Aplicaciones de la derivada — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 8 son básicos y del 9 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía (2021 en adelante). Las soluciones están al final.

Estudio de funciones

1. Estudia la monotonía y los extremos relativos de \(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\) y su punto de inflexión.

2. Estudia la monotonía, los extremos y la curvatura de \(f(x)=xe^{-x}\).

3. Estudia la monotonía, los extremos y la curvatura de \(f(x)=x^4-4x^3\). ¿Es \(x=0\) un extremo?

4. Estudia el dominio, las asíntotas, la monotonía, los extremos y la curvatura de \(f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}\).

5. Estudia los extremos y la curvatura de \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\).

6. Estudia las asíntotas, los extremos y los puntos de inflexión de \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\).

7. Halla los puntos de inflexión y los intervalos de curvatura de \(f(x)=\ln(x^2+1)\).

8. Haz el estudio completo de \(f(x)=x^3-3x\) (dominio, simetría, cortes, extremos, inflexión) y dibuja su gráfica.

Extremos absolutos y parámetros

9. (Tipo PAU) Halla los extremos absolutos de \(f(x)=x^3-3x\) en el intervalo \([-2,3]\).

10. (Tipo PAU) Halla \(a\), \(b\) y \(c\) para que \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) tenga un punto de inflexión en \((1,2)\) con tangente horizontal.

11. (Tipo PAU) Discute según \(k\) la monotonía y los extremos de \(f(x)=x^3+kx\).

Teoremas

12. (Tipo PAU) Aplica el teorema de Rolle a \(f(x)=x^3-3x\) en \([0,\sqrt3]\) y halla el punto que asegura el teorema.

13. (Tipo PAU) Halla el punto que asegura el teorema del valor medio para: a) \(f(x)=x^2\) en \([1,3]\); b) \(f(x)=\ln x\) en \([1,e]\).

14. (Tipo PAU) Demuestra que la ecuación \(x^3+3x-1=0\) tiene exactamente una solución real.

15. (Tipo PAU) Demuestra con el teorema del valor medio que \(|\sin a-\sin b|\le|a-b|\) para cualesquiera \(a,b\).

Optimización

16. De todos los rectángulos de perímetro 40 m, halla el de área máxima.

17. (Tipo PAU) Con una lámina cuadrada de 12 cm de lado se hace una caja sin tapa recortando un cuadrado de lado \(x\) en cada esquina. Halla \(x\) para que el volumen sea máximo y calcula ese volumen.

18. (Tipo PAU) Se quiere vallar un terreno rectangular junto a un río (el lado del río no se valla) con 100 m de valla. Halla las dimensiones de área máxima.

19. (Tipo PAU) Un bote cilíndrico debe tener un volumen de \(16\pi\) cm\(^3\). Halla el radio y la altura que hacen mínima la superficie total (con tapas).

20. Dos números positivos suman 20. Halla los que hacen máximo el producto del primero por el cuadrado del segundo.

21. (Tipo PAU) Halla el rectángulo de área máxima con un lado sobre el eje \(X\) y dos vértices en la parábola \(y=12-x^2\).

22. (Tipo PAU) Halla los puntos de la parábola \(y=x^2\) más cercanos al punto \((0,3)\) y la distancia mínima.

23. El coste total de fabricar \(x\) unidades es \(C(x)=x^2+100\). Halla la producción que hace mínimo el coste medio por unidad y cuánto vale.

24. (Tipo PAU) Un alambre de 12 m se corta en dos trozos: con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. ¿Cómo hay que cortarlo para que la suma de las áreas sea mínima?

25. Un fabricante vende \(x\) unidades al precio \(p=100-\dfrac x2\) euros y el coste de producción es \(C(x)=20x+200\). Halla la producción que maximiza el beneficio y su valor.

Soluciones

\(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\). Signo: \(+\) en \((-\infty,1)\), \(-\) en \((1,3)\), \(+\) en \((3,\infty)\).

