PAU Andalucía — Matrices

Ejercicios de Matemáticas II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es matrices: 26 ejercicios de convocatorias ordinarias, extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la solución paso a paso con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

2026

Ordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 4.1 · Ordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen

Dadas las matrices \(A=\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}\) y \(C=\begin{pmatrix}1&4&2\end{pmatrix}\), calcula la matriz \(X\) que satisface \(X-2C=B^{t}+XA\).

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Ecuación matricial. 1. Se agrupan los términos con \(X\): \(X-2C=B^t+XA\Rightarrow X-XA=B^t+2C\Rightarrow X(I-A)=B^t+2C\). 2. Se multiplica por la derecha por \((I-A)^{-1}\) (la incógnita está a la izquierda): \(X=(B^t+2C)(I-A)^{-1}\). Existe porque \(|I-A|=1\ne0\).

Matrices. 1. \(B^t+2C=(1,\ 10,\ 7)\) y \(I-A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\1&-1&0\\0&-1&0\end{pmatrix}\). 2. \((I-A)^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&-1\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}\). 3. Producto: \[X=(1,\ 10,\ 7)\begin{pmatrix}0&1&-1\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}.\]

\(X=\begin{pmatrix}-7&1&-11\end{pmatrix}\). (Comprobado: \(X-2C-B^t-XA=0\).)

Extraordinaria 2026

Ejercicio 3.2 · Extraordinaria 2026 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen

Considera las matrices \(A=\begin{pmatrix}2&2\\3&4\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}\).

  1. Halla razonadamente el determinante de una matriz \(X\) que verifica \(A^{3}XB^{t}=5B^{2}A^{-1}\). (1 punto)

  2. Determina, si existe, una matriz \(Y\) que verifica \(A^{3}YB^{-1}=A^{2}\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Determinantes.

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Propiedades de los determinantes.

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

Ecuaciones matriciales.

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Propiedades de los determinantes.

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

Datos. \(|A|=2\) y \(|B|=4\).

a) Determinante de \(X\). 1. Se toman determinantes en \(A^3XB^t=5B^2A^{-1}\). Como son matrices \(2\times2\), \(|5M|=5^2|M|=25|M|\). 2. Propiedades: \(|MN|=|M||N|\), \(|B^t|=|B|\) y \(|A^{-1}|=|A|^{-1}\): \[|A|^3|X||B|=25\,|B|^2\,|A|^{-1}.\] 3. Con los valores: \(8\cdot4\,|X|=25\cdot16\cdot\tfrac12=200\).

\(|X|=\dfrac{25}{4}\).

b) Matriz \(Y\). 1. Se despeja: de \(A^3YB^{-1}=A^2\) se multiplica por la izquierda por \(A^{-3}\) y por la derecha por \(B\): \(Y=A^{-3}A^2B=A^{-1}B\). Existe porque \(|A|\neq0\) y \(|B|\neq0\). 2. Inversa: \(A^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3/2&1\end{pmatrix}\). 3. Producto:

\(Y=A^{-1}B=\begin{pmatrix}4&0\\-5/2&1/2\end{pmatrix}\).

2025

Ordinaria · Suplente 2 2025

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente 2 2025 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}0&3&4\\1&-4&-5\\-1&3&4\end{pmatrix}\).

  1. Comprueba que \(A^{3}+I=O\), siendo \(I\) la matriz identidad y \(O\) la matriz nula. Calcula \(A^{-1}\). (1,5 puntos)

  2. Calcula \(A^{2025}\). (1 punto)

\(A^n=A\cdot A\cdots A\). Para hallar \(A^n\) se calculan \(A^2,A^3,\dots\) hasta ver un patrón (por ejemplo \(A^k=0\), \(A^k=I\) o \(A^k=A\)) y se demuestra o se aplica. Si \(A^k=I\), entonces \(A^{n}=A^{n\bmod k}\).

  1. Calcula \(A^2\) y \(A^3\) con cuidado (orden de los factores).
  2. Busca el patrón: ¿se anula?, ¿se repite?, ¿crece de forma regular en un elemento?
  3. Expresa \(A^n\) usando el patrón y comprueba con \(n=1,2\).

a) Comprobación y matriz inversa. 1. Se calcula \(A^2=\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&4&4\\-1&-3&-3\end{pmatrix}\). 2. Se multiplica otra vez: \(A^3=A\cdot A^2=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}=-I\), luego \(A^3+I=O\). 3. De \(A\cdot A^2=-I\) sale \(A\cdot(-A^2)=I\), de modo que \(-A^2\) es la inversa de \(A\): \[\mathbf{A^{-1}}=-A^2=\begin{pmatrix}1&0&-1\\-1&-4&-4\\1&3&3\end{pmatrix}.\]

b) Potencia \(A^{2025}\). 1. \(2025=3\cdot675\). 2. \(A^{2025}=(A^3)^{675}=(-I)^{675}=-I\), porque \(675\) es impar.

\(A^{2025}=\mathbf{-I}\).

Extraordinaria · Suplente 1 2025

Ejercicio 4 · Extraordinaria · Suplente 1 2025 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\).

  1. Calcula \(A^{4}\) y \(A^{31}\). (1,25 puntos)

  2. Halla razonadamente el determinante de la matriz \(4A^{25}(A^{t})^{4}\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Determinantes.

Potencias de una matriz.

\(A^n=A\cdot A\cdots A\). Para hallar \(A^n\) se calculan \(A^2,A^3,\dots\) hasta ver un patrón (por ejemplo \(A^k=0\), \(A^k=I\) o \(A^k=A\)) y se demuestra o se aplica. Si \(A^k=I\), entonces \(A^{n}=A^{n\bmod k}\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Propiedades de los determinantes.

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

Potencias de una matriz.

  1. Calcula \(A^2\) y \(A^3\) con cuidado (orden de los factores).
  2. Busca el patrón: ¿se anula?, ¿se repite?, ¿crece de forma regular en un elemento?
  3. Expresa \(A^n\) usando el patrón y comprueba con \(n=1,2\).

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Propiedades de los determinantes.

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

a) Potencias de \(A\). 1. \(A^2=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I\). 2. Entonces \(A^4=(A^2)^2=I\). 3. \(31=4\cdot7+3\), así que \(A^{31}=(A^4)^7A^3=A^3=A^2\cdot A=-A\).

\[\textbf{A}^{4}=I,\qquad \textbf{A}^{31}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.\]

b) Determinante. 1. Para una matriz \(2\times2\), \(|4M|=4^2|M|\). 2. \(|A|=1\) y \(|A^t|=|A|=1\). 3. Por las propiedades del determinante: \[|4A^{25}(A^t)^4|=16\,|A|^{25}|A|^4=16\cdot1\cdot1=\mathbf{16}.\]

Ejercicio 5 · Extraordinaria · Suplente 1 2025 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Sean las matrices \(A=\begin{pmatrix}2&2\\3&4\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}\).

