PAU Andalucía — Límites y continuidad

Ejercicios de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es límites y continuidad: 30 ejercicios de convocatorias ordinarias y extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la resolución breve con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

2026

Ordinaria 2026

Ejercicio 2 · Ordinaria 2026 · Bloque B · (3 puntos) · Examen

Se considera la función \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}}{20}&\text{si }0\le x<20\\a+bx&\text{si }20\le x<50\\36-\dfrac{x^{2}}{100}&\text{si }50\le x\le60\end{cases}\] siendo \(a\) y \(b\) números reales.

  1. Determine los valores de \(a\) y \(b\) para que la función \(f\) sea continua en todo su dominio. (0,75 puntos)

  2. Para \(a=26\) y \(b=-\dfrac{3}{10}\):

  3. Calcule los extremos relativos de \(f\). (0,75 puntos)

  1. Represente gráficamente \(f\). (0,5 puntos)

  2. Calcule el área del recinto acotado limitado por el eje \(OX\) y la gráfica de la función \(f\). (1 punto)

Relacionado también con: Derivadas, Aplicaciones de la derivada, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad. 1. En \(x=20\): \(\dfrac{20^2}{20}=20\) debe valer \(a+20b\). 2. En \(x=50\): \(a+50b\) debe valer \(36-\dfrac{50^2}{100}=11\). 3. Se restan las dos ecuaciones: \(30b=-9\Rightarrow b=-\dfrac{3}{10}\) y, entonces, \(a=20+6=26\).

\(a=26\) y \(b=-\dfrac{3}{10}\).

b) i) Extremos relativos. 1. Derivada por trozos: \(f'(x)=\dfrac{x}{10}\) en \((0,20)\), \(f'(x)=-\dfrac{3}{10}\) en \((20,50)\) y \(f'(x)=-\dfrac{x}{50}\) en \((50,60)\). 2. En \((0,20)\) \(f\) crece y en el resto decrece. En \(x=20\) pasa de crecer a decrecer (no es derivable allí: \(f'(20^-)=2\neq f'(20^+)=-0{,}3\)). 3. En \(x=50\) la función sigue decreciendo (\(f'<0\) a ambos lados): no hay extremo.

Máximo relativo en \((20,20)\); no hay mínimos relativos (los valores \(f(0)=0\) y \(f(60)=0\) son mínimos en los extremos del dominio).

ii) Gráfica. 1. Arco de parábola convexa \(y=\dfrac{x^2}{20}\) desde \((0,0)\) hasta el pico \((20,20)\). 2. Segmento de recta decreciente desde \((20,20)\) hasta \((50,11)\). 3. Arco de parábola cóncava (parte de \(y=36-\dfrac{x^2}{100}\)) desde \((50,11)\) hasta \((60,0)\).

Gráfica de f: parábola x²/20 hasta el pico (20,20), recta decreciente hasta (50,11) y parábola 36−x²/100 hasta (60,0); sombreada el área bajo la curva

Gráfica de f: parábola x²/20 hasta el pico (20,20), recta decreciente hasta (50,11) y parábola 36−x²/100 hasta (60,0); sombreada el área bajo la curva

iii) Área. 1. \(f\ge0\) en \([0,60]\), así que el área es la integral de los tres trozos. 2. Barrow en cada uno: \[A=\int_0^{20}\frac{x^2}{20}dx+\int_{20}^{50}\left(26-\frac{3x}{10}\right)dx+\int_{50}^{60}\left(36-\frac{x^2}{100}\right)dx=\frac{400}{3}+465+\frac{170}{3}=655.\]

\(A=655\ \text{u}^2\)

Ordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 2A · Ordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque B · (3 puntos) · Examen

Sea \(f\) la función definida por \[f(x)=\begin{cases}x^{3}+ax^{2}+9x&\text{si }x<3\\\dfrac{bx+18}{x+1}&\text{si }x\ge3\end{cases}\] siendo \(a\) y \(b\) números reales.

  1. Determine los valores de \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea continua en su dominio y su gráfica pase por el punto \((2,2)\). (1 punto)

  2. Para \(a=b=-6\):

  3. Determine las asíntotas de \(f\), en el caso de que existan. (0,5 puntos)

  1. Estudie la monotonía de \(f\) y calcule sus extremos relativos. (0,75 puntos)

  2. Esboce la gráfica de \(f\). (0,75 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Aplicaciones de la derivada.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Parámetros \(a\) y \(b\). 1. Pasa por \((2,2)\) con \(x=2<3\): \(f(2)=8+4a+18=2\Rightarrow4a=-24\Rightarrow a=-6\). 2. Continuidad en \(x=3\): por la izquierda, \(\displaystyle\lim_{x\to3^-}f=27+9a+27=54-54=0\); por la derecha, \(f(3)=\dfrac{3b+18}{4}\). 3. Se igualan: \(3b+18=0\Rightarrow b=-6\).

\(a=-6\) y \(b=-6\).

b) i) Asíntotas (con \(a=b=-6\): \(f(x)=x^3-6x^2+9x\) si \(x<3\) y \(f(x)=\dfrac{-6x+18}{x+1}\) si \(x\ge3\)). 1. Verticales: no hay (\(x=-1\) no está en el tramo \(x\ge3\) y el tramo cúbico no tiene). 2. Horizontal por la derecha: \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-6x+18}{x+1}=-6\). 3. En \(-\infty\) el tramo cúbico no tiene asíntotas.

Asíntota horizontal \(y=-6\) (por la derecha); no hay verticales ni oblicuas.

ii) Monotonía y extremos. 1. Si \(x<3\): \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\), con \(f'>0\) en \((-\infty,1)\) y \(f'<0\) en \((1,3)\). 2. Si \(x>3\): \(f'(x)=\dfrac{-6(x+1)-(-6x+18)}{(x+1)^2}=\dfrac{-24}{(x+1)^2}<0\). 3. En \(x=3\) es \(f(3)=0\) y la función sigue decreciendo a ambos lados (\(f'(3^-)=0\), \(f'(3^+)=-\tfrac{3}{2}\)): no hay extremo.

\(f\) crece en \((-\infty,1)\) y decrece en \((1,+\infty)\). Máximo relativo en \((1,4)\); no hay mínimos relativos.

iii) Esbozo. 1. Cúbica \(y=x(x-3)^2\) viniendo de \(-\infty\): corta al eje en \((0,0)\), sube hasta el máximo \((1,4)\) y baja hasta tocar el eje en \((3,0)\). 2. A partir de ahí continúa descendiendo como la hipérbola \(y=\dfrac{-6x+18}{x+1}\) (pasa por \(\left(5,-2\right)\)), acercándose por encima a \(y=-6\).

Gráfica de f para a=b=−6: cúbica con máximo (1,4) que toca al eje X en (3,0) y, desde ahí, rama de hipérbola decreciente con asíntota horizontal y=−6

Gráfica de f para a=b=−6: cúbica con máximo (1,4) que toca al eje X en (3,0) y, desde ahí, rama de hipérbola decreciente con asíntota horizontal y=−6

Extraordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 2A · Extraordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque B · (3 puntos) · Examen

  1. Calcule los valores de \(a\) y \(b\) para que la función \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{x-a}{x-1}&\text{si }x\le0\\x^{2}+bx+3&\text{si }x>0\end{cases}\] sea continua y derivable en \(x=0\). (1 punto)

  2. Dada la función \(g(x)=\dfrac{x-3}{x-1}\), calcule las asíntotas, los puntos de corte con los ejes, estudie la monotonía y esboce la gráfica de la función. (1,25 puntos)

  3. Calcule el área del recinto acotado limitado por el eje de abscisas y la gráfica de la función \(h(x)=x^{2}-x-6\). (0,75 puntos)

Relacionado también con: Funciones, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Derivabilidad.

\(f\) derivable en \(a\) si es continua en \(a\) y las derivadas laterales coinciden: \(f'(a^-)=f'(a^+)\). Derivable implica continua, pero no al revés.

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Dominio, cortes y simetrías.

Dominio: excluye los puntos donde se anula un denominador, el radicando de una raíz de índice par es negativo o el argumento de un logaritmo no es positivo. Cortes: con el eje \(X\) se resuelve \(f(x)=0\); con el eje \(Y\) se calcula \(f(0)\).

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Derivabilidad.

  1. Impón primero la continuidad en el punto de cambio.
  2. Deriva cada trozo y evalúa en el punto, por la izquierda y por la derecha.
  3. Iguala las derivadas: segunda ecuación para los parámetros.
  4. Resuelve el sistema y comprueba.

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Dominio, cortes y simetrías.

  1. Halla el dominio y escríbelo como unión de intervalos.
  2. Calcula los cortes con los ejes.
  3. Estudia el signo de \(f\) entre los puntos que anulan \(f\) o su denominador.

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Parámetros \(a\) y \(b\). 1. Continuidad en \(x=0\): por la izquierda, \(f(0)=\dfrac{-a}{-1}=a\); por la derecha, \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=3\). Así \(a=3\). 2. Derivada por la izquierda: para \(x<0\), \(f'(x)=\dfrac{(x-1)-(x-a)}{(x-1)^2}=\dfrac{a-1}{(x-1)^2}\), con \(f'(0^-)=a-1=2\). 3. Derivada por la derecha: para \(x>0\), \(f'(x)=2x+b\), con \(f'(0^+)=b\). 4. Derivabilidad: deben coincidir, \(b=2\).

\(a=3\) y \(b=2\).

b) Estudio de \(g(x)=\dfrac{x-3}{x-1}\). 1. Asíntota vertical: \(x=1\), porque \(\displaystyle\lim_{x\to1^\pm}g=\dfrac{-2}{0^\pm}=\mp\infty\). 2. Asíntota horizontal: \(y=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x-3}{x-1}=1\). 3. Cortes con los ejes: con \(OX\), \(x=3\), punto \((3,0)\); con \(OY\), \(g(0)=3\), punto \((0,3)\). 4. Monotonía: \(g'(x)=\dfrac{(x-1)-(x-3)}{(x-1)^2}=\dfrac{2}{(x-1)^2}>0\): \(g\) es creciente en \((-\infty,1)\) y en \((1,+\infty)\) (sin extremos). 5. Gráfica: hipérbola con asíntotas \(x=1\) e \(y=1\). - Rama izquierda (\(x<1\)): pasa por \((0,3)\), sube a \(+\infty\) junto a \(x=1\) y baja hacia \(1\) por encima cuando \(x\to-\infty\). - Rama derecha (\(x>1\)): viene de \(-\infty\) junto a \(x=1\), pasa por \((3,0)\) y se acerca a \(1\) por debajo cuando \(x\to+\infty\).