  • Creciente en \((-\infty,1)\cup(3,\infty)\); decreciente en \((1,3)\).
  • Máximo en \((1,5)\) y mínimo en \((3,1)\).
  • \(f''(x)=6x-12=0\Rightarrow x=2\): inflexión en \((2,3)\). Convexa para \(x>2\), cóncava para \(x<2\).

\(f'(x)=(1-x)e^{-x}\): creciente en \((-\infty,1)\) y decreciente en \((1,\infty)\). Máximo en \(\left(1,\frac1e\right)\).

\(f''(x)=(x-2)e^{-x}\): cóncava en \((-\infty,2)\), convexa en \((2,\infty)\). Inflexión en \(\left(2,\frac{2}{e^2}\right)\).

\(f'(x)=4x^2(x-3)\). Se anula en \(x=0\) y \(x=3\).

  • \(f'<0\) en \((-\infty,3)\) (salvo en \(0\)) y \(f'>0\) en \((3,\infty)\): decreciente en \((-\infty,3)\) y creciente en \((3,\infty)\).
  • Mínimo en \((3,-27)\).
  • En \(x=0\), \(f'\) no cambia de signo: no es un extremo.

\(f''(x)=12x(x-2)\): convexa en \((-\infty,0)\cup(2,\infty)\) y cóncava en \((0,2)\). Inflexiones en \((0,0)\) (con tangente horizontal) y en \((2,-16)\).

  • Dominio: \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
  • Asíntotas: vertical \(x=1\) (\(\lim_{x\to1^\pm}f=\pm\infty\)); oblicua \(y=x+1\) (dividiendo: \(\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}\)); no hay horizontal.
  • \(f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}\): creciente en \((-\infty,0)\cup(2,\infty)\) y decreciente en \((0,1)\cup(1,2)\). Máximo relativo en \((0,0)\) y mínimo relativo en \((2,4)\).
  • \(f''(x)=\dfrac{2}{(x-1)^3}\): cóncava si \(x<1\) y convexa si \(x>1\). No hay inflexión (en \(x=1\) no está definida).

Dominio: \(x>0\). \(f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\): creciente en \((0,e)\) y decreciente en \((e,\infty)\). Máximo en \(\left(e,\frac1e\right)\).

\(f''(x)=\dfrac{2\ln x-3}{x^3}\): cóncava en \((0,e^{3/2})\) y convexa en \((e^{3/2},\infty)\). Inflexión en \(x=e^{3/2}\), con \(f=\frac{3}{2e^{3/2}}\).

  • Asíntota horizontal \(y=0\) (en \(\pm\infty\)). No hay verticales ni oblicuas.
  • \(f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\): decreciente en \((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\) y creciente en \((-1,1)\). Mínimo en \(\left(-1,-\frac12\right)\) y máximo en \(\left(1,\frac12\right)\).
  • \(f''(x)=\dfrac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\). Se anula en \(x=0\) y \(x=\pm\sqrt3\), con cambio de signo en los tres: tres inflexiones: \((0,0)\), \(\left(\sqrt3,\frac{\sqrt3}{4}\right)\) y \(\left(-\sqrt3,-\frac{\sqrt3}{4}\right)\).

\(f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\) y \(f''(x)=\dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\).

\(f''=0\Rightarrow x=\pm1\). Convexa en \((-1,1)\) y cóncava en \((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\). Inflexiones en \((-1,\ln2)\) y \((1,\ln2)\).

  • Dominio: \(\mathbb{R}\). Simetría: impar, \(f(-x)=-f(x)\).
  • Cortes: \(f(0)=0\); \(x^3-3x=0\Rightarrow x=0,\ \pm\sqrt3\).
  • \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\): creciente en \((-\infty,-1)\cup(1,\infty)\) y decreciente en \((-1,1)\). Máximo en \((-1,2)\), mínimo en \((1,-2)\).
  • \(f''(x)=6x\): cóncava en \((-\infty,0)\) y convexa en \((0,\infty)\). Inflexión en \((0,0)\).
  • No tiene asíntotas.

La gráfica pasa por \((-\sqrt3,0)\), sube hasta \((-1,2)\), baja por \((0,0)\) hasta \((1,-2)\) y vuelve a subir por \((\sqrt3,0)\).

