Derivadas — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 9 son básicos y del 10 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía para Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (ejercicio de análisis, 3 puntos). Los marcados como competenciales piden modelizar, interpretar el resultado en el contexto o justificar. Las soluciones están al final. Los logaritmos se escriben \(\log\) (decimal) y \(\ln\) (neperiano).

Definición y reglas de derivación

1. Sea \(f(x)=x^2-3x\). a) Calcula la tasa de variación media de \(f\) en \([1,4]\). b) Calcula \(f'(2)\) con la definición de derivada.

2. Deriva: a) \(f(x)=3x^4-2x^2+7x\); b) \(g(x)=\sqrt{x}+\dfrac{2}{x}\); c) \(h(x)=5e^x-3\ln x\).

3. Deriva: a) \(f(x)=x^2e^x\); b) \(g(x)=\dfrac{x+1}{x-2}\); c) \(h(x)=x\ln x\).

4. Deriva aplicando la regla de la cadena: a) \(f(x)=(3x-1)^5\); b) \(g(x)=e^{x^2-x}\); c) \(h(x)=\ln(x^2+1)\); d) \(k(x)=\sqrt{2x+3}\).

Recta tangente, derivabilidad y parámetros

5. Halla la ecuación de la recta tangente a \(f(x)=x^3-2x\) en \(x=1\).

6. Halla la recta tangente a \(f(x)=x^2-4x+1\) que es paralela a la recta \(y=2x+5\).

7. Estudia si \(f(x)=\begin{cases}x^2+1&x\le1\\3x-1&x>1\end{cases}\) es continua y derivable en \(x=1\).

8. Halla \(a\) y \(b\) para que la gráfica de \(f(x)=x^2+ax+b\) pase por el punto \((1,2)\) y tenga tangente horizontal en \(x=3\).

9. Calcula con la regla de L’Hôpital: a) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}\); b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{e^x}\); c) \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-1}\).

Problemas tipo PAU

10. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El coste, en euros, de fabricar \(x\) unidades de un producto es \(C(x)=0{,}05x^2+4x+500\).

  1. (0,75 puntos) Calcula la tasa de variación media del coste entre 100 y 120 unidades.

  2. (0,75 puntos) Calcula \(C'(x)\) y el coste marginal en \(x=100\).

  3. (0,75 puntos) Interpreta \(C'(100)\) y compáralo con el coste real de fabricar la unidad 101.

  4. (0,75 puntos) Halla la recta tangente a \(C\) en \(x=100\) y úsala para estimar \(C(103)\). Compara con el valor exacto.

11. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Las ventas, en miles de euros, de una tienda al invertir \(x\) miles de euros en publicidad son \(V(x)=x\,e^{-x/10}\), con \(x\ge0\).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(V'(x)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula \(V'(10)\) e interpreta el resultado.

  3. (0,75 puntos) Calcula \(V'(20)\) e interpreta su signo.

  4. (0,75 puntos) Halla la recta tangente a \(V\) en \(x=0\).

12. (Tipo PAU · 3 puntos)

Opción A. Sea \(f(x)=\begin{cases}ax^2+b&x\le1\\3-\dfrac1x&x>1\end{cases}\).

  1. (1 punto) Escribe la condición que debe cumplir \(a+b\) para que \(f\) sea continua en \(x=1\).

  2. (1 punto) Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea derivable en \(x=1\).

  3. (1 punto) Con esos valores, halla la recta tangente a \(f\) en \(x=2\).

Opción B. Sea \(g(x)=\dfrac{x^2+1}{x-2}\).

  1. (1 punto) Calcula \(g'(x)\).

  2. (1 punto) Halla la recta tangente a \(g\) en \(x=3\).

  3. (1 punto) Halla los puntos de la gráfica donde la tangente es horizontal.

13. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El beneficio, en miles de euros, de una empresa al fabricar \(x\) unidades es \(B(x)=-0{,}5x^2+30x-200\).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(B'(x)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula \(B'(20)\) e interpreta el resultado.

  3. (0,75 puntos) ¿Para qué producción es horizontal la tangente? Calcula el beneficio en ese punto.

  4. (0,75 puntos) Calcula \(B'(40)\) e interpreta su signo.

14. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=\begin{cases}x^2+ax+b&x\le2\\\dfrac8x&x>2\end{cases}\).

  1. (0,75 puntos) Escribe la condición de continuidad en \(x=2\).

