PAU Andalucía — Derivadas

Ejercicios de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es derivadas: 6 ejercicios de convocatorias ordinarias y extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la resolución breve con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

2024

Ordinaria · Modelo A 2024

Ejercicio 3 · Ordinaria · Modelo A 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

  1. Calcule la derivada de las funciones siguientes: (1,5 puntos)

\[f(x)=\left(x^{2}+2\right)^{3}\cdot e^{-2x}\qquad\qquad g(x)=\frac{\ln\left(1-x^{3}\right)}{\left(1-2x^{2}\right)^{2}}\]

  1. Halle los valores de \(a\) y \(b\) para que sea horizontal la recta tangente a la gráfica de la función \(h(x)=x^{3}+ax^{2}+3x+b\) en el punto \(P(1,2)\). (1 punto)

Relacionado también con: Aplicaciones de la derivada.

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Derivadas. 1. \(f\) es un producto, \((uv)'=u'v+uv'\), con \(u=\left(x^2+2\right)^3\) (derivada por la regla de la cadena: \(3\left(x^2+2\right)^2\cdot2x\)) y \(v=e^{-2x}\) (derivada \(-2e^{-2x}\)): \[f'(x)=3\left(x^2+2\right)^2\cdot2x\,e^{-2x}-2\left(x^2+2\right)^3e^{-2x}=2\left(x^2+2\right)^2e^{-2x}\left(3x-x^2-2\right).\] 2. \(g\) es un cociente, \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), con \(u=\ln\left(1-x^3\right)\) (derivada \(\dfrac{-3x^2}{1-x^3}\)) y \(v=\left(1-2x^2\right)^2\) (derivada \(2\left(1-2x^2\right)(-4x)\)): \[g'(x)=\dfrac{\dfrac{-3x^2}{1-x^3}\left(1-2x^2\right)^2-\ln\left(1-x^3\right)\cdot2\left(1-2x^2\right)(-4x)}{\left(1-2x^2\right)^4}=\dfrac{\dfrac{-3x^2}{1-x^3}\left(1-2x^2\right)+8x\ln\left(1-x^3\right)}{\left(1-2x^2\right)^3}.\] (se simplifica un factor \(1-2x^2\) del numerador y del denominador).

b) Tangente horizontal en \(P(1,2)\). 1. Derivada: \(h'(x)=3x^2+2ax+3\). 2. Tangente horizontal en \(x=1\) significa pendiente \(0\): \(h'(1)=3+2a+3=0\Rightarrow a=-3\). 3. \(P(1,2)\) está en la gráfica: \(h(1)=1+a+3+b=2\Rightarrow1-3+3+b=2\Rightarrow b=1\).

\(a=-3\) y \(b=1\).

2023

Ordinaria · Reserva · Modelo A 2023

Ejercicio 3 · Ordinaria · Reserva · Modelo A 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

  1. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las siguientes funciones en el punto de abscisa \(x=0\): (1,5 puntos)

\[f(x)=\frac{3x^{2}+5x-2}{-3x+7}\qquad\qquad g(x)=\ln\left(\frac{1}{3x+1}\right)\]

  1. Calcule las integrales definidas siguientes: (1 punto)

\[\int_{-2}^{-1}\frac{5}{3x^{4}}\,dx\qquad\qquad\int_{-3}^{0}\frac{e^{x/3}}{5}\,dx\]

Relacionado también con: Integrales.

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Rectas tangentes en \(x=0\). Se usa \(y-f(0)=f'(0)\,x\).

Función \(f\). 1. Valor: \(f(0)=-\dfrac{2}{7}\). 2. Derivada (cociente): \(f'(x)=\dfrac{(6x+5)(-3x+7)+3\left(3x^2+5x-2\right)}{(-3x+7)^2}\). 3. Pendiente: \(f'(0)=\dfrac{35-6}{49}=\dfrac{29}{49}\). 4. Tangente: \(y+\dfrac{2}{7}=\dfrac{29}{49}x\).

\(y=\dfrac{29}{49}x-\dfrac{2}{7}\).

Función \(g\). 1. Se simplifica con las propiedades de los logaritmos: \(g(x)=-\ln(3x+1)\). 2. Valor: \(g(0)=0\). Derivada: \(g'(x)=-\dfrac{3}{3x+1}\), con \(g'(0)=-3\).

\(y=-3x\).

b) Integrales definidas. 1. Primera, con una potencia: \(\displaystyle\int_{-2}^{-1}\frac{5}{3x^4}\,dx=\frac{5}{3}\left[-\frac{1}{3x^3}\right]_{-2}^{-1}=\frac{5}{3}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{24}\right)=\frac{35}{72}.\) 2. Segunda, con una exponencial: \(\displaystyle\int_{-3}^{0}\frac{e^{x/3}}{5}\,dx=\frac{3}{5}\left[e^{x/3}\right]_{-3}^{0}=\frac{3}{5}\left(1-e^{-1}\right)=\frac{3}{5}-\frac{3}{5e}.\)

Ordinaria · Reserva · Modelo B 2023

Ejercicio 3 · Ordinaria · Reserva · Modelo B 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

  1. Calcule las derivadas de las siguientes funciones: (1,5 puntos)

\[f(x)=\left(-7+x^{2}\right)^{3}\cdot e^{5-x}\qquad\qquad g(x)=\frac{\ln\left(x^{4}-2x^{2}\right)}{8-x^{3}}\]

  1. Represente gráficamente la región acotada comprendida entre la recta \(y=-2x+6\) y la parábola \(y=-x^{2}+2x+3\) y calcule su área. (1 punto)

Relacionado también con: Integrales.

