PAU Andalucía — Sistemas de ecuaciones lineales

Ejercicios de Matemáticas II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es sistemas de ecuaciones lineales: 29 ejercicios de convocatorias ordinarias, extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la solución paso a paso con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

2026

Ordinaria 2026

Ejercicio 3.1 · Ordinaria 2026 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen

Considera el sistema

\[\begin{cases}3x-y=a^{2}\\(1-a)y+2z=0\\4y+(3-a)z=a-5\end{cases}\]

  1. Discútelo según los valores de \(a\). (1,75 puntos)

  2. Para \(a=0\) resuelve el sistema, si es posible. (0,75 puntos)

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).

Determinante de la matriz de coeficientes (de \(M\)). 1. Es triangular por bloques: \[|M|=\begin{vmatrix}3&-1&0\\0&1-a&2\\0&4&3-a\end{vmatrix}=3(a^2-4a-5)=3(a-5)(a+1).\] 2. Se anula en \(a=5\) y \(a=-1\).

a) Discusión (Rouché–Frobenius). 1. Si \(a\neq5\) y \(a\neq-1\): \(\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(A^*)=3\), igual al número de incógnitas. Sistema compatible determinado (SCD). 2. Si \(a=5\): \(\operatorname{rg}(M)=2\). Las ecuaciones 2.ª y 3.ª son \(-4y+2z=0\) y \(4y-2z=0\), proporcionales, y el término independiente de la 3.ª es \(a-5=0\). Entonces \(\operatorname{rg}(A^*)=2\): sistema compatible indeterminado (SCI), con un grado de libertad. 3. Si \(a=-1\): \(\operatorname{rg}(M)=2\), pero la 2.ª ecuación pide \(y+z=0\) y la 3.ª \(y+z=-\tfrac32\). Entonces \(\operatorname{rg}(A^*)=3\): sistema incompatible (SI).

b) Resolución para \(a=0\). 1. Con \(a=0\) el sistema es SCD: \(3x-y=0\), \(y+2z=0\) y \(4y+3z=-5\). 2. De la 2.ª ecuación, \(y=-2z\). 3. Se sustituye en la 3.ª: \(4(-2z)+3z=-5z=-5\), luego \(z=1\) y \(y=-2\). 4. De la 1.ª, \(3x=y\), luego \(x=-\dfrac23\).

\(x=-\dfrac23\), \(y=-2\), \(z=1\).

Ordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente 2 2026 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · Examen

Una empresa produce tres tipos de productos, \(A\), \(B\) y \(C\). Si el precio del producto \(A\) tuviera un 10 % de descuento y el de los productos \(B\) y \(C\) tuviera un 20 % de descuento cada uno, la suma de los precios de tres productos, uno de cada tipo, sería 66 €. El precio total sin descuento de 3 productos del tipo \(A\) y 4 productos del tipo \(B\) es 140 €.

  1. ¿Cuánto valdrán 3 productos de tipo \(A\) más 8 productos de tipo \(C\)? (1,25 puntos)

  2. Determina el precio, sin descuento, de cada tipo de producto, sabiendo además que el precio del producto de tipo \(C\) es el doble que el de tipo \(A\). (1,25 puntos)

Un sistema lineal se plantea a partir del enunciado: una incógnita por cada cantidad desconocida y una ecuación por cada condición («total», «el doble de», «tanto por ciento de»…).

  1. Define con claridad las incógnitas \(x,y,z\) y sus unidades.
  2. Traduce cada frase del enunciado a una ecuación; comprueba que no sobra ni falta ninguna.
  3. Resuelve por Gauss o por sustitución.
  4. Interpreta: las soluciones deben tener sentido en el contexto (no negativas, enteras si son personas…).

Planteamiento. 1. Sean \(a\), \(b\), \(c\) los precios de \(A\), \(B\) y \(C\). 2. Con los descuentos, los precios son \(0{,}9a\), \(0{,}8b\) y \(0{,}8c\), y suman \(66\): \(0{,}9a+0{,}8b+0{,}8c=66\), es decir, \(9a+8b+8c=660\). 3. Sin descuento, 3 de \(A\) y 4 de \(B\) cuestan \(140\): \(3a+4b=140\), es decir, \(6a+8b=280\).

a) Precio de 3 de \(A\) más 8 de \(C\). 1. Se resta la segunda ecuación (multiplicada por 2) de la primera: \((9a+8b+8c)-(6a+8b)=660-280\). 2. Se queda \(3a+8c=660-280\).

3 de \(A\) más 8 de \(C\) valen 380 €.

b) Precio de cada producto. 1. Con \(c=2a\) en la primera: \(9a+8b+16a=660\Rightarrow25a+8b=660\). 2. Se resta la segunda: \((25a+8b)-(6a+8b)=660-280\Rightarrow19a=380\Rightarrow a=20\). 3. De \(3a+4b=140\): \(b=\dfrac{140-60}{4}=20\). 4. \(c=2a=40\).

\(A=20\) €, \(B=20\) €, \(C=40\) €.

Extraordinaria 2026

Ejercicio 3.1 · Extraordinaria 2026 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen

Una familia va al mercado semanalmente y compra tres tipos de alimentos: verdura, carne y pescado. El año pasado, en el que gastó 115 € semanales, observó que pagaba el doble en el puesto del pescado que en el de la verdura. En 2026 se ha notado un incremento de precios pues ahora gasta 19 € más que el año pasado por la misma compra, comprobando que la verdura ha subido un 12 %, la carne un 15 % y el pescado un 20 %. Calcula el precio que la familia paga semanalmente en 2026, por cada tipo de alimento.

Un sistema lineal se plantea a partir del enunciado: una incógnita por cada cantidad desconocida y una ecuación por cada condición («total», «el doble de», «tanto por ciento de»…).

  1. Define con claridad las incógnitas \(x,y,z\) y sus unidades.
  2. Traduce cada frase del enunciado a una ecuación; comprueba que no sobra ni falta ninguna.
  3. Resuelve por Gauss o por sustitución.
  4. Interpreta: las soluciones deben tener sentido en el contexto (no negativas, enteras si son personas…).

Planteamiento. 1. Sean \(v\), \(c\) y \(p\) los euros semanales del año pasado en verdura, carne y pescado. 2. Año pasado: \(v+c+p=115\) y \(p=2v\). 3. En 2026 los precios suben un \(12\,\%\), \(15\,\%\) y \(20\,\%\) y el gasto es \(115+19=134\): \(1{,}12v+1{,}15c+1{,}2p=134\).

Resolución. 1. Con \(p=2v\), la primera ecuación da \(3v+c=115\), luego \(c=115-3v\). 2. En la tercera: \(1{,}12v+1{,}15(115-3v)+2{,}4v=134\Rightarrow0{,}07v=1{,}75\Rightarrow v=25\). 3. Entonces \(c=115-75=40\) y \(p=50\). 4. En 2026: verdura \(25\cdot1{,}12\), carne \(40\cdot1{,}15\), pescado \(50\cdot1{,}2\).

Verdura 28 €, carne 46 €, pescado 60 € (total 134 €).

Extraordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 4.1 · Extraordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen

Considera el sistema de ecuaciones

\[\begin{cases}x+y+z=1\\7x+3y+3z=15\\x-y-z=5\end{cases}\]

  1. Clasifícalo y resuélvelo, si es posible. (1,5 puntos)

  2. ¿Existe alguna solución del sistema que verifique \(y+z+2=0\)? Razona la respuesta. (1 punto)

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).

a) Clasificación y resolución. 1. Se suman la 1.ª y la 3.ª ecuación: \(2x=6\Rightarrow x=3\). Entonces la 1.ª queda \(y+z=-2\). 2. La 2.ª ecuación, con \(x=3\): \(21+3(y+z)=15\Rightarrow y+z=-2\). Es la misma condición. 3. Así \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3\): sistema compatible indeterminado (SCI), con un parámetro. 4. Se toma \(y=\lambda\) y entonces \(z=-2-\lambda\).

Soluciones: \((x,y,z)=(3,\lambda,-2-\lambda)\), \(\lambda\in\mathbb R\).

b) ¿Alguna solución con \(y+z+2=0\)? 1. Todas las soluciones cumplen \(y+z=-2\), es decir \(y+z+2=0\).

Sí: todas las soluciones del sistema la verifican.

Extraordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 2 · Extraordinaria · Suplente 2 2026 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · Examen

Considera las matrices \(A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&3&1\\-2&0&0\end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}\). Discute el sistema \(AX-mX=B\), según los valores del parámetro \(m\).

Relacionado también con: Matrices, Determinantes.

Discusión y resolución de sistemas.

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Propiedades de los determinantes.

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

Discusión y resolución de sistemas.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

Propiedades de los determinantes.

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

Sistema equivalente. 1. Se agrupa: \(AX-mX=B\Rightarrow(A-mI)X=B\). La matriz de coeficientes es \(A-mI\) y la ampliada \(A^*=(A-mI\,|\,B)\). 2. Determinante: \(|A-mI|=-(m-2)(m-1)^2\). 3. Se anula en \(m=2\) y \(m=1\) (doble).

Discusión (Rouché–Frobenius). 1. Si \(m\neq1\) y \(m\neq2\): \(|A-mI|\neq0\), rangos \(3=3\): sistema compatible determinado (SCD). 2. Si \(m=2\): \(\operatorname{rg}(A-2I)=2\) y \(\operatorname{rg}(A^*)=3\): sistema incompatible (SI). 3. Si \(m=1\): \(\operatorname{rg}(A-I)=2=\operatorname{rg}(A^*)<3\): sistema compatible indeterminado (SCI).

2025

Ordinaria 2025

Ejercicio 1 · Ordinaria 2025 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Juan ha gastado 80 € por la compra de un jersey, una camisa y un pantalón. Sabemos que el precio del jersey es un tercio del precio de la camisa y el pantalón juntos.

  1. ¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa? Razona la respuesta. (1,25 puntos)

  2. Si Juan hubiera esperado a las rebajas se habría gastado 57 €, pues el jersey, la camisa y el pantalón tenían un descuento del 30 %, del 40 % y del 20 %, respectivamente. Calcula el precio de cada prenda antes de las rebajas. (1,25 puntos)

Un sistema lineal se plantea a partir del enunciado: una incógnita por cada cantidad desconocida y una ecuación por cada condición («total», «el doble de», «tanto por ciento de»…).

  1. Define con claridad las incógnitas \(x,y,z\) y sus unidades.
  2. Traduce cada frase del enunciado a una ecuación; comprueba que no sobra ni falta ninguna.
  3. Resuelve por Gauss o por sustitución.
  4. Interpreta: las soluciones deben tener sentido en el contexto (no negativas, enteras si son personas…).
  1. Incógnitas. \(j\), \(c\) y \(p\) son los precios del jersey, la camisa y el pantalón.

a) ¿Se pueden determinar de forma única? 1. Gasto total: \(j+c+p=80\). 2. El jersey cuesta un tercio de lo que cuestan la camisa y el pantalón juntos: \(j=\dfrac{c+p}{3}\), es decir, \(c+p=3j\). 3. Se sustituye en la primera ecuación: \(j+3j=80\), luego \(4j=80\) y \(j=20\). 4. Queda \(c+p=60\): dos incógnitas y una sola ecuación. Es un sistema compatible indeterminado (SCI), con \(p=60-c\) y \(c\) libre.

El jersey sí está determinado (\(20\) €); la camisa no (puede valer cualquier cantidad entre \(0\) y \(60\) con \(p=60-c\)).

b) Precios con las rebajas. 1. Con los descuentos pagaría el \(70\,\%\) del jersey, el \(60\,\%\) de la camisa y el \(80\,\%\) del pantalón: \(0{,}7j+0{,}6c+0{,}8p=57\). 2. Con \(j=20\): \(0{,}6c+0{,}8p=57-14=43\), o, multiplicando por \(5\), \(3c+4p=215\). 3. Se sustituye \(p=60-c\): \(3c+4(60-c)=215\Rightarrow3c+240-4c=215\Rightarrow c=25\) y \(p=35\).

Jersey \(20\) €, camisa \(25\) € y pantalón \(35\) €. (Comprobación: \(14+15+28=57\) y \(20+25+35=80\).)

Interpretación: con el dato de las rebajas el sistema pasa a tener tres ecuaciones independientes y los tres precios quedan determinados.

Extraordinaria 2025

Ejercicio 1 · Extraordinaria 2025 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · PDF del examen

Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones?

Un sistema lineal se plantea a partir del enunciado: una incógnita por cada cantidad desconocida y una ecuación por cada condición («total», «el doble de», «tanto por ciento de»…).

  1. Define con claridad las incógnitas \(x,y,z\) y sus unidades.
  2. Traduce cada frase del enunciado a una ecuación; comprueba que no sobra ni falta ninguna.
  3. Resuelve por Gauss o por sustitución.
  4. Interpreta: las soluciones deben tener sentido en el contexto (no negativas, enteras si son personas…).

Planteamiento. 1. Sean \(x\), \(y\) y \(z\) los tres números naturales (el primero, el segundo y el tercero). 2. Suma: \(x+y+z=22\). Segunda condición: \(4x+3y+2z=61\).

Resolución del sistema. 1. Se resta \(2\cdot\)(primera) a la segunda: \(4x+3y+2z-2x-2y-2z=61-44\), es decir, \(2x+y=17\). 2. Se despeja con \(x\) como parámetro: \(y=17-2x\) y \(z=22-x-y=x+5\). 3. Es un sistema compatible indeterminado (SCI) con un parámetro, \(x\). Como los números son naturales, hay que exigir \(x\ge0\) e \(y\ge0\).

¿Puede ser 15 uno de los tres números? Se prueba en cada posición: - Si \(x=15\): \(y=-13<0\), imposible. - Si \(y=15\): \(x=1\) y \(z=6\); comprobación: \(1+15+6=22\) y \(4+45+12=61\). Válido. - Si \(z=15\): \(x=10\) e \(y=-3<0\), imposible.

Sí, 15 puede ser uno de los números, y solo como el segundo: los otros son \(1\) y \(6\) (terna \((1,15,6)\)). No hay otras opciones.