Hipérbola creciente g(x)=(x−3)/(x−1) con asíntota vertical en la abscisa 1 y horizontal en la ordenada 1; corta a los ejes en (3,0) y (0,3)

Hipérbola creciente g(x)=(x−3)/(x−1) con asíntota vertical en la abscisa 1 y horizontal en la ordenada 1; corta a los ejes en (3,0) y (0,3)

c) Área. 1. Se factoriza: \(h(x)=(x-3)(x+2)\) corta al eje \(OX\) en \(x=-2\) y \(x=3\). 2. Es una parábola abierta hacia arriba: \(h\le0\) entre las raíces, así que el área es el valor absoluto de la integral. 3. Barrow: \[A=\left|\int_{-2}^{3}\left(x^2-x-6\right)dx\right|=\left|\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-6x\right]_{-2}^{3}\right|=\left|-\frac{27}{2}-\frac{22}{3}\right|=\frac{125}{6}.\]

\(A=\dfrac{125}{6}\ \text{u}^2\)

Ejercicio 2B · Extraordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque B · (3 puntos) · Examen

Sea \(f\) la función definida por \[f(x)=\begin{cases}x^{3}-3x+2&\text{si }0<x\le3\\\dfrac{10}{a-x}&\text{si }x>3\end{cases}\] siendo \(a\) un número real.

  1. Determine el valor de \(a\) para el que \(f\) es continua en \(x=3\). (0,5 puntos)

  2. Para \(a=4\):

  3. Determine las ecuaciones de las asíntotas de \(f\), si existen. (1 punto)

  1. Estudie la derivabilidad y monotonía de \(f\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Funciones, Derivadas, Aplicaciones de la derivada.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

a) Continuidad en \(x=3\). 1. Por la izquierda: \(\displaystyle\lim_{x\to3^-}\left(x^3-3x+2\right)=27-9+2=20\). 2. Por la derecha: \(\displaystyle\lim_{x\to3^+}\dfrac{10}{a-x}=\dfrac{10}{a-3}\). 3. Se igualan: \(\dfrac{10}{a-3}=20\Rightarrow a-3=\dfrac{1}{2}\).

\(a=\dfrac{7}{2}\).

b) Estudio para \(a=4\): \(f(x)=x^3-3x+2\) si \(0<x\le3\) y \(f(x)=\dfrac{10}{4-x}\) si \(x>3\).

i) Asíntotas. 1. Vertical: \(x=4\) (en el tramo \(x>3\)), con \(\displaystyle\lim_{x\to4^-}f=+\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to4^+}f=-\infty\). 2. Horizontal: \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{10}{4-x}=0\), es decir, \(y=0\).

Asíntotas: \(x=4\) e \(y=0\).

ii) Derivabilidad y monotonía. 1. En \(x=3\): \(\displaystyle\lim_{x\to3^+}f=\dfrac{10}{1}=10\neq f(3)=20\). No es continua en \(x=3\) (salto) y, por tanto, no es derivable allí. 2. En \(x=4\) no está definida. 3. Es derivable en \((0,3)\cup(3,4)\cup(4,+\infty)\). 4. Monotonía en \((0,3)\): \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\), con \(f'<0\) en \((0,1)\) y \(f'>0\) en \((1,3)\). 5. Monotonía en \(x>3\): \(f'(x)=\dfrac{10}{(4-x)^2}>0\).

\(f\) decrece en \((0,1)\) y crece en \((1,3)\), en \((3,4)\) y en \((4,+\infty)\). Mínimo relativo en \((1,0)\); máximo relativo en \((3,20)\) (porque a su derecha la función toma valores cercanos a \(10<20\)).

2025

Ordinaria · Suplente 1 · Modelo A 2025

Ejercicio 3 · Ordinaria · Suplente 1 · Modelo A 2025 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

  1. Se considera la función \[f(x)=\begin{cases}a\cdot e^{x+1}&x\le-1\\x^{2}-2&-1<x<2\\b\cdot\log(12-x)&2\le x<12\end{cases}\] siendo \(a\) y \(b\) números reales. Determine los valores de \(a\) y \(b\) para que la función \(f\) sea continua en su dominio. (1,2 puntos)

  2. Represente el recinto acotado, limitado por la recta \(y=-x+3\) y la parábola \(y=-x^{2}+5\). Calcule el área del recinto. (1,3 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad. Cada trozo es continuo en su intervalo; solo hay que estudiar \(x=-1\) y \(x=2\). 1. En \(x=-1\): \(\displaystyle\lim_{x\to-1^-}ae^{x+1}=a\) y \(\displaystyle\lim_{x\to-1^+}\left(x^2-2\right)=-1\). Deben coincidir: \(a=-1\). 2. En \(x=2\): \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}\left(x^2-2\right)=2\) y \(f(2)=b\log(12-2)=b\log10=b\) (logaritmo decimal). Deben coincidir: \(b=2\).

\(a=-1\) y \(b=2\).

b) Recinto y área. 1. Puntos de corte: \(-x+3=-x^2+5\iff x^2-x-2=0\iff x=-1\) o \(x=2\), en los puntos \((-1,4)\) y \((2,1)\). 2. En \([-1,2]\) la parábola (de vértice \((0,5)\), abierta hacia abajo) queda por encima de la recta. 3. Barrow, integrando «arriba menos abajo»: \[A=\int_{-1}^{2}\left[\left(-x^2+5\right)-\left(-x+3\right)\right]dx=\int_{-1}^{2}\left(-x^2+x+2\right)dx=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{2}=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{9}{2}.\]

\(A=\dfrac{9}{2}\ \text{u}^2\)

Recinto acotado entre la parábola y=−x²+5 y la recta y=−x+3, que se cortan en (−1,4) y (2,1)

Recinto acotado entre la parábola y=−x²+5 y la recta y=−x+3, que se cortan en (−1,4) y (2,1)

Ordinaria · Suplente 2 · Modelo A 2025

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente 2 · Modelo A 2025 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \[f(x)=\begin{cases}10+\dfrac{5x}{2}&x\le-2\\x^{2}+1&-2<x<2\\10-\dfrac{5x}{2}&x\ge2\end{cases}\]

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de \(f\) en el punto de abscisa \(x=-2\). (0,5 puntos)

  2. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función \(f\) con pendiente \(-1\). (0,75 puntos)

  3. Represente la región del plano acotada superiormente por la gráfica de \(f\) e inferiormente por el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región. (1,25 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad y derivabilidad en \(x=-2\). 1. Continuidad: \(\displaystyle\lim_{x\to-2^-}\left(10+\frac{5x}{2}\right)=5\) y \(\displaystyle\lim_{x\to-2^+}\left(x^2+1\right)=5=f(-2)\): continua. 2. Derivadas: \(f'(x)=\dfrac{5}{2}\) si \(x<-2\) y \(f'(x)=2x\) si \(-2<x<2\). 3. En \(x=-2\): \(f'(-2^-)=\dfrac{5}{2}\neq f'(-2^+)=-4\): no derivable en \(x=-2\).

b) Recta tangente de pendiente \(-1\). 1. Los tramos laterales tienen pendientes \(\pm\dfrac{5}{2}\), así que el punto está en el tramo central: \(f'(x)=2x=-1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\), que está en \((-2,2)\) (válido). 2. \(f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{4}\). 3. Tangente: \(y-\dfrac{5}{4}=-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\).

\(y=-x+\dfrac{3}{4}\).

c) Región y área. 1. \(f\ge0\) en \([-4,4]\) (\(10+\frac{5x}{2}=0\) en \(x=-4\) y \(10-\frac{5x}{2}=0\) en \(x=4\)); fuera de ese intervalo \(f<0\). La región acotada va de \(x=-4\) a \(x=4\). 2. Es una «tienda» con vértices \((-4,0)\), \((-2,5)\), \((2,5)\) y \((4,0)\) cuyo techo central es la parábola \(y=x^2+1\). 3. Se suman las tres integrales: \[A=\int_{-4}^{-2}\left(10+\frac{5x}{2}\right)dx+\int_{-2}^{2}\left(x^2+1\right)dx+\int_2^4\left(10-\frac{5x}{2}\right)dx=5+\frac{28}{3}+5=\frac{58}{3}.\]

\(A=\dfrac{58}{3}\ \text{u}^2\)

Gráfica de f: dos rectas y un arco de parábola x²+1 entre ellas, formando una tienda sobre el eje X de x=−4 a x=4; recta tangente y=−x+3/4 en x=−1/2

Gráfica de f: dos rectas y un arco de parábola x²+1 entre ellas, formando una tienda sobre el eje X de x=−4 a x=4; recta tangente y=−x+3/4 en x=−1/2

2024

Ordinaria · Modelo A 2024

Ejercicio 4 · Ordinaria · Modelo A 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

La velocidad media del viento en la zona de Sierra Nevada, prevista para cierto día, viene dada por la función \(v(t)\) expresada en km/h, donde \(t\) es el tiempo expresado en horas: \[v(t)=\begin{cases}t^{2}-8t+60&\text{si }0\le t\le10\\-t^{2}+32t-140&\text{si }10<t\le24\end{cases}\]

  1. Compruebe que la función \(v\) es continua y derivable. (0,75 puntos)

  2. Represente gráficamente la función, estudiando previamente la monotonía y calculando los extremos absolutos. (1 punto)

  3. La Agencia Estatal de Meteorología emite avisos de alerta por vientos siguiendo el código de colores: naranja para vientos entre \(100\) y \(140\) km/h, y rojo para vientos de más de \(140\) km/h. Según la previsión, indique si se debe emitir alguna alerta naranja en Sierra Nevada ese día y durante qué horas estaría activa. ¿Se emitiría alerta roja? (0,75 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Aplicaciones de la derivada.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Derivabilidad.

\(f\) derivable en \(a\) si es continua en \(a\) y las derivadas laterales coinciden: \(f'(a^-)=f'(a^+)\). Derivable implica continua, pero no al revés.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Derivabilidad.

  1. Impón primero la continuidad en el punto de cambio.
  2. Deriva cada trozo y evalúa en el punto, por la izquierda y por la derecha.
  3. Iguala las derivadas: segunda ecuación para los parámetros.
  4. Resuelve el sistema y comprueba.

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad y derivabilidad. Cada tramo es un polinomio, así que solo hay que estudiar \(t=10\). 1. Continuidad: por la izquierda, \(10^2-80+60=80\); por la derecha, \(-100+320-140=80\). Coinciden: continua. 2. Derivadas: \(v'(t)=2t-8\) si \(t<10\) y \(v'(t)=-2t+32\) si \(t>10\). 3. En \(t=10\): \(v'(10^-)=12=v'(10^+)\): derivable.

b) Monotonía, extremos absolutos y gráfica. 1. Puntos críticos: \(v'(t)=2t-8=0\Rightarrow t=4\) en el primer tramo y \(v'(t)=-2t+32=0\Rightarrow t=16\) en el segundo. 2. Signo de \(v'\): - \((0,4)\): \(v'<0\), decrece. - \((4,16)\): \(v'>0\), crece (en \((4,10)\) por el primer tramo y en \((10,16)\) por el segundo). - \((16,24)\): \(v'<0\), decrece. 3. Valores: \(v(0)=60\), \(v(4)=44\), \(v(10)=80\), \(v(16)=116\), \(v(24)=52\). 4. Extremos absolutos: se comparan los puntos críticos y los extremos del intervalo.

Mínimo absoluto \(44\) km/h en \(t=4\) y máximo absoluto \(116\) km/h en \(t=16\).

