Sistemas de ecuaciones lineales — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 6 son básicos, del 7 al 19 siguen el estilo de la PAU de Andalucía (2021 en adelante) y del 20 al 25 son problemas de planteamiento. Las soluciones están al final.

Resolución y clasificación

1. Resuelve por Gauss: \(\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}\)

2. Resuelve por Gauss: \(\begin{cases}x+y-z=1\\2x-y+2z=5\\3x+z=6\end{cases}\)

3. Discute y resuelve: \(\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=3\\x-y=2\end{cases}\)

4. Resuelve por Cramer: \(\begin{cases}2x+y-z=1\\x-y+2z=5\\x+2y+z=4\end{cases}\)

5. Escribe en forma matricial y resuelve con la matriz inversa: \(\begin{cases}x+y=3\\2x-y=0\end{cases}\)

6. Clasifica (SCD, SCI o SI) sin resolver por completo:

  1. \(\begin{cases}x+y+z=1\\x-y+z=2\\2x+2z=3\end{cases}\)

  2. \(\begin{cases}x+y=1\\2x+2y=3\end{cases}\)

  3. \(\begin{cases}x+y=2\\x-y=0\\2x+y=3\end{cases}\)

Discusión con parámetros

7. (Tipo PAU) Discute según \(m\) el sistema \(\begin{cases}mx+y+z=1\\x+my+z=m\\x+y+mz=m^2\end{cases}\) y resuélvelo para \(m=2\) y \(m=1\).

8. (Tipo PAU) Discute según \(m\) el sistema \(\begin{cases}x+y+z=m+1\\mx+y+z=1\\x+my+z=m\end{cases}\) y resuélvelo para \(m=0\).

9. (Tipo PAU) Halla \(m\) para que el sistema homogéneo \(\begin{cases}x+y+z=0\\2x-y+mz=0\\x+2y-z=0\end{cases}\) tenga soluciones distintas de la trivial y resuélvelo en ese caso.

10. (Tipo PAU) Discute según \(m\) el sistema \(\begin{cases}x-y+2z=1\\2x+y-z=3\\x+2y+mz=2\end{cases}\) y resuélvelo para \(m=-3\).

11. Discute según \(a\) el sistema homogéneo \(\begin{cases}ax+y+z=0\\x+ay+z=0\\x+y+az=0\end{cases}\) y resuelve los casos con infinitas soluciones.

12. (Tipo PAU) Sea el sistema \(\begin{cases}x+y+z=2\\2x+y-z=1\end{cases}\).

  1. Resuélvelo.

  2. Añade una ecuación para que el sistema resultante sea compatible determinado y otra para que sea incompatible.

13. (Tipo PAU) Resuelve \(\begin{cases}x+y=2\\x-y=0\\2x+y=3\\x+3y=4\end{cases}\)

14. (Tipo PAU) Discute según \(k\) el sistema \(\begin{cases}x+y=2\\x-y=0\\kx+y=3\end{cases}\)

15. Halla \(a\) y \(b\) para que \(\begin{cases}x+2y=3\\2x+ay=b\end{cases}\) tenga: a) solución única, b) infinitas soluciones, c) ninguna solución.

16. (Tipo PAU) Discute según \(m\) el sistema \(\begin{cases}x+my+z=4\\x+3y+z=5\\mx+y+z=4\end{cases}\) y resuélvelo para \(m=2\).

17. Demuestra que \(\begin{cases}x+2y-z=0\\2x-y+3z=0\\3x+y+2z=0\end{cases}\) tiene soluciones no triviales y halla todas.

18. (Tipo PAU) Resuelve por Cramer: \(\begin{cases}x+y-z=2\\2x-y+z=1\\x+2y+z=7\end{cases}\)

19. (Tipo PAU) Discute según \(k\) el sistema \(\begin{cases}kx+y+z=1\\x+ky+z=1\\x+y+kz=1\end{cases}\) y resuélvelo para \(k=2\).

