Límites y continuidad — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 7 son básicos y del 8 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía (2021 en adelante). Las soluciones están al final.

Cálculo de límites

1. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-x}{x^2+5}\).

2. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\).

3. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x^2-4}\).

4. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\).

5. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{\sqrt{x+5}-2}{x+1}\).

6. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^x\).

7. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac2x\right)^{3x}\).

8. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\).

9. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}\).

10. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x\).

11. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right)\).

12. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to0}(\cos x)^{1/x^2}\).

13. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{\sin x}\).

14. (Tipo PAU) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{\sqrt x-1}\).

Asíntotas

15. (Tipo PAU) Halla las asíntotas de \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\).

16. (Tipo PAU) Halla las asíntotas de \(f(x)=\dfrac{2x^2}{x^2-4}\) y estudia la posición de la curva respecto a la horizontal.

Parámetros y continuidad

17. (Tipo PAU) Halla \(a\) para que \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{ax^2+3x-1}{2x^2+x}=3\).

18. (Tipo PAU) Halla \(a\) para que sea continua en \(x=0\) la función \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{e^{ax}-1}{x}&x\neq0\\[2mm]3&x=0\end{cases}\).

19. (Tipo PAU) Halla \(a\) para que sea continua en \(\mathbb{R}\) la función \(f(x)=\begin{cases}x^2+a&x\le1\\3x-1&x>1\end{cases}\).

20. (Tipo PAU) Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea continua en \(x=0\): \(f(x)=\begin{cases}2x+a&x<0\\b&x=0\\x^2+1&x>0\end{cases}\).

21. Clasifica la discontinuidad en cada caso:

  1. \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) en \(x=1\).

  2. \(g(x)=\dfrac{1}{x-2}\) en \(x=2\).

  3. \(h(x)=\dfrac{|x|}{x}\) en \(x=0\).

Teoremas

22. (Tipo PAU) Demuestra que la ecuación \(x^3+x-1=0\) tiene al menos una solución en \((0,1)\).

23. (Tipo PAU) Demuestra que las gráficas de \(y=e^x\) e \(y=3-x\) se cortan en algún punto con \(x\in(0,1)\).

24. (Tipo PAU) Sea \(f\) continua en \([0,2]\) con \(f(0)=-1\) y \(f(2)=3\). ¿Se puede asegurar que \(f\) toma el valor 1? ¿Y el valor 5? Razónalo.

25. El coste medio por unidad de un producto es \(A(x)=\dfrac{5x+100}{x}\) euros cuando se fabrican \(x\) unidades. Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}A(x)\) y \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}A(x)\) e interpreta ambos resultados.

Soluciones

Mismo grado: el límite es el cociente de los coeficientes principales, \(\dfrac31=3\).

Indeterminación \(\frac00\). \(\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2\to4\).

\(\dfrac{x^3-8}{x^2-4}=\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x^2+2x+4}{x+2}\to\dfrac{12}{4}=3\).

\(\infty-\infty\). Multiplicando por el conjugado: \[\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}\to\frac12\]

\(\frac00\). Conjugado: \(\dfrac{(x+5)-4}{(x+1)(\sqrt{x+5}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+5}+2}\to\dfrac14\).

Es \(1^\infty\): \(\displaystyle e^{\lim x\left(\frac{x+2}{x-1}-1\right)}=e^{\lim\frac{3x}{x-1}}=e^3\).

\(1^\infty\): \(\displaystyle e^{\lim3x\cdot\frac2x}=e^6\).

\(\frac00\). L’Hôpital: \(\dfrac{e^x-1}{2x}\) y de nuevo \(\frac00\); otra vez: \(\dfrac{e^x}{2}\to\dfrac12\).

\(\frac00\). L’Hôpital: \(\dfrac{\cos x-1}{3x^2}\ (\tfrac00)\to\dfrac{-\sin x}{6x}\to-\dfrac16\).

\(0\cdot(-\infty)\). Se escribe \(\dfrac{\ln x}{1/x}\) (\(\frac{-\infty}{\infty}\)). L’Hôpital: \(\dfrac{1/x}{-1/x^2}=-x\to0\).

\(\infty-\infty\). Se reduce a común denominador: \(\dfrac{x-1-\ln x}{(x-1)\ln x}\ (\tfrac00)\).