  2. (0,75 puntos) Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea derivable en \(x=2\).

  3. (0,75 puntos) Con esos valores, halla la recta tangente en \(x=1\).

  4. (0,75 puntos) Con esos valores, halla la recta tangente en \(x=4\).

15. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) La población de una colonia de bacterias, en miles, es \(P(t)=200\,e^{0{,}3t}\) con \(t\) en horas.

  1. (0,75 puntos) Calcula \(P'(t)\) y la velocidad de crecimiento inicial \(P'(0)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula \(P'(5)\) e interpreta el resultado.

  3. (0,75 puntos) Calcula \(\dfrac{P'(t)}{P(t)}\) e interpreta el resultado.

  4. (0,75 puntos) Halla la recta tangente en \(t=0\) y estima \(P(0{,}5)\). Compara con el valor exacto.

16. (Tipo PAU · 3 puntos) Calcula, con la regla de L’Hôpital cuando proceda:

  1. (0,75 puntos) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x}\).

  2. (0,75 puntos) \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{\ln x}\).

  3. (0,75 puntos) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^2}\).

  4. (0,75 puntos) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^{2x}}\).

17. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El ingreso, en euros, de una empresa al vender \(x\) unidades es \(I(x)=-0{,}02x^2+8x\).

  1. (0,75 puntos) Calcula el ingreso marginal \(I'(x)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula \(I'(50)\) e interpreta el resultado.

  3. (0,75 puntos) Halla la recta tangente a \(I\) en \(x=50\).

  4. (0,75 puntos) Estima \(I(52)\) con la tangente y calcula el error cometido.

18. (Tipo PAU · 3 puntos) Deriva y simplifica:

  1. (0,75 puntos) \(f(x)=(2x-1)\,e^{x^2}\).

  2. (0,75 puntos) \(g(x)=\ln\dfrac{x+1}{x-1}\).

  3. (0,75 puntos) \(h(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).

  4. (0,75 puntos) \(k(x)=\dfrac{e^x}{x^2+1}\).

19. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El impuesto, en euros, que paga un trabajador con una renta de \(x\) euros es \[T(x)=\begin{cases}0{,}1x&0\le x\le20000\\2000+0{,}25\,(x-20000)&x>20000\end{cases}\]

  1. (0,75 puntos) Calcula \(T(10000)\) y \(T(30000)\).

  2. (0,75 puntos) Comprueba que \(T\) es continua en \(x=20000\).

  3. (0,75 puntos) Calcula las derivadas laterales en \(x=20000\) y decide si \(T\) es derivable en ese punto.

  4. (0,75 puntos) Interpreta las derivadas de cada tramo como tipos impositivos marginales.

20. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\). Se sabe que su gráfica pasa por el punto \((0,1)\) y que tiene tangente horizontal en el punto \((1,-1)\).

  1. (0,75 puntos) Halla \(c\).

  2. (0,75 puntos) Plantea las dos ecuaciones que cumplen \(a\) y \(b\).

  3. (0,75 puntos) Resuelve el sistema y escribe \(f(x)\).

  4. (0,75 puntos) Halla el otro punto con tangente horizontal.

21. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El beneficio, en miles de euros, de una empresa al producir \(x\) unidades es \(B(x)=ax^2+bx\). Se sabe que el beneficio es máximo para \(x=40\) unidades y que entonces vale 800.

  1. (0,75 puntos) Plantea las dos ecuaciones que cumplen \(a\) y \(b\).

  2. (0,75 puntos) Resuélvelas y escribe \(B(x)\).

  3. (0,75 puntos) Calcula \(B(30)\) y \(B'(30)\).

  4. (0,75 puntos) Interpreta \(B'(30)\) en el contexto.

22. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=x^2+1\). Se quieren hallar las rectas tangentes a la gráfica de \(f\) que pasan por el origen.

  1. (0,75 puntos) Escribe la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa \(x=a\).

  2. (0,75 puntos) Impón que pase por el origen \((0,0)\).

  3. (0,75 puntos) Resuelve la ecuación y halla los valores de \(a\).

  4. (0,75 puntos) Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes pedidas.

23. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El rendimiento de un estudiante, en puntos, tras \(t\) horas de estudio es \(R(t)=40\ln(t+1)\).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(R'(t)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula \(R'(0)\), \(R'(3)\) y \(R'(9)\).

