Límites y continuidad
1. Límite de una función
El límite de \(f\) cuando \(x\) tiende a \(a\), escrito \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L\), indica a qué valor se acerca \(f(x)\) cuando \(x\) se acerca a \(a\) (sin necesidad de que \(x\) llegue a valer \(a\)). Pueden ser \(L=\pm\infty\) si \(f(x)\) crece o decrece sin límite.
Los límites laterales estudian el acercamiento por un solo lado: \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\) (por la izquierda, con \(x<a\)) y \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\) (por la derecha, con \(x>a\)). El límite existe si y solo si los dos laterales existen y son iguales.
Ejemplos con las funciones del tema 4. En la factura del agua, en \(x=10\) ambos laterales valen 14 (la gráfica no se rompe), así que \(\lim_{x\to10}f(x)=14\). En la tarifa de envío \(g(w)\), en \(w=2\) el límite por la izquierda es 4 y por la derecha 7: no existe el límite.
2. Cálculo de límites en un punto
Para las funciones elementales (polinomios, racionales, exponenciales, logaritmos, raíces) basta sustituir \(x=a\) cuando \(a\) está en el dominio. Si la sustitución no da un número, aparecen estas situaciones:
| Forma al sustituir | Qué hacer |
|---|---|
| \(\dfrac{k}{0}\) con \(k\neq0\) | El límite es \(\pm\infty\): se estudia el signo por cada lado |
| \(\dfrac00\) (indeterminada) | Factorizar y simplificar, o multiplicar por el conjugado si hay raíces |
Ejemplos.
- \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x+2}{(x-1)^2}\): da \(\frac30\) y \((x-1)^2>0\) a ambos lados, luego el límite es \(+\infty\).
- \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}\): por la izquierda \(-\infty\) y por la derecha \(+\infty\), luego no existe.
- \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4\) (forma \(\frac00\), se factoriza).
- \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}\): forma \(\frac00\). Se multiplica y divide por el conjugado \(\sqrt{x+1}+2\): \[\frac{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}\ \xrightarrow[x\to3]{}\ \frac14\]
3. Límites en el infinito
El límite \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) (o \(-\infty\)) describe el comportamiento a largo plazo.
- Polinomios: dominan los términos de mayor grado; por ejemplo \(\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty\) y \(\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty\).
- Cocientes de polinomios: se comparan los grados del numerador \(n\) y del denominador \(d\):
| Grados | Límite en \(\pm\infty\) |
|---|---|
| \(n<d\) | \(0\) |
| \(n=d\) | cociente de los coeficientes de mayor grado |
| \(n>d\) | \(\pm\infty\) (se estudia el signo) |
\[\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+x}{x^2-5}=3,\qquad\lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x^2+3}=0,\qquad\lim_{x\to\infty}\frac{x^3+1}{2x^2}=+\infty\]
- Diferencia de raíces (\(\infty-\infty\)): se multiplica y divide por el conjugado. \[\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac12\]
- Exponenciales y logaritmos: \(e^x\to+\infty\) y \(\ln x\to+\infty\) cuando \(x\to+\infty\), pero a ritmos muy distintos. Crece más rápido la exponencial que cualquier potencia, y esta más rápido que el logaritmo, de modo que \[\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0,\qquad\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0,\qquad\lim_{x\to\infty}e^{-x}=0,\qquad\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0\]
Ejemplo (saturación). El porcentaje de hogares de un barrio con conexión a internet \(t\) años después de un programa de ayudas es \(S(t)=\dfrac{80t}{t+4}\). Se tiene \(S(4)=40\,\%\), \(S(16)=64\,\%\) y \(S(96)=76{,}8\,\%\). Como \(\lim_{t\to\infty}S(t)=80\), la cobertura se acerca al \(80\,\%\) pero nunca lo supera. De igual forma, el coste medio \(C_m(x)=20+\frac{500}{x}\) del tema 4 cumple \(\lim_{x\to\infty}C_m(x)=20\).
La indeterminación \(1^\infty\) y el número \(e\). Se tiene \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac rn\right)^n=e^r\). Es la base de la capitalización continua: un capital \(C_0\) al interés anual \(r\) capitalizado de forma continua vale \(C_0\,e^{rt}\) tras \(t\) años. Con \(5000\) € al \(3\,\%\) durante 10 años: \(5000\,e^{0{,}3}\approx6749{,}29\) €, frente a los \(6719{,}58\) € de la capitalización anual del tema 4.
4. Continuidad
Una función \(f\) es continua en \(x=a\) si cumple las tres condiciones:
- \(f(a)\) existe (está en el dominio).
- \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) existe (laterales iguales).
