cos x-a\operatorname{sen}x}{x^3}\) da \(\dfrac00\) en \(x=0\). Se desarrolla el numerador: \(x\cos x-a\operatorname{sen}x\approx(1-a)x+\left(\dfrac a6-\dfrac12\right)x^3\).
  3. Si \(a\neq1\), el numerador se comporta como \((1-a)x\) y el cociente como \(\dfrac{1-a}{x^2}\to\pm\infty\), que no puede ser \(f(0)\). Hace falta \(a=1\).
  4. Con \(a=1\) el límite es el coeficiente de \(x^3\): \[\lim_{x\to0^-}\frac{x\cos x-\operatorname{sen}x}{x^3}=\frac16-\frac12=-\frac13.\]
  5. Continuidad: \(b-1=-\dfrac13\Rightarrow b=\dfrac23\).

\[\mathbf{a=1,\quad b=\tfrac23}\]

Ordinaria · Suplente 2024

Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sea \(f\) la función definida por \(f(x)=\dfrac{ax^{3}+bx^{2}+x-1}{x^{2}-1}\), para \(x\neq\pm1\). Sabiendo que su gráfica tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto \((0,1)\) y es paralela a la recta \(y=2x\), calcula la asíntota oblicua y los valores de \(a\) y \(b\).

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Asíntota oblicua y parámetros. 1. Se divide el numerador entre el denominador: \(f(x)=ax+b+\dfrac{(a+1)x+b-1}{x^2-1}\). El resto tiende a \(0\) cuando \(x\to\pm\infty\) (grado \(1\) entre grado \(2\)), así que la asíntota oblicua es \(y=ax+b\). 2. Paralela a \(y=2x\): misma pendiente, \(a=2\). 3. Pasa por \((0,1)\): \(1=a\cdot0+b\Rightarrow b=1\). 4. La asíntota es \(y=2x+1\).

\[\mathbf{a=2,\quad b=1,\quad\text{asíntota oblicua } y=2x+1}\]

Extraordinaria · Reserva 2024

Ejercicio 2 · Extraordinaria · Reserva 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera la función definida por \(f(x)=\dfrac{ax^{3}+x-1}{x^{2}+bx-3}\), para \(x^{2}+bx-3\neq 0\).

  1. Calcula \(a\) y \(b\) para que \(y=x-2\) sea una asíntota oblicua de la gráfica de \(f\). (1,5 puntos)

  2. Estudia y halla las asíntotas verticales de la gráfica de \(f\) cuando \(a=0\) y \(b=2\). (1 punto)

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

a) Parámetros para la asíntota oblicua \(y=x-2\). 1. Se divide el numerador entre el denominador: \(\dfrac{ax^3+x-1}{x^2+bx-3}=ax-ab+\dfrac{(ab^2+3a+1)x-3ab-1}{x^2+bx-3}\). 2. El resto tiende a \(0\) en el infinito, así que la asíntota oblicua es \(y=ax-ab\). 3. Se identifica con \(y=x-2\): \(a=1\) y \(-ab=-2\), es decir, \(ab=2\). 4. Con \(a=1\), \(b=2\).

\[\mathbf{a=1,\ b=2}\]

b) Asíntotas verticales con \(a=0\) y \(b=2\). 1. La función es \(f(x)=\dfrac{x-1}{x^2+2x-3}=\dfrac{x-1}{(x-1)(x+3)}\). El denominador se anula en \(x=1\) y \(x=-3\). 2. En \(x=1\) el factor \(x-1\) se simplifica: \(\lim_{x\to1}f(x)=\dfrac14\), finito (discontinuidad evitable), así que no hay asíntota. 3. En \(x=-3\) no se simplifica: \(\lim_{x\to-3^+}f=+\infty\) y \(\lim_{x\to-3^-}f=-\infty\).

Única asíntota vertical: \(x=-3\).

