PAU Andalucía — Determinantes

Ejercicios de Matemáticas II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es determinantes: 10 ejercicios de convocatorias ordinarias, extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la solución paso a paso con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

2026

Ordinaria 2026

Ejercicio 3.2 · Ordinaria 2026 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}\alpha&\beta&1\\2&\alpha&\beta\\3&4&\alpha\end{pmatrix}\) que cumple \(|A|=-2\).

  1. Calcula \(\begin{vmatrix}-3&-4&-\alpha\\\alpha-2&\beta-\alpha&1-\beta\\8&4\alpha&4\beta\end{vmatrix}\). (1,5 puntos)

  2. Calcula \(\left|A^{-1}(A^{t})^{2}A\right|\). (1 punto)

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

Datos. Sean \(F_1,F_2,F_3\) las filas de \(A\), con \(|A|=-2\).

a) Determinante pedido. 1. Las filas del determinante pedido son \(-F_3\), \(F_1-F_2\) y \(4F_2\). 2. Se saca factor común de cada fila: \(-1\) de la primera y \(4\) de la tercera: \[\begin{vmatrix}-F_3\\F_1-F_2\\4F_2\end{vmatrix}=-4\begin{vmatrix}F_3\\F_1-F_2\\F_2\end{vmatrix}.\] 3. Se suma la 3.ª fila a la 2.ª (no cambia el determinante): \(F_1-F_2+F_2=F_1\): \[-4\begin{vmatrix}F_3\\F_1\\F_2\end{vmatrix}=-4|A|.\] 4. \((F_3,F_1,F_2)\) es una permutación circular de las filas de \(A\) (dos intercambios), así que no cambia el signo. Entonces el determinante es \(-4|A|=-4\cdot(-2)\).

El determinante vale \(8\).

b) Determinante de un producto. 1. El determinante del producto es el producto de determinantes: \(|A^{-1}(A^t)^2A|=|A^{-1}|\,|A^t|^2\,|A|\). 2. Se usa \(|A^{-1}|=|A|^{-1}\) y \(|A^t|=|A|\): \[|A^{-1}(A^t)^2A|=|A|^{-1}|A|^2|A|=|A|^2.\] 3. Con \(|A|=-2\), \(|A|^2=4\).

Vale \(4\).

2025

Ordinaria · Suplente 1 2025

Ejercicio 6 · Ordinaria · Suplente 1 2025 · Bloque optativo 3 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sea la matriz \(A=\begin{pmatrix}\alpha&\alpha+4&0\\1&\alpha&1\\0&\alpha+4&\alpha\end{pmatrix}\).

  1. Indica para qué valores de \(\alpha\) la matriz \(A\) admite inversa. (1 punto)

  2. Para \(\alpha=1\) determina, si es posible, la matriz inversa de \(A\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Matrices.

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Matriz inversa.

  1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
  2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
  3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
  4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

a) Cuándo hay inversa. 1. \(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). 2. Desarrollando por la primera columna: \(|A|=\alpha(\alpha-4)(\alpha+2)\). 3. Se anula en \(\alpha=0\), \(\alpha=4\) y \(\alpha=-2\).

\(A\) admite inversa si \(\alpha\neq0,\ \alpha\neq4,\ \alpha\neq-2\).

b) Inversa para \(\alpha=1\). 1. La matriz es \(A=\begin{pmatrix}1&5&0\\1&1&1\\0&5&1\end{pmatrix}\) y \(|A|=-9\neq0\), luego existe \(A^{-1}\). 2. Se calcula la matriz adjunta, se traspone y se divide entre \(|A|=-9\).

Con la matriz adjunta: \[\mathbf{A^{-1}}=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&5&-5\\1&-1&1\\-5&5&4\end{pmatrix}.\]

(Comprobación: \(A\cdot A^{-1}=I\).)