  3. (0,75 puntos) Interpreta cómo cambia el aumento de rendimiento por hora de estudio.

  4. (0,75 puntos) Halla la recta tangente en \(t=3\).

24. (Tipo PAU · 3 puntos) El coste total de producir \(x\) unidades es \(C(x)=0{,}5x^2+200\), y el coste medio es \(C_m(x)=\dfrac{C(x)}{x}=0{,}5x+\dfrac{200}{x}\) con \(x>0\).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(C_m'(x)\).

  2. (0,75 puntos) Calcula \(C_m'(10)\) e interpreta su signo.

  3. (0,75 puntos) Halla el valor de \(x\) en el que \(C_m'(x)=0\).

  4. (0,75 puntos) Calcula \(C_m(20)\) y el coste marginal \(C'(20)\) y compáralos.

25. (Tipo PAU · 3 puntos)

Opción A.

  1. (1 punto) Sea \(f(x)=x^2-x\). Calcula \(f'(3)\) con la definición de derivada.

  2. (1 punto) Sea \(g(x)=|x-1|\). Calcula las derivadas laterales en \(x=1\) y decide si \(g\) es derivable en ese punto.

  3. (1 punto) Halla la recta tangente a \(h(x)=\ln x\) que es paralela a \(y=\frac{x}{2}+3\).

Opción B. Sea \(f(x)=ax^2+bx+c\). Se sabe que \(f\) pasa por \((0,2)\) y por \((1,3)\) y que su recta tangente en \(x=1\) tiene pendiente \(-1\).

  1. (1 punto) Halla \(c\).

  2. (1 punto) Plantea las dos ecuaciones que cumplen \(a\) y \(b\).

  3. (1 punto) Resuélvelas y escribe \(f(x)\).

Soluciones

  1. \(\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{4-(-2)}{3}=2\), porque \(f(4)=16-12=4\) y \(f(1)=1-3=-2\).

  2. \(f(2)=4-6=-2\) y \(f(2+h)=(2+h)^2-3(2+h)=h^2+h-2\). Entonces \(f'(2)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h^2+h}{h}=\lim_{h\to0}(h+1)=1\).

  1. \(f'(x)=12x^3-4x+7\).

  2. \(g(x)=x^{1/2}+2x^{-1}\), luego \(g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x^2}\).

  3. \(h'(x)=5e^x-\dfrac{3}{x}\).

  1. Producto: \(f'(x)=2x\,e^x+x^2e^x=(x^2+2x)e^x\).

  2. Cociente: \(g'(x)=\dfrac{1\cdot(x-2)-(x+1)\cdot1}{(x-2)^2}=\dfrac{-3}{(x-2)^2}\).

  3. Producto: \(h'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac1x=\ln x+1\).

  1. \(f'(x)=5(3x-1)^4\cdot3=15(3x-1)^4\).

  2. \(g'(x)=e^{x^2-x}\cdot(2x-1)=(2x-1)e^{x^2-x}\).

  3. \(h'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\).

  4. \(k'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}\).

\(f(1)=1-2=-1\) y \(f'(x)=3x^2-2\), luego \(f'(1)=1\). La tangente es \(y-(-1)=1\cdot(x-1)\), es decir, \(y=x-2\).

La recta \(y=2x+5\) tiene pendiente \(2\). Se impone \(f'(x)=2x-4=2\), de donde \(x=3\). Como \(f(3)=9-12+1=-2\), la tangente es \(y-(-2)=2(x-3)\), es decir, \(y=2x-8\).

Continuidad: \(f(1)=1^2+1=2\), \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=2\) y \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=3\cdot1-1=2\). Los tres valores coinciden: \(f\) es continua en \(x=1\).

Derivabilidad: \(f'(x)=2x\) para \(x<1\) y \(f'(x)=3\) para \(x>1\), luego \(f'(1^-)=2\) y \(f'(1^+)=3\). Son distintas: \(f\) es continua pero no derivable en \(x=1\).

Como \(f'(x)=2x+a\), la tangente horizontal en \(x=3\) da \(f'(3)=6+a=0\), es decir, \(a=-6\). Al pasar por \((1,2)\), \(f(1)=1+a+b=2\), luego \(b=2-1+6=7\). Entonces \(f(x)=x^2-6x+7\).

  1. Da \(\frac{0}{0}\). \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2\).

  2. Da \(\frac\infty\infty\). \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{6x}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{6}{e^x}=0\).