L’Hôpital: \(\dfrac{1-1/x}{\ln x+\frac{x-1}{x}}\ (\tfrac00)\) y otra vez: \(\dfrac{1/x^2}{\frac1x+\frac1{x^2}}\to\dfrac{1}{2}\).

\(1^\infty\): \(\displaystyle e^{\lim\frac{\cos x-1}{x^2}}\). Como \(\displaystyle\lim\frac{\cos x-1}{x^2}=\lim\frac{-\sin x}{2x}=-\frac12\), el límite es \(e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt e}\).

\(\frac00\). L’Hôpital: \(\dfrac{2e^{2x}}{\cos x}\to2\).

\(\dfrac{x^2-1}{\sqrt x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)(\sqrt x+1)}{x-1}=(x+1)(\sqrt x+1)\to2\cdot2=4\).

  • Vertical: \(x=1\), porque \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f=+\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}f=-\infty\).
  • Horizontal: no hay (\(\lim_{x\to\pm\infty}f=\pm\infty\)).
  • Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\displaystyle\lim\frac{x^2+1}{x(x-1)}=1\) y \(n=\displaystyle\lim\left(\frac{x^2+1}{x-1}-x\right)=\lim\frac{x+1}{x-1}=1\).

Oblicua: \(y=x+1\).

  • Verticales: \(x=2\) y \(x=-2\). En \(x=2\): \(\lim_{x\to2^+}f=+\infty\), \(\lim_{x\to2^-}f=-\infty\). En \(x=-2\): \(\lim_{x\to-2^+}f=-\infty\), \(\lim_{x\to-2^-}f=+\infty\).
  • Horizontal: \(y=2\) en \(\pm\infty\).
  • Posición: \(f(x)-2=\dfrac{8}{x^2-4}>0\) si \(|x|>2\), luego la curva está por encima de \(y=2\) en \(\pm\infty\). No hay oblicuas.

El límite vale \(\dfrac a2\). Igualando: \(\dfrac a2=3\), luego \(a=6\).

\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{ax}-1}{x}=a\) (por L’Hôpital, \(\frac{ae^{ax}}{1}\to a\)). Para continuidad debe valer \(f(0)=3\), luego \(a=3\).

En \(x=1\): \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}f=1+a\), \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f=2\) y \(f(1)=1+a\). Continuidad: \(1+a=2\), luego \(a=1\).

Fuera de \(x=1\) las dos ramas son polinomios y son continuas.

\(\displaystyle\lim_{x\to0^-}f=a\), \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=1\) y \(f(0)=b\). Continua si \(a=1=b\).

\(a=1\) y \(b=1\).

  1. \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2\) pero \(f(1)\) no existe: discontinuidad evitable.

  2. \(\displaystyle\lim_{x\to2^\pm}\frac{1}{x-2}=\pm\infty\): discontinuidad de salto infinito (asíntota vertical).

  3. \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}=-1\) y \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}=1\): salto finito de amplitud 2.

\(f(x)=x^3+x-1\) es un polinomio, continuo en \([0,1]\). \(f(0)=-1<0\) y \(f(1)=1>0\). Por el teorema de Bolzano existe \(c\in(0,1)\) con \(f(c)=0\).

Se cortan si \(e^x=3-x\). Sea \(f(x)=e^x+x-3\), continua en \([0,1]\). \(f(0)=1-3=-2<0\) y \(f(1)=e-2\approx0{,}72>0\). Por Bolzano existe \(c\in(0,1)\) con \(f(c)=0\), es decir, \(e^c=3-c\).

Como \(f\) es continua en \([0,2]\) y \(1\in(-1,3)\), el teorema de los valores intermedios asegura que existe \(c\in(0,2)\) con \(f(c)=1\).

El valor 5 no está entre \(f(0)\) y \(f(2)\), así que no se puede asegurar: depende de la función (por ejemplo, una recta no lo alcanza, pero otra función continua sí podría).

\(A(x)=5+\dfrac{100}{x}\).

\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}A(x)=5\): al producir muchas unidades, el coste medio tiende a 5 € por unidad (el coste fijo de 100 € se reparte entre muchas).

\(\displaystyle\lim_{x\to0^+}A(x)=+\infty\): si se fabrican muy pocas unidades, el coste medio por unidad se dispara.