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Derivadas. 1. \(f\) es un producto, \((uv)'=u'v+uv'\), con \(u=\left(x^2-7\right)^3\) (cadena: \(3\left(x^2-7\right)^2\cdot2x\)) y \(v=e^{5-x}\) (derivada \(-e^{5-x}\)): \[f'(x)=3\left(x^2-7\right)^2\cdot2x\cdot e^{5-x}-\left(x^2-7\right)^3e^{5-x}=\left(x^2-7\right)^2e^{5-x}\left(6x-x^2+7\right).\] 2. \(g\) es un cociente, \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), con \(u=\ln\left(x^4-2x^2\right)\) (\(u'=\dfrac{4x^3-4x}{x^4-2x^2}\)) y \(v=8-x^3\) (\(v'=-3x^2\)): \[g'(x)=\dfrac{\dfrac{4x^3-4x}{x^4-2x^2}\left(8-x^3\right)+3x^2\ln\left(x^4-2x^2\right)}{\left(8-x^3\right)^2}.\]

b) Región y área. 1. Cortes: \(-x^2+2x+3=-2x+6\iff x^2-4x+3=0\iff x=1\) o \(x=3\), en los puntos \((1,4)\) y \((3,0)\). 2. En \([1,3]\) la parábola (vértice \((1,4)\), abierta hacia abajo) queda por encima de la recta. 3. Área (parábola menos recta), con Barrow: \[A=\int_1^3\left[\left(-x^2+2x+3\right)-\left(-2x+6\right)\right]dx=\int_1^3\left(-x^2+4x-3\right)dx=\left[-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right]_1^3=0-\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{3}.\]

\(A=\dfrac{4}{3}\ \text{u}^2\)

Región acotada entre la recta y=−2x+6 y la parábola y=−x²+2x+3, que se cortan en (1,4) y (3,0)

Región acotada entre la recta y=−2x+6 y la parábola y=−x²+2x+3, que se cortan en (1,4) y (3,0)

2022

Ordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 4 · Ordinaria · Reserva 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \(f(x)=3x^{3}-6x^{2}+5\).

  1. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a \(f\) que sean paralelas a la recta de ecuación \(y=-3x+1\). (1,5 puntos)

  2. Calcule la función \(F\) que verifique que \(F'(x)=f(x)\) y \(F(2)=4\). (1 punto)

Relacionado también con: Integrales.

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Primitivas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Primitivas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

a) Rectas tangentes paralelas a \(y=-3x+1\). 1. Rectas paralelas tienen la misma pendiente: \(f'(x_0)=-3\). 2. Derivada: \(f'(x)=9x^2-12x\). Se resuelve \(f'(x)=-3\iff3x^2-4x+1=0\iff x=1\) o \(x=\dfrac{1}{3}\). 3. Para cada punto se usa \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\): - \(x=1\): \(f(1)=2\) y tangente \(y-2=-3(x-1)\), \(y=-3x+5\). - \(x=\dfrac{1}{3}\): \(f\left(\frac{1}{3}\right)=\dfrac{40}{9}\) y tangente \(y-\dfrac{40}{9}=-3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)\), \(y=-3x+\dfrac{49}{9}\).

b) Primitiva con condición. 1. Se integra: \(F(x)=\displaystyle\int\left(3x^3-6x^2+5\right)dx=\frac{3x^4}{4}-2x^3+5x+K\). 2. Se impone \(F(2)=4\): \(F(2)=12-16+10+K=4\), de donde \(K=-2\).

\(F(x)=\dfrac{3x^4}{4}-2x^3+5x-2\).

2021

Ordinaria 2021

Ejercicio 4 · Ordinaria 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

  1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: (1 punto)

\[f(x)=\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\qquad\qquad g(x)=x^{3}\cdot e^{2x^{2}}\]

  1. Represente gráficamente la parábola \(h(x)=x^{2}+x+1\), indicando el vértice y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,7 puntos)

  2. Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de \(h(x)=x^{2}+x+1\), el eje de abscisas y las rectas \(x=-\dfrac{1}{2}\) y \(x=0\). (0,8 puntos)

Relacionado también con: Funciones, Integrales.

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Dominio, cortes y simetrías.

Dominio: excluye los puntos donde se anula un denominador, el radicando de una raíz de índice par es negativo o el argumento de un logaritmo no es positivo. Cortes: con el eje \(X\) se resuelve \(f(x)=0\); con el eje \(Y\) se calcula \(f(0)\).

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

Dominio, cortes y simetrías.

