Matrices

1. Concepto y tipos

Una matriz de dimensión \(m \times n\) es una tabla de números con \(m\) filas y \(n\) columnas. El elemento \(a_{ij}\) está en la fila \(i\) y la columna \(j\).

\[A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2\times 3}\]

Tipo Condición
Cuadrada \(m=n\)
Fila / columna \(m=1\) / \(n=1\)
Diagonal cuadrada con \(a_{ij}=0\) si \(i\neq j\)
Identidad \(I\) diagonal con unos en la diagonal
Triangular ceros por encima (o por debajo) de la diagonal
Simétrica \(A=A^t\)
Antisimétrica \(A=-A^t\)
Nula \(O\) todos los elementos son 0

2. Operaciones

Suma y resta: solo entre matrices de la misma dimensión, elemento a elemento.

Producto por un número: se multiplica cada elemento por el número.

Producto de matrices: \(A_{m\times n}\cdot B_{n\times p}=C_{m\times p}\). El elemento \(c_{ij}\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\):

\[c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{in}b_{nj}\]

Ejemplo: \[\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot0+2\cdot(-1) & 1\cdot1+2\cdot2\\ 3\cdot0+4\cdot(-1) & 3\cdot1+4\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&5\\-4&11\end{pmatrix}\]

AdvertenciaCuidado con el producto
  • Solo se puede multiplicar si columnas de \(A\) = filas de \(B\).
  • No es conmutativo: en general \(AB\neq BA\).
  • \(AB=O\) no implica \(A=O\) ni \(B=O\).
  • \((A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2\), que no es \(A^2+2AB+B^2\) salvo que \(AB=BA\).

Propiedades útiles: \(A(B+C)=AB+AC\), \((AB)C=A(BC)\), \(AI=IA=A\).

3. Traspuesta

La traspuesta \(A^t\) se obtiene cambiando filas por columnas. Propiedades:

\[(A+B)^t=A^t+B^t \qquad (kA)^t=kA^t \qquad (AB)^t=B^tA^t \qquad (A^t)^t=A\]

4. Potencias de una matriz

\(A^n=A\cdot A\cdots A\) (\(n\) veces), solo para matrices cuadradas. En los exámenes se pide calcular \(A^n\) así:

  1. Calcula \(A^2,\ A^3,\ A^4\).
  2. Detecta el patrón.
  3. Escribe \(A^n\) y, si se pide, demuéstralo por inducción.

Ejemplo: \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) da \(A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\), \(A^3=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\), luego \(A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\).

Casos típicos:

  • Si \(A^2=A\) (idempotente), entonces \(A^n=A\) para todo \(n\ge1\).
  • Si \(A^k=O\) para algún \(k\) (nilpotente), las potencias siguientes son \(O\).
  • Si \(A^2=I\), las potencias alternan: \(A^n=A\) si \(n\) es impar, \(A^n=I\) si \(n\) es par.

5. Matriz inversa

Una matriz cuadrada \(A\) es invertible si existe \(A^{-1}\) con \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\).

  • La inversa, si existe, es única.
  • \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) (se invierte el orden).
  • \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\).

Cálculo por Gauss-Jordan: se escribe \((A\,|\,I)\) y se hacen operaciones entre filas hasta obtener \((I\,|\,A^{-1})\). Si en algún paso aparece una fila de ceros en la parte izquierda, \(A\) no es invertible.

Operaciones permitidas: intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un número distinto de 0, sumar a una fila un múltiplo de otra.

Ejemplo con \(A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\):

\[\left(\begin{array}{cc|cc}2&1&1&0\\5&3&0&1\end{array}\right)\xrightarrow{2F_2-5F_1}\left(\begin{array}{cc|cc}2&1&1&0\\0&1&-5&2\end{array}\right)\xrightarrow{F_1-F_2}\left(\begin{array}{cc|cc}2&0&6&-2\\0&1&-5&2\end{array}\right)\xrightarrow{F_1/2}\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&3&-1\\0&1&-5&2\end{array}\right)\]

Luego \(A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\).

Nota

Para una matriz \(2\times2\) hay atajo: si \(\det A=ad-bc\neq0\), entonces \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\). El método con determinantes para cualquier tamaño está en el tema 2.

6. Ecuaciones matriciales

Se despeja la matriz incógnita \(X\) como en una ecuación normal, pero cuidando el orden del producto y sin dividir (se multiplica por la inversa).

Ecuación Solución
\(AX=B\) \(X=A^{-1}B\) (inversa a la izquierda)
\(XA=B\) \(X=BA^{-1}\) (inversa a la derecha)
\(AX+B=C\) \(X=A^{-1}(C-B)\)
\(AX+X=B\) \((A+I)X=B\), luego \(X=(A+I)^{-1}B\)
\(AXB=C\) \(X=A^{-1}CB^{-1}\)
Importante

Al sacar factor común, la identidad aparece explícita: \(AX+X=(A+I)X\), no \((A+1)X\).

Ejemplo: \(AX=B\) con \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}\). Como \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\):

\[X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-9\\2&5\end{pmatrix}\]

Sistemas de ecuaciones matriciales: \(\begin{cases}2X+Y=A\\X-Y=B\end{cases}\) se resuelve por reducción igual que uno normal: sumando, \(3X=A+B\).

7. Rango de una matriz

El rango es el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes. Se calcula por Gauss: se escalona la matriz y se cuenta el número de filas no nulas.

Ejemplo: \[\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&1&1\end{pmatrix}\xrightarrow[F_3-F_1]{F_2-2F_1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&-1&-2\end{pmatrix}\] Hay dos filas no nulas, luego el rango es 2.

  • \(\operatorname{rg}A\le\min(m,n)\).
  • Una matriz cuadrada \(n\times n\) es invertible si y solo si \(\operatorname{rg}A=n\).
  • Con parámetro: escalona dejando el parámetro y estudia para qué valores se anula algún pivote.
TipResumen rápido
  • \(AB\) existe si columnas de \(A\) = filas de \(B\), y \(AB\neq BA\) en general.
  • \((AB)^t=B^tA^t\) y \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).
  • Potencias: calcula \(A^2,A^3,\dots\), detecta el patrón.
  • Inversa: Gauss-Jordan \((A|I)\to(I|A^{-1})\).
  • \(AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B\); \(XA=B\Rightarrow X=BA^{-1}\).
  • Rango: número de filas no nulas tras escalonar.