  3. Da \(\frac{0}{0}\). \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-1}=\lim_{x\to1}\frac{1/x}{2x}=\lim_{x\to1}\frac{1}{2x^2}=\frac{1}{2}\).

  1. \(C(100)=500+400+500=1400\) y \(C(120)=720+480+500=1700\). La tasa de variación media es \(\dfrac{1700-1400}{120-100}=15\) €/unidad.

  2. \(C'(x)=0{,}1x+4\). El coste marginal en \(x=100\) es \(C'(100)=0{,}1\cdot100+4=14\) €/unidad.

  3. \(C'(100)=14\) significa que fabricar una unidad más sobre las 100 cuesta aproximadamente 14 €. El coste real de la unidad 101 es \(C(101)-C(100)=1414{,}05-1400=14{,}05\) €, muy cercano.

  4. Tangente: \(y-1400=14(x-100)\), es decir, \(y=14x\). Con ella, \(C(103)\approx14\cdot103=1442\) €. El valor exacto es \(C(103)=1442{,}45\) €, así que el error es de \(0{,}45\) €.

  1. Producto y cadena: \(V'(x)=1\cdot e^{-x/10}+x\cdot\left(-\dfrac{1}{10}\right)e^{-x/10}=\left(1-\dfrac{x}{10}\right)e^{-x/10}\).

  2. \(V'(10)=(1-1)e^{-1}=0\). La tangente es horizontal: con una inversión de 10 000 €, un poco más de publicidad ya no aumenta las ventas (la pendiente es nula).

  3. \(V'(20)=(1-2)e^{-2}=-e^{-2}\approx-0{,}14\). Es negativa: con 20 000 € invertidos, más publicidad reduce las ventas.

  4. \(V(0)=0\) y \(V'(0)=1\), luego la tangente en \(x=0\) es \(y=x\).

Opción A.

  1. \(f(1)=a+b\) y \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}\left(3-\frac1x\right)=2\). Continuidad: \(a+b=2\).

  2. \(f'(x)=2ax\) para \(x<1\) y \(f'(x)=\dfrac{1}{x^2}\) para \(x>1\). Derivabilidad: \(f'(1^-)=2a=f'(1^+)=1\), luego \(a=\frac{1}{2}\), y de \(a+b=2\) resulta \(b=\frac{3}{2}\).

  3. En \(x=2\) se usa el segundo trozo: \(f(2)=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\) y \(f'(2)=\frac{1}{4}\). La tangente es \(y-\frac{5}{2}=\frac{1}{4}(x-2)\), es decir, \(y=\frac{x}{4}+2\).

Opción B.

  1. \(g'(x)=\dfrac{2x(x-2)-(x^2+1)\cdot1}{(x-2)^2}=\dfrac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}\).

  2. \(g(3)=\dfrac{10}{1}=10\) y \(g'(3)=\dfrac{9-12-1}{1}=-4\). La tangente es \(y-10=-4(x-3)\), es decir, \(y=-4x+22\).

  3. La tangente es horizontal si \(g'(x)=0\): \(x^2-4x-1=0\Rightarrow x=2\pm\sqrt{5}\). Los puntos son \(\left(2+\sqrt5,\ g(2+\sqrt5)\right)\) y \(\left(2-\sqrt5,\ g(2-\sqrt5)\right)\) (con \(x\ne2\), ambos en el dominio).

  1. \(B'(x)=-x+30\).

  2. \(B'(20)=-20+30=10\). Al producir una unidad más sobre las 20, el beneficio aumenta aproximadamente 10 (mil euros).

  3. \(B'(x)=0\Rightarrow x=30\) unidades, con \(B(30)=-450+900-200=250\) (mil euros).

  4. \(B'(40)=-40+30=-10<0\). Con 40 unidades, producir una unidad más reduce el beneficio unos 10 mil euros: ya se ha pasado del punto de beneficio máximo.

  1. \(f(2)=4+2a+b\) y \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}\frac8x=4\). Continuidad: \(4+2a+b=4\), es decir, \(2a+b=0\).

  2. \(f'(x)=2x+a\) para \(x<2\) y \(f'(x)=-\dfrac{8}{x^2}\) para \(x>2\). Derivabilidad: \(f'(2^-)=4+a\) y \(f'(2^+)=-\frac{8}{4}=-2\), luego \(4+a=-2\) y \(a=-6\). Entonces \(b=-2a=12\).

