Límites y continuidad — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 9 son básicos y del 10 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía para Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (ejercicio de análisis, 3 puntos). Los marcados como competenciales piden modelizar, interpretar el resultado en el contexto o justificar. Las soluciones están al final. En este tema no se usan derivadas.

Límites

1. Calcula, sustituyendo: a) \(\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2-3x+1)\); b) \(\displaystyle\lim_{x\to0}(e^x+\ln(x+1))\); c) \(\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x+5}}{x-1}\).

2. Calcula, factorizando y simplificando: a) \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}\); b) \(\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^2+x}{x+1}\); c) \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}\).

3. Calcula, estudiando el signo cuando haga falta: a) \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x+1}{(x-2)^2}\); b) los límites laterales de \(\dfrac{1}{x-1}\) en \(x=1\); c) los límites laterales de \(\dfrac{2x}{x+3}\) en \(x=-3\). Indica en cada caso si el límite existe.

4. Calcula, multiplicando por el conjugado: a) \(\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\); b) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}\).

5. Calcula: a) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x}{x^2+5}\); b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x^2+3}\); c) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3+1}{2x^2}\); d) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3+1}{2x^2}\).

6. Calcula, comparando el crecimiento de las funciones: a) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}\); b) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x+\ln x}{x}\); c) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(2e^x+3)\).

Continuidad y discontinuidades

7. Halla \(k\) para que \(f(x)=\begin{cases}2x+k&x<3\\x^2-4&x\ge3\end{cases}\) sea continua en \(x=3\).

8. Estudia la continuidad en el punto indicado y clasifica la discontinuidad: a) \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) en \(x=1\); b) \(g(x)=\dfrac{1}{x+2}\) en \(x=-2\); c) \(h(x)=\begin{cases}x+2&x<1\\5&x\ge1\end{cases}\) en \(x=1\).

Asíntotas

9. Halla las asíntotas de \(f(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}\).

Problemas tipo PAU

10. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El porcentaje de hogares de un barrio que tienen fibra óptica, \(t\) meses después de empezar una campaña de instalación, es \(S(t)=\dfrac{100t}{t+5}\), con \(t\ge0\).

1. (0,75 puntos) Calcula \(S(5)\), \(S(45)\) y \(S(95)\).

2. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}S(t)\) e interpreta el resultado.

3. (0,75 puntos) ¿Cuántos meses tienen que pasar para que el porcentaje sea del \(90\,\%\)?

4. (0,75 puntos) Justifica que la cobertura nunca llegará al \(100\,\%\).

11. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una empresa tiene un coste fijo de 900 € y un coste variable de 12 € por unidad, de modo que el coste medio por unidad al fabricar \(x\) unidades es \(C_m(x)=12+\dfrac{900}{x}\), con \(x>0\).

1. (0,75 puntos) Calcula el coste medio al fabricar 100 y 300 unidades.

2. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C_m(x)\) e interpreta el resultado.

3. (0,75 puntos) ¿Cuántas unidades hay que fabricar para que el coste medio sea de 14 €?

4. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}C_m(x)\) e interpreta el resultado.

12. (Tipo PAU · 3 puntos)

Opción A. Sea \(f(x)=\begin{cases}ax-2&x\le2\\x^2-a&x>2\end{cases}\).

1. (1 punto) Halla \(a\) para que \(f\) sea continua en \(x=2\).

2. (1 punto) Con ese valor de \(a\), calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) y \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\).

3. (1 punto) Con ese valor de \(a\), calcula \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{f(x)-7}{x-3}\).

Opción B. Sea \(g(x)=\dfrac{2x^2-2}{x^2-4x+3}\).

1. (1 punto) Halla el dominio de \(g\) y clasifica sus discontinuidades.

2. (1 punto) Calcula los límites laterales de \(g\) en \(x=3\).

3. (1 punto) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g(x)\) y escribe las asíntotas de \(g\).

13. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Un banco cobra por una transferencia de \(x\) euros la comisión \[C(x)=\begin{cases}a+0{,}02x&0<x\le300\\12+0{,}01x&x>300\end{cases}\]

1. (0,75 puntos) Halla \(a\) para que la comisión no tenga saltos en \(x=300\).