Puntos críticos: \(x=\pm1\) (ambos en \([-2,3]\)). Valores:

\(x\) \(-2\) \(-1\) \(1\) \(3\)
\(f(x)\) \(-2\) \(2\) \(-2\) \(18\)

Máximo absoluto: \(18\) en \(x=3\). Mínimo absoluto: \(-2\), que se alcanza en \(x=-2\) y en \(x=1\).

\(f''(x)=6x+2a\); \(f''(1)=0\Rightarrow a=-3\). Tangente horizontal: \(f'(1)=3+2a+b=0\Rightarrow b=3\). Pasa por \((1,2)\): \(1+a+b+c=2\Rightarrow c=1\).

\(f(x)=x^3-3x^2+3x+1\). Como \(f''(x)=6(x-1)\) cambia de signo en \(x=1\), es inflexión.

\(f'(x)=3x^2+k\).

  • Si \(k\ge0\): \(f'\ge0\) y solo se anula (si \(k=0\)) en \(x=0\) sin cambiar de signo. \(f\) es creciente en todo \(\mathbb{R}\) y no tiene extremos.
  • Si \(k<0\): \(f'=0\) en \(x=\pm\sqrt{-k/3}\). Máximo en \(x=-\sqrt{-k/3}\) y mínimo en \(x=+\sqrt{-k/3}\).

\(f\) es un polinomio (continuo y derivable) y \(f(0)=0=f(\sqrt3)\). Por Rolle existe \(c\in(0,\sqrt3)\) con \(f'(c)=0\): \(3c^2-3=0\Rightarrow c=1\) (y \(1\in(0,\sqrt3)\)).

  1. \(f'(c)=2c=\dfrac{9-1}{3-1}=4\Rightarrow c=2\in(1,3)\).

  2. \(f'(c)=\dfrac1c=\dfrac{1-0}{e-1}\Rightarrow c=e-1\approx1{,}72\in(1,e)\).

En ambos casos \(f\) es continua en el intervalo cerrado y derivable en el abierto.

Existencia: \(f(x)=x^3+3x-1\) es continua; \(f(0)=-1<0\) y \(f(1)=3>0\). Por Bolzano hay una raíz en \((0,1)\).

Unicidad: \(f'(x)=3x^2+3>0\) para todo \(x\), luego \(f\) es estrictamente creciente y no puede cortar dos veces al eje \(X\). (Con Rolle: dos raíces implicarían \(f'(c)=0\) para algún \(c\), pero \(f'>0\).)

Por tanto hay exactamente una solución real.

Si \(a=b\) es trivial. Si \(a\neq b\), \(f(x)=\sin x\) es continua y derivable en \([b,a]\) (o \([a,b]\)). Existe \(c\) entre \(a\) y \(b\) con \[\frac{\sin a-\sin b}{a-b}=\cos c\] Como \(|\cos c|\le1\): \(|\sin a-\sin b|=|\cos c|\,|a-b|\le|a-b|\).

Lados \(x\) y \(20-x\). \(A(x)=x(20-x)\), \(A'(x)=20-2x=0\Rightarrow x=10\). \(A''=-2<0\): máximo.

El rectángulo es un cuadrado de \(10\times10\) m con área \(100\) m\(^2\).

La caja tiene base \((12-2x)\times(12-2x)\) y altura \(x\), con \(0<x<6\).

\(V(x)=x(12-2x)^2=4x^3-48x^2+144x\), \(V'(x)=12x^2-96x+144=12(x-2)(x-6)\). En \((0,6)\) el punto crítico es \(x=2\); \(V'>0\) antes y \(V'<0\) después, luego es máximo.

\(x=2\) cm y \(V=2\cdot8^2=128\) cm\(^3\).

Si \(x\) es cada lado perpendicular al río, el lado paralelo mide \(100-2x\). \(A(x)=x(100-2x)\), \(A'(x)=100-4x=0\Rightarrow x=25\). \(A''=-4<0\): máximo.

Dimensiones: \(25\) m \(\times\) \(50\) m (50 m paralelo al río), área \(1250\) m\(^2\).