Extraordinaria · Suplente 2024

Ejercicio 2 · Extraordinaria · Suplente 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Calcula \(a\) y \(b\) sabiendo que

\[\lim_{x\to 0}\dfrac{a\left(\ln(1+x)-x\right)+b\left(e^{x}-1\right)+1-\cos(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}=5\]

donde \(\ln\) denota el logaritmo neperiano.

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

Parámetros con un límite dado. 1. Al sustituir \(x=0\) el numerador y el denominador valen \(0\): indeterminación \(\dfrac00\). Se usan los desarrollos en \(x=0\): \(\ln(1+x)-x\approx-\dfrac{x^2}2\), \(e^x-1\approx x+\dfrac{x^2}2\), \(1-\cos x\approx\dfrac{x^2}2\) y \(\operatorname{sen}^2x\approx x^2\). 2. El numerador es \[bx+\frac{-a+b+1}{2}\,x^2+\cdots\] 3. Si \(b\neq0\), el cociente se comporta como \(\dfrac bx\) y el límite no sería finito. Hace falta que el término en \(x\) se anule: \(b=0\). 4. Con \(b=0\), el cociente tiende al coeficiente de \(x^2\) entre el del denominador (\(1\)): \(\dfrac{-a+1}{2}=5\Rightarrow a=-9\).

\[\mathbf{a=-9,\quad b=0}\]

2023

Ordinaria 2023

Ejercicio 4 · Ordinaria 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera la función \(F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\operatorname{sen}\left(t^{2}\right)dt\). Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x\,F(x)}{\operatorname{sen}(x^{2})}\).

Relacionado también con: Integrales.

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

Primitivas inmediatas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\); \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\); \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Límites e indeterminaciones (L’Hôpital).

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

Primitivas inmediatas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Límite con una integral. 1. Es una indeterminación \(\dfrac00\): \(F(0)=0\) y \(\operatorname{sen}(0)=0\). 2. Por el teorema fundamental del cálculo, \(F'(x)=\operatorname{sen}(x^{2})\). 3. Se aplica L’Hôpital: la derivada del numerador es \(F(x)+x\,F'(x)=F(x)+x\operatorname{sen}(x^{2})\) y la del denominador, \(2x\cos(x^{2})\). 4. Para \(x\) pequeño, \(F(x)\sim\dfrac{x^{3}}3\) y \(\operatorname{sen}(x^{2})\sim x^{2}\), así que: \[\lim\dfrac{F(x)+x\operatorname{sen}(x^{2})}{2x\cos(x^{2})}=\lim\dfrac{x^{3}/3+x^{3}}{2x}=\lim\dfrac{2x^{2}}{3}=0.\]

Límite \(=0\).

Ordinaria · Reserva 2023

Ejercicio 2 · Ordinaria · Reserva 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sabiendo que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(x)-\ln(1+x)}{ax^{2}-x+e^{x}-\cos(2x)}=-\dfrac{1}{7}\), calcula \(a\) (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

Cálculo de \(a\). 1. Al sustituir \(x=0\) el numerador y el denominador valen \(0\): indeterminación \(\dfrac00\). Se estudian los desarrollos en \(x=0\) (equivale a aplicar L’Hôpital dos veces). 2. Numerador: \(\operatorname{sen}x-\ln(1+x)=\dfrac{x^{2}}2+\dots\) 3. Denominador: \(ax^{2}-x+e^{x}-\cos2x=\left(a+\dfrac52\right)x^{2}+\dots\) (los términos en \(x\) se cancelan: \(-x+x=0\)). 4. El límite es el cociente de los coeficientes de \(x^{2}\): \(\dfrac{1/2}{a+5/2}=-\dfrac17\). 5. Se despeja: \(a+\dfrac52=-\dfrac72\Rightarrow\) \(a=-6\).

Extraordinaria · Reserva 2023

Ejercicio 2 · Extraordinaria · Reserva 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera la función \(f(x)=\dfrac{x^{2}+a}{x-b}\), para \(x\neq b\).