2. (0,75 puntos) Con ese valor de \(a\), calcula la comisión de una transferencia de 200 € y de otra de 1000 €.

3. (0,75 puntos) Si fuera \(a=10\), calcula los límites laterales de \(C\) en \(x=300\) y clasifica la discontinuidad.

4. (0,75 puntos) Interpreta el caso \(a=10\): ¿qué le ocurre al cliente que transfiere 300 € y al que transfiere un poco más?

14. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2-4}\).

1. (0,75 puntos) Halla el dominio de \(f\).

2. (0,75 puntos) Calcula los límites laterales de \(f\) en \(x=2\) y en \(x=-2\) y escribe las asíntotas verticales.

3. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)\) y escribe la asíntota horizontal.

4. (0,75 puntos) Comprueba si la gráfica corta a la asíntota horizontal.

15. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El coste por unidad, en euros, de un pedido de \(x\) unidades es \(C(x)=\dfrac{x^2+2x+5}{x+1}\), con \(x\ge0\).

1. (0,75 puntos) Calcula \(C(3)\) y \(C(99)\).

2. (0,75 puntos) Divide los polinomios y escribe \(C(x)\) como cociente más resto\(\big/\)divisor.

3. (0,75 puntos) Calcula la asíntota oblicua de \(C\).

4. (0,75 puntos) Interpreta en el contexto el resultado de c) usando \(C(99)\).

16. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=\begin{cases}x+a&x<0\\x^2+1&0\le x\le2\\bx-1&x>2\end{cases}\).

1. (0,75 puntos) Halla \(a\) para que \(f\) sea continua en \(x=0\).

2. (0,75 puntos) Halla \(b\) para que \(f\) sea continua en \(x=2\).

3. (0,75 puntos) Con esos valores, calcula \(f(-1)\), \(f(1)\) y \(f(3)\).

4. (0,75 puntos) Con esos valores, calcula \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\) y \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

17. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) La concentración en sangre de un medicamento, en mg/L, \(t\) horas después de administrarlo es \(c(t)=\dfrac{60t}{t^2+9}\), con \(t\ge0\).

1. (0,75 puntos) Calcula \(c(1)\), \(c(3)\) y \(c(9)\).

2. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}c(t)\).

3. (0,75 puntos) ¿En qué instantes la concentración es de 6 mg/L?

4. (0,75 puntos) Escribe la asíntota horizontal e interpreta su significado.

18. (Tipo PAU · 3 puntos) Calcula:

1. (0,75 puntos) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)\).

2. (0,75 puntos) \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\).

3. (0,75 puntos) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2-x+1}{x^2+4}\).

4. (0,75 puntos) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x+x}{e^x}\).

19. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una población de bacterias en un cultivo, en miles, es \(P(t)=\dfrac{5000}{1+4e^{-t/2}}\), con \(t\) en horas.

1. (0,75 puntos) Calcula la población inicial.

2. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}P(t)\) e interpreta el resultado.

3. (0,75 puntos) ¿Cuándo llega la población a 4000 (miles)? Da el resultado exacto y aproximado.

4. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{t\to-\infty}P(t)\) y escribe la asíntota correspondiente. ¿Tiene sentido en el contexto?

20. (Tipo PAU · 3 puntos) Sean \(f(x)=\ln(x-2)\) y \(g(x)=3e^{-x}+1\).

1. (0,75 puntos) Halla el dominio de \(f\).

2. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)\) y escribe la asíntota vertical de \(f\).

3. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\) y escribe la asíntota horizontal de \(g\).

4. (0,75 puntos) Explica por qué \(g\) no tiene asíntota oblicua en \(+\infty\).

21. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una empresa de mensajería cobra, en euros, por un paquete de \(w\) kg: \[E(w)=\begin{cases}5&0<w\le1\\7&1<w\le3\\7+2(w-3)&w>3\end{cases}\]

1. (0,75 puntos) Calcula \(E(0{,}5)\), \(E(1)\), \(E(2)\) y \(E(4)\).

2. (0,75 puntos) Calcula los límites laterales de \(E\) en \(w=1\) y en \(w=3\).

3. (0,75 puntos) Estudia la continuidad de \(E\) en \(w=1\) y en \(w=3\) y clasifica las discontinuidades.