Problemas

20. En un cine hay tres tipos de entrada: adulto, niño y jubilado. Un grupo paga 38 € por 2 adultos, 3 niños y 1 jubilado. Otro grupo paga 32 € por 1 adulto, 2 niños y 2 jubilados. Un tercero paga 36 € por 3 adultos, 1 niño y 1 jubilado. Calcula el precio de cada entrada.

21. La suma de las edades de tres hermanos es 36 años. El mayor tiene el doble de edad que el menor y el mediano tiene 4 años más que el menor. Calcula las tres edades.

22. (Tipo PAU) Un comerciante quiere 100 kg de una mezcla de tres cafés de 6, 8 y 10 €/kg, de modo que el precio medio sea 7,4 €/kg. La cantidad del café de 6 € debe ser el doble que la del de 10 €. ¿Cuántos kg de cada tipo necesita?

23. Halla la parábola \(y=ax^2+bx+c\) que pasa por los puntos \((1,2)\), \((2,3)\) y \((3,6)\).

24. Ajusta la reacción química \(a\,\mathrm{C_3H_8}+b\,\mathrm{O_2}\to c\,\mathrm{CO_2}+d\,\mathrm{H_2O}\) planteando un sistema (un átomo de cada elemento debe conservarse) y toma la solución con \(a=1\).

25. (Tipo PAU) Una persona invierte 10 000 € en tres productos que dan el 2 %, el 3 % y el 5 % anual. Al cabo de un año recibe 320 € de intereses. Sabe que invirtió la misma cantidad en el segundo que en el tercero. ¿Cuánto puso en cada uno?

Soluciones

\(\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&0&-7&-21\end{array}\right)\). Entonces \(z=3\), \(y=2\), \(x=1\). SCD: \((1,2,3)\).

\(F_2-2F_1\) da \((0,-3,4\,|\,3)\) y \(F_3-3F_1\) da \((0,-3,4\,|\,3)\). La tercera ecuación es igual que la segunda y se elimina. Con \(z=3\lambda\): \(-3y+12\lambda=3\Rightarrow y=4\lambda-1\) y \(x=1-y+z=1-4\lambda+1+3\lambda=2-\lambda\).

SCI: \((x,y,z)=(2-\lambda,\,4\lambda-1,\,3\lambda)\), \(\lambda\in\mathbb{R}\).

\(F_2-2F_1\) da \((0,0,0\,|\,1)\): ecuación \(0=1\). Es incompatible (SI): \(\operatorname{rg}A=2\) y \(\operatorname{rg}A^*=3\).

Por Sarrus: \(|A|=\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&-1&2\\1&2&1\end{vmatrix}=-2+2-2-1-8-1=-12\).

\(|A_x|=\begin{vmatrix}1&1&-1\\5&-1&2\\4&2&1\end{vmatrix}=-16\), \(|A_y|=\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&5&2\\1&4&1\end{vmatrix}=-4\), \(|A_z|=\begin{vmatrix}2&1&1\\1&-1&5\\1&2&4\end{vmatrix}=-24\).

\(x=\dfrac{-16}{-12}=\dfrac43\), \(y=\dfrac{-4}{-12}=\dfrac13\), \(z=\dfrac{-24}{-12}=2\).

\(\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\). Como \(|A|=-3\), \(A^{-1}=\dfrac{1}{-3}\begin{pmatrix}-1&-1\\-2&1\end{pmatrix}=\dfrac13\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}\).

\(X=A^{-1}B=\dfrac13\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\), es decir \(x=1\), \(y=2\).

  1. Sumando las dos primeras: \(2x+2z=3\), que es la tercera. Hay una ecuación redundante: \(\operatorname{rg}=2<3\), SCI.

  2. Los coeficientes de la segunda son el doble que los de la primera, pero \(3\neq2\cdot1\): SI.

  3. De las dos primeras \(x=y=1\), y la tercera da \(2+1=3\) ✓. SCD: \((1,1)\).

\(|A|=-(m-1)^2(m+2)\).