- \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Las funciones polinómicas son continuas en todo \(\mathbb{R}\); las racionales, en su dominio; la exponencial, en \(\mathbb{R}\); el logaritmo, en \((0,+\infty)\); y las raíces, en su dominio. Una función a trozos puede romperse en los puntos de unión, que hay que estudiar uno a uno.
Ejemplo (comisión bancaria). Un banco cobra por una transferencia de \(x\) euros una comisión \[C(x)=\begin{cases}a+0{,}01x&0<x\le500\\10+0{,}005x&x>500\end{cases}\] ¿Qué valor de \(a\) hace que \(C\) sea continua en \(x=500\)? Hay que igualar los laterales: \(a+0{,}01\cdot500=10+0{,}005\cdot500\Rightarrow a+5=12{,}5\Rightarrow a=7{,}5\) €.
Otro ejemplo. Para que \(f(x)=\begin{cases}ax+1&x\le2\\x^2-a&x>2\end{cases}\) sea continua en \(x=2\) se iguala \(2a+1=4-a\), y resulta \(a=1\).
5. Tipos de discontinuidad
Si \(f\) no es continua en \(a\), se dice que tiene una discontinuidad en \(a\), que se clasifica según los límites:
| Tipo | Condición | Ejemplo en \(x=2\) |
|---|---|---|
| Evitable | existe el límite (finito) pero no coincide con \(f(2)\), o \(f(2)\) no existe | \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\): el límite es \(4\) y \(f(2)\) no existe |
| De salto finito | los límites laterales existen, son finitos y distintos | \(h(x)=\begin{cases}x+1&x<2\\5&x\ge2\end{cases}\): laterales \(3\) y \(5\) (salto de \(2\)) |
| De salto infinito | algún límite lateral es \(\pm\infty\) | \(k(x)=\dfrac{1}{x-2}\): laterales \(-\infty\) y \(+\infty\) |
La discontinuidad evitable se «repara» definiendo \(f(2)\) igual al límite. La tarifa de envío del tema 4 tiene discontinuidades de salto finito en \(w=2\) y \(w=5\).
6. Asíntotas
Una asíntota es una recta a la que la gráfica se acerca indefinidamente.
Vertical \(x=a\): cuando \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty\) o \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty\) (la discontinuidad es de salto infinito). Se buscan en los puntos donde \(f\) no está definida: ceros del denominador (que no anulen el numerador) y, en \(\ln g(x)\), donde \(g(x)\to0^+\).
Horizontal \(y=b\): cuando \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=b\) o \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=b\), con \(b\) un número real. Puede haber una distinta a cada lado.
Oblicua \(y=mx+n\): cuando la gráfica se acerca a una recta que no es horizontal. Se calcula en \(+\infty\) (y análogamente en \(-\infty\)): \[m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\ (\text{finito y }\neq0),\qquad n=\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr)\ (\text{finito})\] No hay asíntota oblicua por un lado en el que ya hay una horizontal. En una función racional existe cuando el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, y se obtiene dividiendo: el cociente es \(mx+n\).
Ejemplo 1. \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\):
- Vertical: el denominador se anula en \(x=3\) y \(f\) tiende a \(+\infty\) por la derecha y a \(-\infty\) por la izquierda: \(x=3\).
- Horizontal: \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=2\): \(y=2\).
Ejemplo 2. \(g(x)=\dfrac{x^2-3x+3}{x-1}\). Al dividir, \(g(x)=x-2+\dfrac{1}{x-1}\).
- Vertical: \(x=1\) (el numerador vale \(1\) en \(x=1\)).
- Horizontal: no hay, porque \(\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=\pm\infty\).
- Oblicua: \(m=\lim\dfrac{g(x)}{x}=1\) y \(n=\lim\bigl(g(x)-x\bigr)=-2\), luego \(y=x-2\).
Las funciones exponenciales y logarítmicas del tema 4 tienen asíntotas: \(a^x\) tiene una horizontal en \(y=0\) (por un lado) y \(\ln x\) una vertical en \(x=0\).
- \(\lim_{x\to a}f=L\iff\) los dos laterales valen \(L\).
- \(\frac k0\to\pm\infty\) (signo por lados); \(\frac00\): factorizar o conjugado; \(\infty-\infty\) con raíces: conjugado.
- En \(\pm\infty\) con racionales: comparar grados. Orden de crecimiento: \(\ln x\ll x^n\ll e^x\).
- Continua en \(a\): \(f(a)\) existe, el límite existe y son iguales.
- Discontinuidad: evitable (límite finito \(\neq f(a)\)), salto finito (laterales finitos distintos), salto infinito (algún lateral infinito).
- Asíntotas: vertical \(x=a\) (límite infinito), horizontal \(y=b\) (límite finito en \(\pm\infty\)), oblicua \(y=mx+n\) con \(m=\lim f/x\), \(n=\lim(f-mx)\).