  1. Calcula \(a\) y \(b\) para que la gráfica de \(f\) pase por el punto \((1,-2)\) y tenga a la recta \(y=x+4\) como asíntota oblicua. (1,5 puntos)

  2. En el caso \(a=5\) y \(b=4\), calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de \(f\) que pasa por el punto de abscisa \(x=0\). (1 punto)

Relacionado también con: Derivadas.

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

a) Cálculo de \(a\) y \(b\). 1. Se hace la división: \(f(x)=x+b+\dfrac{a+b^{2}}{x-b}\), así que la asíntota oblicua es \(y=x+b\). Como debe ser \(y=x+4\), \(b=4\). 2. Pasa por \((1,-2)\): \(f(1)=\dfrac{1+a}{1-4}=-2\Rightarrow 1+a=6\).

\(a=5\), \(b=4\).

b) Recta normal en \(x=0\). 1. Función y derivada: \(f(x)=\dfrac{x^{2}+5}{x-4}\) y \(f'(x)=\dfrac{x^{2}-8x-5}{(x-4)^{2}}\). 2. En \(x=0\): \(f(0)=-\dfrac54\) y \(f'(0)=-\dfrac5{16}\). 3. La pendiente de la normal es la opuesta del inverso de la de la tangente: \(\dfrac{16}{5}\). 4. Ecuación por el punto \(\left(0,-\dfrac54\right)\).

\(y=-\dfrac54+\dfrac{16}{5}x\).

Extraordinaria · Suplente 2023

Ejercicio 1 · Extraordinaria · Suplente 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · PDF del examen

Sea \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\) la función definida por \(f(x)=\dfrac{\ln(x+1)+a}{3x+4}\) (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

  1. Determina \(a\) sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función \(f\) en el punto de abscisa \(x=0\) es 1. (1 punto)

  2. Para \(a=0\), estudia y calcula las asíntotas de \(f\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Derivadas.

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

a) Valor de \(a\). 1. Derivada del cociente: \(f'(x)=\dfrac{\frac{3x+4}{x+1}-3\left(\ln(x+1)+a\right)}{(3x+4)^{2}}\). 2. En \(x=0\): \(f'(0)=\dfrac{4-3a}{16}\). 3. Se impone pendiente \(1\): \(\dfrac{4-3a}{16}=1\Rightarrow4-3a=16\).

\(a=-4\).

b) Asíntotas para \(a=0\). 1. Función: \(f(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{3x+4}\), con dominio \((-1,+\infty)\) (el denominador \(3x+4\) solo se anula en \(x=-\tfrac43\), fuera del dominio). 2. Vertical: \(\displaystyle\lim_{x\to-1^+}f(x)=\dfrac{-\infty}{1}=-\infty\), luego \(x=-1\) es asíntota vertical. 3. Horizontal: \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+1)}{3x+4}=0\) (el logaritmo crece más despacio que cualquier recta), luego \(y=0\) es asíntota horizontal en \(+\infty\). 4. Oblicua: no hay, porque existe la horizontal.

2022

Ordinaria 2022

Ejercicio 1 · Ordinaria 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función continua \(f\) definida por

\[f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x} & \text{si } x<-1\\[2mm]ax+b & \text{si } -1\le x<1\\[2mm]\dfrac{x^{2}}{x+1} & \text{si } x\ge 1\end{cases}\]

  1. Calcula \(a\) y \(b\). (1 punto)

  2. Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \(f\). (1,5 puntos)

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

a) Valores de \(a\) y \(b\). 1. \(f\) es continua en todo \(\mathbb{R}\) (dato del enunciado), así que los trozos deben empalmar en \(x=-1\) y en \(x=1\). 2. En \(x=-1\): por la izquierda \(f(-1)=\dfrac1{-1}=-1\) y por la derecha \(-a+b\). Igualando, \(-a+b=-1\). 3. En \(x=1\): por la izquierda \(a+b\) y por la derecha \(\dfrac{1^2}{1+1}=\dfrac12\). Igualando, \(a+b=\dfrac12\). 4. Se suman las dos ecuaciones: \(2b=-\dfrac12\), luego \(b=-\dfrac14\). De \(a+b=\dfrac12\) sale \(a=\dfrac34\).