  1. Halla razonadamente el determinante de una matriz \(X\) que verifica \(X^{3}AX^{2}=B^{2}\). (1 punto)

  2. Determina, si existe, una matriz \(Y\) que verifique \(A^{3}YB^{-1}=A^{2}\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Determinantes.

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Propiedades de los determinantes.

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

Ecuaciones matriciales.

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Propiedades de los determinantes.

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

a) Determinante de \(X\). 1. Se toman determinantes en \(X^3AX^2=B^2\): \(|X|^3\,|A|\,|X|^2=|B|^2\). 2. \(|A|=8-6=2\) y \(|B|=6-2=4\). 3. Entonces \(2|X|^5=16\), luego \(|X|^5=8\).

\(|X|=\sqrt[5]{8}=2^{3/5}\).

b) Matriz \(Y\). 1. \(|A|=2\neq0\) y \(|B|=4\neq0\), así que \(A\) y \(B\) son invertibles y la matriz \(Y\) existe. 2. Se multiplica por \(A^{-3}\) por la izquierda y por \(B\) por la derecha: \(Y=A^{-3}A^{2}B=A^{-1}B\). 3. \(A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3/2&1\end{pmatrix}\). 4. Producto:

\[\mathbf{Y}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3/2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\-5/2&1/2\end{pmatrix}.\]

Extraordinaria · Suplente 2 2025

Ejercicio 5 · Extraordinaria · Suplente 2 2025 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Sean las matrices \(A=\begin{pmatrix}a&3\\b&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\\1&1\end{pmatrix}\).

  1. Determina \(a\) y \(b\) para que \(A^{2}=4I\), donde \(I\) es la matriz identidad de orden 2. (1,5 puntos)

  2. Para \(a=-1\) y \(b=1\), calcula, si es posible, la matriz \(X\) que cumple \(A^{2}X=B^{t}\). (1 punto)

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Potencias de una matriz.

\(A^n=A\cdot A\cdots A\). Para hallar \(A^n\) se calculan \(A^2,A^3,\dots\) hasta ver un patrón (por ejemplo \(A^k=0\), \(A^k=I\) o \(A^k=A\)) y se demuestra o se aplica. Si \(A^k=I\), entonces \(A^{n}=A^{n\bmod k}\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Ecuaciones matriciales.

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Potencias de una matriz.

  1. Calcula \(A^2\) y \(A^3\) con cuidado (orden de los factores).
  2. Busca el patrón: ¿se anula?, ¿se repite?, ¿crece de forma regular en un elemento?
  3. Expresa \(A^n\) usando el patrón y comprueba con \(n=1,2\).

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

a) Valores de \(a\) y \(b\). 1. Se calcula \(A^2\): \[A^2=\begin{pmatrix}a^2+3b&3a+3\\ab+b&3b+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}.\] 2. De \(3b+1=4\) sale \(b=1\); de \(3a+3=0\) sale \(a=-1\). 3. Se comprueba en los otros elementos: \(a^2+3b=1+3=4\) y \(ab+b=-1+1=0\).

\(a=-1\), \(b=1\).

b) Matriz \(X\). 1. Con esos valores, \(A^2=4I\), que es invertible, así que existe \((A^2)^{-1}=\tfrac14I\). 2. Se despeja: \(X=(A^2)^{-1}B^t=\tfrac14B^t\). 3. \(B^t=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&2&1\end{pmatrix}\).

\[\mathbf{X}=\frac14\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/4&-1/4&1/4\\1/4&1/2&1/4\end{pmatrix}.\]

2024

Ordinaria 2024

Ejercicio 5 · Ordinaria 2024 · Bloque C · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&1/8&1/8\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\).

  1. Calcula \(A^{2024}\). (1 punto)

  2. Halla la matriz \(X\), si es posible, que verifica \(A^{2}XA+I=O\), donde \(I\) y \(O\) son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente. (1,5 puntos)

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Potencias de una matriz.

\(A^n=A\cdot A\cdots A\). Para hallar \(A^n\) se calculan \(A^2,A^3,\dots\) hasta ver un patrón (por ejemplo \(A^k=0\), \(A^k=I\) o \(A^k=A\)) y se demuestra o se aplica. Si \(A^k=I\), entonces \(A^{n}=A^{n\bmod k}\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Ecuaciones matriciales.

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Potencias de una matriz.

  1. Calcula \(A^2\) y \(A^3\) con cuidado (orden de los factores).
  2. Busca el patrón: ¿se anula?, ¿se repite?, ¿crece de forma regular en un elemento?
  3. Expresa \(A^n\) usando el patrón y comprueba con \(n=1,2\).

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

a) Potencia \(A^{2024}\). 1. Se escribe \(A=I+N\), con \(N=\begin{pmatrix}0&1/8&1/8\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\). 2. \(N^2=O\): solo la primera fila de \(N\) es no nula y su primer elemento es \(0\), así que todos los productos fila por columna de \(N\cdot N\) se anulan. 3. \(I\) y \(N\) conmutan, así que el binomio de Newton se corta en el segundo término: \(A^n=I+nN\). 4. Para \(n=2024\), \(2024\cdot\dfrac18=253\):

\[\mathbf{A^{2024}=\begin{pmatrix}1&253&253\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\qquad(2024/8=253).\]

b) Ecuación matricial. 1. De \(A^2XA+I=O\) se obtiene \(A^2XA=-I\). 2. \(|A|=1\neq0\), luego \(A\) es invertible. Se multiplica por \(A^{-2}\) por la izquierda y por \(A^{-1}\) por la derecha: \(X=-A^{-2}\,A^{-1}=-A^{-3}\). 3. Como \(A=I+N\), su inversa es \(A^{-1}=I-N\) (porque \((I+N)(I-N)=I-N^2=I\)) y, con el mismo argumento, \(A^{-3}=I-3N\). 4. Entonces \(X=-(I-3N)=-I+3N\):

\[\mathbf{X=-I+3N=\begin{pmatrix}-1&3/8&3/8\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\]

Ordinaria · Reserva 2024

Ejercicio 6 · Ordinaria · Reserva 2024 · Bloque C · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&0&a\\5&3a-1&0\end{pmatrix}\).