4. (0,75 puntos) Interpreta lo que ocurre en \(w=1\) para un cliente que quiere enviar un paquete de 1 kg o de 1,01 kg.

22. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=\dfrac{x^2+x-6}{x^2-4}\).

1. (0,75 puntos) Halla el dominio de \(f\).

2. (0,75 puntos) Calcula los límites de \(f\) en \(x=2\) y los límites laterales en \(x=-2\) y clasifica las discontinuidades.

3. (0,75 puntos) Escribe las asíntotas de \(f\).

4. (0,75 puntos) ¿Qué valor hay que dar a \(f(2)\) para que la función resultante sea continua en \(x=2\)?

23. (Tipo PAU · 3 puntos) El rendimiento de un cultivo, en toneladas por hectárea, al aplicar \(x\) kg de abono es \(R(x)=\dfrac{x^2-16}{x-4}\) para \(x\ne4\) (con \(x=4\) no se hizo ninguna medida).

1. (0,75 puntos) Simplifica \(R(x)\) y calcula \(R(10)\).

2. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to4}R(x)\).

3. (0,75 puntos) Clasifica la discontinuidad de \(R\) en \(x=4\) y di qué valor hay que asignar a \(R(4)\) para que \(R\) sea continua.

4. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}R(x)\) e interpreta si el modelo prevé una saturación.

24. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Un mayorista vende un artículo con este precio por unidad, en euros, según las \(q\) unidades que se compran: \[P(q)=\begin{cases}10&0<q<20\\9&20\le q<50\\8&q\ge50\end{cases}\] (tratamos \(q\) como una variable real).

1. (0,75 puntos) Calcula \(P(19)\), \(P(20)\), \(P(49)\) y \(P(50)\).

2. (0,75 puntos) Calcula los límites laterales de \(P\) en \(q=20\) y en \(q=50\).

3. (0,75 puntos) Clasifica las discontinuidades de \(P\).

4. (0,75 puntos) Calcula el coste de comprar 19 y de comprar 20 unidades e interpreta el resultado.

25. (Tipo PAU · 3 puntos)

Opción A. Sea \(f(x)=\dfrac{2e^x+1}{e^x+1}\).

1. (1 punto) Halla el dominio de \(f\).

2. (1 punto) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

3. (1 punto) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\) y escribe todas las asíntotas horizontales de \(f\).

Opción B. Sea \(g(x)=\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}\).

1. (1 punto) Halla el dominio de \(g\) y calcula los límites laterales en \(x=1\).

2. (1 punto) Divide los polinomios y escribe \(g(x)\) como cociente más resto\(\big/\)divisor.

3. (1 punto) Calcula la asíntota oblicua de \(g\) con los límites que la definen.

Soluciones

Nota1

1. El polinomio es continuo: \(\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2-3x+1)=4-6+1=-1\).

2. \(\displaystyle\lim_{x\to0}(e^x+\ln(x+1))=e^0+\ln1=1+0=1\).

3. \(x=4\) está en el dominio, luego \(\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x+5}}{x-1}=\frac{\sqrt9}{3}=\frac{3}{3}=1\).

Nota2

1. Da \(\frac{0}{0}\). Se factoriza: \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6\).

2. Da \(\frac{0}{0}\). \(\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^2+x}{x+1}=\lim_{x\to-1}\frac{x(x+1)}{x+1}=\lim_{x\to-1}x=-1\).

3. Da \(\frac{0}{0}\). \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), luego \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}=\lim_{x\to2}(x-3)=-1\).

Nota3

1. Da \(\frac{3}{0}\). Como \((x-2)^2>0\) a ambos lados, el cociente es positivo: \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x+1}{(x-2)^2}=+\infty\). El límite existe (es infinito).

2. Por la izquierda, \(x-1<0\): \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty\). Por la derecha, \(x-1>0\): \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty\). Los laterales son distintos: no existe el límite.

3. En \(x=-3\) el numerador vale \(-6\). Por la izquierda, \(x+3<0\), y \(\displaystyle\lim_{x\to-3^-}\frac{2x}{x+3}=+\infty\). Por la derecha, \(x+3>0\), y \(\displaystyle\lim_{x\to-3^+}\frac{2x}{x+3}=-\infty\). No existe el límite.

