Sistemas de ecuaciones lineales
1. Conceptos básicos
Un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas se escribe en forma matricial \(AX=B\):
\[\begin{cases}a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\\vdots\\a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}\iff\underbrace{\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}}_{B}\]
- \(A\) es la matriz de coeficientes.
- \(A^*=(A\,|\,B)\) es la matriz ampliada.
Según sus soluciones, un sistema es:
| Tipo | Soluciones |
|---|---|
| Compatible determinado (SCD) | una única |
| Compatible indeterminado (SCI) | infinitas |
| Incompatible (SI) | ninguna |
2. Teorema de Rouché-Frobenius
Sea \(n\) el número de incógnitas.
| Condición | Tipo |
|---|---|
| \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) | SCD |
| \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n\) | SCI (con \(n-\operatorname{rg}A\) parámetros) |
| \(\operatorname{rg}A\neq\operatorname{rg}A^*\) | SI |
Siempre \(\operatorname{rg}A\le\operatorname{rg}A^*\). Si \(A\) es cuadrada con \(|A|\neq0\), el sistema es SCD.
3. Método de Gauss
Se escalona la matriz ampliada con operaciones entre filas (intercambiar, multiplicar por un número \(\neq0\), sumar a una fila un múltiplo de otra) y se resuelve de abajo arriba.
Ejemplo: \[\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}\quad\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right)\xrightarrow[F_3-F_1]{F_2-2F_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&1&-2&-4\end{array}\right)\] \[\xrightarrow{3F_3+F_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&0&-7&-21\end{array}\right)\] De la última fila \(z=3\); de la segunda \(-3y-3=-9\Rightarrow y=2\); de la primera \(x=6-2-3=1\). Solución: \((1,2,3)\).
Cómo leer el resultado:
- Fila \((0\ 0\ 0\,|\,c)\) con \(c\neq0\): sistema incompatible.
- Fila \((0\ 0\ 0\,|\,0)\): se elimina; si quedan menos ecuaciones que incógnitas, hay infinitas soluciones: las incógnitas libres se sustituyen por parámetros (\(z=\lambda\)).
4. Regla de Cramer
Se aplica a sistemas con \(n\) ecuaciones, \(n\) incógnitas y \(|A|\neq0\). Cada incógnita es \[x_i=\frac{|A_i|}{|A|}\] donde \(A_i\) es \(A\) con la columna \(i\) sustituida por la columna \(B\).
Ejemplo: \(\begin{cases}x+y=3\\2x-y=0\end{cases}\) con \(|A|=-3\): \[x=\frac{\left|\begin{matrix}3&1\\0&-1\end{matrix}\right|}{-3}=\frac{-3}{-3}=1\qquad y=\frac{\left|\begin{matrix}1&3\\2&0\end{matrix}\right|}{-3}=\frac{-6}{-3}=2\]
También vale \(X=A^{-1}B\) cuando \(A\) es invertible.
5. Sistemas homogéneos
Son los de la forma \(AX=O\) (todos los términos independientes son 0).
- Siempre son compatibles: \(X=O\) (solución trivial) lo es.
- Si \(|A|\neq0\) (cuadrada): solo la solución trivial (SCD).
- Si \(|A|=0\): tiene infinitas soluciones, además de la trivial.
6. Discusión de un sistema con parámetros
Para sistemas \(3\times3\) con un parámetro \(m\):
- Calcula \(|A|\) y halla los valores de \(m\) que lo anulan.
- Si \(m\) no es uno de esos valores: \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3\), SCD.
- Para cada valor que anula \(|A|\), sustitúyelo y calcula \(\operatorname{rg}A\) y \(\operatorname{rg}A^*\) con Gauss o menores. Aplica Rouché.
- Si te piden resolver, hazlo con Gauss o Cramer en cada caso.
Después de discutir, revisa cada valor especial por separado. No basta con mirar el determinante.
7. Problemas de planteamiento
- Elige las incógnitas y escribe qué representa cada una.
- Traduce cada condición del enunciado a una ecuación.
- Resuelve el sistema.
- Comprueba que la solución tiene sentido (por ejemplo, que no sea negativa si son personas).
- Rouché: \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n\) SCD; \(<n\) SCI; distintos SI.
- Gauss: escalonar y resolver de abajo arriba.
- Cramer: \(x_i=|A_i|/|A|\) si \(|A|\neq0\).
- Homogéneo: siempre compatible; solución no trivial \(\iff|A|=0\).
- Con parámetro: \(|A|=0\) da los valores críticos; estudiar cada uno.