\(a=\tfrac34\), \(b=-\tfrac14\).

b) Asíntotas. Con esos valores, \(f\) es una función continua definida a trozos. 1. Verticales. Solo podrían estar donde se anula un denominador. En \(x=0\) no hay problema: la rama \(\dfrac1x\) solo vale para \(x<-1\). En \(x=-1\) no hay problema: no pertenece a la rama \(\dfrac{x^2}{x+1}\), que solo vale para \(x\ge1\). No hay asíntotas verticales. 2. Cuando \(x\to-\infty\) se usa la rama \(\dfrac1x\): \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac1x=0\), luego asíntota horizontal \(y=0\) (por la izquierda). 3. Cuando \(x\to+\infty\) se usa la rama \(\dfrac{x^2}{x+1}\), cuyo límite es \(+\infty\), así que no hay horizontal. Se busca oblicua \(y=mx+n\): \[m=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x(x+1)}=1,\qquad n=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x}{x+1}=-1.\]

Asíntota oblicua \(y=x-1\) (por la derecha).

Extraordinaria 2022

Ejercicio 1 · Extraordinaria 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Calcula \(a\) sabiendo que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{ax}{(\ln x)^{3}+2x}=1\) (donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.
  1. El límite es de tipo \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (numerador y denominador tienden a \(+\infty\)). Se divide numerador y denominador entre \(x\): \[\lim_{x\to+\infty}\frac{ax}{(\ln x)^3+2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{a}{\dfrac{(\ln x)^3}{x}+2}.\]
  2. Como \(x\) crece más deprisa que cualquier potencia de \(\ln x\), se cumple \(\dfrac{(\ln x)^3}{x}\to0\) (también se comprueba aplicando L’Hôpital tres veces).
  3. Entonces el límite vale \(\dfrac a2\). Se iguala al valor dado: \(\dfrac a2=1\).

\(a=2\).

Extraordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 1 · Extraordinaria · Reserva 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Calcula \(a\) y \(b\) sabiendo que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{a\operatorname{sen}(x)+x\ln(x+1)+bx^{2}}{x^{3}+x^{2}}=2\) (donde \(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.

Condición para que el límite sea finito. 1. El denominador es \(x^3+x^2=x^2(x+1)\), de orden \(x^2\) cerca de \(0\). Para que el límite sea finito (y no \(\pm\infty\)), el numerador debe ser \(O(x^2)\) (indeterminación \(\tfrac00\) resuelta con desarrollos de Taylor o con L’Hôpital). 2. Se desarrolla el numerador cerca de \(0\): \(\operatorname{sen}x=x-\tfrac{x^3}{6}+\dots\) y \(x\ln(x+1)=x\left(x-\tfrac{x^2}{2}+\dots\right)=x^2-\tfrac{x^3}{2}+\dots\). 3. Entonces el numerador es \[a x+(b+1)x^2+O(x^3).\] 4. El término en \(x\) debe anularse: \(a=0\).

Cálculo del límite. 5. Con \(a=0\): \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(b+1)x^2+O(x^3)}{x^2(x+1)}=b+1\). 6. Se iguala al valor dado: \(b+1=2\).

\(a=0\), \(b=1\).

Extraordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 1 · Extraordinaria · Suplente 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Sea \(f\) la función continua definida por

\[f(x)=\begin{cases}\dfrac{e^{\lambda x}-e^{x}-x}{x^{2}} & \text{si } x\neq 0\\[2mm]\mu & \text{si } x=0\end{cases}\]

  1. Calcula \(\lambda\) y \(\mu\). (1,25 puntos)

  2. Para \(\lambda=2\), calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=1\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Derivadas.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

a) Valores de \(\lambda\) y \(\mu\). 1. \(f\) es continua en \(x=0\) si existe \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)\) y vale \(f(0)=\mu\). En \(x=0\) el cociente es de tipo \(\tfrac00\) (el denominador \(x^2\) es de orden \(2\)). 2. Se desarrolla \(e^{\lambda x}=1+\lambda x+\tfrac{\lambda^2x^2}{2}+\dots\) y \(e^x=1+x+\tfrac{x^2}{2}+\dots\). El numerador es \[e^{\lambda x}-e^x-x=(\lambda-2)x+\tfrac{\lambda^2-1}{2}x^2+\dots\] 3. Para que el límite sea finito, el numerador debe ser \(O(x^2)\): el término en \(x\) se anula, \(\lambda-2=0\Rightarrow\lambda=2\). 4. Con \(\lambda=2\) el límite es el coeficiente de \(x^2\): \(\mu=\dfrac{\lambda^2-1}{2}=\dfrac{4-1}{2}\).

\(\lambda=2\), \(\mu=\tfrac32\).

b) Recta tangente en \(x=1\) (con \(\lambda=2\)). 1. Cerca de \(x=1\), \(f(x)=\dfrac{e^{2x}-e^x-x}{x^2}\). Punto: \(f(1)=e^2-e-1\). 2. Derivada (cociente): \(f'(x)=\dfrac{(2e^{2x}-e^x-1)x^2-2x(e^{2x}-e^x-x)}{x^4}\). 3. Se evalúa en \(x=1\): \[f'(1)=(2e^2-e-1)-2(e^2-e-1)=e+1.\] 4. Recta tangente: \(y-f(1)=f'(1)(x-1)\).

Tangente: \(y=(e^2-e-1)+(e+1)(x-1)\), es decir, \(y=(e+1)x+e^2-2e-2\).

Ejercicio 2 · Extraordinaria · Suplente 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f\) definida por \(f(x)=\dfrac{x^{4}-3x^{2}+2}{(x+2)^{3}}\), para \(x\neq -2\).

  1. Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \(f\). (1,5 puntos)

  2. Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=0\). (1 punto)

Relacionado también con: Derivadas.

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

a) Asíntotas. 1. Vertical. El denominador se anula en \(x=-2\) y el numerador allí vale \((-2)^4-3\cdot4+2=6\neq0\). Los límites laterales son infinitos: \(\lim_{x\to-2^{\pm}}f=\pm\infty\) (el signo de \((x+2)^3\)). Asíntota vertical \(x=-2\). 2. Horizontal. El grado del numerador (4) supera al del denominador (3), luego \(f\to\pm\infty\): no hay horizontales. 3. Oblicua. Como el grado del numerador supera en 1 al del denominador, puede haberla: \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}=1\) y \[n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-x\big)=\lim\frac{x^4-3x^2+2-x(x+2)^3}{(x+2)^3}=\lim\frac{-6x^3+\dots}{x^3}=-6.\]

Asíntota oblicua \(y=x-6\) (en \(+\infty\) y en \(-\infty\)). No hay horizontales.

b) Recta normal en \(x=0\). 1. Punto: \(f(0)=\tfrac{2}{8}=\tfrac14\). 2. Derivada: \(f'(x)=\dfrac{(4x^3-6x)(x+2)-3(x^4-3x^2+2)}{(x+2)^4}\), y \(f'(0)=\dfrac{-6}{16}=-\tfrac38\) (pendiente de la tangente). 3. La normal es perpendicular: pendiente \(-\dfrac{1}{f'(0)}=\tfrac83\).

Normal: \(y=\tfrac14+\tfrac83x\).

2021

Ordinaria 2021

Ejercicio 1 · Ordinaria 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se sabe que la gráfica de la función \(f\) definida por \(f(x)=\dfrac{ax^2+bx+2}{x-1}\) (para \(x\neq 1\)) tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto \((1,1)\) y tiene pendiente \(2\). Calcula \(a\) y \(b\).