Otras opciones. Si «otras opciones» se refiere a cualquier terna de naturales que cumpla las dos condiciones (sin exigir que contenga el \(15\)), sí las hay: con \(x=1,2,\dots,8\) salen \(y=17-2x\) y \(z=x+5\), es decir, \((1,15,6)\), \((2,13,7)\), \((3,11,8)\), \((4,9,9)\), \((5,7,10)\), \((6,5,11)\), \((7,3,12)\) y \((8,1,13)\) (tomando los naturales como enteros positivos; si se admite el \(0\), también \((0,17,5)\)). De todas ellas, solo la primera contiene el \(15\).

2024

Ordinaria 2024

Ejercicio 6 · Ordinaria 2024 · Bloque C · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera el sistema

\[\begin{cases}y+z=1\\(k-1)x+y+z=k\\x+(k-1)y+z=0\end{cases}\]

  1. Discute el sistema según los valores de \(k\). (1,75 puntos)

  2. Para \(k=1\) resuelve el sistema, si es posible. ¿Hay alguna solución en la que \(y=0\)? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta. (0,75 puntos)

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).

a) Discusión. 1. Matriz de coeficientes \(M=\begin{pmatrix}0&1&1\\k-1&1&1\\1&k-1&1\end{pmatrix}\). Determinante: \(|M|=(k-1)(k-2)\). 2. Se anula en \(k=1\) y \(k=2\): son los valores críticos. 3. Si \(k\neq1,2\): \(|M|\neq0\), luego \(\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M|N)=3\) (el número de incógnitas): compatible determinado (SCD). 4. Si \(k=1\): \(\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M|N)=2<3\): compatible indeterminado (SCI). 5. Si \(k=2\): \(\operatorname{rg}(M)=2\) y \(\operatorname{rg}(M|N)=3\): incompatible (SI).

b) Resolución para \(k=1\). 1. El sistema queda \(\begin{cases}y+z=1\\y+z=1\\x+z=0\end{cases}\). La primera y la segunda ecuación son iguales; sobra una. 2. Con dos ecuaciones y tres incógnitas hay un parámetro: \(z=\lambda\). De la primera, \(y=1-\lambda\); de la tercera, \(x=-\lambda\).

\[\mathbf{(x,y,z)=(-\lambda,\ 1-\lambda,\ \lambda),\ \lambda\in\mathbb{R}}.\]

  1. Solución con \(y=0\): \(1-\lambda=0\Rightarrow\lambda=1\).

Sí hay solución con \(y=0\): \((x,y,z)=(-1,0,1)\).

Ordinaria · Suplente 2024

Ejercicio 6 · Ordinaria · Suplente 2024 · Bloque C · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Determina un número natural de tres cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es 9, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar la cifra de las centenas por la de las unidades es 198, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es 828.

Un sistema lineal se plantea a partir del enunciado: una incógnita por cada cantidad desconocida y una ecuación por cada condición («total», «el doble de», «tanto por ciento de»…).

  1. Define con claridad las incógnitas \(x,y,z\) y sus unidades.
  2. Traduce cada frase del enunciado a una ecuación; comprueba que no sobra ni falta ninguna.
  3. Resuelve por Gauss o por sustitución.
  4. Interpreta: las soluciones deben tener sentido en el contexto (no negativas, enteras si son personas…).

Planteamiento. El número es \(\overline{cdu}=100c+10d+u\), con \(c\) centenas, \(d\) decenas y \(u\) unidades. 1. Suma de dígitos: \(c+d+u=9\). 2. Diferencia con el número invertido (\(\overline{udc}=100u+10d+c\)): \((100c+10d+u)-(100u+10d+c)=99(c-u)=198\Rightarrow c-u=2\). 3. Suma de ambos: \((100c+10d+u)+(100u+10d+c)=101(c+u)+20d=828\).

Resolución. 1. De la primera, \(d=9-(c+u)\). Se sustituye en la tercera: \(101(c+u)+20\,(9-(c+u))=81(c+u)+180=828\). 2. \(81(c+u)=648\Rightarrow c+u=8\). Con \(c-u=2\): \(c=5\) y \(u=3\). 3. Entonces \(d=9-8=1\).

El número es \(513\) (comprobación: \(513-315=198\) y \(513+315=828\)).

Extraordinaria 2024

Ejercicio 6 · Extraordinaria 2024 · Bloque C · (2,5 puntos) · PDF del examen

Un proveedor de perfumerías vende a sus comerciantes tres tipos de perfumes A, B y C. En un primer pedido una tienda ha encargado 20 perfumes de tipo A, 30 de tipo B y 15 de tipo C, por un importe de 2200 euros. En un segundo pedido ha comprado 15 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 10 perfumes de tipo C, por un importe de 1250 euros.

  1. ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 16 de tipo C? (1,25 puntos)

  2. Si añadimos que el precio de un perfume de tipo C es \(\dfrac25\) del precio de una unidad de tipo A, ¿cuál es el precio de cada tipo de perfume? (1,25 puntos)

Un sistema lineal se plantea a partir del enunciado: una incógnita por cada cantidad desconocida y una ecuación por cada condición («total», «el doble de», «tanto por ciento de»…).

  1. Define con claridad las incógnitas \(x,y,z\) y sus unidades.
  2. Traduce cada frase del enunciado a una ecuación; comprueba que no sobra ni falta ninguna.
  3. Resuelve por Gauss o por sustitución.
  4. Interpreta: las soluciones deben tener sentido en el contexto (no negativas, enteras si son personas…).

Planteamiento. Sean \(a\), \(b\) y \(c\) los precios (en euros) de un perfume de tipo A, B y C. 1. Primer pedido: \(20a+30b+15c=2200\). 2. Segundo pedido: \(15a+10b+10c=1250\).

a) Coste del tercer pedido. Se pide \(25a+10b+16c\), que no se puede despejar (dos ecuaciones, tres incógnitas), pero sí escribir como combinación de los dos pedidos. 1. Se busca \(\alpha E_1+\beta E_2\) con \(20\alpha+15\beta=25\), \(30\alpha+10\beta=10\) y \(15\alpha+10\beta=16\). 2. Resolviendo las dos primeras: \(\alpha=-\frac25\), \(\beta=\frac{11}5\); esos valores cumplen también la tercera. 3. Entonces el coste es la misma combinación de los importes:

\[-\tfrac25\cdot2200+\tfrac{11}5\cdot1250=\mathbf{1870\ \text{euros}}.\]

b) Con el dato \(c=\frac25a\). 1. Se sustituye en las ecuaciones: \(20a+30b+15\cdot\tfrac25a=26a+30b=2200\) y \(15a+10b+10\cdot\tfrac25a=19a+10b=1250\). 2. Se resta a la primera el triple de la segunda: \(26a-57a=-31a=2200-3750=-1550\). 3. \(a=50\); de \(19a+10b=1250\): \(950+10b=1250\Rightarrow b=30\); y \(c=\tfrac25\cdot50=20\).

\[\mathbf{a=50\ \text{€},\quad b=30\ \text{€},\quad c=20\ \text{€}}\]

Comprobación del apartado a: \(25\cdot50+10\cdot30+16\cdot20=1250+300+320=1870\).