  • \(m\neq1,-2\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3\), SCD.
  • \(m=1\): las tres ecuaciones son \(x+y+z=1\). \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=1\), SCI con 2 parámetros: \((1-\lambda-\mu,\lambda,\mu)\).
  • \(m=-2\): \(\operatorname{rg}A=2\) (menor \(\begin{vmatrix}-2&1\\1&-2\end{vmatrix}=3\neq0\)) y sumando las tres ecuaciones queda \(0=1-2+4=3\), luego \(\operatorname{rg}A^*=3\). SI.

Para \(m=2\) (SCD): \(x=-\dfrac34\), \(y=\dfrac14\), \(z=\dfrac94\).

\(|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\m&1&1\\1&m&1\end{vmatrix}=(m-1)^2\).

  • \(m\neq1\): SCD.
  • \(m=1\): las ecuaciones son \(x+y+z=2\), \(x+y+z=1\), \(x+y+z=1\). \(\operatorname{rg}A=1\) y \(\operatorname{rg}A^*=2\), SI.

Para \(m=0\): \(x=0\), \(y=1\), \(z=0\).

Sistema homogéneo: tiene soluciones no triviales si \(|A|=0\). \[|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&m\\1&2&-1\end{vmatrix}=1+m+4+1-2m+2=8-m\] luego \(m=8\). Con \(m=8\) el rango es 2 y la solución es \((x,y,z)=(-3\lambda,\,2\lambda,\,\lambda)\), \(\lambda\in\mathbb{R}\).

Comprobación con \(\lambda=1\): \(-3+2+1=0\) ✓; \(-6-2+8=0\) ✓; \(-3+4-1=0\) ✓.

\(|A|=\begin{vmatrix}1&-1&2\\2&1&-1\\1&2&m\end{vmatrix}=3(m+3)\).

  • \(m\neq-3\): SCD.
  • \(m=-3\): \(\operatorname{rg}A=2\) (menor \(\begin{vmatrix}1&-1\\2&1\end{vmatrix}=3\)) y \(\operatorname{rg}A^*=2\), SCI.

Para \(m=-3\): con \(z=3\lambda\): \(x=\dfrac{4-z}{3}\), \(y=\dfrac{1+5z}{3}\), es decir \((x,y,z)=\left(\dfrac{4}{3}-\lambda,\ \dfrac13+5\lambda,\ 3\lambda\right)\).

\(|A|=(a-1)^2(a+2)\).

  • \(a\neq1,-2\): solo la solución trivial \((0,0,0)\).
  • \(a=1\): las tres ecuaciones son \(x+y+z=0\), \(\operatorname{rg}=1\): \((x,y,z)=(-\lambda-\mu,\lambda,\mu)\).
  • \(a=-2\): \(\operatorname{rg}=2\) y la solución es \((x,y,z)=(\lambda,\lambda,\lambda)\).

  1. Restando: \(F_2-2F_1\) da \(-y-3z=-3\), luego \(y=3-3z\) y \(x=2-y-z=2z-1\). Con \(z=\lambda\): \((2\lambda-1,\ 3-3\lambda,\ \lambda)\). Es SCI.

  2. Compatible determinado: añadir \(x-z=0\) (obliga \(2\lambda-1=\lambda\), o sea \(\lambda=1\)): solución \((1,0,1)\).

Incompatible: añadir \(x+y+z=3\), que contradice a la primera ecuación.

Con las dos primeras: \(x=y=1\). Se comprueba en las otras: \(2+1=3\) ✓ y \(1+3=4\) ✓. SCD: \((1,1)\). Aquí \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2\).

De las dos primeras, \(x=y=1\). La tercera pide \(k+1=3\), luego \(k=2\).

Con Rouché: \(\left|\begin{matrix}1&1&2\\1&-1&0\\k&1&3\end{matrix}\right|=2k-4\). Si \(k\neq2\), \(\operatorname{rg}A^*=3>\operatorname{rg}A=2\): SI. Si \(k=2\): \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2\), SCD con \((1,1)\).

Los coeficientes son \(\begin{pmatrix}1&2\\2&a\end{pmatrix}\) con \(|A|=a-4\).

  1. \(a\neq4\): solución única.

  2. \(a=4\): \(F_2-2F_1=(0,0\,|\,b-6)\). Infinitas si \(b=6\).

