Límites y continuidad
1. Límite de una función
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L\) significa que \(f(x)\) se acerca a \(L\) cuando \(x\) se acerca a \(a\) (sin tener que valer \(a\)). Los límites laterales son \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}\) y \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}\), y el límite existe si ambos coinciden.
Un límite puede ser un número, \(+\infty\) o \(-\infty\). Con funciones definidas a trozos o con valor absoluto hay que calcular siempre los límites laterales.
2. Límites básicos
| Caso | Resultado |
|---|---|
| \(\dfrac{k}{0^\pm}\) con \(k\neq0\) | \(\pm\infty\) (estudia el signo) |
| \(\dfrac{k}{\infty}\) | \(0\) |
| \(a^x\) con \(a>1\), \(x\to\infty\) | \(\infty\) |
| \(a^x\) con \(0<a<1\), \(x\to\infty\) | \(0\) |
| \(\ln x\), \(x\to\infty\) | \(\infty\) |
| \(\ln x\), \(x\to0^+\) | \(-\infty\) |
Orden de infinitos (con \(n>0\) y \(a>1\)): \(\ln x\ll x^n\ll a^x\ll x^x\) (una exponencial gana a una potencia, y esta a un logaritmo).
Límites notables: \[\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\qquad\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\qquad\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\qquad\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e\]
3. Indeterminaciones
Las formas \(\dfrac{\infty}{\infty}\), \(\dfrac00\), \(\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\), \(1^\infty\) no dan el resultado directamente. Hay que transformarlas.
\(\dfrac{\infty}{\infty}\) con polinomios: se comparan grados. Si \(\operatorname{gr}P=\operatorname{gr}Q\), el límite es el cociente de los coeficientes principales; si \(\operatorname{gr}P>\operatorname{gr}Q\), es \(\pm\infty\); si \(\operatorname{gr}P<\operatorname{gr}Q\), es \(0\).
\[\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-x}{x^2+5}=3\]
\(\dfrac00\) con polinomios: se factoriza y se simplifica. \[\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4\]
\(\dfrac00\) o \(\infty-\infty\) con raíces: se multiplica y divide por el conjugado. \[\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\lim\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac12\]
\(1^\infty\): se usa \[\lim f(x)^{g(x)}=e^{\lim g(x)\,(f(x)-1)}\] Ejemplo: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^x=e^{\lim x\cdot\frac{3}{x-1}}=e^3\).
\(0\cdot\infty\): se escribe como cociente, \(f\cdot g=\dfrac{f}{1/g}\), y se aplica L’Hôpital.
4. Regla de L’Hôpital
Si \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\) da \(\dfrac00\) o \(\dfrac{\infty}{\infty}\) y existe \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\), entonces \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]
Se puede aplicar varias veces. Se deriva el numerador y el denominador por separado (no es la derivada del cociente). Las derivadas se estudian en el tema siguiente.
Ejemplo: \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim\frac{e^x-1}{2x}=\lim\frac{e^x}{2}=\frac12\).
5. Continuidad
\(f\) es continua en \(a\) si se cumplen las tres condiciones:
- Existe \(f(a)\).
- Existe \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\).
- \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Las funciones elementales (polinomios, exponenciales, logaritmos en su dominio, trigonométricas, raíces) son continuas en su dominio. Las funciones a trozos se estudian en los puntos de unión.
Tipos de discontinuidad:
| Tipo | Descripción |
|---|---|
| Evitable | existe el límite, pero no coincide con \(f(a)\) o \(f(a)\) no existe |
| Salto finito | los límites laterales existen y son distintos |
| Salto infinito (asintótica) | algún límite lateral es \(\pm\infty\) |
Para calcular parámetros que hacen continua una función a trozos se igualan los límites laterales y el valor de la función en el punto de unión.
6. Asíntotas
- Vertical \(x=a\): si \(\displaystyle\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty\) (aparecen en los ceros del denominador).
- Horizontal \(y=L\): si \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L\).
- Oblicua \(y=mx+n\): si no hay horizontal y \[m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\neq0,\qquad n=\lim_{x\to\infty}\big(f(x)-mx\big)\] Con cociente de polinomios, la oblicua aparece cuando el grado del numerador supera en uno al del denominador y se obtiene dividiendo.
7. Teoremas de funciones continuas
Sea \(f\) continua en \([a,b]\).
- Bolzano: si \(f(a)\) y \(f(b)\) tienen signos distintos (\(f(a)\cdot f(b)<0\)), existe \(c\in(a,b)\) con \(f(c)=0\).
- Valores intermedios (Darboux): \(f\) toma todos los valores entre \(f(a)\) y \(f(b)\).
- Weierstrass: \(f\) alcanza en \([a,b]\) un máximo y un mínimo absolutos.
Para demostrar con Bolzano que una ecuación tiene solución: define \(f(x)=\) (lado izquierdo) \(-\) (lado derecho), comprueba que es continua y busca dos puntos con signos distintos.
- \(\frac{\infty}{\infty}\): grados o coeficientes principales; \(\frac00\): factorizar, conjugado o L’Hôpital.
- \(1^\infty\): \(e^{\lim g\,(f-1)}\).
- Continua en \(a\): \(f(a)\) existe, el límite existe y son iguales.
- Bolzano: signos distintos en los extremos implica raíz en el intervalo.
- Oblicua: \(m=\lim f(x)/x\), \(n=\lim(f(x)-mx)\).