Determinantes — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 7 son básicos y del 8 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía (2021 en adelante). Las soluciones están al final.

Cálculo de determinantes

1. Calcula \(\begin{vmatrix}3&-1\\2&5\end{vmatrix}\) y \(\begin{vmatrix}4&6\\2&3\end{vmatrix}\).

2. Calcula con la regla de Sarrus \(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{vmatrix}\).

3. Calcula \(\begin{vmatrix}2&0&1\\1&3&-1\\0&4&2\end{vmatrix}\) desarrollando por la primera fila.

4. Calcula \(\begin{vmatrix}1&2&0&1\\0&1&3&2\\2&0&1&1\\1&1&0&3\end{vmatrix}\) haciendo ceros y desarrollando por adjuntos.

5. Calcula \(\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{vmatrix}\) y comprueba el resultado con la fórmula de Vandermonde.

Propiedades

6. Sabiendo que \(\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=5\), calcula sin desarrollar:

  1. \(\begin{vmatrix}d&e&f\\a&b&c\\g&h&i\end{vmatrix}\)

  2. \(\begin{vmatrix}2a&2b&2c\\3d&3e&3f\\g&h&i\end{vmatrix}\)

  3. \(\begin{vmatrix}a&b&c\\d+a&e+b&f+c\\g&h&i\end{vmatrix}\)

  4. \(\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g+2a&h+2b&i+2c\end{vmatrix}\)

7. (Tipo PAU) Demuestra que \(\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b)\).

Ecuaciones con determinantes

8. (Tipo PAU) Resuelve \(\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}=0\).

9. (Tipo PAU) Resuelve \(\begin{vmatrix}x&1&2\\1&x&0\\2&0&x\end{vmatrix}=0\).

10. (Tipo PAU) Halla para qué valores de \(m\) la matriz \(A=\begin{pmatrix}m&2\\8&m\end{pmatrix}\) no tiene inversa. Calcula \(A^{-1}\) para \(m=0\).

Rango

11. (Tipo PAU) Estudia el rango de \(S=\begin{pmatrix}1&1&m\\1&m&1\\m&1&1\end{pmatrix}\) según \(m\).

12. (Tipo PAU) Estudia el rango de \(T=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&m&1&m\\1&1&m&m^2\end{pmatrix}\) según \(m\).

13. Calcula el rango de \(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&0&1\end{pmatrix}\) usando menores.

Matriz inversa

14. (Tipo PAU) Calcula la inversa de \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{pmatrix}\) con adjuntos.

15. (Tipo PAU) Sea \(A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&a&0\\1&0&a\end{pmatrix}\). Halla los valores de \(a\) para los que \(A\) es invertible y calcula \(A^{-1}\) para \(a=2\).

16. ¿Es invertible \(P=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&1&-1\\1&0&2\end{pmatrix}\)? Justifica la respuesta.

17. (Tipo PAU) Sean \(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\\0&3\end{pmatrix}\). Resuelve \(AX=B\).

18. (Tipo PAU) Sea \(L=\begin{pmatrix}1&0&0\\a&1&0\\b&c&1\end{pmatrix}\). Calcula \(|L|\) y \(L^{-1}\).

19. (Tipo PAU) Sea \(A=\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}\). Comprueba que \(A^2-2A+I=O\) y deduce que \(A\) es invertible calculando \(A^{-1}\) a partir de esa igualdad.

Propiedades con matrices de orden 3

20. (Tipo PAU) Sean \(A\) y \(B\) matrices de orden 3 con \(|A|=2\) y \(|B|=-3\). Calcula \(|AB|\), \(|A^{-1}B^t|\), \(|2AB^{-1}|\), \(|A^3|\) y \(|(AB)^{-1}|\).

21. Sea \(A\) una matriz de orden 3 con \(|A|=2\). Calcula \(|3A|\), \(|A^t|\), \(|A^{-1}|\), \(|A^2|\) y \(|2A^{-1}|\).

22. Demuestra que una matriz antisimétrica de orden impar tiene determinante 0.

23. (Tipo PAU) Si \(A\) es una matriz cuadrada con \(AA^t=I\), ¿qué valores puede tomar \(|A|\)?