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.
  1. Asíntota oblicua. Es una recta \(y=mx+n\) con \(m=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\) y \(n=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr)\).
  2. Pendiente. El grado del numerador supera en uno al del denominador, así que existe. \(m=\displaystyle\lim\frac{f(x)}{x}=a\).
  3. Ordenada. Dividiendo, \(ax^2+bx+2=(x-1)(ax+a+b)+(a+b+2)\), luego \(f(x)=ax+(a+b)+\dfrac{a+b+2}{x-1}\) y \(n=\displaystyle\lim\bigl(f(x)-ax\bigr)=a+b\).
  4. Condición de la pendiente. Pendiente \(2\Rightarrow a=2\).
  5. Condición del punto. La asíntota \(y=2x+(2+b)\) pasa por \((1,1)\): \(1=2\cdot1+(2+b)\Rightarrow b=-3\).

\(a=2,\ b=-3\) (asíntota \(y=2x-1\)).

Ejercicio 2 · Ordinaria 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función continua \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\begin{cases}(3x-6)e^{x} & \text{si } x\le 0\\[2mm] \dfrac{36\,(\operatorname{sen}(x)-ax)}{x^{3}} & \text{si } x>0\end{cases}\]

  1. Calcula \(a\). (1,5 puntos)

  2. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=-1\). (1 punto)

Relacionado también con: Derivadas.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

a) Valor de \(a\). 1. \(f\) es continua, así que en \(x=0\) coinciden el valor y los dos límites laterales. Por la izquierda: \(f(0)=(0-6)e^0=-6\). 2. Por la derecha, \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{36(\operatorname{sen}x-ax)}{x^3}\) tiene que valer \(-6\). El denominador es \(x^3\) y se anula en \(0\), así que el numerador debe anularse «al ritmo de \(x^3\)». 3. Como \(\operatorname{sen}x-ax=(1-a)x-\frac{x^3}{6}+\cdots\), solo se consigue si el término en \(x\) desaparece, es decir \(a=1\) (si \(a\neq1\) el límite sería infinito). 4. Comprobación con \(a=1\): \(\operatorname{sen}x-x=-\frac{x^3}{6}+\cdots\), y \(36\cdot\left(-\frac16\right)=-6\) ✓.

\(a=1\)

b) Recta tangente en \(x=-1\). 1. Para \(x<0\): \(f(x)=(3x-6)e^x\). Derivada del producto: \(f'(x)=3e^x+(3x-6)e^x=(3x-3)e^x\). 2. Punto: \(f(-1)=(-3-6)e^{-1}=-9e^{-1}\). 3. Pendiente: \(f'(-1)=-6e^{-1}\). 4. Ecuación punto-pendiente \(y-f(-1)=f'(-1)(x+1)\).

\(y=-\dfrac{9}{e}-\dfrac{6}{e}(x+1)\), es decir, \(y=-\dfrac{6x+15}{e}\).

Ordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Sea la función continua \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por

\[f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(e^{x}+x^{3})}{x} & \text{si } x<0\\[2mm]4x^{2}+a & \text{si } 0\le x<1\\[2mm]b+\operatorname{sen}(\pi x) & \text{si } 1\le x\end{cases}\]

(\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano). Determina \(a\) y \(b\).

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).
  1. Puntos de cambio. \(f\) es continua; solo hay que vigilar \(x=0\) y \(x=1\).
  2. Continuidad en \(x=0\). Por la izquierda, \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac{\ln(e^x+x^3)}{x}\) es del tipo \(\frac00\). Como \(\ln(e^x+x^3)=x+O(x^3)\), este límite vale \(1\) (o por L’Hôpital: \(\dfrac{e^x+3x^2}{e^x+x^3}\to1\)).
  3. Por la derecha, \(f(0)=a\). Igualando, \(a=1\).
  4. Continuidad en \(x=1\). Por la izquierda, \(4\cdot1^2+a=5\); por la derecha, \(b+\operatorname{sen}\pi=b\). Igualando, \(b=5\).