  1. Gráfica: arco de parábola convexa desde \((0,60)\) hasta el mínimo \((4,44)\), sube hasta \((10,80)\), continúa hasta el máximo \((16,116)\) y baja hasta \((24,52)\).

Velocidad del viento v(t): baja de 60 a 44 km/h en t=4, sube hasta el máximo 116 km/h en t=16 y baja a 52 km/h en t=24

Velocidad del viento v(t): baja de 60 a 44 km/h en t=4, sube hasta el máximo 116 km/h en t=16 y baja a 52 km/h en t=24

c) Alertas. 1. Alerta naranja si \(100\le v\le140\). En el primer tramo, \(v\le80\) en \([0,10]\): no hay alerta. 2. En el segundo tramo: \(-t^2+32t-140\ge100\iff t^2-32t+240\le0\iff12\le t\le20\). 3. El máximo del día es \(116\), menor que \(140\).

Se emitiría alerta naranja entre las \(12\) h y las \(20\) h (8 horas). No se emitiría alerta roja, porque el máximo es \(116<140\).

Ordinaria · Modelo B 2024

Ejercicio 3 · Ordinaria · Modelo B 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Dada la función \(f(x)=\dfrac{2x-6}{2-x}\):

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de dicha función. Calcule sus asíntotas. (0,75 puntos)

  2. Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la existencia de extremos relativos. (0,75 puntos)

  3. Halle los puntos de corte con los ejes de coordenadas y represente gráficamente la función. (1 punto)

Relacionado también con: Derivadas, Aplicaciones de la derivada.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Dominio, cortes y simetrías.

Dominio: excluye los puntos donde se anula un denominador, el radicando de una raíz de índice par es negativo o el argumento de un logaritmo no es positivo. Cortes: con el eje \(X\) se resuelve \(f(x)=0\); con el eje \(Y\) se calcula \(f(0)\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Dominio, cortes y simetrías.

  1. Halla el dominio y escríbelo como unión de intervalos.
  2. Calcula los cortes con los ejes.
  3. Estudia el signo de \(f\) entre los puntos que anulan \(f\) o su denominador.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad, derivabilidad y asíntotas. 1. Dominio: \(\mathbb R\setminus\{2\}\) (el denominador se anula en \(x=2\)). Es un cociente de polinomios: continua y derivable en todo su dominio. 2. Asíntota vertical \(x=2\): el numerador tiende a \(-2\) y \(2-x\) tiende a \(0^+\) por la izquierda y a \(0^-\) por la derecha, luego \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}f=-\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}f=+\infty\). 3. Asíntota horizontal: \(y=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x-6}{2-x}=-2\).

\(x=2\) (vertical) e \(y=-2\) (horizontal).

b) Monotonía y extremos. 1. Derivada: \(f'(x)=\dfrac{2(2-x)+(2x-6)}{(2-x)^2}=\dfrac{-2}{(2-x)^2}\). 2. Es negativa para todo \(x\neq2\).

\(f\) es decreciente en \((-\infty,2)\) y en \((2,+\infty)\) y no tiene extremos relativos.

c) Cortes y gráfica. 1. Con \(OX\): \(2x-6=0\Rightarrow x=3\), punto \((3,0)\). 2. Con \(OY\): \(f(0)=-3\), punto \((0,-3)\). 3. Es una hipérbola con asíntotas \(x=2\) e \(y=-2\). Rama izquierda (\(x<2\)): pasa por \((0,-3)\) y \((1,-4)\), baja hacia \(-\infty\) junto a \(x=2\) y tiende a \(-2\) por debajo cuando \(x\to-\infty\). 4. Rama derecha (\(x>2\)): viene de \(+\infty\) junto a \(x=2\), pasa por \((3,0)\) y tiende a \(-2\) por encima cuando \(x\to+\infty\).

Hipérbola decreciente f(x)=(2x−6)/(2−x) con asíntota vertical en la abscisa 2 y horizontal en la ordenada −2; corta a los ejes en (3,0) y (0,−3)

Hipérbola decreciente f(x)=(2x−6)/(2−x) con asíntota vertical en la abscisa 2 y horizontal en la ordenada −2; corta a los ejes en (3,0) y (0,−3)

Ejercicio 4 · Ordinaria · Modelo B 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \[f(x)=\begin{cases}-x^{2}+4x+3&\text{si }x<4\\2x-5&\text{si }x\ge4\end{cases}\]

  1. Estudie su continuidad y derivabilidad. (0,75 puntos)

  2. Estudie su monotonía y calcule sus extremos relativos. (0,75 puntos)

  3. Represente la región del plano limitada por la gráfica de \(f\), las rectas \(x=3\), \(x=5\) y el eje de abscisas. Calcule su área. (1 punto)

Relacionado también con: Derivadas, Aplicaciones de la derivada, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad y derivabilidad. Cada trozo es un polinomio; solo hay que estudiar \(x=4\). 1. Continuidad: por la izquierda, \(-16+16+3=3\); por la derecha, \(2\cdot4-5=3\): continua. 2. Derivadas: \(f'(x)=-2x+4\) si \(x<4\) y \(f'(x)=2\) si \(x>4\). 3. En \(x=4\): \(f'(4^-)=-4\neq f'(4^+)=2\): no derivable (punto anguloso).

\(f\) es continua en \(\mathbb R\) y derivable en \(\mathbb R\setminus\{4\}\).

b) Monotonía y extremos. 1. Si \(x<4\): \(f'(x)=-2x+4=0\Rightarrow x=2\), con \(f'>0\) en \((-\infty,2)\) y \(f'<0\) en \((2,4)\). 2. Si \(x>4\): \(f'=2>0\). 3. En \(x=4\) la función pasa de decrecer a crecer, aunque no sea derivable.

\(f\) crece en \((-\infty,2)\cup(4,+\infty)\) y decrece en \((2,4)\). Máximo relativo en \((2,7)\) y mínimo relativo en \((4,3)\).

c) Región y área. 1. En \([3,5]\), \(f>0\) (en \(x=3\) vale \(6\) y en \(x=4\) vale \(3\)), así que el área es la integral directa. 2. La región es un trozo de parábola entre \(x=3\) y \(x=4\) seguido de un trozo de recta entre \(x=4\) y \(x=5\): \[A=\int_3^4\left(-x^2+4x+3\right)dx+\int_4^5(2x-5)\,dx=\left[-\frac{x^3}{3}+2x^2+3x\right]_3^4+\left[x^2-5x\right]_4^5=\frac{14}{3}+4=\frac{26}{3}.\]

\(A=\dfrac{26}{3}\ \text{u}^2\)

Gráfica de f: parábola −x²+4x+3 con máximo (2,7) hasta x=4 y recta 2x−5 desde (4,3); sombreado entre x=3 y x=5

Gráfica de f: parábola −x²+4x+3 con máximo (2,7) hasta x=4 y recta 2x−5 desde (4,3); sombreado entre x=3 y x=5

Ordinaria · Reserva · Modelo A 2024

Ejercicio 4 · Ordinaria · Reserva · Modelo A 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \(f(x)=\begin{cases}3+e^{x}&\text{si }x<1\\x^{2}+ax+2&\text{si }x\ge1\end{cases}\)

  1. Determine el valor de \(a\) para que la función \(f\) sea continua en \(\mathbb R\). Para ese valor de \(a\), ¿es \(f\) derivable? (1 punto)

  2. Para \(a=-3\), calcule la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=0\). (0,5 puntos)

  3. Para \(a=-3\), represente la región limitada por la gráfica de \(f\), las rectas \(x=2\), \(x=4\) y el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región. (1 punto)

Relacionado también con: Derivadas, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Derivabilidad.

\(f\) derivable en \(a\) si es continua en \(a\) y las derivadas laterales coinciden: \(f'(a^-)=f'(a^+)\). Derivable implica continua, pero no al revés.

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Derivabilidad.

  1. Impón primero la continuidad en el punto de cambio.
  2. Deriva cada trozo y evalúa en el punto, por la izquierda y por la derecha.
  3. Iguala las derivadas: segunda ecuación para los parámetros.
  4. Resuelve el sistema y comprueba.

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad y derivabilidad. 1. Continuidad en \(x=1\): por la izquierda, \(3+e\); por la derecha, \(1+a+2=3+a\). Así \(3+e=3+a\) y \(a=e\). 2. Derivadas: \(f'(x)=e^x\) si \(x<1\) y \(f'(x)=2x+a\) si \(x>1\). 3. En \(x=1\): \(f'(1^-)=e\) y \(f'(1^+)=2+a=2+e\). Como \(e\neq2+e\): \(f\) no es derivable en \(x=1\).

b) Recta tangente en \(x=0\) (con \(a=-3\)). 1. Cerca de \(x=0\) la función es \(f(x)=3+e^x\): \(f(0)=4\) y \(f'(0)=e^0=1\). 2. Recta: \(y-4=1\cdot(x-0)\).

\(y=x+4\).

c) Región y área (con \(a=-3\)). 1. Para \(x\ge1\): \(f(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\), parábola que corta al eje \(OX\) en \(x=1\) y \(x=2\) y que es positiva para \(x>2\). 2. En \([2,4]\), \(f\ge0\). Barrow: \[A=\int_2^4\left(x^2-3x+2\right)dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x\right]_2^4=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}=\frac{14}{3}.\]

\(A=\dfrac{14}{3}\ \text{u}^2\)

Gráfica de f para a=−3: 3+eˣ hasta x=1 (con salto) y parábola x²−3x+2 desde x=1; recta tangente y=x+4 en x=0 y recinto sombreado entre x=2 y x=4

Gráfica de f para a=−3: 3+eˣ hasta x=1 (con salto) y parábola x²−3x+2 desde x=1; recta tangente y=x+4 en x=0 y recinto sombreado entre x=2 y x=4

Ordinaria · Reserva · Modelo B 2024

Ejercicio 3 · Ordinaria · Reserva · Modelo B 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \[f(x)=\begin{cases}x^{2}+ax-1&\text{si }x\le1\\\dfrac{b}{x}&\text{si }1<x\le3\\\dfrac{x-1}{3}&\text{si }x>3\end{cases}\] con \(a\) y \(b\) números reales.

  1. Determine los valores de \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea continua. Para dichos valores, estudie la derivabilidad de \(f\). (1,5 puntos)

  2. Para \(a=5\) y \(b=2\), represente el recinto limitado por la gráfica de \(f\), las rectas \(x=2\), \(x=4\) y el eje \(OX\). Calcule su área. (1 punto)

Relacionado también con: Derivadas, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Parámetros y derivabilidad. 1. Continuidad en \(x=1\): \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}f=1+a-1=a\) y \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f=b\); luego \(a=b\). 2. Continuidad en \(x=3\): \(\dfrac b3\) (por la izquierda) y \(\dfrac{3-1}{3}=\dfrac{2}{3}\) (por la derecha); luego \(b=2\). 3. Entonces \(a=b=2\).

\(a=b=2\).