  1. Calcula el rango de \(A\) según los valores de \(a\). (1,25 puntos)

  2. Si \(B=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) y \(a=2\) resuelve, si es posible, el sistema \(AX=B\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Determinantes, Sistemas de ecuaciones lineales.

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Rango de una matriz.

El rango es el orden del mayor menor no nulo (o el número de filas no nulas tras triangular por Gauss). \(\operatorname{rg}A\le\min(\text{filas},\text{columnas})\). Una matriz cuadrada de orden \(n\) tiene \(\operatorname{rg}A=n\) si y solo si \(|A|\neq0\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Ecuaciones matriciales.

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Rango de una matriz.

  1. Si hay parámetro, calcula primero el determinante (o los menores de orden mayor) y busca los valores que lo anulan.
  2. Para cada valor crítico, sustituye y estudia el rango por menores de orden menor o por Gauss.
  3. Para los demás valores, el rango es el máximo posible.
  4. Escribe el rango según los casos del parámetro.

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

a) Rango de \(A\) según \(a\). 1. Determinante, desarrollando por la 2.ª columna (solo tiene un elemento no nulo, \(3a-1\), en la posición \((3,2)\)): \(|A|=-(3a-1)(a-2)\). 2. Si \(a\ne\frac13\) y \(a\neq2\): \(|A|\neq0\), luego \(\operatorname{rg}(A)=3\). 3. Si \(a=\frac13\) o \(a=2\): \(|A|=0\) y hay un menor de orden 2 no nulo, así que \(\operatorname{rg}(A)=2\). Por ejemplo, \(\begin{vmatrix}1&1\\2&a\end{vmatrix}=a-2\neq0\) con \(a=\frac13\), y \(\begin{vmatrix}1&0\\5&5\end{vmatrix}=5\) con \(a=2\).

\(\operatorname{rg}(A)=3\) si \(a\neq\frac13\) y \(a\neq2\); \(\operatorname{rg}(A)=2\) si \(a=\frac13\) o \(a=2\).

b) Sistema \(AX=B\) con \(a=2\). 1. El sistema es \(\begin{cases}x+z=1\\2x+2z=2\\5x+5y=4\end{cases}\). 2. La segunda ecuación es la primera multiplicada por 2: sobra. Queda compatible indeterminado con un parámetro. 3. Con \(x=\lambda\): \(z=1-x=1-\lambda\) y, de la tercera, \(y=\dfrac45-x=\dfrac45-\lambda\).

\[\mathbf{(x,y,z)=\left(\lambda,\ \tfrac45-\lambda,\ 1-\lambda\right),\ \lambda\in\mathbb{R}}\]

Ordinaria · Suplente 2024

Ejercicio 5 · Ordinaria · Suplente 2024 · Bloque C · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera las matrices \(A=\begin{pmatrix}1&0&1\\m&1&0\\1&-1&2\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}-4&8&0\\0&4&4\\4&12&20\end{pmatrix}\).

  1. Determina los valores de \(m\) para los que la matriz \(A^{2}\) tiene inversa. (0,75 puntos)

  2. Para \(m=0\) calcula, si es posible, la matriz \(X\) que verifica \(A^{2}X=\dfrac12(A+B)\). (1,75 puntos)

Relacionado también con: Determinantes.

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Ecuaciones matriciales.

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Matriz inversa.

  1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
  2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
  3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
  4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

a) Inversa de \(A^2\). 1. \(|A|=1-m\) (desarrollando el determinante). 2. \(|A^2|=|A|^2=(1-m)^2\). 3. \(A^2\) tiene inversa si y solo si \(|A^2|\neq0\), es decir, \(1-m\neq0\).

\(A^2\) tiene inversa si y sólo si \(m\neq1\).

b) Ecuación \(A^2X=\tfrac12(A+B)\) con \(m=0\). 1. Con \(m=0\), \(|A|=1\ne0\), luego \(A\) y \(A^2\) son invertibles. 2. Se multiplica por \((A^2)^{-1}\) por la izquierda: \(X=\tfrac12(A^2)^{-1}(A+B)\). 3. Se calculan \(A^2\), su inversa y el producto:

\[\mathbf{X=\begin{pmatrix}-15&-\tfrac{13}2&-\tfrac{77}2\\[1mm]0&\tfrac52&2\\[1mm]\tfrac{19}2&\tfrac{13}2&\tfrac{53}2\end{pmatrix}}\]

Extraordinaria 2024

Ejercicio 5 · Extraordinaria 2024 · Bloque C · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\).

  1. Halla todas las matrices \(X\) que cumplan \(XA=-AX^{t}\) y \(X^{2}=I\), donde \(I\) es la matriz identidad de orden 2. (1,25 puntos)

  2. Halla todas las matrices \(Y\) que cumplan \(YA=AY\), la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante \(-1\). (1,25 puntos)

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Ecuaciones matriciales.

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Planteamiento. Sea \(X=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}\).

a) Matrices \(X\). 1. \(XA=\begin{pmatrix}-p&q\\-r&s\end{pmatrix}\) y \(-AX^t=\begin{pmatrix}p&r\\-q&-s\end{pmatrix}\). 2. Se igualan los elementos de \(XA=-AX^t\): \(-p=p\), \(q=r\), \(-r=-q\), \(s=-s\). Resulta \(p=0\), \(s=0\) y \(q=r\). 3. Entonces \(X=\begin{pmatrix}0&q\\q&0\end{pmatrix}\) y \(X^2=q^2I\). 4. \(X^2=I\Rightarrow q^2=1\Rightarrow q=\pm1\):

\[\mathbf{X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\ \text{ o }\ X=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}\]

b) Matrices \(Y\). 1. Con \(Y=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}\): \(YA=\begin{pmatrix}-p&q\\-r&s\end{pmatrix}\) y \(AY=\begin{pmatrix}-p&-q\\r&s\end{pmatrix}\). 2. \(YA=AY\) da \(q=-q\) y \(-r=r\), es decir, \(q=r=0\): \(Y\) es diagonal. 3. Traza cero: \(p+s=0\), luego \(s=-p\). Determinante: \(ps=-1\), o sea \(-p^2=-1\Rightarrow p^2=1\).

\[\mathbf{Y=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\ \text{ o }\ Y=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\]

Extraordinaria · Suplente 2024

Ejercicio 6 · Extraordinaria · Suplente 2024 · Bloque C · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera las matrices \(A=\begin{pmatrix}1&3\\-2&5\end{pmatrix}\), \(M=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}\) e \(I\) la matriz identidad de orden 2.