Ordinaria · Suplente 2 2025

Ejercicio 5 · Ordinaria · Suplente 2 2025 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sabiendo que \(\begin{vmatrix}a&b&c\\x&y&z\\u&v&w\end{vmatrix}=1\), calcula razonadamente:

  1. \(\begin{vmatrix}a+x&b+y&c+z\\a&b&c\\2a+u&2b+v&2c+w\end{vmatrix}\). (1,5 puntos)

  2. \(\begin{vmatrix}z&c&w\\x&a&u\\y&b&v\end{vmatrix}\). (1 punto)

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

a) Primer determinante. 1. A la fila 1 le restamos la fila 2 y a la fila 3 le restamos \(2\cdot\) fila 2. Esto no cambia el determinante. 2. Queda \(\left|\begin{matrix}x&y&z\\a&b&c\\u&v&w\end{matrix}\right|\). 3. Es el determinante original con las filas 1 y 2 intercambiadas, y al intercambiar dos filas el determinante cambia de signo.

El valor es \(-1\).

b) Segundo determinante. 1. Se traspone (el determinante no cambia). Las filas son \((z,x,y)\), \((c,a,b)\) y \((w,u,v)\). 2. En cada fila, las columnas del original \((x,y,z)\), \((a,b,c)\), \((u,v,w)\) se han permutado cíclicamente de la misma manera. Una permutación cíclica de tres columnas es par: no cambia el signo. 3. Tras deshacerla, queda el original con las filas 1 y 2 intercambiadas: cambia de signo.

El valor es \(-1\).

Extraordinaria · Suplente 2 2025

Ejercicio 4 · Extraordinaria · Suplente 2 2025 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Se considera la matriz \(M=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\) con determinante igual a \(-5\).

  1. Calcula \(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{31}&2a_{21}\\3a_{12}&3a_{32}&6a_{22}\\2a_{13}&2a_{33}&4a_{23}\end{vmatrix}\). (1,25 puntos)

  2. Calcula \(\begin{vmatrix}2a_{11}-3a_{31}&2a_{12}-3a_{32}&4a_{13}-6a_{33}\\a_{21}&a_{22}&2a_{23}\\a_{31}&a_{32}&2a_{33}\end{vmatrix}\). (1,25 puntos)

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

a) Primer determinante. 1. De la fila 2 se saca el factor \(3\) y de la fila 3 el factor \(2\); de la columna 3 se saca el factor \(2\). En total, un factor \(3\cdot2\cdot2=12\). 2. Queda el determinante de la matriz cuyas filas son \((a_{11},a_{31},a_{21})\), \((a_{12},a_{32},a_{22})\) y \((a_{13},a_{33},a_{23})\). 3. Es \(M^t\) con las columnas 2 y 3 intercambiadas, así que su determinante es \(-|M^t|=-|M|\). 4. Por tanto: \[12\cdot(-|M|)=12\cdot5=\mathbf{60}.\]

b) Segundo determinante. 1. A la fila 1 le sumamos \(3\cdot\) fila 3 (no cambia el determinante): queda \((2a_{11},\,2a_{12},\,4a_{13})\). 2. Se saca el factor \(2\) de la fila 1 y el factor \(2\) de la columna 3: aparece un factor \(2\cdot2=4\) y queda \(|M|\). 3. Entonces: \[|\cdot|=4\cdot|M|=4\cdot(-5)=\mathbf{-20}.\]

2024

Ordinaria · Reserva 2024

Ejercicio 5 · Ordinaria · Reserva 2024 · Bloque C · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera las matrices \(A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\7&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}2&0&1\\0&1&0\\1/9&0&0\end{pmatrix}\).

  1. Calcula los determinantes de las matrices \(\left((AB)^{5}\right)^{-1}\) y \(27AB^{6}\). (1,25 puntos)

  2. Halla la matriz \(X\), si es posible, que verifica que \(AXB=9I\), donde \(I\) es la matriz identidad de orden 3. (1,25 puntos)

Relacionado también con: Matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

Datos. \(|A|=9\) y \(|B|=-\dfrac19\), luego \(|AB|=|A|\,|B|=-1\).