  1. Derivadas: \(f'(x)=2x+2\) si \(x<1\), \(f'(x)=-\dfrac{2}{x^2}\) si \(1<x<3\) y \(f'(x)=\dfrac{1}{3}\) si \(x>3\).
  2. En \(x=1\): \(f'(1^-)=4\neq f'(1^+)=-2\).
  3. En \(x=3\): \(f'(3^-)=-\dfrac{2}{9}\neq f'(3^+)=\dfrac{1}{3}\).

\(f\) es derivable en \(\mathbb R\setminus\{1,3\}\).

b) Recinto y área (con \(a=5\) y \(b=2\)). 1. Entre \(x=2\) y \(x=4\) solo intervienen los dos últimos trozos (el valor de \(a\) no influye). 2. En \([2,3]\), \(f(x)=\dfrac2x\) (hipérbola decreciente de \((2,1)\) a \(\left(3,\dfrac{2}{3}\right)\)); en \((3,4]\), \(f(x)=\dfrac{x-1}{3}\) (recta de \(\left(3,\dfrac{2}{3}\right)\) a \((4,1)\)). Ambas son positivas.

Gráfica de f para a=5 y b=2 entre x=1 y x=5: hipérbola 2/x hasta x=3 y recta (x−1)/3 desde (3,2/3); recinto sombreado entre x=2 y x=4

Gráfica de f para a=5 y b=2 entre x=1 y x=5: hipérbola 2/x hasta x=3 y recta (x−1)/3 desde (3,2/3); recinto sombreado entre x=2 y x=4
  1. Área, integral por tramos: \[A=\int_2^3\frac2x\,dx+\int_3^4\frac{x-1}{3}\,dx=2\ln\frac{3}{2}+\left[\frac{(x-1)^2}{6}\right]_3^4=2\ln\frac{3}{2}+\frac{9-4}{6}=2\ln\frac{3}{2}+\frac{5}{6}.\]

\(A=2\ln\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{6}\approx1{,}644\ \text{u}^2\)

Ejercicio 4 · Ordinaria · Reserva · Modelo B 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \[f(x)=\begin{cases}-\dfrac{1}{2}x^{2}+x+1&\text{si }x\le2\\\dfrac{1}{x-1}&\text{si }x>2\end{cases}\]

  1. Estudie la continuidad, derivabilidad y monotonía de \(f\). Represente gráficamente dicha función. (1,5 puntos)

  2. Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de \(f\), las rectas \(x=0\), \(x=4\) y el eje \(OX\). (1 punto)

Relacionado también con: Aplicaciones de la derivada, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad, derivabilidad, monotonía y gráfica. 1. Continuidad en \(x=2\): \(-2+2+1=1\) y \(\dfrac{1}{2-1}=1\); cada tramo es continuo en su intervalo: continua. 2. Derivadas: \(f'(x)=1-x\) si \(x<2\) y \(f'(x)=-\dfrac{1}{(x-1)^2}\) si \(x>2\). 3. En \(x=2\): \(f'(2^-)=-1=f'(2^+)\): derivable.

\(f\) es continua y derivable en \(\mathbb R\).

  1. Monotonía: \(f'>0\) en \((-\infty,1)\) y \(f'<0\) en \((1,2)\) y en \((2,+\infty)\).

\(f\) crece en \((-\infty,1)\) y decrece en \((1,+\infty)\), con máximo en \(\left(1,\dfrac{3}{2}\right)\).

  1. Gráfica: arco de parábola abierta hacia abajo con vértice \(\left(1,\dfrac{3}{2}\right)\), que pasa por \((0,1)\) y llega a \((2,1)\); a partir de ahí, la rama de hipérbola \(y=\dfrac{1}{x-1}\) decreciente, con asíntota horizontal \(y=0\) (pasa por \(\left(3,\dfrac{1}{2}\right)\)).

Gráfica de f: parábola con máximo (1, 3/2) hasta (2,1) y hipérbola 1/(x−1) decreciente desde ahí; recinto sombreado entre x=0 y x=4

Gráfica de f: parábola con máximo (1, 3/2) hasta (2,1) y hipérbola 1/(x−1) decreciente desde ahí; recinto sombreado entre x=0 y x=4

b) Área. 1. En \([0,4]\), \(f>0\). 2. Se integra por tramos (la expresión cambia en \(x=2\)): \[A=\int_0^2\left(-\frac{x^2}{2}+x+1\right)dx+\int_2^4\frac{dx}{x-1}=\left[-\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+x\right]_0^2+\left[\ln(x-1)\right]_2^4=\frac{8}{3}+\ln3.\]

\(A=\dfrac{8}{3}+\ln3\approx3{,}765\ \text{u}^2\)

Ordinaria · Suplente · Modelo A 2024

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente · Modelo A 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se consideran las funciones \[f(x)=\begin{cases}2-x^{2}&\text{si }-1\le x\le1\\(x-2)^{2}&\text{si }1<x\le3\end{cases}\qquad;\qquad g(x)=1\quad\text{si }-1\le x\le3\]

  1. Estudie la continuidad y la derivabilidad de \(f\) y \(g\) en sus dominios. (1 punto)

  2. Represente el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y calcule su área. (1,5 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad y derivabilidad. 1. \(g(x)=1\) es constante: continua y derivable en \([-1,3]\). 2. Para \(f\), solo hay que estudiar \(x=1\): \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}\left(2-x^2\right)=1\) y \(f(1)=(1-2)^2=1\): continua. 3. Derivadas: \(f'(x)=-2x\) si \(-1<x<1\) y \(f'(x)=2(x-2)\) si \(1<x<3\). 4. En \(x=1\): \(f'(1^-)=-2=f'(1^+)\): derivable.

\(f\) es continua y derivable en \([-1,3]\) (en el interior del intervalo; en los extremos solo hay derivadas laterales).

b) Recinto y área. 1. Cortes de \(f\) con \(g\): \(2-x^2=1\) en \([-1,1]\) da \(x=\pm1\); \((x-2)^2=1\) en \((1,3]\) da \(x=3\) (y en \(x=1\) también). Es decir, \(x=-1\), \(x=1\) y \(x=3\). 2. En \([-1,1]\) la parábola \(2-x^2\) queda sobre la recta \(y=1\) (vale \(2\) en \(x=0\)); en \([1,3]\) la parábola \((x-2)^2\) queda bajo la recta (vale \(0\) en \(x=2\)). 3. En cada tramo se resta la función de abajo a la de arriba: \[A=\int_{-1}^{1}\left(2-x^2-1\right)dx+\int_1^3\left(1-(x-2)^2\right)dx=\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}+\left[x-\frac{(x-2)^3}{3}\right]_1^3=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.\]

\(A=\dfrac{8}{3}\ \text{u}^2\)

Recinto entre f (parábolas 2−x² en [−1,1] y (x−2)² en [1,3]) y la recta g(x)=1, con cortes en x=−1, 1 y 3

Recinto entre f (parábolas 2−x² en [−1,1] y (x−2)² en [1,3]) y la recta g(x)=1, con cortes en x=−1, 1 y 3

Ordinaria · Suplente · Modelo B 2024

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente · Modelo B 2024 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \[f(x)=\begin{cases}-x^{2}+2x&\text{si }x<2\\x^{2}-2x&\text{si }x\ge2\end{cases}\]

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de \(f\). (1 punto)

  2. Represente el recinto limitado por las rectas \(y=2x\), \(x=-1\), \(x=1\) y la gráfica de \(f\). Calcule su área. (1,5 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad y derivabilidad. Cada trozo es un polinomio; solo hay que estudiar \(x=2\). 1. Continuidad: \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}\left(-x^2+2x\right)=0\) y \(f(2)=4-4=0\): continua. 2. Derivadas: \(f'(x)=-2x+2\) si \(x<2\) y \(f'(x)=2x-2\) si \(x>2\). 3. En \(x=2\): \(f'(2^-)=-2\neq f'(2^+)=2\): no derivable (punto anguloso).

\(f\) es continua en \(\mathbb R\) y derivable en \(\mathbb R\setminus\{2\}\).

b) Recinto y área. 1. En \([-1,1]\), \(f(x)=-x^2+2x\) (parábola abierta hacia abajo con vértice \((1,1)\)). 2. La recta \(y=2x\) y la parábola se cortan donde \(-x^2+2x=2x\iff x=0\) (en ese punto son tangentes). 3. Como \(2x-\left(-x^2+2x\right)=x^2\ge0\), la recta queda por encima de la parábola en todo el intervalo \([-1,1]\). 4. Área: integral de la función de arriba menos la de abajo: \[A=\int_{-1}^{1}\left[2x-\left(-x^2+2x\right)\right]dx=\int_{-1}^{1}x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{2}{3}.\]

\(A=\dfrac{2}{3}\ \text{u}^2\)

Recinto entre la recta y=2x y la parábola −x²+2x entre x=−1 y x=1, tangentes en el origen; la gráfica de f continúa con x²−2x desde x=2

Recinto entre la recta y=2x y la parábola −x²+2x entre x=−1 y x=1, tangentes en el origen; la gráfica de f continúa con x²−2x desde x=2

2023

Ordinaria · Reserva · Modelo A 2023

Ejercicio 4 · Ordinaria · Reserva · Modelo A 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \[f(x)=\begin{cases}x^{3}+2x^{2}-3&x\le1\\1+\dfrac{1}{x-2}&x>1\end{cases}\]

  1. Estudie la continuidad de \(f\). Si la función no es continua en algún punto, indique el tipo de discontinuidad que presenta. (1 punto)

  2. Estudie la derivabilidad de \(f\). (0,75 puntos)

  3. Determine las asíntotas de \(f\). (0,75 puntos)

Relacionado también con: Derivadas.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Límites y asíntotas.

Asíntota vertical \(x=a\): \(\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\). Horizontal \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\). Oblicua \(y=mx+n\): \(m=\lim\dfrac{f(x)}{x}\), \(n=\lim\,(f(x)-mx)\). Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\) (factoriza o L’Hôpital), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) (mayor grado), \(\infty-\infty\) (opera).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Límites y asíntotas.

  1. Para asíntotas verticales, busca los puntos que anulan el denominador y calcula los límites laterales.
  2. Para las horizontales, calcula el límite en \(+\infty\) y en \(-\infty\).
  3. Si no hay horizontal en ese lado, prueba la oblicua.
  4. Escribe las ecuaciones de las rectas.

a) Continuidad. 1. El dominio es \(\mathbb R\setminus\{2\}\) (el segundo tramo no está definido en \(x=2\)). Cada tramo es continuo en su intervalo. 2. En \(x=1\): \(f(1)=1+2-3=0\) y \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)=1-1=0\): continua en \(x=1\). 3. En \(x=2\) hay \(\displaystyle\lim_{x\to2^\pm}\frac{1}{x-2}=\pm\infty\): discontinuidad de salto infinito (asintótica) en \(x=2\).

\(f\) es continua en \(\mathbb R\setminus\{2\}\).

b) Derivabilidad. 1. Derivadas por tramos: \(f'(x)=3x^2+4x\) si \(x<1\) y \(f'(x)=-\dfrac{1}{(x-2)^2}\) si \(x>1\). 2. En \(x=1\): \(f'(1^-)=7\neq f'(1^+)=-1\). Las derivadas laterales no coinciden.