\(a=1,\ b=5\)

Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Sea \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) la función definida por \(f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\).

  1. Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \(f\). (1,25 puntos)

  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Aplicaciones de la derivada.

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

a) Asíntotas. 1. Verticales: el denominador \(e^{2x}+1\) nunca se anula, luego no hay. 2. Horizontales: \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=1\) (el término \(e^{2x}\) domina) y \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f=\frac{-1}{1}=-1\) (porque \(e^{2x}\to0\)). 3. Oblicuas: no hay, porque existe horizontal en los dos lados.

Asíntotas horizontales: \(y=1\) (en \(+\infty\)) e \(y=-1\) (en \(-\infty\)); no hay verticales ni oblicuas.

b) Crecimiento y decrecimiento. 1. Derivada del cociente: \(f'(x)=\dfrac{2e^{2x}(e^{2x}+1)-2e^{2x}(e^{2x}-1)}{(e^{2x}+1)^2}=\dfrac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}\). 2. Numerador y denominador son positivos para todo \(x\), luego \(f'>0\).

\(f\) es estrictamente creciente en todo \(\mathbb{R}\).

Extraordinaria 2021

Ejercicio 1 · Extraordinaria 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Calcula \(a\) y \(b\) sabiendo que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{a\,(1-\cos(x))+b\,\operatorname{sen}(x)-2\,(e^{x}-1)}{x^{2}}=7\).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.
  1. Desarrollos alrededor de \(0\): \(1-\cos x=\frac{x^2}{2}+\cdots\), \(\operatorname{sen}x=x-\cdots\), \(e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\cdots\).
  2. Numerador. \(a\,(1-\cos x)+b\operatorname{sen}x-2(e^x-1)=(b-2)x+\left(\frac a2-1\right)x^2+\cdots\).
  3. Límite finito. El denominador es \(x^2\) y el límite es del tipo \(\frac00\). Para que sea finito, el término en \(x\) debe desaparecer: \(b=2\).
  4. Valor del límite. Con \(b=2\), el límite es el coeficiente de \(x^2\): \(\frac a2-1=7\Rightarrow a=16\).

\(a=16,\ b=2\)

Extraordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 2 · Extraordinaria · Reserva 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considera la función \(f\) definida por \(f(x)=\dfrac{x^{2}-10}{x^{2}+2x-3}\) (para \(x\neq -3\), \(x\neq 1\)).

  1. Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \(f\). (1,25 puntos)

  2. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Aplicaciones de la derivada.

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

Previo. El denominador se factoriza: \(f(x)=\dfrac{x^2-10}{(x+3)(x-1)}\).

a) Asíntotas. 1. Verticales: el denominador se anula en \(x=-3\) y \(x=1\), y el numerador no (\(9-10=-1\) y \(1-10=-9\)). Luego \(\displaystyle\lim_{x\to-3}f=\pm\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to1}f=\pm\infty\). 2. Horizontal: numerador y denominador tienen el mismo grado y los coeficientes principales son \(1\), luego \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1\). 3. Como hay horizontal en los dos lados, no hay oblicuas.

Asíntotas verticales \(x=-3\) y \(x=1\); asíntota horizontal \(y=1\) (en ambos lados).

b) Crecimiento y decrecimiento. 1. Derivada: \(f'(x)=\dfrac{2(x+2)(x+5)}{(x-1)^2(x+3)^2}\). El denominador es positivo, así que el signo es el de \((x+2)(x+5)\). 2. Se anula en \(x=-5\) y \(x=-2\) (los puntos \(x=-3\) y \(x=1\) no están en el dominio). 3. Signo: \(f'>0\) si \(x<-5\), \(f'<0\) en \((-5,-2)\) y \(f'>0\) si \(x>-2\).

