Matrices — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 9 son básicos, del 10 al 24 siguen el estilo de los exámenes de PAU de Andalucía (2021 en adelante) y el último es un problema de contexto. Las soluciones están al final.

Operaciones y propiedades

1. Sean \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}\). Calcula \(A+B\), \(A-2B\), \(AB\), \(BA\) y \(A^t\).

2. Sean \(C=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{pmatrix}\) y \(D=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\\1&4\end{pmatrix}\). Calcula \(CD\) y \(DC\). ¿Coinciden?

3. Sean \(A\) de dimensión \(2\times3\), \(B\) de \(3\times1\) y \(C\) de \(1\times2\). Indica cuáles de estos productos se pueden hacer y su dimensión: \(AB\), \(BA\), \(BC\), \(CA\), \(ABC\).

4. Para \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) calcula \(A^2-3A+2I\).

5. Sean \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\). Calcula \((A+B)^2\) y \(A^2+2AB+B^2\). ¿Por qué no coinciden?

6. Descompón \(C=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. (Pista: \(S=\frac{C+C^t}{2}\).)

Potencias

7. Sea \(P=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\). Calcula \(P^2\), \(P^3\) y \(P^4\), deduce la expresión de \(P^n\) y úsala para hallar \(P^{10}\).

8. Comprueba que \(E=\begin{pmatrix}2&-2\\1&-1\end{pmatrix}\) cumple \(E^2=E\). Calcula \(E^{2025}\).

9. Sea \(N=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}\). Calcula \(N^2\) y \(N^3\). ¿Cuánto vale \(N^{10}\)?

10. (Tipo PAU) Sea \(A=\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}\) con \(m\in\mathbb{R}\).

  1. Calcula \(A^2\) y \(A^3\) y deduce \(A^n\).

  2. Halla \(m\) para que \(A^{10}=\begin{pmatrix}1&50\\0&1\end{pmatrix}\).

Matriz inversa

11. Calcula por Gauss-Jordan la inversa de \(A=\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\).

12. Calcula por Gauss-Jordan la inversa de \(N=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\\1&0&1\end{pmatrix}\).

13. Calcula por Gauss-Jordan la inversa de \(M=\begin{pmatrix}2&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\).

14. Sea \(F=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\).

  1. Comprueba que \(F^2=F+I\).

  2. Deduce que \(F\) es invertible y calcula \(F^{-1}\) a partir de esa igualdad.

  3. Calcula \(F^5\).

15. (Tipo PAU) Sea \(A=\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}\).

  1. Comprueba que \(A^2-A-2I=O\).

  2. Usando el apartado anterior, calcula \(A^{-1}\) sin hacer Gauss.

16. (Tipo PAU) Sean \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\). Calcula \((AB)^{-1}\) de dos maneras: invirtiendo \(AB\) directamente y usando \(B^{-1}A^{-1}\).

Rango

17. Calcula el rango de \(Q=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&1&1\end{pmatrix}\).

18. (Tipo PAU) Estudia el rango de \(R=\begin{pmatrix}1&2&a\\2&4&6\\1&1&1\end{pmatrix}\) según los valores de \(a\).

19. Calcula el rango de \(K=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&1&0\\3&3&1\\0&3&2\end{pmatrix}\).

Ecuaciones matriciales

20. (Tipo PAU) Sean \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}3&0\\1&4\end{pmatrix}\). Resuelve \(AX+2I=B\).

21. (Tipo PAU) Con las mismas \(A\) y \(B\) del ejercicio anterior, resuelve \(XA-X=B\).

22. (Tipo PAU) Sean \(A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\end{pmatrix}\). Resuelve \(XA=B\).

23. Halla las matrices \(X\) e \(Y\) que cumplen \[\begin{cases}2X+Y=\begin{pmatrix}4&2\\1&0\end{pmatrix}\\[2mm]X-Y=\begin{pmatrix}2&1\\2&3\end{pmatrix}\end{cases}\]

24. (Tipo PAU) Halla todas las matrices \(X\) de dimensión \(2\times2\) que conmutan con \(C=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\), es decir, con \(CX=XC\).

Problema

25. Un taller fabrica mesas y sillas. La matriz \(P=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\) da las horas necesarias por unidad: la primera fila es carpintería y la segunda es pintura; la primera columna es mesa y la segunda es silla. Se fabrican 10 mesas y 20 sillas.

