Derivadas — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 9 son básicos y del 10 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía (2021 en adelante). Las soluciones están al final.

Cálculo de derivadas

1. Deriva: a) \(f(x)=x^3-2x^2+5x-1\); b) \(g(x)=(2x+1)^5\); c) \(h(x)=\ln(x^2+1)\).

2. Deriva: a) \(k(x)=e^{3x}\sin x\); b) \(q(x)=\dfrac{x^2+1}{x-2}\); c) \(p(x)=xe^x\).

3. Deriva: a) \(r(x)=\sqrt{x^2+1}\); b) \(s(x)=\arctan(2x)\); c) \(u(x)=\ln\dfrac{x+1}{x-1}\).

4. Deriva con derivación logarítmica: a) \(y=x^x\); b) \(y=(\sin x)^x\).

Recta tangente y normal

5. Halla la recta tangente a \(f(x)=x^3-3x\) en \(x=2\).

6. Halla la tangente y la normal a \(f(x)=\ln x\) en el punto de abscisa \(x=e\).

7. Halla los puntos de \(f(x)=x^3-3x\) con tangente horizontal.

8. Halla la tangente a \(f(x)=x^2-x\) paralela a la recta \(y=2x+1\).

Derivabilidad

9. Estudia la derivabilidad de \(f(x)=|x-1|\) en \(x=1\).

10. (Tipo PAU) Halla \(a\) y \(b\) para que sea derivable en \(x=1\): \(f(x)=\begin{cases}x^2+ax+b&x\le1\\\ln x&x>1\end{cases}\).

11. (Tipo PAU) Halla \(a\) y \(b\) para que sea derivable en \(x=0\): \(f(x)=\begin{cases}e^x&x\le0\\ax+b&x>0\end{cases}\).

12. (Tipo PAU) Sea \(f(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac1x&x\neq0\\0&x=0\end{cases}\). Demuestra que es derivable en \(0\) con \(f'(0)=0\) y que \(f'\) no es continua en \(0\).

Reglas avanzadas

13. (Tipo PAU) Sean \(f\) y \(g\) derivables con \(f(1)=2\), \(f'(1)=3\), \(g(1)=4\), \(g'(1)=2\) y \(g'(2)=-1\). Calcula \((g\circ f)'(1)\) y \((fg)'(1)\).

14. (Tipo PAU) Sea \(f(x)=x^3+x\). Comprueba que \(f(1)=2\) y calcula \((f^{-1})'(2)\).

15. (Tipo PAU) Demuestra por inducción que la derivada \(n\)-ésima de \(f(x)=xe^x\) es \(f^{(n)}(x)=(x+n)e^x\).

16. Deriva: a) \(\cos(x^2)\); b) \(\tan(3x)\); c) \(\dfrac{e^x}{x}\).

17. Deriva: a) \(\ln(\sin x)\); b) \(\sqrt{1-x^2}\); c) \(\ln(x^2+1)-\arctan x\).

Tangentes (estilo PAU)

18. (Tipo PAU) Halla la recta tangente a \(y=e^x\) que pasa por el origen.

19. (Tipo PAU) Halla las tangentes a la parábola \(y=x^2\) que pasan por el punto \((1,-3)\).

20. (Tipo PAU) Halla los puntos de \(f(x)=x^3-3x\) en los que la tangente tiene pendiente 9.

21. (Tipo PAU) Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) pase por el origen, tenga tangente horizontal en \(x=1\) y cumpla \(f(1)=2\).

22. (Tipo PAU) Halla la tangente a \(f(x)=\dfrac1x\) en \(x=2\) y calcula el área del triángulo que forma con los ejes de coordenadas.

Problemas

23. La posición de un móvil es \(s(t)=t^3-6t^2+9t\) (metros, segundos). Calcula su velocidad y su aceleración, y cuándo se detiene.

24. Una población de bacterias (en miles) sigue \(P(t)=\dfrac{100t}{t+5}\), con \(t\) en horas. Calcula la velocidad de crecimiento \(P'(5)\) e interpreta el resultado.

25. El beneficio (en miles de euros) de una empresa al vender \(x\) unidades es \(B(x)=-x^2+8x-7\). Calcula \(B'(3)\) e interpreta el resultado. ¿Para qué \(x\) es \(B'(x)=0\)?

Soluciones

  1. \(f'(x)=3x^2-4x+5\).

  2. \(g'(x)=5(2x+1)^4\cdot2=10(2x+1)^4\).

  3. \(h'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\).

  1. \(k'(x)=3e^{3x}\sin x+e^{3x}\cos x=e^{3x}(3\sin x+\cos x)\).

  2. \(q'(x)=\dfrac{2x(x-2)-(x^2+1)}{(x-2)^2}=\dfrac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}\).

  3. \(p'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x\).

  1. \(r'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).

  2. \(s'(x)=\dfrac{2}{1+4x^2}\).

  3. \(u=\ln(x+1)-\ln(x-1)\), luego \(u'=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{-2}{x^2-1}\).

  1. \(\ln y=x\ln x\Rightarrow\dfrac{y'}{y}=\ln x+1\Rightarrow y'=x^x(\ln x+1)\).

  2. \(\ln y=x\ln(\sin x)\Rightarrow\dfrac{y'}{y}=\ln(\sin x)+x\dfrac{\cos x}{\sin x}\Rightarrow y'=(\sin x)^x\left(\ln(\sin x)+x\cot x\right)\).