\(f\) es derivable en \(\mathbb R\setminus\{1,2\}\) y no lo es en \(x=1\).

c) Asíntotas. 1. Vertical: \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}f=+\infty\), así que \(x=2\) es asíntota vertical. 2. Horizontal en \(+\infty\): \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=1\), luego \(y=1\) es asíntota horizontal. 3. En \(-\infty\) el tramo cúbico no tiene asíntotas.

Ordinaria · Reserva · Modelo B 2023

Ejercicio 4 · Ordinaria · Reserva · Modelo B 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

La temperatura en el interior de un equipo de refrigeración durante un día que sufrió un corte de energía viene dada por la función \(f\) expresada en grados centígrados y el tiempo \(t\) en horas: \[f(t)=\begin{cases}-9&0\le t\le1\\-t^{2}+12t-20&1<t<11\\-9&11\le t\le24\end{cases}\]

  1. Estudie la continuidad de \(f\). (0,75 puntos)

  2. Represente gráficamente la función \(f\). (0,75 puntos)

  3. Conteste razonadamente a qué hora se produjo el corte de energía y cuánto duró dicho corte. (0,5 puntos)

  4. El equipo de refrigeración se utiliza para conservar suelos y vacunas. Los suelos se estropean si se alcanzan temperaturas de \(20\,^\circ\text{C}\) en algún momento. Las vacunas se estropean si están por encima de \(0\,^\circ\text{C}\) durante más de seis horas. Razone si alguno de esos productos se estropeó ese día. (0,5 puntos)

Relacionado también con: Funciones, Aplicaciones de la derivada.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad. 1. Cada tramo es continuo en su intervalo (constantes y polinomio). Solo hay que mirar \(t=1\) y \(t=11\). 2. En \(t=1\): \(-1+12-20=-9=f(1)\). 3. En \(t=11\): \(-121+132-20=-9=f(11)\).

\(f\) es continua en todo su dominio \([0,24]\).

b) Gráfica. 1. Es la recta constante \(y=-9\) en \([0,1]\) y en \([11,24]\). 2. Entre \(t=1\) y \(t=11\) es un arco de parábola abierta hacia abajo con máximo en \(t=6\): \(f(6)=-36+72-20=16\). 3. Corta al eje \(OX\) en \(t=2\) y \(t=10\).

Temperatura f(t): constante −9 °C hasta la hora 1, arco de parábola con máximo 16 °C en t=6 entre las horas 1 y 11, y de nuevo −9 °C hasta t=24

Temperatura f(t): constante −9 °C hasta la hora 1, arco de parábola con máximo 16 °C en t=6 entre las horas 1 y 11, y de nuevo −9 °C hasta t=24

c) Corte de energía. 1. Con el equipo funcionando, la temperatura es constante (\(-9\,^\circ\)C). 2. Al producirse el corte (en \(t=1\)) el equipo deja de enfriar y la temperatura sube: \(f'(t)=-2t+12>0\) si \(t<6\). 3. La temperatura deja de subir en \(t=6\) (\(f'(6)=0\), máximo \(f(6)=16\,^\circ\)C): en ese instante vuelve la energía, el equipo enfría de nuevo y la temperatura baja hasta recuperar \(-9\,^\circ\)C en \(t=11\).

El corte empezó a la \(1\) (\(t=1\)) y terminó a las \(6\) (\(t=6\)); duró \(5\) horas. (Después, el equipo tarda otras \(5\) horas en volver a \(-9\,^\circ\)C.)

d) ¿Se estropeó algo? 1. Suelos (se estropean al llegar a \(20\,^\circ\)C): el máximo de \(f\) es \(f(6)=16<20\). Los suelos no se estropean. 2. Vacunas (se estropean si están por encima de \(0\,^\circ\)C más de seis horas): \(f(t)>0\iff-t^2+12t-20>0\iff2<t<10\). 3. La temperatura está por encima de \(0\,^\circ\)C durante \(10-2=8\) horas, más de seis: las vacunas sí se estropean.

Ordinaria · Suplente · Modelo A 2023

Ejercicio 3 · Ordinaria · Suplente · Modelo A 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

  1. Se considera la función \[f(x)=\begin{cases}ax^{2}+bx+6&x\le2{,}5\\-1{,}4x+7&x>2{,}5\end{cases}\] con \(a\) y \(b\) números reales. Calcule el valor de los parámetros \(a\) y \(b\) para que la función sea continua y tenga un máximo en \(x=1\). (1,5 puntos)

  2. Represente gráficamente la función \(g(x)=-2x^{2}+2x+4\) y calcule el área de la región acotada, limitada por la gráfica de dicha función y el eje de abscisas. (1 punto)

Relacionado también con: Aplicaciones de la derivada, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Parámetros \(a\) y \(b\). 1. Continuidad en \(x=2{,}5\): \(6{,}25a+2{,}5b+6=-1{,}4\cdot2{,}5+7=3{,}5\), es decir, \(6{,}25a+2{,}5b=-2{,}5\). 2. Máximo en \(x=1\) (está en el primer tramo): \(f'(x)=2ax+b\) y \(f'(1)=2a+b=0\Rightarrow b=-2a\). 3. Se sustituye: \(6{,}25a-5a=1{,}25a=-2{,}5\Rightarrow a=-2\) y \(b=4\).

\(a=-2\) y \(b=4\). (Comprobación: \(f(x)=-2x^2+4x+6\) tiene un máximo en \(x=1\), \(f(1)=8\), y \(f''=-4<0\).)

b) Gráfica y área de \(g(x)=-2x^2+2x+4\). 1. Se factoriza: \(g(x)=-2(x-2)(x+1)\), parábola abierta hacia abajo. 2. Corta al eje \(OX\) en \(x=-1\) y \(x=2\), al eje \(OY\) en \((0,4)\), y su vértice es \(\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{9}{2}\right)\).

Parábola g(x)=−2x²+2x+4 con vértice (1/2, 9/2) y cortes con el eje X en x=−1 y x=2; recinto sombreado entre ambas raíces

Parábola g(x)=−2x²+2x+4 con vértice (1/2, 9/2) y cortes con el eje X en x=−1 y x=2; recinto sombreado entre ambas raíces
  1. El recinto acotado está entre las raíces, donde \(g\ge0\). Barrow: \[A=\int_{-1}^{2}\left(-2x^2+2x+4\right)dx=\left[-\frac{2x^3}{3}+x^2+4x\right]_{-1}^{2}=\frac{20}{3}-\left(-\frac{7}{3}\right)=9.\]

\(A=9\ \text{u}^2\)

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente · Modelo A 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}}{3}&0\le x\le2\\\dfrac{4}{x+1}&x>2\end{cases}\)

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función \(f\). (1,25 puntos)

  2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, el máximo de la función y represente gráficamente la función \(f\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Aplicaciones de la derivada.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad y derivabilidad. 1. En \(x=2\): \(\dfrac{2^2}{3}=\dfrac{4}{3}\) y \(\dfrac{4}{2+1}=\dfrac{4}{3}\): continua en \(x=2\). 2. Dentro de cada tramo es continua (el segundo no anula el denominador para \(x>2\)): \(f\) es continua en \([0,+\infty)\). 3. Derivadas por tramos: \(f'(x)=\dfrac{2x}{3}\) si \(0<x<2\) y \(f'(x)=-\dfrac{4}{(x+1)^2}\) si \(x>2\). 4. En \(x=2\): \(f'(2^-)=\dfrac{4}{3}\neq f'(2^+)=-\dfrac{4}{9}\): no es derivable en \(x=2\) (sí en \((0,2)\cup(2,+\infty)\)).

b) Monotonía, máximo y gráfica. 1. \(f'>0\) en \((0,2)\) y \(f'<0\) en \((2,+\infty)\). 2. \(f\) crece en \((0,2)\) y decrece en \((2,+\infty)\); máximo en \(\left(2,\dfrac{4}{3}\right)\). 3. Gráfica: arco de parábola \(y=\dfrac{x^2}{3}\) desde \((0,0)\) hasta el pico \(\left(2,\dfrac{4}{3}\right)\), y desde ahí la rama de hipérbola \(y=\dfrac{4}{x+1}\) decreciente, con asíntota horizontal \(y=0\) (pasa por \((3,1)\)).

Gráfica de f: parábola x²/3 creciente hasta el máximo (2, 4/3) e hipérbola 4/(x+1) decreciente desde ese punto

Gráfica de f: parábola x²/3 creciente hasta el máximo (2, 4/3) e hipérbola 4/(x+1) decreciente desde ese punto

Ordinaria · Suplente · Modelo B 2023

Ejercicio 3 · Ordinaria · Suplente · Modelo B 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \[f(x)=\begin{cases}x^{2}-4x+4&x<3\\-x+4&x\ge3\end{cases}\]

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función \(f\) en todos los puntos de su dominio. (1,25 puntos)

  2. Represente gráficamente \(f\). (0,5 puntos)

  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de \(f\), el eje de abscisas y las rectas \(x=2\) y \(x=4\). (0,75 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad y derivabilidad. 1. Cada tramo es un polinomio, continuo y derivable en su intervalo. Solo hay que estudiar \(x=3\). 2. Continuidad en \(x=3\): \(\displaystyle\lim_{x\to3^-}\left(x^2-4x+4\right)=1\) y \(f(3)=-3+4=1\): continua. 3. Derivadas: \(f'(x)=2x-4\) si \(x<3\) y \(f'(x)=-1\) si \(x>3\), con \(f'(3^-)=2\neq f'(3^+)=-1\).

\(f\) es continua en \(\mathbb R\) y derivable en \(\mathbb R\setminus\{3\}\).

b) Gráfica. 1. Para \(x<3\): parábola \(y=(x-2)^2\) de vértice \((2,0)\) (pasa por \((0,4)\) y \((3,1)\)). 2. Para \(x\ge3\): semirrecta \(y=-x+4\) desde \((3,1)\) (corta al eje \(OX\) en \((4,0)\) y sigue hacia abajo).

Gráfica de f: parábola (x−2)² hasta x=3 y recta −x+4 desde x=3, continua en (3,1) pero con pico; recinto sombreado entre x=2 y x=4

Gráfica de f: parábola (x−2)² hasta x=3 y recta −x+4 desde x=3, continua en (3,1) pero con pico; recinto sombreado entre x=2 y x=4

c) Área entre \(x=2\) y \(x=4\). 1. En \([2,4]\), \(f\ge0\), así que el área es la integral. Se parte en \(x=3\). 2. Barrow en cada trozo: \[A=\int_2^3(x-2)^2dx+\int_3^4(-x+4)\,dx=\left[\frac{(x-2)^3}{3}\right]_2^3+\left[-\frac{x^2}{2}+4x\right]_3^4=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}.\]

\(A=\dfrac{5}{6}\ \text{u}^2\)

2022

Ordinaria 2022

Ejercicio 4 · Ordinaria 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

  1. Se considera la función \(f(x)=\begin{cases}6x-3&x\le1\\ax^{2}+bx+2&x>1\end{cases}\) con \(a\) y \(b\) números reales. Determine los valores de \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea continua y derivable en todo su dominio. (1,25 puntos)

  2. Calcule el área del recinto acotado, limitado por el eje \(OX\) y la gráfica de la función \(g(x)=-2x^{2}+8x-6\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Derivabilidad.