Extraordinaria · Reserva 2024

Ejercicio 6 · Extraordinaria · Reserva 2024 · Bloque C · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera el sistema

\[\begin{pmatrix}5&-2&-3\\2&0&-2\\3&-2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=m\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\]

  1. Determina los valores de \(m\) para los que el sistema es compatible indeterminado. (1,75 puntos)

  2. Para \(m=2\) resuelve el sistema, si es posible. (0,75 puntos)

Relacionado también con: Matrices.

Discusión y resolución de sistemas.

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Discusión y resolución de sistemas.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

Planteamiento. Pasando \(mI\) al otro miembro, el sistema es \((A-mI)\vec x=\vec 0\), homogéneo: siempre tiene la solución trivial (compatible). 1. Será compatible indeterminado (SCI) si hay más soluciones, es decir, si \(|A-mI|=0\). 2. Determinante: \(|A-mI|=-m(m-2)^2\). 3. Se anula en \(m=0\) y \(m=2\).

a) Valores de \(m\) con SCI. 1. Para \(m=0\) y para \(m=2\) el rango de la matriz de coeficientes es \(2<3\). 2. Para cualquier otro \(m\), el rango es \(3\) y solo hay la solución trivial.

Es SCI para \(m=0\) y \(m=2\); para cualquier otro \(m\) es compatible determinado (SCD), sólo con la solución trivial.

b) Resolución para \(m=2\). 1. El sistema queda \(\begin{cases}3x-2y-3z=0\\2x-2y-2z=0\\3x-2y-3z=0\end{cases}\); la tercera repite la primera, así que se queda con dos ecuaciones: \(\begin{cases}3x-2y-3z=0\\2x-2y-2z=0\end{cases}\). 2. De la segunda, \(x=y+z\). 3. En la primera: \(3y+3z-2y-3z=y=0\). Así \(x=z\).

\[\mathbf{(x,y,z)=(\lambda,0,\lambda),\ \lambda\in\mathbb{R}}\]

Extraordinaria · Suplente 2024

Ejercicio 5 · Extraordinaria · Suplente 2024 · Bloque C · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera el sistema de ecuaciones lineales

\[\begin{cases}ax+y+z=1+a\\x+2y-z=1-a\\x+(1+a)y-az=0\end{cases}\]

  1. Calcula \(a\) para que el sistema sea compatible indeterminado. (1,5 puntos)

  2. Resuelve el sistema, si es posible, para \(a=0\). (1 punto)

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).

Discusión. 1. Determinante de la matriz de coeficientes: \(|M|=-(a-1)(a-2)\). 2. Se anula en \(a=1\) y \(a=2\): son los valores críticos. Para cualquier otro \(a\), \(\operatorname{rg}(M)=3\) y el sistema es compatible determinado.

a) Valor de \(a\) para que sea compatible indeterminado. 1. \(a=1\): \(\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M|N)=2<3\), compatible indeterminado (SCI). 2. \(a=2\): \(\operatorname{rg}(M)=2\) y \(\operatorname{rg}(M|N)=3\), incompatible (SI).

Resultado: SCI sólo para \(a=1\). (Para \(a\ne1,2\) es compatible determinado.)

b) Resolución para \(a=0\). 1. \(|M|=-2\neq0\): compatible determinado, con solución única. 2. El sistema queda \(\begin{cases}y+z=1\\x+2y-z=1\\x+y=0\end{cases}\). 3. De la tercera, \(x=-y\). En la segunda: \(-y+2y-z=y-z=1\). 4. Junto con la primera (\(y+z=1\)): sumando, \(2y=2\), luego \(y=1\) y \(z=0\).

\[\mathbf{(x,y,z)=(-1,1,0)}\]

2023

Ordinaria 2023

Ejercicio 5 · Ordinaria 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Una marca de vehículos ha vendido este mes coches de tres colores: blancos, negros y rojos. El 60 % de los coches blancos más el 50 % de los coches negros representan el 30 % de los coches vendidos. El 20 % de los coches blancos junto con el 60 % de los coches negros y el 60 % de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos. Se han vendido 100 coches negros más que blancos. Determina el número de coches vendidos de cada color.

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).
  1. Incógnitas. \(b\), \(n\) y \(r\) son los coches blancos, negros y rojos, y \(T=b+n+r\) el total.
  2. Sistema. Cada frase del enunciado es una ecuación: \[\begin{cases}0{,}6b+0{,}5n=0{,}3T\\0{,}2b+0{,}6n+0{,}6r=0{,}5T\\n=b+100\end{cases}\]
  3. Simplificación. Sustituyendo \(T\) y multiplicando por \(10\): \(3b+2n-3r=0\) y \(-3b+n+r=0\).
  4. Resolución. Con \(n=b+100\), la primera da \(r=\dfrac{5b+200}3\) y la segunda \(r=2b-100\). Igualando: \(5b+200=6b-300\Rightarrow b=500\).
  5. Comprobación. \(n=600\), \(r=900\) y \(T=2000\): \(0{,}6\cdot500+0{,}5\cdot600=600=0{,}3\cdot2000\) y \(100+360+540=1000=0{,}5\cdot2000\).

Blancos: 500; negros: 600; rojos: 900 (total 2000).

Ordinaria · Reserva 2023

Ejercicio 5 · Ordinaria · Reserva 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Una fábrica dispone de tres líquidos \(L_1\), \(L_2\) y \(L_3\), en los que se encuentran disueltas dos sustancias: sodio y magnesio. Cada litro del líquido \(L_1\) contiene 120 mg de sodio y 90 mg de magnesio, cada litro del líquido \(L_2\) contiene 100 mg de sodio y 90 mg de magnesio y cada litro del líquido \(L_3\) contiene 60 mg de sodio y 180 mg de magnesio. ¿Es posible obtener un litro de un líquido mezclando distintas cantidades de \(L_1\), \(L_2\) y \(L_3\) en el que la cantidad de sodio y de magnesio sea de 100 mg cada una? En caso afirmativo, calcula dichas cantidades.

Un sistema lineal se plantea a partir del enunciado: una incógnita por cada cantidad desconocida y una ecuación por cada condición («total», «el doble de», «tanto por ciento de»…).

  1. Define con claridad las incógnitas \(x,y,z\) y sus unidades.
  2. Traduce cada frase del enunciado a una ecuación; comprueba que no sobra ni falta ninguna.
  3. Resuelve por Gauss o por sustitución.
  4. Interpreta: las soluciones deben tener sentido en el contexto (no negativas, enteras si son personas…).
  1. Incógnitas. \(x\), \(y\), \(z\) son los litros de \(L_1\), \(L_2\) y \(L_3\) que se mezclan para obtener un litro.
  2. Sistema. Un litro en total, \(100\) mg de sodio y \(100\) mg de magnesio: \[\begin{cases}x+y+z=1\\120x+100y+60z=100\\90x+90y+180z=100\end{cases}\]
  3. Discusión. El determinante de la matriz de coeficientes vale \(-1800\ne0\): sistema compatible determinado (SCD). Sí es posible.
  4. Resolución. Por Cramer o Gauss.
  5. Comprobación. Las tres cantidades son positivas y suman \(1\): \(\dfrac29+\dfrac69+\dfrac19=1\).