Problemas

24. (Tipo PAU) Demuestra, sin desarrollar por Sarrus, que \(\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1+a&1\\1&1&1+b\end{vmatrix}=ab\).

25. (Tipo PAU) Sea \(P=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{pmatrix}\). Demuestra que \(P\) es invertible y calcula \(|P^{-1}|\) y \(|P^{-1}P^t|\).

Soluciones

\(\begin{vmatrix}3&-1\\2&5\end{vmatrix}=15+2=17\) y \(\begin{vmatrix}4&6\\2&3\end{vmatrix}=12-12=0\) (las filas son proporcionales).

Sarrus: \(1\cdot1\cdot0+2\cdot4\cdot5+3\cdot0\cdot6-3\cdot1\cdot5-1\cdot4\cdot6-2\cdot0\cdot0=40-15-24=1\).

\(2\begin{vmatrix}3&-1\\4&2\end{vmatrix}-0\begin{vmatrix}1&-1\\0&2\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&3\\0&4\end{vmatrix}=2\cdot10+4=24\).

Se hacen ceros en la columna 3 usando \(F_3\) (elemento 1): \(F_2-3F_3\) da \((-6,1,0,-1)\). Desarrollando por la columna 3, solo queda el elemento \(a_{33}=1\) con signo \((-1)^{3+3}=+\): \[\begin{vmatrix}1&2&1\\-6&1&-1\\1&1&3\end{vmatrix}=3-2-6-1+1+36=31\] Resultado: \(31\).

Por Sarrus: \(1\cdot2\cdot9+1\cdot3\cdot1+1\cdot1\cdot4-1\cdot2\cdot1-1\cdot3\cdot4-1\cdot1\cdot9=18+3+4-2-12-9=2\).

Con Vandermonde (\(a=1,b=2,c=3\)): \((2-1)(3-1)(3-2)=1\cdot2\cdot1=2\). ✓

  1. Se intercambian dos filas: \(-5\).

  2. Se multiplican dos filas por 2 y 3: \(2\cdot3\cdot5=30\).

  3. Sumar a una fila otra fila no cambia el determinante: \(5\).

  4. Igual que el anterior: \(5\).

Restando a cada columna la anterior (\(C_3-C_2\), luego \(C_2-C_1\)): \[\begin{vmatrix}1&0&0\\a&b-a&c-b\\a^2&b^2-a^2&c^2-b^2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}b-a&c-b\\(b-a)(b+a)&(c-b)(c+b)\end{vmatrix}\] Sacando factor común \((b-a)\) de la primera columna y \((c-b)\) de la segunda: \[(b-a)(c-b)\begin{vmatrix}1&1\\b+a&c+b\end{vmatrix}=(b-a)(c-b)(c+b-b-a)=(b-a)(c-b)(c-a)\]

Desarrollando: \(x^3+1+1-x-x-x=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)\).

Soluciones: \(x=1\) (doble) y \(x=-2\).

Desarrollando por la primera fila: \(x(x^2-0)-1(x-0)+2(0-2x)=x^3-x-4x=x^3-5x=x(x^2-5)\).

Soluciones: \(x=0\), \(x=\sqrt5\), \(x=-\sqrt5\).

\(|A|=m^2-16\). No tiene inversa cuando \(m^2=16\), es decir, \(m=4\) o \(m=-4\).

Para \(m=0\): \(A=\begin{pmatrix}0&2\\8&0\end{pmatrix}\), \(|A|=-16\) y \[A^{-1}=\frac{1}{-16}\begin{pmatrix}0&-2\\-8&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1/8\\1/2&0\end{pmatrix}\]

\(|S|=-(m-1)^2(m+2)\).

  • Si \(m\neq1\) y \(m\neq-2\): \(|S|\neq0\), \(\operatorname{rg}S=3\).
  • Si \(m=1\): todas las filas son \((1,1,1)\), \(\operatorname{rg}S=1\).
  • Si \(m=-2\): \(|S|=0\) y el menor \(\begin{vmatrix}1&1\\1&-2\end{vmatrix}=-3\neq0\), luego \(\operatorname{rg}S=2\).