\(f\) derivable en \(a\) si es continua en \(a\) y las derivadas laterales coinciden: \(f'(a^-)=f'(a^+)\). Derivable implica continua, pero no al revés.

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Derivabilidad.

  1. Impón primero la continuidad en el punto de cambio.
  2. Deriva cada trozo y evalúa en el punto, por la izquierda y por la derecha.
  3. Iguala las derivadas: segunda ecuación para los parámetros.
  4. Resuelve el sistema y comprueba.

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Parámetros. 1. Continuidad en \(x=1\): los dos trozos deben coincidir. Por la izquierda, \(6\cdot1-3=3\); por la derecha, \(a+b+2\). Así \(a+b+2=3\Rightarrow a+b=1\). 2. Derivabilidad: \(f'(x)=6\) si \(x<1\) y \(f'(x)=2ax+b\) si \(x>1\). Deben coincidir en \(x=1\): \(2a+b=6\). 3. Se resta la primera ecuación de la segunda: \(a=5\) y, entonces, \(b=-4\).

\(a=5\) y \(b=-4\).

b) Área. 1. Se factoriza: \(g(x)=-2(x-1)(x-3)\) corta al eje \(OX\) en \(x=1\) y \(x=3\). 2. Es una parábola abierta hacia abajo, luego \(g\ge0\) entre las raíces. 3. Barrow: \[A=\int_1^3\left(-2x^2+8x-6\right)dx=\left[-\frac{2x^3}{3}+4x^2-6x\right]_1^3=0-\left(-\frac{8}{3}\right)=\frac{8}{3}.\]

\(A=\dfrac{8}{3}\ \text{u}^2\)

Ordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 3 · Ordinaria · Reserva 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \[f(x)=\begin{cases}4x^{2}+16x+17&x<-1\\\dfrac{1}{3}(10-5x)&-1\le x\le2\\\dfrac{3}{2}&x>2\end{cases}\]

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de \(f\). (1,25 puntos)

  2. Represente gráficamente la función \(f\). (0,5 puntos)

  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de \(f\) y el eje de abscisas entre \(x=-2\) y \(x=2\). (0,75 puntos)

Relacionado también con: Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad y derivabilidad. Cada trozo es continuo y derivable en su intervalo abierto; solo hay que estudiar \(x=-1\) y \(x=2\). 1. En \(x=-1\): \(\displaystyle\lim_{x\to-1^-}f=4-16+17=5\) y \(f(-1)=\dfrac{1}{3}(10+5)=5\): continua. 2. Derivadas laterales en \(x=-1\): \(f'(-1^-)=8x+16=8\) y \(f'(-1^+)=-\dfrac{5}{3}\). No coinciden: no derivable en \(x=-1\) (punto anguloso). 3. En \(x=2\): \(f(2)=\dfrac{1}{3}(10-10)=0\) y \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}f=\dfrac{3}{2}\): discontinuidad de salto finito, luego tampoco es derivable.

\(f\) es continua en \(\mathbb R\setminus\{2\}\) y derivable en \(\mathbb R\setminus\{-1,2\}\).

b) Gráfica. 1. Para \(x<-1\): parábola \(y=4x^2+16x+17\) (vértice \((-2,1)\), pasa por \((-1,5)\)). 2. Para \(-1\le x\le2\): segmento de recta de \((-1,5)\) a \((2,0)\). 3. Para \(x>2\): recta horizontal \(y=\dfrac{3}{2}\), con el punto «abierto» en \(\left(2,\dfrac{3}{2}\right)\).

Gráfica de f: parábola 4x²+16x+17 hasta x=−1, segmento de (−1,5) a (2,0) y recta horizontal y=3/2 desde x=2 (salto en x=2); recinto sombreado entre x=−2 y x=2

Gráfica de f: parábola 4x²+16x+17 hasta x=−1, segmento de (−1,5) a (2,0) y recta horizontal y=3/2 desde x=2 (salto en x=2); recinto sombreado entre x=−2 y x=2

c) Área entre \(x=-2\) y \(x=2\). 1. En \([-2,2]\), \(f\ge0\): la parábola no corta al eje (\(4x^2+16x+17\) no se anula, \(\Delta<0\)) y el segmento llega a \(0\) en \(x=2\). 2. Se parte la integral en los dos trozos de ese intervalo: \[A=\int_{-2}^{-1}\left(4x^2+16x+17\right)dx+\int_{-1}^{2}\frac{10-5x}{3}\,dx=\frac{7}{3}+\frac{15}{2}=\frac{59}{6}.\]

\(A=\dfrac{59}{6}\ \text{u}^2\)

Ordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \(f(x)=\begin{cases}ax^{2}+bx+1&\text{si }x\le1\\\dfrac2x&\text{si }x>1\end{cases}\), con \(a\) y \(b\) números reales.

  1. ¿Para qué valores de \(a\) y \(b\) la función es continua y derivable en \(x=1\)? (1 punto)

  2. Para \(a=-3\) y \(b=4\), calcule los extremos relativos de \(f\). (0,75 puntos)

  3. Para \(a=-2\) y \(b=3\), calcule el valor de la integral \(\displaystyle\int_{-1}^{3}f(x)\,dx\). (0,75 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Aplicaciones de la derivada, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Derivabilidad.

\(f\) derivable en \(a\) si es continua en \(a\) y las derivadas laterales coinciden: \(f'(a^-)=f'(a^+)\). Derivable implica continua, pero no al revés.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Derivabilidad.

  1. Impón primero la continuidad en el punto de cambio.
  2. Deriva cada trozo y evalúa en el punto, por la izquierda y por la derecha.
  3. Iguala las derivadas: segunda ecuación para los parámetros.
  4. Resuelve el sistema y comprueba.

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

a) Continuidad y derivabilidad en \(x=1\). 1. Continuidad: \(f(1)=a+b+1\) debe coincidir con el límite por la derecha, \(\dfrac{2}{1}=2\). Así \(a+b=1\). 2. Derivabilidad: \(f'(x)=2ax+b\) si \(x<1\) y \(f'(x)=-\dfrac{2}{x^2}\) si \(x>1\). En \(x=1\) deben coincidir: \(2a+b=-2\). 3. Se restan las dos ecuaciones: \(a=-3\) y, entonces, \(b=4\).

\(a=-3\) y \(b=4\).

b) Extremos relativos (con \(a=-3\), \(b=4\)). 1. Si \(x\le1\): \(f(x)=-3x^2+4x+1\) y \(f'(x)=-6x+4=0\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}\). 2. \(f''=-6<0\): es un máximo, con \(f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{7}{3}\). 3. Si \(x>1\): \(f'(x)=-\dfrac{2}{x^2}<0\), siempre decreciente, sin extremos. 4. En \(x=1\) la función es derivable con \(f'(1)=-2<0\), así que tampoco hay extremo allí.

Máximo relativo en \(\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{7}{3}\right)\); no hay mínimos relativos.

c) Integral (con \(a=-2\), \(b=3\)). 1. Se parte en el punto donde cambia la expresión, \(x=1\). 2. Se integra cada trozo con Barrow: \[\int_{-1}^{3}f=\int_{-1}^{1}\left(-2x^2+3x+1\right)dx+\int_1^3\frac2x\,dx=\left[-\frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+x\right]_{-1}^{1}+\left[2\ln x\right]_1^3=\frac{2}{3}+2\ln3.\]

\(\displaystyle\int_{-1}^{3}f(x)\,dx=\dfrac{2}{3}+2\ln3\approx2{,}864\)

Extraordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 3 · Extraordinaria · Reserva 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \[f(x)=\begin{cases}a(x+1)^{2}&-3\le x\le1\\\dfrac{bx^{2}}{2}+2&1<x\le2\end{cases}\] con \(a\) y \(b\) números reales.

  1. Determine los valores de \(a\) y \(b\) para que \(f\) sea continua y derivable. (1,25 puntos)

  2. Para \(a=1\) y \(b=2\), esboce la gráfica de la función \(f\) y calcule el área del recinto limitado por la gráfica de \(f\), el eje \(OX\) y las rectas \(x=-2\) y \(x=1\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Derivabilidad.

\(f\) derivable en \(a\) si es continua en \(a\) y las derivadas laterales coinciden: \(f'(a^-)=f'(a^+)\). Derivable implica continua, pero no al revés.

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Derivabilidad.

  1. Impón primero la continuidad en el punto de cambio.
  2. Deriva cada trozo y evalúa en el punto, por la izquierda y por la derecha.
  3. Iguala las derivadas: segunda ecuación para los parámetros.
  4. Resuelve el sistema y comprueba.

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Parámetros \(a\) y \(b\). 1. Continuidad en \(x=1\): por la izquierda, \(a(1+1)^2=4a\); por la derecha, \(\dfrac b2+2\). Así \(4a=\dfrac b2+2\). 2. Derivabilidad: \(f'(x)=2a(x+1)\) si \(x<1\) y \(f'(x)=bx\) si \(x>1\). En \(x=1\) deben coincidir: \(4a=b\). 3. Se sustituye \(b=4a\) en la primera: \(4a=2a+2\Rightarrow a=1\) y \(b=4\).

\(a=1\) y \(b=4\).

b) Gráfica y área (con \(a=1\) y \(b=2\)). 1. En \([-3,1]\): \(f(x)=(x+1)^2\), arco de parábola de vértice \((-1,0)\) que pasa por \((-3,4)\), \((0,1)\) y \((1,4)\). 2. En \((1,2]\): \(f(x)=x^2+2\), arco de parábola que empieza, «abierto», en \((1,3)\) y llega a \((2,6)\). 3. Hay un salto en \(x=1\) (de \(4\) a \(3\)), porque con estos valores \(f\) no es continua.

Gráfica de f con (a, b) = (1, 2): parábola (x+1)² hasta x=1 y x²+2 desde x=1, con salto de 4 a 3; recinto sombreado entre x=−2 y x=1

Gráfica de f con (a, b) = (1, 2): parábola (x+1)² hasta x=1 y x²+2 desde x=1, con salto de 4 a 3; recinto sombreado entre x=−2 y x=1
  1. Entre \(x=-2\) y \(x=1\) solo interviene el primer trozo y \(f\ge0\) (es un cuadrado). Barrow: \[A=\int_{-2}^{1}(x+1)^2dx=\left[\frac{(x+1)^3}{3}\right]_{-2}^{1}=\frac{8}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=3.\]

\(A=3\ \text{u}^2\)

Extraordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 4 · Extraordinaria · Suplente 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \(f(x)=\begin{cases}ax^{2}+bx+2&\text{si }x\le1\\\dfrac{4}{x+1}&\text{si }x>1\end{cases}\) con \(a\) y \(b\) números reales.