\(x=\dfrac29\) L de \(L_1\), \(y=\dfrac23\) L de \(L_2\) y \(z=\dfrac19\) L de \(L_3\).

Ordinaria · Suplente 2023

Ejercicio 6 · Ordinaria · Suplente 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera las matrices \(A=\begin{pmatrix}x&y&z\\y&x&x\\z&z&y\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}\alpha&1&1\end{pmatrix}\) y \(C=\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}\).

  1. Discute el sistema \(BA=C\), según los valores de \(\alpha\). (1,5 puntos)

  2. Resuelve el sistema, si es posible, para \(\alpha=0\) y para \(\alpha=1\). (1 punto)

Relacionado también con: Matrices.

Discusión y resolución de sistemas.

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Discusión y resolución de sistemas.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

a) Discusión según \(\alpha\). 1. Se calcula \(BA=(\alpha x+y+z,\ x+\alpha y+z,\ x+y+\alpha z)\) y se iguala a \((1,1,1)\): tres ecuaciones lineales en \(x,y,z\). 2. La matriz de coeficientes es \(\begin{pmatrix}\alpha&1&1\\1&\alpha&1\\1&1&\alpha\end{pmatrix}\) y su determinante vale \((\alpha-1)^{2}(\alpha+2)\). 3. Se estudia cada caso: - \(\alpha\ne1,-2\): \(\operatorname{rg}=3\), sistema compatible determinado (SCD). - \(\alpha=1\): las tres ecuaciones son \(x+y+z=1\), rango 1: sistema compatible indeterminado (SCI). - \(\alpha=-2\): \(\operatorname{rg}=2\) y \(\operatorname{rg}\) ampliada \(=3\) (sumando las ecuaciones sale \(0=3\)): sistema incompatible (SI).

b) Resolución. 1. Para \(\alpha=0\) (SCD): \(y+z=1\), \(x+z=1\), \(x+y=1\). Sumando, \(2(x+y+z)=3\), y restando cada ecuación se obtiene \(x=y=z=\dfrac12\). 2. Para \(\alpha=1\) (SCI): una sola ecuación independiente, \(x+y+z=1\); se toman \(x\) e \(y\) como parámetros.

\(\alpha=0\): \(x=y=z=\dfrac12\). \(\alpha=1\): \((x,y,z)=(\lambda,\mu,1-\lambda-\mu)\), con \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\).

Extraordinaria 2023

Ejercicio 6 · Extraordinaria 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de 500 euros sin incluir impuestos. El gasto en vino es 60 euros menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente, sin incluir impuestos. Teniendo en cuenta que los impuestos de los refrescos, la cerveza y el vino son el 6 %, el 12 % y el 30 %, respectivamente, entonces el importe total de la factura incluyendo impuestos ha ascendido a 592,4 euros. Calcula el importe, incluyendo impuestos, invertido en cada una de las bebidas.

Un sistema lineal se plantea a partir del enunciado: una incógnita por cada cantidad desconocida y una ecuación por cada condición («total», «el doble de», «tanto por ciento de»…).

  1. Define con claridad las incógnitas \(x,y,z\) y sus unidades.
  2. Traduce cada frase del enunciado a una ecuación; comprueba que no sobra ni falta ninguna.
  3. Resuelve por Gauss o por sustitución.
  4. Interpreta: las soluciones deben tener sentido en el contexto (no negativas, enteras si son personas…).
  1. Incógnitas. \(r\), \(c\) y \(v\) son los importes sin impuestos de refrescos, cerveza y vino.
  2. Sistema. Importe total, relación del vino y factura con impuestos (\(6\,\%\), \(12\,\%\) y \(30\,\%\)): \[\begin{cases}r+c+v=500\\v=r+c-60\\1{,}06r+1{,}12c+1{,}3v=592{,}4\end{cases}\]
  3. Vino y suma de los otros dos. De las dos primeras: \(v=220\) y \(r+c=280\).
  4. Tercera ecuación. \(1{,}06r+1{,}12(280-r)=592{,}4-286=306{,}4\Rightarrow-0{,}06r=-7{,}2\Rightarrow r=120\), y \(c=160\).
  5. Importes con impuestos. Refrescos \(127{,}20\), cerveza \(179{,}20\) y vino \(286\).

Refrescos: \(127{,}20\) €; cerveza: \(179{,}20\) €; vino: \(286\) €.

Extraordinaria · Suplente 2023

Ejercicio 6 · Extraordinaria · Suplente 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Una plataforma de streaming se especializa en series de tres géneros: animación, ciencia ficción y comedia. Se sabe que el 30 % de las series de animación más el 50 % de las de ciencia ficción coincide con el 20 % de total de series. El 25 % de las series de animación más el 50 % de las de ciencia ficción más el 60 % de las de comedia representan la mitad del total de series. Hay 100 series menos de animación que de ciencia ficción. Halla el número de series de cada género.

Un sistema lineal se plantea a partir del enunciado: una incógnita por cada cantidad desconocida y una ecuación por cada condición («total», «el doble de», «tanto por ciento de»…).

  1. Define con claridad las incógnitas \(x,y,z\) y sus unidades.
  2. Traduce cada frase del enunciado a una ecuación; comprueba que no sobra ni falta ninguna.
  3. Resuelve por Gauss o por sustitución.
  4. Interpreta: las soluciones deben tener sentido en el contexto (no negativas, enteras si son personas…).
  1. Incógnitas. \(a\), \(c\) y \(m\) son las series de animación, ciencia ficción y comedia, y \(T=a+c+m\) el total.
  2. Sistema. Cada frase del enunciado es una ecuación: \[\begin{cases}0{,}3a+0{,}5c=0{,}2(a+c+m)\\0{,}25a+0{,}5c+0{,}6m=0{,}5(a+c+m)\\c=a+100\end{cases}\iff\begin{cases}a+3c-2m=0\\-0{,}25a+0{,}1m=0\\c-a=100\end{cases}\]
  3. Segunda ecuación. \(-0{,}25a+0{,}1m=0\Rightarrow m=2{,}5a\).
  4. Primera ecuación. Con \(c=a+100\) y \(m=2{,}5a\): \(a+3(a+100)-5a=0\Rightarrow a=300\).
  5. Resto. \(c=400\) y \(m=750\).
  6. Comprobación. Total \(1450\) y \(0{,}3\cdot300+0{,}5\cdot400=290=0{,}2\cdot1450\).

Animación: 300; ciencia ficción: 400; comedia: 750 (total 1450).