Nota4

1. Da \(\frac{0}{0}\). Se multiplica por el conjugado \(\sqrt x+2\): \(\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\lim_{x\to4}\frac{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}{(x-4)(\sqrt x+2)}=\lim_{x\to4}\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt x+2)}=\lim_{x\to4}\frac{1}{\sqrt x+2}=\frac{1}{4}\).

2. Da \(\frac{0}{0}\). Con el conjugado \(\sqrt{x+9}+3\): \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}=\frac{1}{6}\).

Nota5

1. Los grados son iguales (2 y 2): el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x}{x^2+5}=3\).

2. Grado del numerador \(1<2\): \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x^2+3}=0\).

3. Grado del numerador \(3>2\): \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3+1}{2x^2}=+\infty\), porque para \(x\) grande el cociente es positivo.

4. Es el mismo cociente con \(x\to-\infty\), pero \(x^3<0\) y \(2x^2>0\): \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3+1}{2x^2}=-\infty\).

Nota6

1. La exponencial crece más rápido que cualquier potencia: \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}=0\).

2. \(\dfrac{5x+\ln x}{x}=5+\dfrac{\ln x}{x}\) y \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\), luego \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x+\ln x}{x}=5\).

3. Cuando \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\): \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(2e^x+3)=0+3=3\).

Nota7

Hay que igualar los laterales en \(x=3\) y el valor de la función. Por la izquierda, \(\displaystyle\lim_{x\to3^-}(2x+k)=6+k\). Por la derecha y en el punto, \(\displaystyle\lim_{x\to3^+}(x^2-4)=f(3)=5\). Entonces \(6+k=5\) y \(k=-1\).

Nota8

1. \(f(1)\) no existe (\(\frac{0}{0}\)). \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2\) (finito). Es una discontinuidad evitable: bastaría definir \(f(1)=2\).

2. \(g(-2)\) no existe. \(\displaystyle\lim_{x\to-2^-}\frac{1}{x+2}=-\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to-2^+}\frac{1}{x+2}=+\infty\): discontinuidad de salto infinito.

3. \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}(x+2)=3\) y \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}5=5\): los laterales son finitos y distintos. Discontinuidad de salto finito (salto de \(5-3=2\)).

Nota9

Vertical: el denominador se anula en \(x=2\) y el numerador vale \(7\ne0\); \(f\) tiende a \(-\infty\) por la izquierda y a \(+\infty\) por la derecha: \(x=2\).

Horizontal: los grados son iguales y \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x+1}{x-2}=3\): \(y=3\).

Nota10

1. \(S(5)=\dfrac{500}{10}=50\), \(S(45)=\dfrac{4500}{50}=90\) y \(S(95)=\dfrac{9500}{100}=95\). Es decir, el \(50\,\%\), el \(90\,\%\) y el \(95\,\%\) de los hogares.

2. Los grados son iguales: \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}S(t)=\lim_{t\to+\infty}\frac{100t}{t+5}=100\). A largo plazo la cobertura se acerca al \(100\,\%\).

3. \(\dfrac{100t}{t+5}=90\Rightarrow100t=90t+450\Rightarrow10t=450\), luego \(t=45\) meses.

4. \(S(t)=100-\dfrac{500}{t+5}\), y \(\dfrac{500}{t+5}>0\) para todo \(t\ge0\), así que \(S(t)<100\). Si fuera \(S(t)=100\) se tendría \(100t=100t+500\), es decir, \(0=500\), imposible: la cobertura se acerca al \(100\,\%\) pero nunca lo alcanza.

Nota11

1. \(C_m(100)=12+\dfrac{900}{100}=21\) €/unidad y \(C_m(300)=12+\dfrac{900}{300}=15\) €/unidad.

2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C_m(x)=12+0=12\). Al fabricar muchísimas unidades, el coste medio se acerca al coste variable por unidad, \(12\) €: el coste fijo de 900 € se reparte entre cada vez más unidades.

3. \(12+\dfrac{900}{x}=14\Rightarrow\dfrac{900}{x}=2\Rightarrow x=450\) unidades.