  1. Calcula las horas totales de carpintería y de pintura.

  2. La hora de carpintería cuesta 4 € y la de pintura 2 €. Calcula el coste total con un producto de matrices.

Soluciones

\(A+B=\begin{pmatrix}1&3\\2&6\end{pmatrix}\), \(A-2B=\begin{pmatrix}1&0\\5&0\end{pmatrix}\), \(AB=\begin{pmatrix}-2&5\\-4&11\end{pmatrix}\), \(BA=\begin{pmatrix}3&4\\5&6\end{pmatrix}\), \(A^t=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\).

\(CD=\begin{pmatrix}4&9\\-1&0\end{pmatrix}\) (de dimensión \(2\times2\)) y \(DC=\begin{pmatrix}1&3&5\\1&-3&-1\\-3&12&6\end{pmatrix}\) (de dimensión \(3\times3\)). No coinciden ni en dimensión.

  • \(AB\): \((2\times3)(3\times1)\) sí, dimensión \(2\times1\).
  • \(BA\): \((3\times1)(2\times3)\) no, porque \(1\neq2\).
  • \(BC\): \((3\times1)(1\times2)\) sí, dimensión \(3\times2\).
  • \(CA\): \((1\times2)(2\times3)\) sí, dimensión \(1\times3\).
  • \(ABC\): \((2\times1)(1\times2)\) sí, dimensión \(2\times2\).

\(A^2=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}\), luego \[A^2-3A+2I=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&6\\9&12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&4\\6&12\end{pmatrix}\]

\(A+B=\begin{pmatrix}2&2\\1&2\end{pmatrix}\), así que \((A+B)^2=\begin{pmatrix}6&8\\4&6\end{pmatrix}\).

\(A^2=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}\), \(B^2=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\), \(AB=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}\), por lo que \(A^2+2AB+B^2=\begin{pmatrix}8&8\\4&4\end{pmatrix}\).

No coinciden porque \(BA=\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}\neq AB\). El desarrollo correcto es \((A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2\).

\(S=\dfrac{C+C^t}{2}=\begin{pmatrix}1&5/2\\5/2&4\end{pmatrix}\) (simétrica) y \(T=\dfrac{C-C^t}{2}=\begin{pmatrix}0&-1/2\\1/2&0\end{pmatrix}\) (antisimétrica). Se cumple \(C=S+T\).

\(P^2=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}\), \(P^3=\begin{pmatrix}1&3&3\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}\), \(P^4=\begin{pmatrix}1&4&6\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}\).

Patrón: \[P^n=\begin{pmatrix}1&n&\frac{n(n-1)}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}\] Para \(n=10\): \(P^{10}=\begin{pmatrix}1&10&45\\0&1&10\\0&0&1\end{pmatrix}\).

\(E^2=\begin{pmatrix}4-2&-4+2\\2-1&-2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-2\\1&-1\end{pmatrix}=E\). Es idempotente, así que \(E^n=E\) para todo \(n\ge1\) y \(E^{2025}=E=\begin{pmatrix}2&-2\\1&-1\end{pmatrix}\).

\(N^2=\begin{pmatrix}0&0&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\) y \(N^3=O\). Por tanto \(N^{10}=N^3N^7=O\).

  1. \(A^2=\begin{pmatrix}1&2m\\0&1\end{pmatrix}\), \(A^3=\begin{pmatrix}1&3m\\0&1\end{pmatrix}\). Se deduce \(A^n=\begin{pmatrix}1&nm\\0&1\end{pmatrix}\).

Inducción: si \(A^n=\begin{pmatrix}1&nm\\0&1\end{pmatrix}\), entonces \(A^{n+1}=A^nA=\begin{pmatrix}1&nm+m\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&(n+1)m\\0&1\end{pmatrix}\).