2022

Ordinaria 2022

Ejercicio 5 · Ordinaria 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera el sistema:

\[\begin{cases}x-y+mz=-3\\-mx+3y-z=1\\x-4y+mz=-6\end{cases}\]

  1. Discute el sistema según los valores de \(m\). (1,75 puntos)

  2. Para \(m=2\) resuelve el sistema, si es posible. (0,75 puntos)

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).

a) Discusión según \(m\). 1. Determinante de la matriz de coeficientes \(A\): \(|A|=\begin{vmatrix}1&-1&m\\-m&3&-1\\1&-4&m\end{vmatrix}=3(m-1)(m+1)\). 2. Se anula en \(m=1\) y \(m=-1\). Se estudian tres casos con el teorema de Rouché-Frobenius (\(A^*\) es la matriz ampliada). 3. Si \(m\neq\pm1\): \(|A|\neq0\), luego \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3\) (igual al número de incógnitas): compatible determinado (SCD). 4. Si \(m=-1\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2<3\): compatible indeterminado (SCI), con un parámetro libre. 5. Si \(m=1\): \(\operatorname{rg}A=2\) pero \(\operatorname{rg}A^*=3\): incompatible (SI).

SCD si \(m\neq\pm1\); SCI si \(m=-1\); SI si \(m=1\).

b) Resolución para \(m=2\). 1. Para \(m=2\) el sistema es SCD (el caso general). Las ecuaciones son \(x-y+2z=-3\), \(-2x+3y-z=1\), \(x-4y+2z=-6\). 2. Restando la primera de la tercera: \(-3y=-3\Rightarrow y=1\). 3. Con \(y=1\): \(x+2z=-2\) y \(-2x-z=-2\). De la segunda, \(z=2-2x\); en la primera, \(x+4-4x=-2\Rightarrow x=2\), luego \(z=-2\). 4. Comprobación en la segunda ecuación: \(-2\cdot2+3\cdot1-(-2)=1\) ✓.

\((x,y,z)=(2,1,-2)\).

Ordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 6 · Ordinaria · Reserva 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

En un estudio del ciclo del sueño se monitoriza la fase NO-REM (es el momento del sueño que el cuerpo utiliza para descansar físicamente). Esta fase se divide a su vez en tres momentos: Fase I (adormecimiento), Fase II (sueño ligero) y Fase III (sueño profundo). Una persona dedica el 75 % de su sueño a la fase NO-REM. Además, el tiempo que dedica a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas. Por otro lado, a la Fase III se dedica el cuádruple que a la Fase I. Si una persona ha dormido 8 horas, ¿cuántos minutos dedica a las Fases I, II y III del ciclo del sueño?

Un sistema lineal se plantea a partir del enunciado: una incógnita por cada cantidad desconocida y una ecuación por cada condición («total», «el doble de», «tanto por ciento de»…).

  1. Define con claridad las incógnitas \(x,y,z\) y sus unidades.
  2. Traduce cada frase del enunciado a una ecuación; comprueba que no sobra ni falta ninguna.
  3. Resuelve por Gauss o por sustitución.
  4. Interpreta: las soluciones deben tener sentido en el contexto (no negativas, enteras si son personas…).

Planteamiento. 1. Sean \(x\), \(y\), \(z\) los minutos dedicados a las fases I, II y III. Total: \(8\text{ h}=480\) min; fase NO-REM (las tres fases): \(0{,}75\cdot480=360\) min. 2. Condiciones: la suma es \(360\); la fase II es el doble que las fases I y III juntas; la fase III es el cuádruple que la I: \[\begin{cases}x+y+z=360\\ y=2(x+z)\\ z=4x\end{cases}\]

Resolución. 3. Se sustituye la segunda en la primera: \((x+z)+2(x+z)=360\Rightarrow3(x+z)=360\Rightarrow x+z=120\), y así \(y=240\). 4. Con \(z=4x\): \(x+4x=120\Rightarrow5x=120\Rightarrow x=24\) y \(z=96\). 5. Comprobación: \(24+240+96=360\) ✓.

Fase I: 24 min; Fase II: 240 min; Fase III: 96 min.

Ordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 5 · Ordinaria · Suplente 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera el sistema:

\[\begin{cases}2x+3y+mz=3\\x+my-z=-1\\3x+y-3z=-m\end{cases}\]

  1. Discute el sistema según los valores de \(m\). (1,75 puntos)

  2. Para \(m=-2\) encuentra, si es posible, \(y_0\) para que la solución del sistema sea \(x=\lambda\), \(y=y_0\), \(z=\lambda-\tfrac{3}{7}\). (0,75 puntos)

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).

a) Discusión según \(m\). 1. Determinante de la matriz de coeficientes: \(|A|=\begin{vmatrix}2&3&m\\1&m&-1\\3&1&-3\end{vmatrix}=-(m+2)(3m-1)\). 2. Se anula en \(m=-2\) y \(m=\tfrac13\). Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius (\(A^*\) es la ampliada). 3. Si \(m\neq-2,\tfrac13\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3\): compatible determinado (SCD). 4. Si \(m=-2\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2<3\): compatible indeterminado (SCI). 5. Si \(m=\tfrac13\): \(\operatorname{rg}A=2\) y \(\operatorname{rg}A^*=3\): incompatible (SI).

SCD si \(m\neq-2,\tfrac13\); SCI si \(m=-2\); SI si \(m=\tfrac13\).

b) Valor de \(y_0\) para \(m=-2\). 1. El sistema es \(2x+3y-2z=3\), \(x-2y-z=-1\), \(3x+y-3z=2\) y es SCI: tiene infinitas soluciones con un parámetro. 2. Resolviéndolo, las soluciones son \(x=z+\tfrac37\), \(y=\tfrac57\) (la tercera ecuación es combinación de las otras dos). 3. Con \(z=\lambda-\tfrac37\) se tiene \(x=\lambda\), que es justo la forma pedida. Entonces \(y\) es constante.

\(y_0=\dfrac57\).

Extraordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 5 · Extraordinaria · Reserva 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

La suma de los seguidores en una determinada red social de Alberto, Begoña y Carlos es de 13000 personas. Aunque Carlos perdiera una tercera parte de sus seguidores, todavía seguiría teniendo el doble de seguidores que tiene Alberto. Por otro lado, los seguidores de Alberto más la quinta parte de los seguidores de Begoña, son tantos como la mitad de los de Carlos. Calcula cuántos seguidores tiene cada uno.

Un sistema lineal se plantea a partir del enunciado: una incógnita por cada cantidad desconocida y una ecuación por cada condición («total», «el doble de», «tanto por ciento de»…).

  1. Define con claridad las incógnitas \(x,y,z\) y sus unidades.
  2. Traduce cada frase del enunciado a una ecuación; comprueba que no sobra ni falta ninguna.
  3. Resuelve por Gauss o por sustitución.
  4. Interpreta: las soluciones deben tener sentido en el contexto (no negativas, enteras si son personas…).

Planteamiento. 1. Sean \(A\), \(B\), \(C\) los seguidores de Alberto, Begoña y Carlos. 2. «La suma es 13000»: \(A+B+C=13000\). 3. «Carlos pierde un tercio y aún tiene el doble que Alberto»: le quedan \(\tfrac23C\), luego \(\tfrac23C=2A\). 4. «Alberto más la quinta parte de Begoña son la mitad de Carlos»: \(A+\tfrac B5=\tfrac C2\). \[\begin{cases}A+B+C=13000\\ \tfrac23C=2A\\ A+\tfrac{B}{5}=\tfrac{C}{2}\end{cases}\]

Resolución. 5. De la segunda, \(C=3A\). 6. En la tercera: \(A+\tfrac B5=\tfrac{3A}{2}\Rightarrow\tfrac B5=\tfrac A2\Rightarrow B=\tfrac{5A}{2}\). 7. En la primera: \(A+\tfrac52A+3A=13000\Rightarrow \tfrac{13}{2}A=13000\Rightarrow A=2000\). 8. Entonces \(B=5000\) y \(C=6000\). Comprobación: \(2000+5000+6000=13000\) ✓.