4. \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}C_m(x)=+\infty\), porque \(\dfrac{900}{x}\to+\infty\). Al fabricar muy pocas unidades, el coste fijo recae sobre cada una y el coste medio se dispara; \(x=0\) es una asíntota vertical.

Nota12

Opción A.

1. Por la izquierda, \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}(ax-2)=2a-2\); por la derecha, \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}(x^2-a)=4-a\), y \(f(2)=2a-2\). Para que sea continua, \(2a-2=4-a\Rightarrow3a=6\Rightarrow a=2\).

2. Con \(a=2\), \(f(x)=x^2-2\) para \(x>2\) y \(f(x)=2x-2\) para \(x\le2\). Entonces \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(x^2-2)=+\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(2x-2)=-\infty\).

3. Cerca de \(x=3\), \(f(x)=x^2-2\) y \(f(3)=7\), así que da \(\frac{0}{0}\): \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{f(x)-7}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6\).

Opción B.

1. \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\) se anula en \(x=1\) y \(x=3\): \(\operatorname{Dom}g=\mathbb{R}\setminus\{1,3\}\). Además, \(g(x)=\dfrac{2(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-3)}=\dfrac{2(x+1)}{x-3}\) para \(x\ne1,3\). En \(x=1\): \(\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)=\frac{2\cdot2}{-2}=-2\), finito: discontinuidad evitable. En \(x=3\) el denominador simplificado se anula y el numerador vale \(8\): discontinuidad de salto infinito.

2. En \(x=3\) el numerador \(2(x+1)\) vale \(8>0\). Por la izquierda, \(x-3<0\): \(\displaystyle\lim_{x\to3^-}g(x)=-\infty\). Por la derecha, \(x-3>0\): \(\displaystyle\lim_{x\to3^+}g(x)=+\infty\).

3. Los grados son iguales: \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=2\). Asíntota vertical: \(x=3\) (el punto \(x=1\) es un hueco, no asíntota). Asíntota horizontal: \(y=2\) (por los dos lados).

Nota13

1. Por la izquierda, \(\displaystyle\lim_{x\to300^-}(a+0{,}02x)=a+6\). Por la derecha, \(\displaystyle\lim_{x\to300^+}(12+0{,}01x)=12+3=15\). Igualando, \(a+6=15\) y \(a=9\).

2. Con \(a=9\): \(C(200)=9+0{,}02\cdot200=13\) € y \(C(1000)=12+0{,}01\cdot1000=22\) €.

3. Con \(a=10\): \(\displaystyle\lim_{x\to300^-}C(x)=10+6=16\) y \(\displaystyle\lim_{x\to300^+}C(x)=15\). Los laterales son finitos y distintos: discontinuidad de salto finito, de tamaño \(15-16=-1\).

4. Con \(a=10\), transferir 300 € cuesta 16 € de comisión, pero transferir 300,01 € cuesta aproximadamente 15 €: aumentar la cantidad transferida reduce la comisión en 1 €, lo que no tiene sentido para el cliente.

Nota14

1. \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) se anula en \(x=\pm2\): \(\operatorname{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\).

2. En \(x=2\) el numerador vale \(9>0\). Por la izquierda, \((x-2)(x+2)<0\) y \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty\); por la derecha, es positivo y \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty\). En \(x=-2\) el numerador también vale \(9\). Por la izquierda, \((x-2)(x+2)>0\) y \(\displaystyle\lim_{x\to-2^-}f(x)=+\infty\); por la derecha, es negativo y \(\displaystyle\lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty\). Asíntotas verticales: \(x=2\) y \(x=-2\).

3. Grados iguales: \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=2\). Asíntota horizontal: \(y=2\).

4. La corta si \(f(x)=2\): \(2x^2+1=2(x^2-4)\Rightarrow1=-8\), que es imposible. La gráfica no corta a la asíntota horizontal.

Nota15

1. \(C(3)=\dfrac{9+6+5}{4}=5\) € y \(C(99)=\dfrac{9801+198+5}{100}=100{,}04\) €.

2. \(x^2+2x+5=(x+1)(x+1)+4\), luego \(C(x)=x+1+\dfrac{4}{x+1}\).

3. \(m=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{C(x)}{x}=1\) y \(n=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(C(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{4}{x+1}\right)=1\). La asíntota oblicua es \(y=x+1\).