\(V=\pi r^2h=16\pi\Rightarrow h=\dfrac{16}{r^2}\). Superficie: \(S(r)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\dfrac{32\pi}{r}\).

\(S'(r)=4\pi r-\dfrac{32\pi}{r^2}=0\Rightarrow r^3=8\Rightarrow r=2\). \(S''(2)=4\pi+\dfrac{64\pi}{8}>0\): mínimo.

\(r=2\) cm, \(h=4\) cm y \(S=24\pi\) cm\(^2\).

Sean \(x\) e \(y=20-x\) con \(0<x<20\). \(F(x)=x(20-x)^2\), \(F'(x)=(20-x)(20-3x)=0\Rightarrow x=\dfrac{20}{3}\) (la otra raíz, \(x=20\), es un extremo del dominio con \(F=0\)).

\(F'>0\) antes y \(F'<0\) después: máximo.

Números: \(\dfrac{20}{3}\) y \(\dfrac{40}{3}\). Producto máximo: \(\dfrac{20}{3}\cdot\dfrac{1600}{9}=\dfrac{32000}{27}\approx1185{,}2\).

Vértices \((\pm x,0)\) y \((\pm x,12-x^2)\) con \(0<x<\sqrt{12}\). Base \(2x\), altura \(12-x^2\). \(A(x)=2x(12-x^2)=24x-2x^3\).

\(A'(x)=24-6x^2=0\Rightarrow x=2\). \(A''(2)=-24<0\): máximo.

Dimensiones: base \(4\) y altura \(8\), con área \(32\) u\(^2\).

Distancia al cuadrado de \((x,x^2)\) a \((0,3)\): \(D(x)=x^2+(x^2-3)^2=x^4-5x^2+9\).

\(D'(x)=4x^3-10x=2x(2x^2-5)=0\Rightarrow x=0\) o \(x=\pm\sqrt{5/2}\).

\(D(0)=9\) y \(D\left(\pm\sqrt{5/2}\right)=\dfrac{11}{4}\). El mínimo está en \(x=\pm\sqrt{5/2}=\pm\dfrac{\sqrt{10}}{2}\) (\(D\) vale \(9\) en \(x=0\), que es un máximo local).

Puntos: \(\left(\pm\dfrac{\sqrt{10}}{2},\ \dfrac52\right)\) y distancia mínima \(\sqrt{\dfrac{11}{4}}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\approx1{,}66\).

Coste medio: \(M(x)=\dfrac{C(x)}{x}=x+\dfrac{100}{x}\) con \(x>0\). \(M'(x)=1-\dfrac{100}{x^2}=0\Rightarrow x=10\). \(M''(10)=\dfrac{200}{1000}>0\): mínimo.

Producción de 10 unidades, con coste medio \(M(10)=20\) euros por unidad.

Si se usan \(x\) metros para el cuadrado, su lado es \(\dfrac x4\) y la circunferencia tiene longitud \(12-x\), luego radio \(r=\dfrac{12-x}{2\pi}\).

\(A(x)=\dfrac{x^2}{16}+\pi r^2=\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{(12-x)^2}{4\pi}\).

\(A'(x)=\dfrac x8-\dfrac{12-x}{2\pi}=0\Rightarrow x=\dfrac{48}{\pi+4}\approx6{,}72\) m. \(A''(x)=\dfrac18+\dfrac{1}{2\pi}>0\): mínimo.

Hay que dedicar \(\dfrac{48}{\pi+4}\approx6{,}72\) m al cuadrado y \(\dfrac{12\pi}{\pi+4}\approx5{,}28\) m a la circunferencia.

Ingreso: \(I(x)=x\left(100-\tfrac x2\right)=100x-\tfrac{x^2}{2}\). Beneficio: \(B(x)=I-C=80x-\tfrac{x^2}{2}-200\).

\(B'(x)=80-x=0\Rightarrow x=80\). \(B''=-1<0\): máximo.

Producción de 80 unidades y beneficio máximo \(B(80)=6400-3200-200=3000\) euros.