  1. \(10m=50\), luego \(m=5\).

\[\left(\begin{array}{cc|cc}3&1&1&0\\5&2&0&1\end{array}\right)\xrightarrow{3F_2-5F_1}\left(\begin{array}{cc|cc}3&1&1&0\\0&1&-5&3\end{array}\right)\xrightarrow{F_1-F_2}\left(\begin{array}{cc|cc}3&0&6&-3\\0&1&-5&3\end{array}\right)\xrightarrow{F_1/3}\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&2&-1\\0&1&-5&3\end{array}\right)\] \(A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}\).

\[N^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}1&-2&6\\3&1&-3\\-1&2&1\end{pmatrix}\] Comprobación de la primera fila de \(NN^{-1}\): \((1,2,0)\cdot\frac17(1,3,-1)^t=\frac{1+6}{7}=1\) y \((1,2,0)\cdot\frac17(-2,1,2)^t=\frac{-2+2}{7}=0\).

\[M^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&2&1\\1&-2&2\end{pmatrix}\]

  1. \(F^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=F+I\).

  2. \(F^2-F=I\Rightarrow F(F-I)=I\), luego \(F^{-1}=F-I=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}\).

  3. \(F^3=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}\), \(F^4=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}\), \(F^5=\begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}\) (números de Fibonacci).

  1. \(A^2=\begin{pmatrix}2&2\\1&3\end{pmatrix}\), y \(A^2-A-2I=\begin{pmatrix}2&2\\1&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=O\).

  2. \(A^2-A=2I\Rightarrow A(A-I)=2I\Rightarrow A^{-1}=\dfrac{A-I}{2}=\begin{pmatrix}-1/2&1\\1/2&0\end{pmatrix}\).

\(AB=\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}\) con \(\det=1\), así que \((AB)^{-1}=\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}\).

Por otro lado \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\) y \(B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\), y \[B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}\] Coinciden. Nótese que el orden se invierte: \(A^{-1}B^{-1}\) daría otro resultado.

\(F_2-2F_1\) da la fila \((0,0,0)\) y \(F_3-F_1\) da \((0,-1,-2)\). Quedan dos filas no nulas: \(\operatorname{rg}Q=2\).

Escalonamos: \(F_2-2F_1=(0,0,6-2a)\) y \(F_3-F_1=(0,-1,1-a)\). Intercambiando filas queda \[\begin{pmatrix}1&2&a\\0&-1&1-a\\0&0&6-2a\end{pmatrix}\] - Si \(a\neq3\): tres pivotes, \(\operatorname{rg}R=3\). - Si \(a=3\): la última fila se anula, \(\operatorname{rg}R=2\).

\(F_2-2F_1=(0,-3,-2)\), \(F_3-3F_1=(0,-3,-2)\), \(F_4=(0,3,2)\). Las tres últimas filas son proporcionales, así que solo queda una de ellas junto con \(F_1\): \(\operatorname{rg}K=2\).

\(AX=B-2I=\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}\). Como \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\): \[X=A^{-1}(B-2I)=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-2\\1&4\end{pmatrix}\]

\(X(A-I)=B\), con \(A-I=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\) e inversa \((A-I)^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}\). Entonces \[X=B(A-I)^{-1}=\begin{pmatrix}3&0\\1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&3\\4&-3\end{pmatrix}\] La inversa va a la derecha.

\(A^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}\) y \(X=BA^{-1}\): \[X=\frac12\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}2&4&0\\0&2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\end{pmatrix}\]

Sumando las dos ecuaciones: \(3X=\begin{pmatrix}6&3\\3&3\end{pmatrix}\), luego \(X=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\).

De la segunda: \(Y=X-\begin{pmatrix}2&1\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\-1&-2\end{pmatrix}\).

Comprobación de la primera: \(2X+Y=\begin{pmatrix}4&2\\2&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0\\-1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2\\1&0\end{pmatrix}\).

Sea \(X=\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}\). Entonces \(CX=\begin{pmatrix}x+2z&y+2w\\z&w\end{pmatrix}\) y \(XC=\begin{pmatrix}x&2x+y\\z&2z+w\end{pmatrix}\).

Igualando: \(x+2z=x\Rightarrow z=0\) y \(y+2w=2x+y\Rightarrow w=x\). Las otras dos ecuaciones se cumplen solas.

\[X=\begin{pmatrix}x&y\\0&x\end{pmatrix}\qquad x,y\in\mathbb{R}\]

  1. \(P\begin{pmatrix}10\\20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot10+1\cdot20\\1\cdot10+3\cdot20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}40\\70\end{pmatrix}\): 40 horas de carpintería y 70 de pintura.

  2. \(\begin{pmatrix}4&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}40\\70\end{pmatrix}=160+140=300\) €.