a) Determinantes. 1. Determinante de una inversa: \(|M^{-1}|=\dfrac1{|M|}\), y de una potencia, \(|M^n|=|M|^n\). Entonces \(\left|\big((AB)^5\big)^{-1}\right|=\dfrac1{|AB|^5}=\dfrac1{(-1)^5}=\mathbf{-1}\). 2. Para una matriz de orden \(3\), \(|kM|=k^3|M|\), así que \(|27AB^6|=27^3\,|A|\,|B|^6\). 3. Con \(27=3^3\): \(27^3=3^9\), \(|A|=9=3^2\) y \(|B|^6=3^{-12}\): \[|27AB^6|=3^9\cdot3^2\cdot3^{-12}=\mathbf{\dfrac13}.\]

b) Ecuación \(AXB=9I\). 1. \(|A|\neq0\) y \(|B|\neq0\), así que ambas son invertibles. 2. Se multiplica por \(A^{-1}\) por la izquierda y por \(B^{-1}\) por la derecha: \(X=9A^{-1}B^{-1}\) (existe y es única). 3. Se calcula el producto:

\[\mathbf{X=\begin{pmatrix}0&1&18\\0&1&-63\\9&0&-162\end{pmatrix}}\]

(comprobado: \(AXB=9I\)).

Extraordinaria · Reserva 2024

Ejercicio 5 · Extraordinaria · Reserva 2024 · Bloque C · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera las matrices \(A=\begin{pmatrix}x&y&z\\3&0&2\\1&1&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&y&z\end{pmatrix}\) y \(C=\begin{pmatrix}3&0&0\end{pmatrix}\).

  1. Sabiendo que el determinante de \(A\) es 5, calcula \(\begin{vmatrix}x-1&y-1&z-1\\1&1&1\\4&1&3\end{vmatrix}\), indicando las propiedades que utilizas. (1 punto)

  2. Calcula los valores \((x,y,z)\) tales que \(B\cdot A=C\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Matrices.

Propiedades de los determinantes.

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Propiedades de los determinantes.

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

a) Determinante con propiedades. Sea \(D\) el determinante pedido. 1. La fila 1 es \((x,y,z)-(1,1,1)\) y la fila 3 es \((3,0,2)+(1,1,1)\); la fila 2 es \((1,1,1)\). 2. Linealidad en filas: el determinante se descompone en suma de determinantes. Los que contienen la fila \((1,1,1)\) dos veces valen \(0\) (dos filas iguales), así que solo queda el término con \((x,y,z)\) y \((3,0,2)\): \[D=\begin{vmatrix}x&y&z\\1&1&1\\3&0&2\end{vmatrix}.\] 3. Intercambio de dos filas: pasar la fila \((3,0,2)\) al lugar 2 y la \((1,1,1)\) al 3 cambia el signo: \[D=-\begin{vmatrix}x&y&z\\3&0&2\\1&1&1\end{vmatrix}=-|A|\] 4. Con \(|A|=5\):

\[\mathbf{D=-5}\]

b) Ecuación \(B\cdot A=C\). 1. Producto fila por matriz: \(B\cdot A=(x+3y+z,\ y+z,\ 2y+2z)\). 2. Se iguala a \(C=(3,0,0)\): \(x+3y+z=3\), \(y+z=0\) y \(2y+2z=0\) (la tercera repite la segunda). 3. Con \(z=\lambda\): \(y=-\lambda\) y \(x=3-3y-z=3+3\lambda-\lambda=3+2\lambda\).

\[\mathbf{(x,y,z)=(3+2\lambda,\,-\lambda,\,\lambda),\ \lambda\in\mathbb{R}}\]

(infinitas soluciones).

2022

Extraordinaria 2022

Ejercicio 6 · Extraordinaria 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se sabe que \(\begin{vmatrix}a&b&c\\p&q&r\\x&y&z\end{vmatrix}=-2\).