4. \(C(99)=100{,}04\) es casi \(99+1=100\): para pedidos grandes, el coste por unidad se parece cada vez más a \(x+1\) euros, es decir, crece con el tamaño del pedido (un pedido de \(x\) unidades cuesta por unidad casi \(x+1\) €).

Nota16

1. Por la izquierda, \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}(x+a)=a\); por la derecha y en el punto, \(f(0)=1\). Entonces \(a=1\).

2. Por la izquierda de \(2\) y en el punto, \(f(2)=2^2+1=5\); por la derecha, \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}(bx-1)=2b-1\). Entonces \(2b-1=5\) y \(b=3\).

3. \(f(-1)=-1+1=0\), \(f(1)=1+1=2\) y \(f(3)=3\cdot3-1=8\).

4. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x+1)=-\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(3x-1)=+\infty\).

Nota17

1. \(c(1)=\dfrac{60}{10}=6\), \(c(3)=\dfrac{180}{18}=10\) y \(c(9)=\dfrac{540}{90}=6\) mg/L.

2. El grado del numerador, \(1\), es menor que el del denominador, \(2\): \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}c(t)=0\).

3. \(\dfrac{60t}{t^2+9}=6\Rightarrow60t=6t^2+54\Rightarrow t^2-10t+9=0\Rightarrow t=1\) o \(t=9\) horas. La concentración vale 6 mg/L a la hora 1 (cuando está subiendo) y a la hora 9 (cuando ya baja).

4. Como \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}c(t)=0\), la recta \(y=0\) es asíntota horizontal: con el tiempo, el medicamento se va eliminando y la concentración se acerca a \(0\) sin llegar a anularse exactamente.

Nota18

1. Es \(\infty-\infty\) con raíces: \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\frac{3}{2}\), porque numerador y denominador tienen grado 1 y los coeficientes de \(x\) son \(3\) y \(1+1=2\).

2. Da \(\frac{0}{0}\). \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\lim_{x\to1}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}\).

3. Grados iguales: \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2-x+1}{x^2+4}=2\).

4. \(\dfrac{e^x+x}{e^x}=1+\dfrac{x}{e^x}\) y \(\dfrac{x}{e^x}\to0\), luego \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x+x}{e^x}=1\).

Nota19

1. \(P(0)=\dfrac{5000}{1+4e^0}=\dfrac{5000}{5}=1000\) (mil bacterias).

2. Como \(e^{-t/2}\to0\), \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}P(t)=\frac{5000}{1+0}=5000\). La población se acerca a 5000 (miles), que es la capacidad máxima del cultivo.

3. \(\dfrac{5000}{1+4e^{-t/2}}=4000\Rightarrow1+4e^{-t/2}=\frac{5}{4}\Rightarrow e^{-t/2}=\dfrac1{16}\Rightarrow-\dfrac t2=-\ln16\), luego \(t=2\ln16=8\ln2\approx5{,}55\) horas.

4. Cuando \(t\to-\infty\), \(e^{-t/2}\to+\infty\) y \(\displaystyle\lim_{t\to-\infty}P(t)=0\): la recta \(y=0\) es asíntota horizontal por la izquierda. En el contexto no tiene sentido, porque el tiempo es \(t\ge0\).

Nota20

1. Hace falta \(x-2>0\): \(\operatorname{Dom}f=(2,+\infty)\).

2. \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}\ln(x-2)=-\infty\), porque \(x-2\to0^+\). Por tanto \(x=2\) es asíntota vertical.

3. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(3e^{-x}+1)=0+1=1\): asíntota horizontal \(y=1\).

4. Una asíntota oblicua por la derecha exige \(m=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x}\) finito y distinto de \(0\). Pero en \(+\infty\) la función ya tiene una asíntota horizontal (\(y=1\)), y no puede haber oblicua por un lado en el que ya hay horizontal: aquí \(\dfrac{g(x)}{x}\to0\), que no es una pendiente válida.

Nota21

1. \(E(0{,}5)=5\), \(E(1)=5\), \(E(2)=7\) y \(E(4)=7+2(4-3)=9\) euros.