  1. Calcule \(a\) y \(b\) para que la función \(f\) sea continua y derivable. (1 punto)

  2. Para \(a=-1\) y \(b=1\), realice un esbozo de la gráfica de la función \(f\). (0,75 puntos)

  3. Para \(a=-1\) y \(b=1\), halle el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de \(f\), la recta \(x=1\) y el eje \(OX\). (0,75 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Derivabilidad.

\(f\) derivable en \(a\) si es continua en \(a\) y las derivadas laterales coinciden: \(f'(a^-)=f'(a^+)\). Derivable implica continua, pero no al revés.

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Derivabilidad.

  1. Impón primero la continuidad en el punto de cambio.
  2. Deriva cada trozo y evalúa en el punto, por la izquierda y por la derecha.
  3. Iguala las derivadas: segunda ecuación para los parámetros.
  4. Resuelve el sistema y comprueba.

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Parámetros \(a\) y \(b\). 1. Continuidad en \(x=1\): \(a+b+2=\dfrac{4}{2}=2\Rightarrow a+b=0\). 2. Derivabilidad: \(f'(x)=2ax+b\) si \(x<1\) y \(f'(x)=-\dfrac{4}{(x+1)^2}\) si \(x>1\). En \(x=1\): \(2a+b=-1\). 3. Se restan las dos ecuaciones: \(a=-1\) y, entonces, \(b=1\).

\(a=-1\) y \(b=1\).

b) Esbozo (con \(a=-1\) y \(b=1\)). 1. Para \(x\le1\): \(f(x)=-x^2+x+2=-(x-2)(x+1)\), parábola abierta hacia abajo con vértice \(\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{9}{4}\right)\). Corta al eje \(OX\) en \(x=-1\) y \(x=2\) (aunque solo hasta \(x=1\)), al eje \(OY\) en \((0,2)\) y llega a \((1,2)\). 2. Para \(x>1\): \(f(x)=\dfrac{4}{x+1}\), hipérbola decreciente desde \((1,2)\), con asíntota horizontal \(y=0\). 3. La función es continua y suave en \(x=1\).

Gráfica de f con (a, b) = (−1, 1): parábola −x²+x+2 hasta x=1 e hipérbola 4/(x+1) desde x=1; recinto sombreado entre x=−1 y x=1

Gráfica de f con (a, b) = (−1, 1): parábola −x²+x+2 hasta x=1 e hipérbola 4/(x+1) desde x=1; recinto sombreado entre x=−1 y x=1

c) Área. 1. El recinto acotado va de \(x=-1\) (donde \(f\) corta al eje \(OX\)) a \(x=1\) (la recta dada), con \(f\ge0\). 2. Barrow: \[A=\int_{-1}^{1}\left(-x^2+x+2\right)dx=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{1}=\frac{13}{6}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{10}{3}.\]

\(A=\dfrac{10}{3}\ \text{u}^2\)

2021

Ordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 3 · Ordinaria · Reserva 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \[f(x)=\begin{cases}-2x+2a&\text{si }-4\le x\le-2\\-2x^{2}-4a&\text{si }-2<x\le2\\-8x+b&\text{si }2<x\le3\end{cases}\]

  1. Calcule los valores \(a\) y \(b\) para que la función sea continua en su dominio. Para esos valores, ¿es \(f\) derivable? (1 punto)

  2. Para \(a=-2\) y \(b=16\), estudie la monotonía de la función \(f\) y calcule sus extremos relativos y absolutos. (0,8 puntos)

  3. Para \(a=-2\) y \(b=16\), calcule el área del recinto limitado por la gráfica de \(f\), el eje \(OX\) y las rectas \(x=-2\) y \(x=2\). (0,7 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Aplicaciones de la derivada, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Derivabilidad.

\(f\) derivable en \(a\) si es continua en \(a\) y las derivadas laterales coinciden: \(f'(a^-)=f'(a^+)\). Derivable implica continua, pero no al revés.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Derivabilidad.

  1. Impón primero la continuidad en el punto de cambio.
  2. Deriva cada trozo y evalúa en el punto, por la izquierda y por la derecha.
  3. Iguala las derivadas: segunda ecuación para los parámetros.
  4. Resuelve el sistema y comprueba.

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad y derivabilidad. 1. Cada rama es un polinomio. Hay que igualar los valores de las dos ramas en los puntos de cambio, \(x=-2\) y \(x=2\). 2. En \(x=-2\): \(-2(-2)+2a=4+2a\) y \(-2(-2)^2-4a=-8-4a\); igualando, \(6a=-12\), \(a=-2\). 3. En \(x=2\): \(-2\cdot2^2-4a=-8-4a\) y \(-8\cdot2+b=-16+b\); con \(a=-2\) queda \(0=-16+b\), \(b=16\). 4. Derivabilidad. \(f'(x)=-2\) si \(-4<x<-2\), \(f'(x)=-4x\) si \(-2<x<2\), \(f'(x)=-8\) si \(2<x<3\). En \(x=-2\): \(f'(-2^-)=-2\neq f'(-2^+)=8\). En \(x=2\): \(f'(2^-)=-8=f'(2^+)\).

\(f\) no es derivable en \(x=-2\) y sí lo es en \(x=2\) (y en el resto de su dominio).

b) Monotonía y extremos (con \(a=-2\), \(b=16\)). 1. La función queda \(f(x)=-2x-4\) en \([-4,-2]\), \(f(x)=-2x^2+8\) en \((-2,2]\) y \(f(x)=-8x+16\) en \((2,3]\). 2. Signo de \(f'\) en cada tramo: - \([-4,-2]\): \(f'=-2<0\), decrece. - \((-2,0)\): \(f'=-4x>0\), crece; \((0,2)\): \(f'<0\), decrece. - \((2,3]\): \(f'=-8<0\), decrece. 3. Extremos relativos: mínimo relativo en \((-2,0)\) (pasa de decrecer a crecer) y máximo relativo en \((0,8)\). 4. Extremos absolutos: se comparan con los valores en los extremos del intervalo, \(f(-4)=4\) y \(f(3)=-8\).

Máximo absoluto \(8\) en \(x=0\) y mínimo absoluto \(-8\) en \(x=3\).

c) Área. 1. En \([-2,2]\), \(f(x)=-2x^2+8\ge0\) (es una parábola que corta al eje en \(\pm2\)), luego el área es la integral. 2. Barrow: \[A=\int_{-2}^{2}\left(-2x^2+8\right)dx=\left[-\frac{2x^3}{3}+8x\right]_{-2}^{2}=\frac{32}{3}+\frac{32}{3}=\frac{64}{3}.\]

\(A=\dfrac{64}{3}\ \text{u}^2\)

Ordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 3 · Ordinaria · Suplente 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \[f(x)=\begin{cases}\dfrac1x&\text{si }x\le-1\\-3x^{2}+4&\text{si }-1<x<1\\2x-1&\text{si }x\ge1\end{cases}\]

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función \(f\) en todo su dominio. (1 punto)

  2. Represente gráficamente la función \(f\). (0,8 puntos)

  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función \(f\), el eje de abscisas y las rectas \(x=0\) y \(x=3\). (0,7 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad y derivabilidad. Cada tramo es continuo en su intervalo; se estudian los puntos de cambio, \(x=-1\) y \(x=1\). - En \(x=-1\): \(\displaystyle\lim_{x\to-1^-}\frac1x=-1\) y \(\displaystyle\lim_{x\to-1^+}\left(-3x^2+4\right)=1\). Distintos: discontinuidad de salto finito en \(x=-1\). - En \(x=1\): \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}\left(-3x^2+4\right)=1\), \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}(2x-1)=1\) y \(f(1)=1\): continua en \(x=1\). - En el resto es continua (\(\dfrac1x\) solo falla en \(x=0\), que no está en su tramo).

Derivabilidad. \(f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\) si \(x<-1\), \(f'(x)=-6x\) si \(-1<x<1\), \(f'(x)=2\) si \(x>1\). En \(x=1\): \(f'(1^-)=-6\neq f'(1^+)=2\): no derivable en \(x=1\) (en \(x=-1\) no puede serlo porque no es continua).

\(f\) es continua en \(\mathbb R\setminus\{-1\}\) y derivable en \(\mathbb R\setminus\{-1,1\}\).

b) Gráfica. 1. Primer tramo: hipérbola \(y=\dfrac1x\) (con \(x\le-1\)), que parte de \(0^-\) y llega a \((-1,-1)\) (punto relleno). 2. Segundo tramo: arco de parábola \(y=-3x^2+4\) en \((-1,1)\), de vértice \((0,4)\), con los extremos «abiertos» en \((-1,1)\) y \((1,1)\). 3. Tercer tramo: semirrecta \(y=2x-1\) desde \((1,1)\) hacia arriba (pasa por \((2,3)\)).

Gráfica de f: hipérbola 1/x para x≤−1, parábola −3x²+4 en (−1,1) y recta 2x−1 para x≥1; salto en x=−1 y recinto sombreado entre x=0 y x=3

Gráfica de f: hipérbola 1/x para x≤−1, parábola −3x²+4 en (−1,1) y recta 2x−1 para x≥1; salto en x=−1 y recinto sombreado entre x=0 y x=3

c) Área entre \(x=0\) y \(x=3\). 1. En \([0,3]\) la función es positiva: \(-3x^2+4\ge1\) en \([0,1]\) y \(2x-1\ge1\) en \([1,3]\), así que el área es la integral. 2. Se parte en \(x=1\), donde cambia la expresión: \[A=\int_0^1\left(-3x^2+4\right)dx+\int_1^3(2x-1)\,dx=\left[-x^3+4x\right]_0^1+\left[x^2-x\right]_1^3=3+6=9.\]

\(A=9\ \text{u}^2\)

Extraordinaria 2021

Ejercicio 3 · Extraordinaria 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \(f(x)=\begin{cases}2^{x+1}&\text{si }x<0\\x^{2}-2x&\text{si }x\ge0\end{cases}\)

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función \(f\) en su dominio. (1 punto)

  2. Estudie la monotonía de la función \(f\) y calcule el mínimo. (0,8 puntos)

  3. Calcule \(\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\,dx\). (0,7 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Aplicaciones de la derivada, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Integral definida (regla de Barrow).

Regla de Barrow: \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\), con \(F\) una primitiva de \(f\). Si \(f\ge0\) en \([a,b]\), la integral es el área bajo la curva; si \(f\le0\), es el área cambiada de signo.

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Integral definida (regla de Barrow).

  1. Halla una primitiva \(F\).
  2. Evalúa \(F(b)-F(a)\) cuidando los signos y las fracciones.
  3. Interpreta el signo del resultado.

a) Continuidad y derivabilidad. 1. Para \(x\neq0\) cada rama es continua y derivable (exponencial y polinomio): \(f'(x)=2^{x+1}\ln2\) si \(x<0\) y \(f'(x)=2x-2\) si \(x>0\). 2. En \(x=0\): \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}2^{x+1}=2\) y \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(x^2-2x\right)=0=f(0)\). Los límites laterales son distintos: discontinuidad de salto finito en \(x=0\), y por tanto no es derivable en \(x=0\).