  3. Con \(f(x)=x^2-6x+12\) para \(x\le2\): \(f(1)=7\) y \(f'(1)=2-6=-4\). La tangente es \(y-7=-4(x-1)\), es decir, \(y=-4x+11\).

  4. Con \(f(x)=\dfrac8x\): \(f(4)=2\) y \(f'(4)=-\dfrac{8}{16}=-\frac{1}{2}\). La tangente es \(y-2=-\frac{1}{2}(x-4)\), es decir, \(y=-\frac{x}{2}+4\).

  1. \(P'(t)=200\cdot0{,}3\,e^{0{,}3t}=60\,e^{0{,}3t}\). Inicialmente, \(P'(0)=60\): la población crece a 60 mil bacterias por hora.

  2. \(P'(5)=60\,e^{1{,}5}\approx268{,}90\). A las 5 horas, la población crece a unas 268,9 mil bacterias por hora, mucho más deprisa que al inicio.

  3. \(\dfrac{P'(t)}{P(t)}=\dfrac{60\,e^{0{,}3t}}{200\,e^{0{,}3t}}=0{,}3\). Es constante: en cada instante, la población crece a un ritmo proporcional a su tamaño, un \(30\,\%\) por hora.

  4. \(P(0)=200\) y \(P'(0)=60\), luego la tangente es \(y=200+60t\). Con ella, \(P(0{,}5)\approx230\). El valor exacto es \(P(0{,}5)=200\,e^{0{,}15}\approx232{,}37\).

  1. Da \(\frac{0}{0}\). \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{3e^{3x}}{1}=3\).

  2. Da \(\frac{0}{0}\). \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{\ln x}=\lim_{x\to1}\frac{3x^2}{1/x}=\lim_{x\to1}3x^3=3\).

  3. Da \(\frac\infty\infty\). \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x^2}=0\).

  4. Da \(\frac\infty\infty\). \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^{2x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{2e^{2x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2e^{2x}}=0\).

  1. \(I'(x)=-0{,}04x+8\).

  2. \(I'(50)=-2+8=6\). Al vender una unidad más sobre las 50, el ingreso aumenta aproximadamente 6 €.

  3. \(I(50)=-50+400=350\) y \(I'(50)=6\), luego la tangente es \(y-350=6(x-50)\), es decir, \(y=6x+50\).

  4. La tangente da \(I(52)\approx6\cdot52+50=362\) €. El valor exacto es \(I(52)=-0{,}02\cdot2704+416=361{,}92\) €, así que el error es de \(0{,}08\) €.

  1. \(f'(x)=2e^{x^2}+(2x-1)\cdot2x\,e^{x^2}=(4x^2-2x+2)e^{x^2}\).

  2. Como \(g(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)\), \(g'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{-2}{x^2-1}\).

  3. \(h'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}-x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}\).

  4. \(k'(x)=\dfrac{e^x(x^2+1)-e^x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{(x-1)^2e^x}{(x^2+1)^2}\).

  1. \(T(10000)=0{,}1\cdot10000=1000\) € y \(T(30000)=2000+0{,}25\cdot10000=4500\) €.

  2. \(T(20000)=0{,}1\cdot20000=2000\); por la izquierda, \(\displaystyle\lim_{x\to20000^-}0{,}1x=2000\); por la derecha, \(\displaystyle\lim_{x\to20000^+}(2000+0{,}25(x-20000))=2000\). Coinciden: \(T\) es continua.

  3. \(T'(x)=0{,}1\) si \(x<20000\) y \(T'(x)=0{,}25\) si \(x>20000\). Entonces \(T'(20000^-)=0{,}1\) y \(T'(20000^+)=0{,}25\): son distintas, así que \(T\) no es derivable en \(x=20000\).

  4. La derivada es lo que se paga por cada euro más de renta: hasta 20 000 €, el \(10\,\%\) (0,1); por encima, el \(25\,\%\) (0,25). En \(x=20000\) el tipo marginal cambia de golpe, y por eso la gráfica tiene un punto anguloso.

  1. Como pasa por \((0,1)\), \(f(0)=c=1\).

  2. La tangente horizontal en \(x=1\) da \(f'(1)=3+2a+b=0\), porque \(f'(x)=3x^2+2ax+b\). Pasar por \((1,-1)\) da \(f(1)=1+a+b+1=-1\), es decir, \(a+b=-3\).