  3. \(a=4\) y \(b\neq6\): incompatible.

\(|A|=\begin{vmatrix}1&m&1\\1&3&1\\m&1&1\end{vmatrix}=(m-1)(m-3)\).

  • \(m\neq1,3\): SCD.
  • \(m=1\): \(\operatorname{rg}A=2\) y \(\operatorname{rg}A^*=2\), SCI: \((x,y,z)=\left(\tfrac72-\lambda,\ \tfrac12,\ \lambda\right)\).
  • \(m=3\): \(\operatorname{rg}A=2\) y \(\operatorname{rg}A^*=3\), SI.

Para \(m=2\): \((1,1,1)\).

\(|A|=1(-2-3)-2(4-9)+(-1)(2+3)=-5+10-5=0\), luego hay soluciones no triviales. El rango es 2. Resolviendo con las dos primeras ecuaciones: \((x,y,z)=(-\lambda,\lambda,\lambda)\), \(\lambda\in\mathbb{R}\).

Comprobación con la tercera: \(-3\lambda+\lambda+2\lambda=0\) ✓.

\(|A|=-9\), \(|A_x|=-9\), \(|A_y|=-21\), \(|A_z|=-12\), por lo que \[x=\frac{-9}{-9}=1,\qquad y=\frac{-21}{-9}=\frac73,\qquad z=\frac{-12}{-9}=\frac43\]

\(|A|=(k-1)^2(k+2)\).

  • \(k\neq1,-2\): SCD con \(x=y=z=\dfrac{1}{k+2}\).
  • \(k=1\): todas las ecuaciones son \(x+y+z=1\), SCI con dos parámetros.
  • \(k=-2\): sumando las tres ecuaciones queda \(0=3\), SI.

Para \(k=2\): \(x=y=z=\dfrac14\).

Sean \(x\), \(y\), \(z\) los precios de adulto, niño y jubilado. \[\begin{cases}2x+3y+z=38\\x+2y+2z=32\\3x+y+z=36\end{cases}\] \(|A|=10\) y la solución es \(x=8\), \(y=5\), \(z=7\). Adulto 8 €, niño 5 €, jubilado 7 €.

Sean \(x\) (menor), \(y\) (mediano), \(z\) (mayor): \(x+y+z=36\), \(z=2x\), \(y=x+4\). Sustituyendo: \(x+(x+4)+2x=36\Rightarrow4x=32\), \(x=8\).

Edades: 8, 12 y 16 años.

Sean \(x\), \(y\), \(z\) los kg de los cafés de 6, 8 y 10 €/kg. \[\begin{cases}x+y+z=100\\6x+8y+10z=740\\x=2z\end{cases}\] Sustituyendo \(x=2z\): \(y=100-3z\) y \(12z+800-24z+10z=740\Rightarrow-2z=-60\), \(z=30\).

Resultado: \(x=60\) kg, \(y=10\) kg, \(z=30\) kg.

Sustituyendo los puntos: \(a+b+c=2\), \(4a+2b+c=3\), \(9a+3b+c=6\). Restando: \(3a+b=1\) y \(5a+b=3\), luego \(a=1\), \(b=-2\), \(c=3\).

Parábola: \(y=x^2-2x+3\).

Conservación de átomos: C: \(3a=c\); H: \(8a=2d\); O: \(2b=2c+d\). Con \(a=1\): \(c=3\), \(d=4\) y \(2b=6+4\), \(b=5\).

\(\mathrm{C_3H_8}+5\,\mathrm{O_2}\to3\,\mathrm{CO_2}+4\,\mathrm{H_2O}\).

Sean \(x\), \(y\), \(z\) los euros en cada producto. \[\begin{cases}x+y+z=10000\\0{,}02x+0{,}03y+0{,}05z=320\\y=z\end{cases}\] Con \(y=z\): \(x+2y=10000\) y \(0{,}02x+0{,}08y=320\), es decir \(x+4y=16000\). Restando: \(2y=6000\), \(y=3000\), \(x=4000\).

Puso 4000 € en el primero y 3000 € en cada uno de los otros dos.