  1. Sabiendo que \(A\) verifica la identidad \((A+aI)^{2}=bI\), halla \(a\) y \(b\). (1,5 puntos)

  2. Resuelve la ecuación \(MX+M^{2}=I\). (1 punto)

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

a) Identidad \((A+aI)^2=bI\). 1. \(A^2=\begin{pmatrix}-5&18\\-12&19\end{pmatrix}\). 2. Desarrollo (como \(I\) conmuta con \(A\)): \((A+aI)^2=A^2+2aA+a^2I\). 3. Elemento \((1,2)\), que debe ser \(0\) porque \(bI\) es diagonal: \(18+6a=0\Rightarrow a=-3\). 4. Con \(a=-3\) la diagonal es \(-5-6+9=-2\) y \(19-30+9=-2\), y los elementos fuera de la diagonal son \(0\). Es \(-2I\), luego \(b=-2\).

\[\mathbf{a=-3,\quad b=-2}\]

b) Ecuación \(MX+M^2=I\). 1. Se despeja: \(MX=I-M^2\Rightarrow X=M^{-1}(I-M^2)\) (la inversa se multiplica por la izquierda; \(|M|=-1\neq0\)). 2. \(M^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1\\1&0\end{pmatrix}\) y \(I-M^2=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&-1\end{pmatrix}\). 3. Producto:

\[\mathbf{X=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I}\]

Comprobación: \(-M+M^2=I\).

2023

Ordinaria 2023

Ejercicio 6 · Ordinaria 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera las matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0&m\\m&0&0\\0&m&0\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\).

  1. Determina para qué valores de \(m\) existe la inversa de la matriz \(A\). (0,5 puntos)

  2. Para todo \(m\neq -1\), resuelve, si es posible, la ecuación \(AX+X=B\). (2 puntos)

Relacionado también con: Determinantes.

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Ecuaciones matriciales.

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Matriz inversa.

  1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
  2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
  3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
  4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

a) Existencia de la inversa. 1. \(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). 2. Determinante: \(|A|=m^{3}\).

\(A\) tiene inversa si \(m\ne0\).

b) Ecuación matricial. 1. Se agrupan los términos con \(X\): \(AX+X=B\Rightarrow(A+I)X=B\). 2. \(|A+I|=m^{3}+1\), que solo se anula para \(m=-1\). Si \(m\ne-1\) existe \((A+I)^{-1}\). 3. Se despeja multiplicando por la izquierda por \((A+I)^{-1}\) (la incógnita está a la derecha): \(X=(A+I)^{-1}B\). 4. Se calcula la inversa y el producto:

\(X=\dfrac1{m^{3}+1}\begin{pmatrix}1&-m&m^{2}\\-m&m^{2}&1\\m^{2}&1&-m\end{pmatrix}\).

Ordinaria · Reserva 2023

Ejercicio 6 · Ordinaria · Reserva 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera las matrices \(A=\begin{pmatrix}1&2m&-1\\3&0&-2\\-3m&1&2\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&-1&3\\0&2&1\\2&5&4\end{pmatrix}\).

  1. Determina los valores de \(m\) para que la matriz \(A\) tenga inversa. (1 punto)

  2. Calcula para \(m=1\), si es posible, la matriz \(X\) tal que \(AX=B^{t}\), donde \(B^{t}\) denota la matriz traspuesta de \(B\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Determinantes.

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Ecuaciones matriciales.

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Matriz inversa.

  1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
  2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
  3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
  4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

a) Valores de \(m\) con inversa. 1. \(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). 2. Determinante: \(|A|=12m^{2}-12m-1\). 3. Se anula si \(m=\dfrac{3\pm2\sqrt3}6\).

\(A\) tiene inversa si \(m\ne\dfrac{3\pm2\sqrt3}{6}\).

b) Ecuación \(AX=B^{t}\) con \(m=1\). 1. Con \(m=1\), \(|A|=-1\ne0\), luego existe \(A^{-1}\). 2. Se multiplica por la izquierda por \(A^{-1}\) (la incógnita está a la derecha de \(A\)): \(X=A^{-1}B^{t}\). 3. Matrices: \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&5&4\\0&1&1\\-3&7&6\end{pmatrix}\) y \(B^{t}=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&2&5\\3&1&4\end{pmatrix}\). 4. Producto:

\(X=\begin{pmatrix}5&14&37\\2&3&9\\8&20&53\end{pmatrix}\).

Ordinaria · Suplente 2023

Ejercicio 5 · Ordinaria · Suplente 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sean las matrices

\[A=\begin{pmatrix}m+1&1&m-1\\1&1&1\\m-1&1&m+1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&4&2\\0&0&4\\2&2&1\end{pmatrix}\qquad\text{y}\qquad C=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}.\]

  1. Calcula \(m\) para que la matriz \(A\) tenga inversa. (1 punto)

  2. Para \(m=0\), resuelve, si es posible, la ecuación matricial \(\tfrac12AX+C^{4}=B\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Determinantes.

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Propiedades de los determinantes.

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

Ecuaciones matriciales.

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Matriz inversa.

  1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
  2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
  3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
  4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

Propiedades de los determinantes.

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

a) Valores de \(m\) con inversa. 1. \(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). 2. Determinante: \(|A|=4(m-1)\).

\(A\) tiene inversa si \(m\ne1\).

b) Ecuación matricial con \(m=0\). 1. Potencia: \(C^{2}=I\), luego \(C^{4}=I\). 2. Se despeja el término con \(X\): \(\tfrac12AX+C^{4}=B\Rightarrow\tfrac12AX=B-I\). 3. Con \(m=0\), \(|A|=-4\ne0\), luego existe \(A^{-1}\). Se multiplica por \(2A^{-1}\) por la izquierda: \(X=2A^{-1}(B-I)\). 4. Inversa: \(A^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac12&-\frac12\\\frac12&0&\frac12\\-\frac12&\frac12&0\end{pmatrix}\). 5. Producto:

\(X=\begin{pmatrix}-2&-3&4\\1&6&2\\1&-5&2\end{pmatrix}\).

Extraordinaria 2023

Ejercicio 5 · Extraordinaria 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Sea la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\) e \(I\) la matriz identidad de orden 3.

  1. Halla los valores de \(m\) para que la matriz \(A-mI\) no tenga inversa. (1 punto)

  2. Halla \(x\), distinto de cero, para que \(A-xI\) sea la inversa de la matriz \(\dfrac{1}{x}(A-I)\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Determinantes.