  3. De \(2a+b=-3\) y \(a+b=-3\), restando, \(a=0\) y \(b=-3\). Entonces \(f(x)=x^3-3x+1\).

  4. \(f'(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1\). Además de \((1,-1)\), hay tangente horizontal en \(x=-1\), con \(f(-1)=3\): el punto \((-1,3)\).

  1. Como \(B'(x)=2ax+b\), el máximo en \(x=40\) exige tangente horizontal: \(B'(40)=80a+b=0\). Además, \(B(40)=1600a+40b=800\).

  2. De \(b=-80a\): \(1600a-3200a=800\), luego \(a=-\frac{1}{2}\) y \(b=40\). Entonces \(B(x)=-\frac{1}{2}x^2+40x\).

  3. \(B(30)=-450+1200=750\) y \(B'(30)=-30+40=10\).

  4. \(B'(30)=10>0\): con 30 unidades, producir una más aumenta el beneficio unos 10 mil euros; aún no se ha llegado a la producción óptima de 40 unidades.

  1. \(f'(x)=2x\), luego la tangente en \(x=a\) es \(y-(a^2+1)=2a(x-a)\).

  2. Al pasar por \((0,0)\): \(0-(a^2+1)=2a(0-a)\), es decir, \(-(a^2+1)=-2a^2\).

  3. \(a^2+1=2a^2\Rightarrow a^2=1\), luego \(a=1\) o \(a=-1\).

  4. Con \(a=1\): \(y-2=2(x-1)\), es decir, \(y=2x\). Con \(a=-1\): \(y-2=-2(x+1)\), es decir, \(y=-2x\).

  1. \(R'(t)=\dfrac{40}{t+1}\).

  2. \(R'(0)=40\), \(R'(3)=\dfrac{40}{4}=10\) y \(R'(9)=\dfrac{40}{10}=4\) puntos por hora.

  3. La derivada disminuye al aumentar \(t\): las primeras horas de estudio aumentan mucho el rendimiento (40 puntos por hora al principio), pero cada hora adicional aporta menos (solo 4 puntos por hora hacia la hora 9).

  4. \(R(3)=40\ln4\) y \(R'(3)=10\), luego la tangente es \(y-40\ln4=10(t-3)\), es decir, \(y=40\ln4+10(t-3)\).

  1. \(C_m'(x)=0{,}5-\dfrac{200}{x^2}\).

  2. \(C_m'(10)=0{,}5-2=-1{,}5<0\): con 10 unidades, aumentar la producción reduce el coste medio (el coste fijo se reparte entre más unidades).

  3. \(0{,}5-\dfrac{200}{x^2}=0\Rightarrow x^2=400\Rightarrow x=20\) (con \(x>0\)).

  4. \(C_m(20)=10+10=20\) €/unidad y \(C'(x)=x\), luego \(C'(20)=20\) €/unidad. Coinciden: en el punto donde el coste medio tiene tangente horizontal, el coste medio es igual al coste marginal.

Opción A.

  1. \(f(3)=9-3=6\) y \(f(3+h)=(3+h)^2-(3+h)=6+5h+h^2\). Entonces \(f'(3)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{5h+h^2}{h}=\lim_{h\to0}(5+h)=5\).

  2. \(g(x)=1-x\) si \(x<1\) y \(g(x)=x-1\) si \(x\ge1\). Entonces \(g'(1^-)=-1\) y \(g'(1^+)=1\). Son distintas: \(g\) es continua pero no derivable en \(x=1\) (tiene un punto anguloso).

  3. La pendiente de \(y=\frac{x}{2}+3\) es \(\frac{1}{2}\). Se impone \(h'(x)=\dfrac{1}{x}=\frac{1}{2}\), luego \(x=2\) y \(h(2)=\ln2\). La tangente es \(y-\ln2=\frac{1}{2}(x-2)\), es decir, \(y=\frac{x}{2}+\ln2-1\).

Opción B.

  1. Pasa por \((0,2)\): \(f(0)=c=2\).

  2. Pasa por \((1,3)\): \(a+b+2=3\), es decir, \(a+b=1\). Pendiente \(-1\) en \(x=1\): \(f'(1)=2a+b=-1\).

  3. Restando, \(a=-2\), y entonces \(b=3\). Así \(f(x)=-2x^2+3x+2\).