\(f\) es continua y derivable en \(\mathbb R\setminus\{0\}\).

b) Monotonía y mínimo. 1. Si \(x<0\), \(f'(x)=2^{x+1}\ln2>0\): crece en \((-\infty,0)\). 2. Si \(x>0\), \(f'(x)=2(x-1)\), que se anula en \(x=1\): decrece en \((0,1)\) y crece en \((1,+\infty)\). 3. En \(x=1\) hay un mínimo relativo, \(f(1)=-1\). Es el mínimo de la función, pues \(f>0\) para \(x<0\) y \(f\ge-1\) para \(x\ge0\): \((1,-1)\).

c) Integral. 1. La expresión cambia en \(x=0\): se integra por tramos. 2. Primitiva de \(2^{x+1}\): \(\dfrac{2^{x+1}}{\ln2}\). \[\int_{-2}^{2}f=\int_{-2}^{0}2^{x+1}dx+\int_0^2\left(x^2-2x\right)dx=\left[\frac{2^{x+1}}{\ln2}\right]_{-2}^{0}+\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_0^2=\frac{2-\frac{1}{2}}{\ln2}+\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{3}{2\ln2}-\frac{4}{3}\approx0{,}8307.\]

Ejercicio 4 · Extraordinaria 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

El número de diagnosticados de COVID-19 por PCR en Andalucía, medido en miles de personas, se aproxima por la siguiente función:

\[f(t)=\begin{cases}-t^{2}+2t-0{,}3&\text{si }0{,}2\le t\le1{,}8\\0{,}1\,t-0{,}12&\text{si }1{,}8<t\le5\\-0{,}5\,t^{2}+8{,}3\,t-28{,}62&\text{si }5<t\le10\end{cases}\]

donde \(t\) es el tiempo, medido en meses, a partir del inicio de conteo en el mes de marzo de 2020.

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función \(f\) en su dominio. (1,5 puntos)

  2. ¿En qué instante o instantes es máximo el número de diagnosticados? ¿Cuál es ese número? (1 punto)

Relacionado también con: Derivadas, Aplicaciones de la derivada.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

a) Continuidad. Las tres ramas son polinomios; solo hay que mirar \(t=1{,}8\) y \(t=5\) (se evalúan las dos ramas en cada punto). - En \(t=1{,}8\): \(-1{,}8^2+2\cdot1{,}8-0{,}3=0{,}06\) y \(0{,}1\cdot1{,}8-0{,}12=0{,}06\). - En \(t=5\): \(0{,}1\cdot5-0{,}12=0{,}38\) y \(-0{,}5\cdot25+8{,}3\cdot5-28{,}62=0{,}38\).

Es continua en todo su dominio.

Derivabilidad. Se deriva cada rama: \(f'(t)=-2t+2\) en \((0{,}2;1{,}8)\), \(f'(t)=0{,}1\) en \((1{,}8;5)\) y \(f'(t)=-t+8{,}3\) en \((5;10)\). Se comparan las derivadas laterales: - En \(t=1{,}8\): \(f'(1{,}8^-)=-1{,}6\neq f'(1{,}8^+)=0{,}1\). - En \(t=5\): \(f'(5^-)=0{,}1\neq f'(5^+)=3{,}3\).

No es derivable en \(t=1{,}8\) ni en \(t=5\) (sí en el resto de su dominio).

b) Máximo. 1. Primer tramo: \(f'(t)=0\Rightarrow t=1\), con \(f\) creciente antes y decreciente después: máximo local \(f(1)=0{,}7\). 2. Segundo tramo: \(f'=0{,}1>0\), creciente. 3. Tercer tramo: \(f'(t)=0\Rightarrow t=8{,}3\), y \(f\) crece antes y decrece después, con \(f(8{,}3)=5{,}825\). 4. Se comparan con los valores en los extremos: \(f(10)=4{,}38\) y \(f(0{,}2)=0{,}06\).

El máximo se alcanza a los \(8{,}3\) meses, con \(5{,}825\) miles de diagnosticados (5 825 personas).

Extraordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 3 · Extraordinaria · Reserva 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \(f(x)=\begin{cases}ax+b&\text{si }x<1\\x^{2}-bx+a&\text{si }x\ge1\end{cases}\)

  1. Halle el valor de \(b\) para que \(f\) sea continua en \(\mathbb R\). (0,5 puntos)

  2. Para \(b=\dfrac{1}{2}\), halle el valor de \(a\) para que \(f\) sea derivable en \(\mathbb R\). (0,5 puntos)

  3. Para \(a<0\) y \(b=\dfrac{1}{2}\), estudie el crecimiento y halle las abscisas de los extremos de la función \(f\). (0,7 puntos)

  4. Para \(a=0\) y \(b=\dfrac{1}{2}\), represente la región del plano delimitada por la gráfica de \(f\), el eje de abscisas y las rectas \(x=0\) y \(x=2\). Calcule el área de dicha región. (0,8 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Aplicaciones de la derivada, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Derivabilidad.

\(f\) derivable en \(a\) si es continua en \(a\) y las derivadas laterales coinciden: \(f'(a^-)=f'(a^+)\). Derivable implica continua, pero no al revés.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Derivabilidad.

  1. Impón primero la continuidad en el punto de cambio.
  2. Deriva cada trozo y evalúa en el punto, por la izquierda y por la derecha.
  3. Iguala las derivadas: segunda ecuación para los parámetros.
  4. Resuelve el sistema y comprueba.

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad en \(x=1\). 1. Las dos ramas son polinomios, continuos en su zona; solo hay que vigilar \(x=1\). 2. Límite por la izquierda: \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}f=a+b\). Límite por la derecha, igual a \(f(1)\): \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}f=f(1)=1-b+a\). 3. Se igualan: \(a+b=1-b+a\), luego \(b=1-b\).

\(b=\dfrac{1}{2}\).

b) Derivabilidad en \(x=1\) (con \(b=\dfrac{1}{2}\), que ya da continuidad). 1. Se deriva cada rama: \(f'(x)=a\) si \(x<1\) y \(f'(x)=2x-\dfrac{1}{2}\) si \(x>1\). 2. Las derivadas laterales en \(x=1\) deben coincidir: \(a=2\cdot1-\dfrac{1}{2}\).

\(a=\dfrac{3}{2}\).

c) Crecimiento con \(a<0\) y \(b=\dfrac{1}{2}\). 1. Si \(x<1\): \(f'(x)=a<0\), \(f\) decrece en \((-\infty,1)\). 2. Si \(x>1\): \(f'(x)=2x-\dfrac{1}{2}>0\) (pues \(2x>2\)), \(f\) crece en \((1,+\infty)\). 3. En \(x=1\) pasa de decrecer a crecer (y \(f\) es continua): hay un mínimo en la abscisa \(x=1\). No hay máximos.

d) Área con \(a=0\) y \(b=\dfrac{1}{2}\). 1. La función queda \(f(x)=\dfrac{1}{2}\) si \(x<1\) (recta horizontal) y \(f(x)=x^2-\dfrac x2\) si \(x\ge1\) (parábola desde \((1,\tfrac{1}{2})\), que pasa por \((2,3)\)). Es positiva en \([0,2]\), así que no hay que partir por cambios de signo. 2. Se integra tramo a tramo, porque la expresión cambia en \(x=1\): \[A=\int_0^1\frac{1}{2}\,dx+\int_1^2\left(x^2-\frac x2\right)dx=\frac{1}{2}+\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{4}\right]_1^2=\frac{1}{2}+\frac{5}{3}-\frac{1}{12}=\frac{25}{12}.\] 3. Comprobación del segundo tramo: \(\left(\dfrac83-1\right)-\left(\dfrac13-\dfrac14\right)=\dfrac53-\dfrac1{12}\).

\(A=\dfrac{25}{12}\ \text{u}^2\)

Gráfica de f con (a, b) = (0, 1/2): tramo horizontal y=1/2 hasta x=1 y parábola x²−x/2 desde x=1; recinto sombreado entre x=0 y x=2

Gráfica de f con (a, b) = (0, 1/2): tramo horizontal y=1/2 hasta x=1 y parábola x²−x/2 desde x=1; recinto sombreado entre x=0 y x=2

Extraordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 3 · Extraordinaria · Suplente 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \(f(x)=\begin{cases}(x+1)^{2}&\text{si }-2\le x<0\\(x-1)^{2}&\text{si }0\le x\le2\end{cases}\)

  1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función \(f\) en todo su dominio. (1 punto)

  2. Calcule los extremos de la función \(f\). (0,7 puntos)

  3. Represente el recinto que encierra la gráfica de \(f\), las rectas \(x=-1\), \(x=1\) y el eje \(OX\). Calcule el área de dicho recinto. (0,8 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Aplicaciones de la derivada, Integrales.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Continuidad y derivabilidad. 1. Cada rama es un polinomio (continuo y derivable en su intervalo); solo hay que estudiar \(x=0\), donde cambia la expresión. 2. Continuidad en \(x=0\): \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}(x+1)^2=1\) y \(f(0)=(0-1)^2=1=\lim_{x\to0^+}(x-1)^2\): continua. 3. Derivadas: \(f'(x)=2(x+1)\) si \(-2<x<0\) y \(f'(x)=2(x-1)\) si \(0<x<2\). Laterales: \(f'(0^-)=2\neq f'(0^+)=-2\) (hay un «pico»).

\(f\) es continua en \([-2,2]\) y derivable en \((-2,2)\setminus\{0\}\) (no derivable en \(x=0\)).

b) Extremos. 1. \(f'=0\) en \(x=-1\) y \(x=1\) (los vértices de las parábolas); en \(x=0\) no existe \(f'\) y también hay que mirarlo. 2. Se calculan los valores en los puntos críticos y en los extremos del intervalo: \(f(-2)=1\), \(f(-1)=0\), \(f(0)=1\), \(f(1)=0\), \(f(2)=1\).

![Gráfica de f: dos arcos de parábola, (x+1)² en −2,0) y (x−1)² en [0,2], con forma de W; recinto sombreado entre x=−1 y x=1

  1. Como \(f\ge0\) y vale \(0\) en \(x=\pm1\), esos son mínimos; en \(x=0\), \(f'\) pasa de \(+\) a \(-\), luego es máximo relativo.

Mínimos (absolutos y relativos) \((-1,0)\) y \((1,0)\); máximo relativo \((0,1)\); máximo absoluto \(1\), que se alcanza en \(x=-2\), \(x=0\) y \(x=2\).

c) Área. 1. La gráfica son dos arcos de parábola «en forma de W» con mínimos en \((-1,0)\) y \((1,0)\) y pico en \((0,1)\). El recinto entre \(x=-1\) y \(x=1\) queda sobre el eje \(OX\) (\(f\ge0\)). 2. Se integra por tramos (la expresión cambia en \(x=0\)): \[A=\int_{-1}^{0}(x+1)^2dx+\int_0^1(x-1)^2dx=\left[\frac{(x+1)^3}{3}\right]_{-1}^{0}+\left[\frac{(x-1)^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.\]

\(A=\dfrac{2}{3}\ \text{u}^2\)

También trabajan este tema

Ejercicios cuyo tema principal es otro pero en los que aparece este tema:

Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF oficial del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.