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Propiedades de los determinantes.

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

Matriz inversa.

  1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
  2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
  3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
  4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Propiedades de los determinantes.

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

a) Valores de \(m\) sin inversa. 1. \(A-mI\) no tiene inversa si y solo si \(|A-mI|=0\). 2. Determinante: \(|A-mI|=-m^{2}(m-3)\) (los valores propios de \(A\) son \(0,0,3\)).

\(A-mI\) no tiene inversa si \(m=0\) o \(m=3\).

b) Valor de \(x\). 1. Propiedad de \(A\): \(A^{2}=3A\) (cada elemento de \(A^{2}\) vale \(3\)). 2. Producto: \((A-xI)(A-I)=A^{2}-(1+x)A+xI=(2-x)A+xI\). 3. Se exige que \(A-xI\) sea la inversa de \(\dfrac1x(A-I)\), es decir, \(\dfrac1x\left[(2-x)A+xI\right]=I\). 4. Eso equivale a \((2-x)A=0\), y como \(A\neq0\), \(x=2\).

\(x=2\).

Extraordinaria · Reserva 2023

Ejercicio 5 · Extraordinaria · Reserva 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}0&a&-b\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}\).

  1. Calcula \(A^{10}\). (0,75 puntos)

  2. Calcula, si es posible, la matriz inversa de \(I+A+A^{2}\), donde \(I\) denota la matriz identidad de orden 3. (1,75 puntos)

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Potencias de una matriz.

\(A^n=A\cdot A\cdots A\). Para hallar \(A^n\) se calculan \(A^2,A^3,\dots\) hasta ver un patrón (por ejemplo \(A^k=0\), \(A^k=I\) o \(A^k=A\)) y se demuestra o se aplica. Si \(A^k=I\), entonces \(A^{n}=A^{n\bmod k}\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Matriz inversa.

  1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
  2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
  3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
  4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Potencias de una matriz.

  1. Calcula \(A^2\) y \(A^3\) con cuidado (orden de los factores).
  2. Busca el patrón: ¿se anula?, ¿se repite?, ¿crece de forma regular en un elemento?
  3. Expresa \(A^n\) usando el patrón y comprueba con \(n=1,2\).

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

a) Potencia \(A^{10}\). 1. Se calculan las primeras potencias: \(A^{2}=\begin{pmatrix}0&0&ab\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\) y \(A^{3}=A\cdot A^{2}=0\). 2. A partir de ahí todas las potencias son nulas.

\(A^{10}=0\) (matriz nula).

b) Inversa de \(I+A+A^{2}\). 1. Se usa \((I-A)(I+A+A^{2})=I-A^{3}=I\) (porque \(A^{3}=0\)). 2. Por tanto \(I+A+A^{2}\) es invertible y su inversa es \(I-A\):

\[(I+A+A^{2})^{-1}=\begin{pmatrix}1&-a&b\\0&1&-b\\0&0&1\end{pmatrix}.\]

Ejercicio 6 · Extraordinaria · Reserva 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Dadas las matrices \(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\), se define la matriz \(M=A+(\lambda-1)B\).

  1. Halla los valores de \(\lambda\) para los que la matriz \(M\) tiene rango menor que 3. (1,5 puntos)

  2. Para \(\lambda=-1\), resuelve el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es \(M\). (1 punto)

Relacionado también con: Determinantes, Sistemas de ecuaciones lineales.

Rango de una matriz.

El rango es el orden del mayor menor no nulo (o el número de filas no nulas tras triangular por Gauss). \(\operatorname{rg}A\le\min(\text{filas},\text{columnas})\). Una matriz cuadrada de orden \(n\) tiene \(\operatorname{rg}A=n\) si y solo si \(|A|\neq0\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Plantear un sistema de ecuaciones.

Un sistema lineal se plantea a partir del enunciado: una incógnita por cada cantidad desconocida y una ecuación por cada condición («total», «el doble de», «tanto por ciento de»…).

Propiedades de los determinantes.

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

Rango de una matriz.

  1. Si hay parámetro, calcula primero el determinante (o los menores de orden mayor) y busca los valores que lo anulan.
  2. Para cada valor crítico, sustituye y estudia el rango por menores de orden menor o por Gauss.
  3. Para los demás valores, el rango es el máximo posible.
  4. Escribe el rango según los casos del parámetro.

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Plantear un sistema de ecuaciones.

  1. Define con claridad las incógnitas \(x,y,z\) y sus unidades.
  2. Traduce cada frase del enunciado a una ecuación; comprueba que no sobra ni falta ninguna.
  3. Resuelve por Gauss o por sustitución.
  4. Interpreta: las soluciones deben tener sentido en el contexto (no negativas, enteras si son personas…).

Propiedades de los determinantes.

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

a) Rango menor que \(3\). 1. \(M=A+(\lambda-1)B=\begin{pmatrix}\lambda&1&\lambda-1\\1&\lambda-1&1\\\lambda-1&1&\lambda\end{pmatrix}\). 2. Determinante: \(|M|=-(\lambda-2)^{2}(\lambda+1)\). 3. \(\operatorname{rg}M<3\iff|M|=0\).

\(\lambda=2\) o \(\lambda=-1\).

b) Sistema homogéneo para \(\lambda=-1\). 1. Matriz: \(M=\begin{pmatrix}-1&1&-2\\1&-2&1\\-2&1&-1\end{pmatrix}\), de rango 2: sistema compatible indeterminado (SCI) con una incógnita libre. 2. Las dos primeras ecuaciones dan \(x=y=z\), y la tercera también se cumple.

Solución: \((x,y,z)=(t,t,t)\), \(t\in\mathbb{R}\).

Extraordinaria · Suplente 2023

Ejercicio 5 · Extraordinaria · Suplente 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Dadas las matrices \(A=\begin{pmatrix}2&-1&-2\\-2&3&1\\6&1&3\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}-1&0&-1\\-3&-1&5\end{pmatrix}\), calcula, si es posible, la matriz \(X\) que verifica la ecuación \(3X-B^{t}=AX\), siendo \(B^{t}\) la matriz traspuesta de \(B\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Ecuaciones matriciales.