Alberto 2000, Begoña 5000 y Carlos 6000 seguidores.

Extraordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 5 · Extraordinaria · Suplente 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera el sistema de ecuaciones lineales:

\[\begin{pmatrix}\alpha&1&1\\\alpha&-1&1\\\alpha&0&\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\]

  1. Discute el sistema según los valores de \(\alpha\). (1,25 puntos)

  2. Para \(\alpha=1\) resuelve el sistema y da una solución del mismo diferente de la solución trivial, si es posible. (1,25 puntos)

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).

Matriz de coeficientes. Es cuadrada, con \(|M|=\begin{vmatrix}\alpha&1&1\\\alpha&-1&1\\\alpha&0&\alpha\end{vmatrix}=-2\alpha(\alpha-1)\), que se anula en \(\alpha=0\) y \(\alpha=1\).

a) Discusión según \(\alpha\). Es un sistema homogéneo, así que siempre es compatible (tiene al menos la solución trivial). 1. Si \(\alpha\neq0,1\): \(|M|\ne0\) y \(\operatorname{rg}M=3\): compatible determinado (SCD), solo la solución trivial. 2. Si \(\alpha=0\) o \(\alpha=1\): \(|M|=0\) y existe un menor no nulo de orden 2, luego \(\operatorname{rg}M=2<3\): compatible indeterminado (SCI), con un parámetro libre.

SCD si \(\alpha\neq0,1\); SCI si \(\alpha=0\) o \(\alpha=1\).

b) Resolución para \(\alpha=1\). 1. El sistema es \(x+y+z=0\), \(x-y+z=0\), \(x+z=0\). 2. Restando las dos primeras: \(2y=0\Rightarrow y=0\). 3. Entonces \(x+z=0\) (la tercera ecuación coincide): \(x=-z\). Con \(z=\lambda\):

\((x,y,z)=(-\lambda,0,\lambda)\); una solución no trivial: \((-1,0,1)\) (con \(\lambda=1\)).

Ejercicio 6 · Extraordinaria · Suplente 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera el sistema:

\[\begin{cases}x-my-2z=m\\x+y+z=2m\\x+2y+mz=3m\end{cases}\]

  1. Discute el sistema según los valores de \(m\). (1,75 puntos)

  2. Para \(m=1\) resuelve el sistema, si es posible. (0,75 puntos)

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).

a) Discusión según \(m\). 1. Determinante de la matriz de coeficientes: \(|A|=\begin{vmatrix}1&-m&-2\\1&1&1\\1&2&m\end{vmatrix}=m^2-4=(m-2)(m+2)\). 2. Se anula en \(m=2\) y \(m=-2\). Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius (\(A^*\) es la ampliada). 3. Si \(m\neq\pm2\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3\): compatible determinado (SCD). 4. Si \(m=2\): \(\operatorname{rg}A=2\) y \(\operatorname{rg}A^*=3\): incompatible (SI). 5. Si \(m=-2\): \(\operatorname{rg}A=2\) y \(\operatorname{rg}A^*=3\): incompatible (SI).

SCD si \(m\neq\pm2\); SI si \(m=2\) o \(m=-2\).

b) Resolución para \(m=1\) (SCD). 1. El sistema es \(x-y-2z=1\), \(x+y+z=2\), \(x+2y+z=3\). 2. Restando las dos últimas: \(y=1\). 3. Entonces \(x+z=1\) (de la segunda) y \(x-2z=2\) (de la primera, con \(y=1\)). Restando: \(3z=-1\Rightarrow z=-\tfrac13\), y \(x=1-z=\tfrac43\). 4. Comprobación en la primera: \(\tfrac43-1+\tfrac23=1\) ✓.

\((x,y,z)=\left(\tfrac43,\,1,\,-\tfrac13\right)\).

2021

Ordinaria 2021

Ejercicio 5 · Ordinaria 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\[\begin{cases}mx+2y-z=1\\ 5x-4y+2z=0\\ x+3my=m+\tfrac{2}{5}\end{cases}\]

  1. Discute el sistema según los valores de \(m\). (1,5 puntos)

  2. Resuelve el sistema para \(m=0\). ¿Hay alguna solución en la que \(x=0\)? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta. (1 punto)

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).

a) Discusión según \(m\). 1. Matriz de coeficientes \(A\) y ampliada \(A^*\) (la columna de términos independientes es \((1,0,m+\frac25)\)). 2. Determinante: \(|A|=\begin{vmatrix}m&2&-1\\5&-4&2\\1&3m&0\end{vmatrix}=-3m(2m+5)\), que se anula en \(m=0\) y \(m=-\frac52\). 3. Casos: - \(m\neq0\) y \(m\neq-\frac52\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3\), sistema compatible determinado (SCD). - \(m=0\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2<3\), sistema compatible indeterminado (SCI). - \(m=-\frac52\): \(\operatorname{rg}A=2\) y \(\operatorname{rg}A^*=3\), sistema incompatible (SI).

b) Resolución para \(m=0\). 1. El sistema queda \(2y-z=1\), \(5x-4y+2z=0\) y \(x=\frac25\). 2. Se sustituye \(x=\frac25\) en la segunda: \(2-4y+2z=0\), es decir \(z=2y-1\), que es la misma relación que da la primera ecuación (por eso hay infinitas soluciones). 3. Con \(y=\lambda\) como parámetro: \(z=2\lambda-1\).

Soluciones: \(\left(\tfrac25,\ \lambda,\ 2\lambda-1\right)\). Como \(x=\frac25\) siempre, no hay ninguna solución con \(x=0\).

Ejercicio 6 · Ordinaria 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

En una empresa se fabrican tres tipos de productos plásticos: botellas, garrafas y bidones. Se utiliza como materia prima 10 kg de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos, para cada garrafa 100 gramos y 1 kg para cada bidón.

El gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo, en las máquinas se producen en total 52 productos cada hora.

¿Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora?

Un sistema lineal se plantea a partir del enunciado: una incógnita por cada cantidad desconocida y una ecuación por cada condición («total», «el doble de», «tanto por ciento de»…).

  1. Define con claridad las incógnitas \(x,y,z\) y sus unidades.
  2. Traduce cada frase del enunciado a una ecuación; comprueba que no sobra ni falta ninguna.
  3. Resuelve por Gauss o por sustitución.
  4. Interpreta: las soluciones deben tener sentido en el contexto (no negativas, enteras si son personas…).
  1. Incógnitas. \(b\), \(g\), \(d\) = número de botellas, garrafas y bidones por hora.
  2. Ecuaciones (materia prima en gramos: \(10\) kg \(=10\,000\) g; botella \(50\) g, garrafa \(100\) g, bidón \(1\,000\) g): \[\begin{cases}50b+100g+1000d=10000\\ b=2g\\ b+g+d=52\end{cases}\]
  3. Se sustituye \(b=2g\) en la primera: \(200g+1000d=10000\Rightarrow g+5d=50\); en la tercera: \(3g+d=52\).
  4. Se resuelve el sistema de dos ecuaciones: \(g=15\), \(d=7\) y, entonces, \(b=30\).
  5. Comprobación: \(1500+1500+7000=10000\) g ✓.