El menor formado por las tres primeras columnas es \(\begin{vmatrix}1&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{vmatrix}=(m-1)^2\).

  • Si \(m\neq1\): ese menor no es 0, luego \(\operatorname{rg}T=3\).
  • Si \(m=1\): las tres filas son \((1,1,1,1)\), luego \(\operatorname{rg}T=1\).

\(|A|=0\) porque \(F_2=2F_1\), así que el rango es menor que 3. El menor \(\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}=-2\neq0\), luego \(\operatorname{rg}=2\).

\(|A|=1\neq0\). Adjuntos: \(A_{11}=-24\), \(A_{12}=20\), \(A_{13}=-5\), \(A_{21}=18\), \(A_{22}=-15\), \(A_{23}=4\), \(A_{31}=5\), \(A_{32}=-4\), \(A_{33}=1\).

\[A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}-24&20&-5\\18&-15&4\\5&-4&1\end{pmatrix}^t=\begin{pmatrix}-24&18&5\\20&-15&-4\\-5&4&1\end{pmatrix}\]

Desarrollando por la segunda fila: \(|A|=a\begin{vmatrix}1&1\\1&a\end{vmatrix}=a(a-1)\).

\(A\) es invertible si \(a\neq0\) y \(a\neq1\).

Para \(a=2\): \(|A|=2\) y \[A^{-1}=\begin{pmatrix}2&0&-1\\0&1/2&0\\-1&0&1\end{pmatrix}\]

\(|P|=2(2-0)-1(0+1)+3(0-1)=4-1-3=0\). Como \(|P|=0\), \(P\) no es invertible.

\(|A|=2\) y \(A^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}\). Entonces \[X=A^{-1}B=\frac12\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\\0&3\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}-1&2\\3&-2\\1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1/2&1\\3/2&-1\\1/2&2\end{pmatrix}\]

Es triangular con unos en la diagonal, luego \(|L|=1\). Su inversa: \[L^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-a&1&0\\ac-b&-c&1\end{pmatrix}\]

\(A^2=\begin{pmatrix}3&2\\-2&-1\end{pmatrix}\), por lo que \(A^2-2A+I=\begin{pmatrix}3-4+1&2-2\\-2+2&-1+1\end{pmatrix}=O\).

De \(A^2-2A+I=O\): \(A(2I-A)=I\), luego \(A\) es invertible y \(A^{-1}=2I-A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&2\end{pmatrix}\).

  • \(|AB|=2\cdot(-3)=-6\).
  • \(|A^{-1}B^t|=\frac12\cdot(-3)=-\frac32\).
  • \(|2AB^{-1}|=2^3\cdot2\cdot\left(-\frac13\right)=-\frac{16}{3}\).
  • \(|A^3|=2^3=8\).
  • \(|(AB)^{-1}|=\dfrac{1}{-6}=-\dfrac16\).
  • \(|3A|=3^3\cdot2=54\).
  • \(|A^t|=2\).
  • \(|A^{-1}|=\frac12\).
  • \(|A^2|=4\).
  • \(|2A^{-1}|=2^3\cdot\frac12=4\).

Si \(A^t=-A\) y \(A\) es de orden \(n\): \(|A|=|A^t|=|-A|=(-1)^n|A|\). Si \(n\) es impar, \(|A|=-|A|\), luego \(2|A|=0\) y \(|A|=0\).

\(|AA^t|=|I|=1\), luego \(|A|\,|A^t|=|A|^2=1\). Por tanto \(|A|=1\) o \(|A|=-1\).

Restamos la primera fila a la segunda y a la tercera: \(F_2-F_1=(0,a,0)\) y \(F_3-F_1=(0,0,b)\). La matriz queda triangular: \[\begin{vmatrix}1&1&1\\0&a&0\\0&0&b\end{vmatrix}=1\cdot a\cdot b=ab\]

\(|P|=2\) (ejercicio 5), luego \(P\) es invertible. Entonces \(|P^{-1}|=\frac12\) y \(|P^{-1}P^t|=\frac12\cdot|P^t|=\frac12\cdot2=1\).