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

Ecuación matricial. 1. Se agrupan los términos con \(X\): \(3X-B^{t}=AX\Rightarrow3X-AX=B^{t}\Rightarrow(3I-A)X=B^{t}\). 2. Matriz: \(3I-A=\begin{pmatrix}1&1&2\\2&0&-1\\-6&-1&0\end{pmatrix}\) y \(|3I-A|=1\neq0\), luego es invertible. 3. Se multiplica por la izquierda por \((3I-A)^{-1}\) (la incógnita está a la derecha): \[(3I-A)^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-2&-1\\6&12&5\\-2&-5&-2\end{pmatrix}.\] 4. Producto con \(B^{t}\): \[X=(3I-A)^{-1}B^{t}=\begin{pmatrix}-1&-2&-1\\6&12&5\\-2&-5&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-3\\0&-1\\-1&5\end{pmatrix}.\]

\(X=\begin{pmatrix}2&0\\-11&-5\\4&1\end{pmatrix}\).

2022

Ordinaria 2022

Ejercicio 6 · Ordinaria 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}m&\sqrt{m}&\sqrt{m}\\\sqrt{m}&m&1\\\sqrt{m}&1&m\end{pmatrix}\), donde \(m\ge 0\).

  1. ¿Para qué valores de \(m\) tiene inversa la matriz \(A\)? (1 punto)

  2. Para \(m=4\) resuelve, si es posible, la ecuación matricial \(A\,X=12\,I\), donde \(I\) es la matriz identidad de orden 3. (1,5 puntos)

Relacionado también con: Determinantes.

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Ecuaciones matriciales.

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Matriz inversa.

  1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
  2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
  3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
  4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

a) Inversa. 1. \(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Para \(m\ge0\) (así existen las raíces): \(|A|=m(m-1)^2\). 2. Se anula en \(m=0\) y \(m=1\).

\(A\) tiene inversa si \(m>0\) y \(m\neq1\).

b) Ecuación matricial para \(m=4\). 1. Con \(m=4\): \(|A|=4\cdot3^2=36\neq0\), luego existe \(A^{-1}\). 2. Se despeja \(X\) multiplicando por \(A^{-1}\) por la izquierda: \(AX=12I\Rightarrow X=12A^{-1}\). 3. Con \(A=\begin{pmatrix}4&2&2\\2&4&1\\2&1&4\end{pmatrix}\), se calcula \(A^{-1}\) y se multiplica por \(12\):

\(X=\begin{pmatrix}5&-2&-2\\-2&4&0\\-2&0&4\end{pmatrix}\) (se comprueba \(AX=12I\)).

Ordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 5 · Ordinaria · Reserva 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&1&1\\1&-1&-1\end{pmatrix}\).

  1. Calcula \(A^{-1}\). (1 punto)

  2. Calcula la matriz \(X\) de orden tres que verifica \(A\,X+(A-X)^{2}=X^{2}+I\), siendo \(I\) la matriz identidad de orden tres. (1,5 puntos)

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Potencias de una matriz.

\(A^n=A\cdot A\cdots A\). Para hallar \(A^n\) se calculan \(A^2,A^3,\dots\) hasta ver un patrón (por ejemplo \(A^k=0\), \(A^k=I\) o \(A^k=A\)) y se demuestra o se aplica. Si \(A^k=I\), entonces \(A^{n}=A^{n\bmod k}\).

Ecuaciones matriciales.

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Potencias de una matriz.

  1. Calcula \(A^2\) y \(A^3\) con cuidado (orden de los factores).
  2. Busca el patrón: ¿se anula?, ¿se repite?, ¿crece de forma regular en un elemento?
  3. Expresa \(A^n\) usando el patrón y comprueba con \(n=1,2\).

a) Inversa. 1. Determinante: \(|A|=2\neq0\), luego existe \(A^{-1}\). 2. Se calcula la matriz de adjuntos, se traspone y se divide entre \(|A|=2\): \[A^{-1}=\begin{pmatrix}0&\tfrac12&\tfrac12\\1&-1&0\\-1&\tfrac32&-\tfrac12\end{pmatrix}.\]

b) Ecuación matricial. 1. Se desarrolla el cuadrado, cuidando el orden (el producto no es conmutativo): \((A-X)^2=A^2-AX-XA+X^2\). 2. La ecuación \(AX+A^2-AX-XA+X^2=X^2+I\) queda, tras cancelar \(AX\) y \(X^2\): \(A^2-XA=I\). 3. Se despeja: \(XA=A^2-I\). Se multiplica por la derecha por \(A^{-1}\) (la incógnita está a la izquierda de \(A\)): \(X=A^2A^{-1}-A^{-1}=A-A^{-1}\). 4. Se calcula:

\(X=A-A^{-1}=\begin{pmatrix}1&\tfrac32&\tfrac12\\0&2&1\\2&-\tfrac52&-\tfrac12\end{pmatrix}\).

Ordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 6 · Ordinaria · Suplente 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Dado \(a\neq 0\), considera las matrices \(A=\begin{pmatrix}-a&3\\a&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&-1\\3&4\\1&2\end{pmatrix}\).

  1. Determina para qué valores de \(a\) se cumple que \(A^{-1}=\tfrac14A\). (1,25 puntos)

  2. Para \(a=1\) calcula, si es posible, la matriz \(X\) tal que \(A\,X=B^{t}\), donde \(B^{t}\) denota la matriz traspuesta de \(B\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Determinantes.

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Propiedades de los determinantes.

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

Ecuaciones matriciales.

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Propiedades de los determinantes.

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

a) Condición \(A^{-1}=\tfrac14A\). 1. Multiplicando por \(A\): \(A^{-1}=\tfrac14A\iff I=\tfrac14A^2\iff A^2=4I\). 2. Se calcula \(A^2=\begin{pmatrix}a^2+3a&3-3a\\a-a^2&3a+1\end{pmatrix}\). 3. Igualando a \(4I\), la entrada \((1,2)\) exige \(3-3a=0\Rightarrow a=1\). 4. Comprobación con \(a=1\): \(a^2+3a=4\), \(a-a^2=0\) y \(3a+1=4\) ✓, luego \(A^2=4I\) se cumple.

\(a=1\).

b) Ecuación \(AX=B^t\) para \(a=1\). 1. \(A=\begin{pmatrix}-1&3\\1&1\end{pmatrix}\) y \(|A|=-4\neq0\), así que existe \(A^{-1}\). 2. Se multiplica por \(A^{-1}\) por la izquierda: \(X=A^{-1}B^t\). 3. Por el apartado anterior, \(A^{-1}=\tfrac14A\) (para \(a=1\)): \(X=\tfrac14A\,B^t\), con \(B^t=\begin{pmatrix}1&3&1\\-1&4&2\end{pmatrix}\). 4. Se calcula el producto:

\(X=\begin{pmatrix}-1&\tfrac94&\tfrac54\\0&\tfrac74&\tfrac34\end{pmatrix}\).

