Determinantes
1. Determinante de una matriz cuadrada
El determinante \(|A|\) (o \(\det A\)) asigna un número a cada matriz cuadrada. Sirve para saber si \(A\) tiene inversa, calcularla, hallar el rango y resolver sistemas.
Orden 2: producto de la diagonal principal menos producto de la diagonal secundaria.
\[\left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right|=ad-bc\qquad\text{Ejemplo: }\left|\begin{matrix}3&-1\\2&5\end{matrix}\right|=15+2=17\]
Orden 3 — regla de Sarrus: suma de los tres productos en la dirección de la diagonal principal menos los tres en la dirección de la secundaria.
\[\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\]
Sarrus solo vale para orden 3. Para orden 4 o mayor se usan adjuntos o se hacen ceros.
2. Menores y adjuntos: desarrollo por una fila o columna
- El menor \(M_{ij}\) es el determinante que queda al quitar la fila \(i\) y la columna \(j\).
- El adjunto es \(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\). Los signos forman el tablero \(\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}\).
Desarrollo por la fila \(i\): \[|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in}\]
Se puede desarrollar por cualquier fila o columna; conviene elegir la que tenga más ceros.
Ejemplo, desarrollando por la primera fila: \[\left|\begin{matrix}2&0&1\\1&3&-1\\0&4&2\end{matrix}\right|=2\left|\begin{matrix}3&-1\\4&2\end{matrix}\right|-0+1\left|\begin{matrix}1&3\\0&4\end{matrix}\right|=2\cdot10+4=24\]
3. Propiedades
Sean \(A,B\) matrices cuadradas de orden \(n\) y \(k\) un número:
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Traspuesta | \(\det A^t=\det A\) |
| Producto | \(\det(AB)=\det A\cdot\det B\) |
| Inversa | \(\det A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\) |
| Producto por un número | \(\det(kA)=k^n\det A\) |
| Potencia | \(\det(A^m)=(\det A)^m\) |
Sobre filas (o columnas):
- Si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo.
- Si una fila se multiplica por \(k\), el determinante queda multiplicado por \(k\).
- Si a una fila se le suma un múltiplo de otra, el determinante no cambia.
- Si una fila es combinación lineal de otras (en particular, dos filas iguales o proporcionales, o una fila de ceros), \(|A|=0\).
- El determinante de una matriz triangular (o diagonal) es el producto de su diagonal.
Ojo: \(|A+B|\neq|A|+|B|\) en general, y \(|kA|\neq k|A|\) (es \(k^n|A|\)).
Truco para calcular: usa la propiedad 3 para hacer ceros en una columna y desarrolla por ella. En un determinante \(4\times4\) conviene dejar un solo elemento no nulo en una columna.
4. Matriz inversa con determinantes
\(A\) es invertible \(\iff|A|\neq0\). En ese caso:
\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\]
donde \(\operatorname{Adj}A\) es la matriz formada por los adjuntos \(A_{ij}\).
Pasos: (1) calcula \(|A|\) y comprueba que no es 0; (2) calcula la matriz de adjuntos; (3) trasponla; (4) divide entre \(|A|\).
Para orden 2: \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\).
Ejemplo: \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{pmatrix}\) tiene \(|A|=1\). Sus adjuntos dan \[\operatorname{Adj}A=\begin{pmatrix}-24&20&-5\\18&-15&4\\5&-4&1\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad A^{-1}=\begin{pmatrix}-24&18&5\\20&-15&-4\\-5&4&1\end{pmatrix}\]
5. Rango por menores
El rango de \(A\) es el orden del mayor menor no nulo.
Método:
- Busca un menor de orden 1 no nulo (un elemento \(\neq0\)): \(\operatorname{rg}\ge1\).
- Busca un menor de orden 2 no nulo: \(\operatorname{rg}\ge2\).
- Orla ese menor con una fila y una columna más; si todos los menores de orden 3 que lo contienen son 0, el rango es 2. Y así sucesivamente.
Con un parámetro \(m\): calcula los menores del orden máximo, iguala a 0, y estudia por separado los valores problemáticos de \(m\).
Ejemplo: \(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&0&1\end{pmatrix}\) tiene \(|A|=0\) (la fila 2 es el doble de la 1) y el menor \(\left|\begin{matrix}1&2\\1&0\end{matrix}\right|=-2\neq0\), luego el rango es 2.
6. Ecuaciones con determinantes
- Para que una matriz cuadrada con parámetro no sea invertible: resuelve \(|A|=0\).
- Para resolver \(|A|=0\) con una incógnita \(x\): desarrolla, factoriza y busca las raíces.
- Determinante de Vandermonde: \[\left|\begin{matrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{matrix}\right|=(b-a)(c-a)(c-b)\]
- \(|A|\neq0\iff A\) invertible \(\iff\operatorname{rg}A=n\).
- \(|AB|=|A||B|\), \(|A^{-1}|=1/|A|\), \(|kA|=k^n|A|\).
- Intercambiar filas cambia el signo; sumar múltiplos de otra fila no cambia nada.
- \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}(\operatorname{Adj}A)^t\).
- Rango: mayor orden de un menor no nulo.