Crece en \((-\infty,-5)\), en \((-2,1)\) y en \((1,+\infty)\); decrece en \((-5,-3)\) y en \((-3,-2)\). Máximo relativo en \(x=-5\) y mínimo relativo en \(x=-2\).

Extraordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 1 · Extraordinaria · Suplente 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Sabiendo que \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{x+1}{\ln(x+1)}-\dfrac{a}{x}\right)\) es finito, calcula \(a\) y el valor del límite (\(\ln\) denota la función logaritmo neperiano).

Indeterminaciones: \(\dfrac00,\ \dfrac\infty\infty,\ \infty-\infty,\ 0\cdot\infty,\ 1^\infty\). Regla de L’Hôpital: si \(\dfrac{f}{g}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac\infty\infty\) y existe \(\lim\dfrac{f'}{g'}\), entonces \(\lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'}\). \(1^\infty\): \(\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}\). Otras se transforman a cocientes.

  1. Sustituye para ver qué indeterminación aparece.
  2. Si es \(\infty-\infty\) o \(0\cdot\infty\), pásala a cociente (denominador común, racionaliza o escribe \(0\cdot\infty=\dfrac{0}{1/\infty}\)).
  3. Aplica L’Hôpital derivando numerador y denominador por separado; repite si hace falta.
  4. Si el límite depende de un parámetro, impón la condición que quita la indeterminación y despeja.
  1. Desarrollo. Con \(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots\): \(\dfrac{x+1}{\ln(x+1)}=\dfrac{x+1}{x\left(1-\frac x2+\cdots\right)}=\dfrac1x+\dfrac32+O(x)\).
  2. Diferencia. \(\dfrac{x+1}{\ln(x+1)}-\dfrac ax=\dfrac{1-a}{x}+\dfrac32+O(x)\).
  3. Límite finito. El término \(\dfrac{1-a}{x}\) se hace infinito salvo que \(1-a=0\): \(a=1\). (Equivalente: con L’Hôpital, el límite \(\frac{0}{0}\) exige \(a=1\).)
  4. Valor. Con \(a=1\) solo queda el término constante, \(\dfrac32\).

\(a=1\) y el límite vale \(\dfrac32\).

Ejercicio 2 · Extraordinaria · Suplente 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Sea \(f\) la función definida por \(f(x)=\dfrac{ax^{2}+b}{a-x}\) (para \(x\neq a\)).

  1. Halla \(a\) y \(b\) sabiendo que la gráfica de \(f\) pasa por el punto \((2,3)\) y tiene una asíntota oblicua cuya pendiente vale \(-4\). (1,25 puntos)

  2. Para \(a=2\) y \(b=3\), calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=1\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Derivadas.

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

a) Valores de \(a\) y \(b\). 1. Pasa por \((2,3)\): \(f(2)=\dfrac{4a+b}{a-2}=3\Rightarrow4a+b=3a-6\Rightarrow b=-a-6\). 2. Pendiente de la asíntota oblicua: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\frac{ax^2+b}{x(a-x)}=-a\). Debe valer \(-4\), luego \(a=4\). 3. Entonces \(b=-a-6=-10\).

\(a=4,\ b=-10\)

b) Tangente y normal en \(x=1\) (con \(a=2\), \(b=3\)). 1. La función es \(f(x)=\dfrac{2x^2+3}{2-x}\). Derivada del cociente: \(f'(x)=\dfrac{-2x^2+8x+3}{(2-x)^2}\). 2. En \(x=1\): \(f(1)=5\) y \(f'(1)=9\). 3. Tangente: \(y-5=9(x-1)\), es decir \(y=9x-4\). 4. Normal: pendiente \(-\frac19\), \(y-5=-\frac19(x-1)\), es decir \(y=-\dfrac{x}{9}+\dfrac{46}{9}\).

También trabajan este tema

Ejercicios cuyo tema principal es otro pero en los que aparece este tema:

Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.