  1. Calcula: \(\begin{vmatrix}a&c&b\\2x&2z&2y\\-3p&-3r&-3q\end{vmatrix}\) (1 punto)

  2. Calcula: \(\begin{vmatrix}x&a-3p&-2a\\y&b-3q&-2b\\z&c-3r&-2c\end{vmatrix}\) (1,5 puntos)

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

Datos. Sea \(M\) la matriz del enunciado, con \(|M|=-2\). Se usan estas propiedades: sacar un factor \(k\) de una fila (o columna) multiplica el determinante por \(k\); intercambiar dos filas (o columnas) cambia su signo; sumar a una fila (o columna) un múltiplo de otra no cambia el determinante.

a) Primer determinante. 1. Se saca factor \(2\) de la fila 2 y factor \(-3\) de la fila 3: el determinante se multiplica por \(2\cdot(-3)=-6\). 2. Intercambiar las columnas 2 y 3 cambia el signo: factor \(-1\). 3. Intercambiar las filas 2 y 3 (para recuperar el orden \(a,p,x\) de las filas) cambia otra vez el signo: factor \(-1\). 4. Queda el determinante de \(M\): \[-6\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-2)=12.\]

Valor: \(12\).

b) Segundo determinante. Se trabaja con las columnas. Sean \(\mathbf{x}=(x,y,z)^t\), \(\mathbf{p}=(p,q,r)^t\) y \(\mathbf{a}=(a,b,c)^t\). El determinante es \(|\mathbf{x}\;\;\mathbf{a}-3\mathbf{p}\;\;-2\mathbf{a}|\). 1. Se saca \(-2\) de la columna 3: factor \(-2\) y queda \(|\mathbf{x}\;\;\mathbf{a}-3\mathbf{p}\;\;\mathbf{a}|\). 2. A la columna 2 se le resta la columna 3: \(\mathbf{a}-3\mathbf{p}-\mathbf{a}=-3\mathbf{p}\) (no cambia el valor). 3. Se saca \(-3\) de la columna 2: factor \(-3\). En total: \[|\mathbf{x}\;\;\mathbf{a}-3\mathbf{p}\;\;-2\mathbf{a}|=(-2)(-3)\,|\mathbf{x}\;\;\mathbf{p}\;\;\mathbf{a}|=6\,|\mathbf{x}\;\;\mathbf{p}\;\;\mathbf{a}|.\] 4. El determinante dado, por filas (\(a,b,c\) / \(p,q,r\) / \(x,y,z\)), es el de \(|\mathbf{a}\;\;\mathbf{p}\;\;\mathbf{x}|=-2\) (un determinante no cambia al trasponer). 5. Intercambiar las columnas 1 y 3 cambia el signo: \(|\mathbf{x}\;\;\mathbf{p}\;\;\mathbf{a}|=-|\mathbf{a}\;\;\mathbf{p}\;\;\mathbf{x}|=2\). 6. Valor: \(6\cdot2=12\).

Valor: \(12\).

2021

Ordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 6 · Ordinaria · Reserva 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\1&2&3\end{pmatrix}\), con determinante igual a \(2\).

  1. Calcula razonadamente \(\left|\tfrac13A^{-1}A^{t}\right|\). (0,5 puntos)

  2. Calcula razonadamente los determinantes

\[\begin{vmatrix}6c&2b&2a\\3f&e&d\\9&2&1\end{vmatrix}\qquad\text{y}\qquad\begin{vmatrix}2a-2b&c&b\\2d-2e&f&e\\-2&3&2\end{vmatrix}.\quad\textit{(2 puntos)}\]

Relacionado también con: Matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

Dato. \(|A|=2\).

a) \(\left|\tfrac13A^{-1}A^t\right|\). 1. Para una matriz de orden \(3\): \(|kM|=k^3|M|\), así que sale \(\left(\tfrac13\right)^3\). 2. \(|A^{-1}|=\dfrac1{|A|}\) y \(|A^t|=|A|\). 3. \(\left|\tfrac13A^{-1}A^t\right|=\left(\tfrac13\right)^3\cdot\dfrac1{|A|}\cdot|A^t|=\dfrac1{27}\cdot\dfrac12\cdot2=\) \(\dfrac1{27}\).

b) Los dos determinantes.

Primero: 1. Se intercambian las columnas 1 y 3: el determinante cambia de signo, y queda con filas \((2a,2b,6c)\), \((d,e,3f)\), \((1,2,9)\). 2. Se saca factor \(2\) de la fila 1 y factor \(3\) de la columna 3: queda \(|A|\) multiplicado por \(2\cdot3\). 3. Vale \(-(2\cdot3)\,|A|=\) \(-12\).