Extraordinaria 2022

Ejercicio 5 · Extraordinaria 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera las matrices \(A=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&1&a\\2&a&1\\2&2&0\end{pmatrix}\) y \(C=\begin{pmatrix}1&0&-2\\2&-1&-1\end{pmatrix}\).

  1. Determina los valores de \(a\) para los que la matriz \(B\) no tiene inversa. (0,5 puntos)

  2. Para \(a=1\) calcula \(X\) tal que \(A\,X\,B=C\), si es posible. (2 puntos)

Relacionado también con: Determinantes.

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Propiedades de los determinantes.

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

Matriz inversa.

  1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
  2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
  3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
  4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Propiedades de los determinantes.

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

a) Cuándo \(B\) no tiene inversa. 1. \(B\) no tiene inversa si y solo si \(|B|=0\). 2. \(|B|=\begin{vmatrix}1&1&a\\2&a&1\\2&2&0\end{vmatrix}=-2a(a-2)\). 3. Se anula en \(a=0\) y \(a=2\).

\(B\) no tiene inversa si \(a=0\) o \(a=2\).

b) Ecuación \(AXB=C\) para \(a=1\). 1. Para \(a=1\), \(|B|=2\ne0\), y \(A\) es invertible (\(|A|=1\)): se puede despejar \(X\). 2. Se multiplica por \(A^{-1}\) por la izquierda y por \(B^{-1}\) por la derecha: \(X=A^{-1}CB^{-1}\). 3. Inversas: \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\) y \(B^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&-1&\tfrac12\\1&0&-\tfrac12\end{pmatrix}\). 4. Se multiplican: \(A^{-1}C\) y el resultado por \(B^{-1}\).

\(X=\begin{pmatrix}-3&1&1\\-10&5&2\end{pmatrix}\) (se comprueba que \(AXB=C\)).

Extraordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 6 · Extraordinaria · Reserva 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera las matrices \(A=\begin{pmatrix}m&1&3\\1&m&2\\1&m&3\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}2&2\\1&0\\-1&2\end{pmatrix}\).

  1. Calcula el rango de la matriz \(A\) según los valores de \(m\). (1 punto)

  2. Para \(m=0\) resuelve la ecuación \(A\,X=B\), si es posible. (1,5 puntos)

Relacionado también con: Determinantes, Sistemas de ecuaciones lineales.

Rango de una matriz.

El rango es el orden del mayor menor no nulo (o el número de filas no nulas tras triangular por Gauss). \(\operatorname{rg}A\le\min(\text{filas},\text{columnas})\). Una matriz cuadrada de orden \(n\) tiene \(\operatorname{rg}A=n\) si y solo si \(|A|\neq0\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Propiedades de los determinantes.

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

Rango de una matriz.

  1. Si hay parámetro, calcula primero el determinante (o los menores de orden mayor) y busca los valores que lo anulan.
  2. Para cada valor crítico, sustituye y estudia el rango por menores de orden menor o por Gauss.
  3. Para los demás valores, el rango es el máximo posible.
  4. Escribe el rango según los casos del parámetro.

Operaciones con matrices.

  1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
  2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
  3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Propiedades de los determinantes.

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

a) Rango según \(m\). 1. Determinante: \(|A|=m^2-1=(m-1)(m+1)\), que se anula en \(m=\pm1\). 2. Si \(m\neq\pm1\): \(|A|\neq0\), luego \(\operatorname{rg}A=3\). 3. Si \(m=1\): las filas son \((1,1,3),(1,1,2),(1,1,3)\). Hay un menor no nulo de orden 2 (por ejemplo, \(\begin{vmatrix}1&3\\1&2\end{vmatrix}=-1\)) y \(|A|=0\): \(\operatorname{rg}A=2\). 4. Si \(m=-1\): las filas son \((-1,1,3),(1,-1,2),(1,-1,3)\). El menor \(\begin{vmatrix}-1&3\\1&2\end{vmatrix}=-5\ne0\) y \(|A|=0\): \(\operatorname{rg}A=2\).

\(\operatorname{rg}A=3\) si \(m\neq\pm1\); \(\operatorname{rg}A=2\) si \(m=1\) o \(m=-1\).

b) Ecuación \(AX=B\) para \(m=0\). 1. Para \(m=0\), \(|A|=-1\neq0\): \(A\) es invertible. 2. Se multiplica por \(A^{-1}\) por la izquierda: \(X=A^{-1}B\). 3. Se calcula \(A^{-1}\) y se multiplica por \(B\):

\(X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}5&-4\\8&-4\\-2&2\end{pmatrix}\).

2021

Ordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 5 · Ordinaria · Suplente 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}2&0&2\\-1&2&1\\0&1&4\end{pmatrix}\).

  1. Estudia, según los valores de \(\lambda\), el rango de la matriz \(A-\lambda I\), siendo \(I\) la matriz identidad de orden tres. (1,75 puntos)

  2. Resuelve el sistema \((A-I)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\) y halla, si existe, una solución en la que \(x=2\). (0,75 puntos)

Relacionado también con: Determinantes, Sistemas de ecuaciones lineales.

Rango de una matriz.

El rango es el orden del mayor menor no nulo (o el número de filas no nulas tras triangular por Gauss). \(\operatorname{rg}A\le\min(\text{filas},\text{columnas})\). Una matriz cuadrada de orden \(n\) tiene \(\operatorname{rg}A=n\) si y solo si \(|A|\neq0\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Plantear un sistema de ecuaciones.

Un sistema lineal se plantea a partir del enunciado: una incógnita por cada cantidad desconocida y una ecuación por cada condición («total», «el doble de», «tanto por ciento de»…).

Propiedades de los determinantes.

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

Rango de una matriz.

  1. Si hay parámetro, calcula primero el determinante (o los menores de orden mayor) y busca los valores que lo anulan.
  2. Para cada valor crítico, sustituye y estudia el rango por menores de orden menor o por Gauss.
  3. Para los demás valores, el rango es el máximo posible.
  4. Escribe el rango según los casos del parámetro.

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Plantear un sistema de ecuaciones.

  1. Define con claridad las incógnitas \(x,y,z\) y sus unidades.
  2. Traduce cada frase del enunciado a una ecuación; comprueba que no sobra ni falta ninguna.
  3. Resuelve por Gauss o por sustitución.
  4. Interpreta: las soluciones deben tener sentido en el contexto (no negativas, enteras si son personas…).

