Derivadas
1. Definición y significado
La derivada de \(f\) en \(a\) es \[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
- Significado geométrico: \(f'(a)\) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto \((a,f(a))\).
- Significado físico: si \(s(t)\) es la posición, \(s'(t)\) es la velocidad y \(s''(t)\) la aceleración.
- Si \(f\) es derivable en \(a\), entonces es continua en \(a\). El recíproco es falso: \(f(x)=|x|\) es continua en 0 y no derivable.
2. Derivadas de funciones elementales
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(k\) | \(0\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
| \(\sqrt x\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt x}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\ln a\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac1x\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tan x\) | \(\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x\) |
| \(\arcsin x\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) |
| \(\arccos x\) | \(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) |
| \(\arctan x\) | \(\dfrac{1}{1+x^2}\) |
3. Reglas de derivación
- Suma: \((f+g)'=f'+g'\). Producto por un número: \((kf)'=kf'\).
- Producto: \((fg)'=f'g+fg'\).
- Cociente: \(\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\).
- Regla de la cadena: \((f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\).
Con la cadena, cada fila de la tabla se generaliza: \((e^{u})'=u'e^u\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\), \((\sin u)'=u'\cos u\), \((u^n)'=nu^{n-1}u'\), \((\arctan u)'=\dfrac{u'}{1+u^2}\).
Ejemplos:
- \(f(x)=e^{3x}\sin x\): \(f'=3e^{3x}\sin x+e^{3x}\cos x=e^{3x}(3\sin x+\cos x)\).
- \(f(x)=\ln(x^2+1)\): \(f'=\dfrac{2x}{x^2+1}\).
- \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-2}\): \(f'=\dfrac{2x(x-2)-(x^2+1)}{(x-2)^2}=\dfrac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}\).
Derivación logarítmica: para \(y=f(x)^{g(x)}\) se toman logaritmos, \(\ln y=g\ln f\), y se deriva: \(\dfrac{y'}{y}=g'\ln f+g\dfrac{f'}{f}\).
Ejemplo: \(y=x^x\Rightarrow\ln y=x\ln x\Rightarrow\dfrac{y'}{y}=\ln x+1\Rightarrow y'=x^x(\ln x+1)\).
Derivada de la función inversa: \((f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}\) si \(f(a)=b\).
Derivadas sucesivas: \(f''=(f')'\), \(f'''=(f'')'\). Por ejemplo, para \(f=xe^x\) es \(f^{(n)}=(x+n)e^x\).
4. Recta tangente y recta normal
En el punto \((a,f(a))\):
- Tangente: \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\).
- Normal (perpendicular a la tangente, si \(f'(a)\neq0\)): \(y-f(a)=-\dfrac{1}{f'(a)}\,(x-a)\).
Tangente paralela a una recta de pendiente \(m\): se resuelve \(f'(x)=m\).
Tangente horizontal: \(f'(x)=0\).
Tangente desde un punto exterior \(Q\): la tangente en \(x=a\) es \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\); se impone que pase por \(Q\) y se despeja \(a\).
5. Derivabilidad de funciones a trozos
Para \(f(x)=\begin{cases}g(x)&x\le a\\h(x)&x>a\end{cases}\) en el punto de unión:
- Continuidad: \(g(a)=h(a)\).
- Derivabilidad: además \(g'(a)=h'(a)\) (las derivadas laterales coinciden).
Las derivadas laterales se calculan derivando cada rama y sustituyendo en \(a\). Este atajo vale si \(f\) es continua en \(a\) y cada rama es derivable a su lado; si no, se usa la definición con límites laterales. Para el valor absoluto, se escribe como función a trozos.
Ejemplo: \(f(x)=|x-1|\) tiene derivada lateral \(-1\) por la izquierda y \(+1\) por la derecha en \(x=1\): no es derivable ahí.
Si la función no es continua en \(a\), tampoco es derivable en \(a\). Empieza siempre por la continuidad.
- \(f'(a)\) es la pendiente de la tangente: \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\).
- Producto: \(f'g+fg'\). Cociente: \(\frac{f'g-fg'}{g^2}\). Cadena: \(f'(g)\cdot g'\).
- \(y=f^g\): derivación logarítmica.
- A trozos: continuidad más igualdad de derivadas laterales.
- Derivable implica continua; no al revés.