Segundo: 1. La columna 1 es \(2\bigl[(a,d,1)-(b,e,2)\bigr]\). Sumando a la columna 1 el doble de la columna 3, \((b,e,2)\), queda \(2\,(a,d,1)\) (el determinante no cambia). 2. Se saca el factor \(2\) de la columna 1: queda \(2\,\bigl|(a,d,1),(c,f,3),(b,e,2)\bigr|\). 3. Las columnas son las de \(A\) con las columnas 2 y 3 intercambiadas, así que ese determinante es \(-|A|\). 4. Vale \(2\cdot(-|A|)=\) \(-4\).

Extraordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 5 · Extraordinaria · Reserva 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}a&2&1\\b&-1&1\\c&1&1\end{pmatrix}\), con determinante igual a \(5\).

  1. Calcula razonadamente el determinante de \(2A^{3}\). (0,5 puntos)

  2. Calcula razonadamente los determinantes

\[\begin{vmatrix}2a&-1&3\\2b&1/2&3\\2c&-1/2&3\end{vmatrix}\qquad\text{y}\qquad\begin{vmatrix}a&b&c\\a+4&b-2&c+2\\a+1&b+1&c+1\end{vmatrix}.\quad\textit{(2 puntos)}\]

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

Dato. \(|A|=5\).

a) \(|2A^3|\). 1. Para una matriz de orden \(3\): \(|kM|=k^3|M|\) y \(|M^n|=|M|^n\). 2. \(|2A^3|=2^3\,|A|^3=8\cdot125=\) \(1000\).

b) Los dos determinantes.

Primero: 1. Las columnas son \((2a,2b,2c)\), \(\left(-1,\tfrac12,-\tfrac12\right)\) y \((3,3,3)\). 2. Se saca factor \(2\) de la columna 1, \(-\frac12\) de la columna 2 (queda \((2,-1,1)\)) y \(3\) de la columna 3 (queda \((1,1,1)\)). 3. Quedan las columnas de \(A\): vale \(2\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot3\,|A|=-3\cdot5=\) \(-15\).

Segundo: 1. Las filas son \((a,b,c)\), \((a+4,b-2,c+2)\) y \((a+1,b+1,c+1)\). 2. Se resta la fila 1 a las otras dos (el determinante no cambia): \((a,b,c)\), \((4,-2,2)\), \((1,1,1)\). 3. La segunda fila es \(2\cdot(2,-1,1)\): se saca el factor \(2\) y quedan las filas de \(A^t\), con \(|A^t|=|A|\). 4. Vale \(2\,|A|=\) \(10\).

Extraordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 5 · Extraordinaria · Suplente 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}m&m&m\\m&m+1&m\\m&m&m+2\end{pmatrix}\).

  1. ¿Para qué valores de \(m\) existe la inversa de la matriz \(A\)? Razona la respuesta. (1,5 puntos)

  2. Para \(m=1\), halla \(\left(\dfrac12A\right)^{-1}\). (1 punto)

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Matriz inversa.

  1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
  2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
  3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
  4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

a) Valores de \(m\) con inversa. 1. \(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). 2. Restando la primera fila a las otras dos: \(|A|=\begin{vmatrix}m&m&m\\0&1&0\\0&0&2\end{vmatrix}=2m\).

Existe \(A^{-1}\) si y solo si \(m\neq0\).

b) \(\left(\frac12A\right)^{-1}\) para \(m=1\). 1. Se usa \(\left(kM\right)^{-1}=\frac1kM^{-1}\): \(\left(\tfrac12A\right)^{-1}=2A^{-1}\). 2. \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}\) y \(|A|=2\). 3. Se calcula \(A^{-1}\) (adjunta traspuesta entre \(2\)) y se multiplica por \(2\):

\[\left(\tfrac12A\right)^{-1}=\begin{pmatrix}5&-2&-1\\-2&2&0\\-1&0&1\end{pmatrix}\]

También trabajan este tema

Ejercicios cuyo tema principal es otro pero en los que aparece este tema:

Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.