Propiedades de los determinantes.

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

a) Rango de \(A-\lambda I\). 1. Determinante: \(|A-\lambda I|=-(\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda-4)\). 2. Se anula en \(\lambda=1,3,4\). 3. Casos: - \(\lambda\neq1,3,4\): \(\operatorname{rg}(A-\lambda I)=3\). - \(\lambda=1,\ 3\) o \(4\): \(\operatorname{rg}(A-\lambda I)=2\) (el determinante es nulo y hay un menor de orden 2 no nulo).

b) Sistema homogéneo. 1. \(A-I=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&1&1\\0&1&3\end{pmatrix}\), de rango \(2\) (caso \(\lambda=1\)): el sistema tiene infinitas soluciones. 2. De \(x+2z=0\) y \(-x+y+z=0\) (la tercera ecuación es combinación de las dos): \(x=-2z\), \(y=-3z\). 3. Con \(z=\lambda\) como parámetro: \((x,y,z)=(-2\lambda,-3\lambda,\lambda)\).

Soluciones: \((x,y,z)=(-2\lambda,-3\lambda,\lambda)\).

  1. Con \(x=2\): \(-2\lambda=2\Rightarrow\lambda=-1\).

Solución con \(x=2\): \((2,3,-1)\).

Ejercicio 6 · Ordinaria · Suplente 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera las matrices \(A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&m&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\\m&-1\end{pmatrix}\).

  1. Calcula \(m\) para que \(AB\) no tenga inversa. (1 punto)

  2. Estudia el rango de la matriz \(BA\) según los valores de \(m\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Determinantes.

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Rango de una matriz.

El rango es el orden del mayor menor no nulo (o el número de filas no nulas tras triangular por Gauss). \(\operatorname{rg}A\le\min(\text{filas},\text{columnas})\). Una matriz cuadrada de orden \(n\) tiene \(\operatorname{rg}A=n\) si y solo si \(|A|\neq0\).

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Propiedades de los determinantes.

\(|A^t|=|A|\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\); si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por \(k\), el determinante se multiplica por \(k\) (y \(|k\cdot A|=k^n|A|\) en orden \(n\)); si hay dos filas proporcionales, \(|A|=0\); sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\).

Matriz inversa.

  1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
  2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
  3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
  4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Rango de una matriz.

  1. Si hay parámetro, calcula primero el determinante (o los menores de orden mayor) y busca los valores que lo anulan.
  2. Para cada valor crítico, sustituye y estudia el rango por menores de orden menor o por Gauss.
  3. Para los demás valores, el rango es el máximo posible.
  4. Escribe el rango según los casos del parámetro.

Determinantes y parámetros.

  1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
  2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
  3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Propiedades de los determinantes.

  1. Identifica qué operaciones entre filas o columnas relacionan el determinante pedido con el dado.
  2. Aplica cada propiedad en orden, anotando cómo cambia el valor.
  3. Si no hay relación directa, calcula con Sarrus o por adjuntos desarrollando por la fila o columna con más ceros.

Dimensiones. \(A\) es \(2\times3\) y \(B\) es \(3\times2\), luego \(AB\) es \(2\times2\) y \(BA\) es \(3\times3\).

a) \(AB\) sin inversa. 1. \(AB=\begin{pmatrix}1&-1\\1+m&2m\end{pmatrix}\). 2. \(|AB|=2m+(1+m)=3m+1\). No tiene inversa si el determinante es \(0\).

\(AB\) no tiene inversa si \(m=-\dfrac13\).

b) Rango de \(BA\). 1. \(BA=\begin{pmatrix}2&m-1&1\\2&2m&2\\m-1&-2m&-1\end{pmatrix}\). 2. Desarrollando, \(|BA|=0\) para todo \(m\). Es lógico: \(BA\) es \(3\times3\) pero \(\operatorname{rg}(BA)\le\operatorname{rg}(A)\le2\). 3. Un menor de orden \(2\) no nulo: filas 1.ª y 2.ª y columnas 1.ª y 3.ª, \(\begin{vmatrix}2&1\\2&2\end{vmatrix}=2\neq0\), sin depender de \(m\).

\(\operatorname{rg}(BA)=2\) para todo \(m\in\mathbb{R}\).

Extraordinaria 2021

Ejercicio 5 · Extraordinaria 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}0&3&4\\1&-4&-5\\-1&3&4\end{pmatrix}\).

  1. Comprueba que \(A^{2}=-A^{-1}\). (1,25 puntos)

  2. Dadas las matrices

\[B=\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\\-4&5\end{pmatrix}\qquad\text{y}\qquad C=\begin{pmatrix}2&0\\-3&2\\1&-1\end{pmatrix},\]

calcula la matriz \(X\) que verifica \(A^{4}X+B=AC\). (1,25 puntos)

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Potencias de una matriz.

\(A^n=A\cdot A\cdots A\). Para hallar \(A^n\) se calculan \(A^2,A^3,\dots\) hasta ver un patrón (por ejemplo \(A^k=0\), \(A^k=I\) o \(A^k=A\)) y se demuestra o se aplica. Si \(A^k=I\), entonces \(A^{n}=A^{n\bmod k}\).

Ecuaciones matriciales.

  1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
  2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
  3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
  4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Potencias de una matriz.

  1. Calcula \(A^2\) y \(A^3\) con cuidado (orden de los factores).
  2. Busca el patrón: ¿se anula?, ¿se repite?, ¿crece de forma regular en un elemento?
  3. Expresa \(A^n\) usando el patrón y comprueba con \(n=1,2\).

a) Comprobación. 1. Se calcula \(A^2=\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&4&4\\-1&-3&-3\end{pmatrix}\) y \(A^3=A^2A=-I\). 2. Como \(A\cdot A^2=-I\), resulta \(A^{-1}=-A^2\) (multiplicando por \(-1\) la igualdad), es decir, \(A^2=-A^{-1}\).

b) Ecuación matricial. 1. De \(A^3=-I\): \(A^4=A^3A=-A\). 2. La ecuación \(A^4X+B=AC\) queda \(-AX+B=AC\), luego \(AX=B-AC\) y \(X=-A^{-1}(AC-B)=-C+A^{-1}B\). 3. Como \(A^{-1}=-A^2\): \(X=-C-A^2B\). 4. Se calcula el producto y se resta:

\[X=\begin{pmatrix}3&-6\\6&-21\\-3&15\end{pmatrix}\]

También trabajan este tema

Ejercicios cuyo tema principal es otro pero en los que aparece este tema:

Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.