\(f(2)=8-6=2\) y \(f'(x)=3x^2-3\), luego \(f'(2)=9\). Tangente: \(y-2=9(x-2)\), es decir \(y=9x-16\).

\(f(e)=1\) y \(f'(e)=\dfrac1e\).

Tangente: \(y-1=\dfrac1e(x-e)\), es decir \(y=\dfrac xe\).

Normal: pendiente \(-e\), \(y-1=-e(x-e)\), es decir \(y=-ex+e^2+1\).

\(f'(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1\). Los puntos son \((1,-2)\) y \((-1,2)\).

\(f'(x)=2x-1=2\Rightarrow x=\dfrac32\). \(f\left(\tfrac32\right)=\tfrac94-\tfrac32=\tfrac34\).

Tangente: \(y-\tfrac34=2\left(x-\tfrac32\right)\), es decir \(y=2x-\dfrac94\).

\(f(x)=\begin{cases}1-x&x<1\\x-1&x\ge1\end{cases}\). La función es continua en 1. Derivadas laterales: \(f'(1^-)=-1\) y \(f'(1^+)=1\). No coinciden, luego no es derivable en \(x=1\) (punto anguloso).

Continuidad en \(x=1\): \(1+a+b=\ln1=0\).

Derivabilidad: \(2+a=\dfrac11=1\Rightarrow a=-1\). Entonces \(b=-a-1=0\).

\(a=-1\) y \(b=0\).

Continuidad en \(x=0\): \(e^0=1=b\). Derivabilidad: \(e^0=1=a\).

\(a=1\) y \(b=1\).

Por definición, \(f'(0)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{h^2\sin(1/h)-0}{h}=\lim_{h\to0}h\sin\frac1h=0\) (producto de infinitésimo por función acotada).

Para \(x\neq0\): \(f'(x)=2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x\). El límite de \(f'(x)\) cuando \(x\to0\) no existe porque \(\cos\dfrac1x\) oscila entre \(-1\) y \(1\). Por tanto \(f'\) no es continua en 0.

Regla de la cadena: \((g\circ f)'(1)=g'(f(1))\cdot f'(1)=g'(2)\cdot3=-3\).

Producto: \((fg)'(1)=f'(1)g(1)+f(1)g'(1)=3\cdot4+2\cdot2=16\).

\(f(1)=1+1=2\). \(f'(x)=3x^2+1\), \(f'(1)=4\). Entonces \((f^{-1})'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac14\).

Para \(n=1\): \(f'=e^x+xe^x=(x+1)e^x\) ✓.

Si \(f^{(n)}=(x+n)e^x\), entonces \(f^{(n+1)}=e^x+(x+n)e^x=(x+n+1)e^x\) ✓. Por inducción vale para todo \(n\ge1\).

  1. \(-2x\sin(x^2)\).

  2. \(\dfrac{3}{\cos^2(3x)}\).

  3. \(\dfrac{e^xx-e^x}{x^2}=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}\).

  1. \(\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x\).

  2. \(\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\).

  3. \(\dfrac{2x}{x^2+1}-\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{2x-1}{x^2+1}\).

La tangente en \(x=a\) es \(y-e^a=e^a(x-a)\). Pasa por \((0,0)\): \(-e^a=-ae^a\Rightarrow a=1\).

Tangente: \(y-e=e(x-1)\), es decir \(y=ex\).

Tangente en \(x=a\): \(y-a^2=2a(x-a)\), es decir \(y=2ax-a^2\). Pasa por \((1,-3)\): \(-3=2a-a^2\Rightarrow a^2-2a-3=0\Rightarrow a=3\) o \(a=-1\).

  • \(a=3\): \(y=6x-9\).
  • \(a=-1\): \(y=-2x-1\).

\(f'(x)=3x^2-3=9\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2\). Puntos: \((2,2)\) y \((-2,-2)\).

Pasa por el origen: \(c=0\). \(f'(x)=3x^2+2ax+b\) y \(f'(1)=0\): \(3+2a+b=0\). \(f(1)=2\): \(1+a+b=2\).

Restando: \((3+2a+b)-(1+a+b)=-2\Rightarrow2+a=-2\Rightarrow a=-4\) y \(b=5\).

\(a=-4\), \(b=5\), \(c=0\), es decir \(f(x)=x^3-4x^2+5x\).

\(f(2)=\tfrac12\) y \(f'(x)=-\dfrac1{x^2}\), \(f'(2)=-\tfrac14\).

Tangente: \(y-\tfrac12=-\tfrac14(x-2)\), es decir \(y=-\dfrac x4+1\).

Cortes: con el eje \(X\) (\(y=0\)): \(x=4\). Con el eje \(Y\) (\(x=0\)): \(y=1\). Área \(=\dfrac{4\cdot1}{2}=2\) u\(^2\).

\(v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9\) y \(a(t)=v'(t)=6t-12\).

Se detiene cuando \(v=0\): \(3(t-1)(t-3)=0\), es decir \(t=1\) s y \(t=3\) s. En \(t=1\): \(a=-6\) m/s²; en \(t=3\): \(a=6\) m/s².

\(P'(t)=\dfrac{100(t+5)-100t}{(t+5)^2}=\dfrac{500}{(t+5)^2}\). Luego \(P'(5)=\dfrac{500}{100}=5\).

A las 5 horas la población crece a razón de 5 mil bacterias por hora.

\(B'(x)=-2x+8\), luego \(B'(3)=2\): con 3 unidades vendidas, vender una unidad más aumenta el beneficio en unos 2 mil euros.

\(B'(x)=0\Rightarrow x=4\).