30 botellas, 15 garrafas y 7 bidones cada hora.

Ordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 5 · Ordinaria · Reserva 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera el sistema de ecuaciones

\[\begin{cases}x+y+2z=0\\3x-y-2z=0\\-x+2y+mz=0\end{cases}\]

  1. Calcula \(m\) para que el sistema tenga infinitas soluciones y hállalas. (1,5 puntos)

  2. Para \(m=2\), ¿existe alguna solución tal que \(z=1\)? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta. (1 punto)

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).

a) Infinitas soluciones. 1. El sistema es homogéneo: siempre es compatible. Tendrá infinitas soluciones si \(|A|=0\). 2. Determinante: \(\begin{vmatrix}1&1&2\\3&-1&-2\\-1&2&m\end{vmatrix}=-4(m-4)\). 3. Es nulo cuando \(m=4\) (el rango es \(2\), menor que el número de incógnitas). 4. Resolución con \(m=4\): sumando las dos primeras, \(x+y+2z=0\) y \(3x-y-2z=0\) dan \(4x=0\Rightarrow x=0\) y \(y=-2z\). La tercera ecuación se cumple: \(2y+4z=0\).

\((x,y,z)=(0,-2\lambda,\lambda),\ \lambda\in\mathbb{R}\)

b) Solución con \(z=1\) para \(m=2\). 1. Para \(m=2\): \(|A|=-4(2-4)=8\neq0\). 2. Un sistema homogéneo con determinante no nulo solo tiene la solución trivial \((0,0,0)\).

No existe ninguna solución con \(z=1\).

Extraordinaria 2021

Ejercicio 6 · Extraordinaria 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Una empresa de mensajería opera en tres rutas distintas A, B y C. Semanalmente hace un total de 70 viajes, y el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C.

  1. Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta? Razona la respuesta. (1,25 puntos)

  2. Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, ¿cuántos viajes hace por cada ruta? (1,25 puntos)

Un sistema lineal se plantea a partir del enunciado: una incógnita por cada cantidad desconocida y una ecuación por cada condición («total», «el doble de», «tanto por ciento de»…).

  1. Define con claridad las incógnitas \(x,y,z\) y sus unidades.
  2. Traduce cada frase del enunciado a una ecuación; comprueba que no sobra ni falta ninguna.
  3. Resuelve por Gauss o por sustitución.
  4. Interpreta: las soluciones deben tener sentido en el contexto (no negativas, enteras si son personas…).

Incógnitas. \(a\), \(b\), \(c\) = viajes por las rutas A, B y C: \(a+b+c=70\) y \(b=a+c\).

a) ¿Se puede deducir cada ruta? 1. Con \(2(a+c)=70\): \(a+c=35\). 2. De \(b=a+c\) sale \(b=35\), que ya se deducía de las dos primeras ecuaciones (\(a+b+c=70\) y \(b=a+c\) dan \(2b=70\)). 3. La tercera ecuación no aporta información nueva: rango \(2<3\) (sistema compatible indeterminado, SCI).

No se puede deducir: \(b=35\) pero \(a+c=35\) admite muchas soluciones.

b) Con \(2c=b-5\). 1. Ahora \(2c=b-5\), junto con \(a+b+c=70\) y \(b=a+c\), da \(b=35\). 2. Entonces \(2c=30\Rightarrow c=15\) y \(a=35-15=20\).

A: 20 viajes, B: 35 viajes, C: 15 viajes.

Extraordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 6 · Extraordinaria · Reserva 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\[\begin{cases}x+my+mz=1\\x+2my+(m+1)z=1\\2x+my+mz=2\end{cases}\]

  1. Discute el sistema según los valores de \(m\). (1,75 puntos)

  2. Resuelve el sistema, si es posible, para \(m=1\). (0,75 puntos)

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).

Previo. \(|A|=\begin{vmatrix}1&m&m\\1&2m&m+1\\2&m&m\end{vmatrix}=-m(m-1)\), que se anula en \(m=0\) y \(m=1\).

a) Discusión según \(m\). 1. \(m\neq0,\ m\neq1\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3\), sistema compatible determinado (SCD). 2. \(m=0\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2<3\), sistema compatible indeterminado (SCI). 3. \(m=1\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2<3\), SCI.

b) Resolución para \(m=1\). 1. El sistema es \(x+y+z=1\), \(x+2y+2z=1\), \(2x+y+z=2\). 2. Restando las dos primeras: \(y+z=0\). 3. Sustituyendo en la primera: \(x=1\). 4. Con \(z=\lambda\) como parámetro: \(y=-\lambda\).

\((x,y,z)=(1,-\lambda,\lambda),\ \lambda\in\mathbb{R}\)

Extraordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 6 · Extraordinaria · Suplente 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

En una cafetería, tres cafés, una tostada y dos zumos de naranja cuestan 7,50 €. Cuatro cafés, una tostada y un zumo de naranja cuestan 7,20 €.

  1. Calcula, de forma razonada, el precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos de naranja. (1,5 puntos)

  2. ¿El precio de un zumo de naranja podría ser de 2 €? Razona la respuesta. (1 punto)

Teorema de Rouché-Frobenius: si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) (nº de incógnitas), compatible determinado; si \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\), compatible indeterminado; si \(\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*\), incompatible. Gauss: operar con filas hasta obtener una matriz triangular.

  1. Escribe la matriz ampliada \(A^*\).
  2. Triangula con operaciones entre filas, sin dividir por expresiones que puedan valer \(0\) (en un parámetro, trátalo aparte).
  3. Halla los valores del parámetro que anulan algún pivote y estudia cada caso por separado.
  4. Clasifica cada caso y resuelve los compatibles (en el indeterminado, deja una incógnita como parámetro).

Incógnitas. \(x\), \(y\), \(z\) = precios (€) de un café, una tostada y un zumo: \(3x+y+2z=7{,}5\) y \(4x+y+z=7{,}2\).

a) Precio de \(2x+y+3z\). 1. Se busca una combinación de las dos ecuaciones que dé \((2,1,3)\): \((2,1,3)=2(3,1,2)-(4,1,1)\). 2. El precio es \(2\cdot7{,}5-7{,}2=\) \(7{,}80\) €.

b) ¿Puede un zumo costar \(2\) €? 1. Restando las dos ecuaciones: \(x-z=-0{,}3\), y de la segunda, \(y=8{,}4-5z\). 2. Con \(z=2\): \(x=1{,}7\) pero \(y=-1{,}6<0\), imposible.

No, un zumo no puede costar 2 € (la tostada saldría con precio negativo).

También trabajan este tema

Ejercicios cuyo tema principal es otro pero en los que aparece este tema:

Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.