Aplicaciones de la derivada

1. Monotonía y extremos relativos

Sea \(f\) derivable en un intervalo:

• \(f'(x)>0\) en todo el intervalo: \(f\) es creciente.
• \(f'(x)<0\) en todo el intervalo: \(f\) es decreciente.

Puntos críticos: los \(x\) con \(f'(x)=0\) (y los puntos donde \(f'\) no existe).

Método:

1. Calcula el dominio y \(f'\).
2. Resuelve \(f'(x)=0\). Los puntos críticos y los puntos fuera del dominio dividen la recta en intervalos.
3. Estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
4. Si \(f'\) pasa de \(+\) a \(-\) en \(a\): máximo relativo. Si pasa de \(-\) a \(+\): mínimo relativo. Si no cambia de signo: no hay extremo.

Criterio de la segunda derivada: si \(f'(a)=0\):

• \(f''(a)>0\Rightarrow\) mínimo relativo.
• \(f''(a)<0\Rightarrow\) máximo relativo.
• \(f''(a)=0\Rightarrow\) el criterio no decide; se estudia el signo de \(f'\).

Advertencia

\(f'(a)=0\) no basta para tener un extremo. Por ejemplo, \(f(x)=x^3\) tiene \(f'(0)=0\) y no tiene extremo.

2. Curvatura y puntos de inflexión

• \(f''(x)>0\): \(f\) es convexa (\(\cup\), cóncava hacia arriba).
• \(f''(x)<0\): \(f\) es cóncava (\(\cap\), cóncava hacia abajo).

Un punto de inflexión es un punto donde cambia la curvatura. Se buscan resolviendo \(f''(x)=0\) y comprobando que \(f''\) cambia de signo (o que \(f'''(a)\neq0\)).

\(f(x)=x^3-3x\): crece hasta el máximo \((-1,2)\), decrece hasta el mínimo \((1,-2)\) y vuelve a crecer; inflexión en \((0,0)\).

3. Extremos absolutos en un intervalo cerrado

Si \(f\) es continua en \([a,b]\), por el teorema de Weierstrass tiene máximo y mínimo absolutos. Se calculan los valores de \(f\) en:

• los extremos \(a\) y \(b\), y
• los puntos críticos del interior,

y se comparan. El mayor es el máximo absoluto y el menor el mínimo absoluto.

4. Optimización

Para resolver un problema de máximos o mínimos:

1. Dibuja y nombra las variables.
2. Escribe la función a optimizar \(F\).
3. Usa las condiciones del enunciado para dejar \(F\) con una sola variable.
4. Indica el dominio (valores con sentido).
5. Resuelve \(F'(x)=0\) y comprueba con \(F''\) o con el signo de \(F'\) que es máximo o mínimo.
6. Responde con las unidades y comprueba los extremos del dominio.

5. Teoremas de Rolle y del valor medio

Teorema de Rolle: si \(f\) es continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\) y \(f(a)=f(b)\), existe \(c\in(a,b)\) con \(f'(c)=0\).

Teorema del valor medio (Lagrange): si \(f\) es continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\), existe \(c\in(a,b)\) con \[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] (hay una tangente paralela a la cuerda que une los extremos).

Rolle: con \(f(a)=f(b)\) hay un punto \(c\) con tangente horizontal. Valor medio: hay un punto \(c\) con tangente paralela a la cuerda.

Para aplicarlos hay que comprobar siempre las hipótesis (continuidad y derivabilidad) antes de concluir.

Usos típicos:

• Probar que una ecuación tiene a lo sumo una solución: si tuviera dos, Rolle daría un punto con \(f'=0\); si \(f'\neq0\) siempre, es imposible. Para que tenga al menos una, se usa Bolzano.
• Probar desigualdades con el teorema del valor medio.

6. Estudio completo de una función

1. Dominio.
2. Simetrías: par (\(f(-x)=f(x)\)) o impar (\(f(-x)=-f(x)\)).
3. Cortes con los ejes: \(f(0)\) y \(f(x)=0\).
4. Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.
5. Monotonía y extremos con \(f'\).
6. Curvatura e inflexión con \(f''\).
7. Gráfica, marcando los puntos obtenidos.

TipResumen rápido

• \(f'>0\) crece, \(f'<0\) decrece; extremo: \(f'\) cambia de signo.
• \(f''>0\) convexa, \(f''<0\) cóncava; inflexión: \(f''\) cambia de signo.
• Extremos absolutos en \([a,b]\): comparar los valores en los extremos y en los puntos críticos.
• Optimización: función de una variable, derivar, igualar a 0, comprobar.
• Rolle: \(f(a)=f(b)\Rightarrow f'(c)=0\). Lagrange: \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).