  1. Halla el dominio y escríbelo como unión de intervalos.
  2. Calcula los cortes con los ejes.
  3. Estudia el signo de \(f\) entre los puntos que anulan \(f\) o su denominador.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Derivadas. 1. Para \(f\), conviene aplicar antes las propiedades de los logaritmos: \(f(x)=\ln(x-1)-\ln(x+1)\), y se deriva cada término: \[f'(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2}{x^2-1}.\] 2. \(g\) es un producto, \((uv)'=u'v+uv'\), con \(u=x^3\) y \(v=e^{2x^2}\) (derivada \(4x\,e^{2x^2}\), por la regla de la cadena): \[g'(x)=3x^2e^{2x^2}+x^3\cdot4x\,e^{2x^2}=x^2e^{2x^2}\left(3+4x^2\right).\]

b) Parábola \(h(x)=x^2+x+1\). 1. Vértice: \(h'(x)=2x+1=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\), con \(h\!\left(-\tfrac12\right)=\dfrac34\): vértice \(\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4}\right)\). 2. Cortes: con el eje \(OX\) no corta (\(\Delta=1-4=-3<0\)); con el eje \(OY\) corta en \((0,1)\). 3. Es una parábola abierta hacia arriba, simétrica respecto de \(x=-\dfrac{1}{2}\), que pasa también por \((-1,1)\).

Parábola h(x)=x²+x+1 con vértice (−1/2, 3/4), sin cortes con el eje X y corte con el eje Y en (0,1); sombreada entre x=−1/2 y x=0

Parábola h(x)=x²+x+1 con vértice (−1/2, 3/4), sin cortes con el eje X y corte con el eje Y en (0,1); sombreada entre x=−1/2 y x=0

c) Área. 1. \(h>0\) siempre (la parábola queda sobre el eje \(OX\)), así que el área es la integral entre \(-\tfrac12\) y \(0\). 2. Barrow: \[\int_{-1/2}^{0}\left(x^2+x+1\right)dx=\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x\right]_{-1/2}^{0}=0-\left(-\frac{1}{24}+\frac{1}{8}-\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{12}.\]

\(A=\dfrac{5}{12}\ \text{u}^2\)

Ordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 4 · Ordinaria · Reserva 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

  1. Calcule la derivada de las siguientes funciones: (1 punto)

\[f(x)=\left(5x^{3}+4x-2\right)^{4}\cdot\ln\left(2x^{5}-4x^{3}+x\right)\qquad\qquad g(x)=\frac{e^{3x^{2}-5x}}{\left(6x^{2}+2\right)^{3}}\]

  1. Halle la función \(h(x)\), sabiendo que su derivada es \(h'(x)=4x^{3}+x^{2}-4x-1\) y que \(h(2)=\dfrac{11}{3}\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Integrales.

Reglas de derivación.

\((u\pm v)'=u'\pm v'\); \((u\cdot v)'=u'v+uv'\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\); regla de la cadena \((f\circ g)'=f'(g)\cdot g'\). Básicas: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((e^{u})'=u'e^{u}\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

Primitivas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Reglas de derivación.

  1. Identifica la estructura: ¿suma, producto, cociente o función compuesta? Empieza por la operación «de fuera».
  2. Aplica la regla y simplifica (saca factor común).
  3. Comprueba un valor numérico si tienes dudas.

Primitivas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

a) Derivadas. 1. \(f\) es un producto de una potencia por un logaritmo: \((uv)'=u'v+uv'\), con \(u=\left(5x^3+4x-2\right)^4\) (cadena) y \(v=\ln\left(2x^5-4x^3+x\right)\) (cuya derivada es \(\dfrac{\text{derivada del argumento}}{\text{argumento}}\)):

\(f'(x)=4\left(5x^3+4x-2\right)^3\left(15x^2+4\right)\ln\left(2x^5-4x^3+x\right)+\left(5x^3+4x-2\right)^4\dfrac{10x^4-12x^2+1}{2x^5-4x^3+x}.\)

  1. \(g\) es un cociente: \(\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), con \(u=e^{3x^2-5x}\) y \(v=\left(6x^2+2\right)^3\). Se simplifica sacando factor común \(e^{3x^2-5x}\left(6x^2+2\right)^2\):

\(g'(x)=\dfrac{e^{3x^2-5x}(6x-5)\left(6x^2+2\right)^3-e^{3x^2-5x}\cdot3\left(6x^2+2\right)^2\cdot12x}{\left(6x^2+2\right)^6}=\dfrac{e^{3x^2-5x}\left(36x^3-30x^2-24x-10\right)}{\left(6x^2+2\right)^4}.\)

b) Función \(h\) a partir de \(h'\). 1. \(h\) es una primitiva de \(h'\): \(h(x)=\displaystyle\int\left(4x^3+x^2-4x-1\right)dx=x^4+\frac{x^3}{3}-2x^2-x+C\). 2. Se impone \(h(2)=\dfrac{11}{3}\): \(16+\dfrac{8}{3}-8-2+C=\dfrac{11}{3}\), de donde \(C=-5\).

\(h(x)=x^4+\dfrac{x^3}{3}-2x^2-x-5\).

También trabajan este tema

Ejercicios cuyo tema principal es otro pero en los que aparece este tema:

Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF oficial del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.