2. En \(w=1\): \(\displaystyle\lim_{w\to1^-}E(w)=5\) y \(\displaystyle\lim_{w\to1^+}E(w)=7\). En \(w=3\): \(\displaystyle\lim_{w\to3^-}E(w)=7\) y \(\displaystyle\lim_{w\to3^+}E(w)=7+2\cdot0=7\).

3. En \(w=1\) los laterales son finitos y distintos: discontinuidad de salto finito (de \(5\) a \(7\), salto de \(2\)). En \(w=3\) los laterales valen \(7\) y además \(E(3)=7\): \(E\) es continua en \(w=3\).

4. Un paquete de 1 kg cuesta 5 €, pero uno de 1,01 kg cuesta 7 €: por solo 10 g más, el cliente paga 2 € más. Conviene ajustar el paquete para no pasarse de 1 kg.

Nota22

1. \(x^2-4=(x-2)(x+2)\): \(\operatorname{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\).

2. Como \(x^2+x-6=(x-2)(x+3)\), para \(x\ne\pm2\) es \(f(x)=\dfrac{x+3}{x+2}\). En \(x=2\): \(\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)=\frac{5}{4}\), finito: discontinuidad evitable. En \(x=-2\) el numerador simplificado vale \(1>0\): por la izquierda, \(x+2<0\) y \(\displaystyle\lim_{x\to-2^-}f(x)=-\infty\); por la derecha, \(\displaystyle\lim_{x\to-2^+}f(x)=+\infty\): discontinuidad de salto infinito.

3. Vertical: \(x=-2\) (en \(x=2\) no hay asíntota, solo un hueco). Horizontal: grados iguales, \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1\): \(y=1\).

4. Hay que dar a \(f(2)\) el valor del límite: \(f(2)=\frac{5}{4}\).

Nota23

1. Como \(x^2-16=(x-4)(x+4)\), \(R(x)=x+4\) para \(x\ne4\), y \(R(10)=14\) toneladas por hectárea.

2. \(\displaystyle\lim_{x\to4}R(x)=\lim_{x\to4}(x+4)=8\).

3. El límite es finito y \(R(4)\) no existe: discontinuidad evitable. Para que \(R\) sea continua hay que asignar \(R(4)=8\) (8 toneladas por hectárea con 4 kg de abono, valor coherente con el resto de la gráfica).

4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}R(x)=\lim_{x\to+\infty}(x+4)=+\infty\). El modelo no se satura: predice un rendimiento que crece sin límite con el abono, lo cual no es realista y limita su validez a valores moderados de \(x\).

Nota24

1. \(P(19)=10\), \(P(20)=9\), \(P(49)=9\) y \(P(50)=8\) euros.

2. En \(q=20\): \(\displaystyle\lim_{q\to20^-}P(q)=10\) y \(\displaystyle\lim_{q\to20^+}P(q)=9\). En \(q=50\): \(\displaystyle\lim_{q\to50^-}P(q)=9\) y \(\displaystyle\lim_{q\to50^+}P(q)=8\).

3. En ambos puntos los laterales son finitos y distintos: discontinuidades de salto finito, ambas de tamaño \(-1\) (el precio baja 1 €).

4. Comprar 19 unidades cuesta \(19\cdot10=190\) € y comprar 20 cuesta \(20\cdot9=180\) €. Comprar una unidad más sale 10 € más barato: conviene pedir 20 aunque se necesiten solo 19.

Nota25

Opción A.

1. \(e^x+1>0\) para todo \(x\), luego el denominador no se anula: \(\operatorname{Dom}f=\mathbb{R}\).

2. Dividiendo numerador y denominador entre \(e^x\): \(f(x)=\dfrac{2+e^{-x}}{1+e^{-x}}\), y \(e^{-x}\to0\). Entonces \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{2+0}{1+0}=2\).

3. Cuando \(x\to-\infty\), \(e^x\to0\): \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\frac{2\cdot0+1}{0+1}=1\). Hay dos asíntotas horizontales: \(y=2\) (en \(+\infty\)) e \(y=1\) (en \(-\infty\)).

Opción B.

1. \(\operatorname{Dom}g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). En \(x=1\) el numerador vale \(2-1+3=4>0\). Por la izquierda, \(x-1<0\): \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}g(x)=-\infty\). Por la derecha, \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}g(x)=+\infty\).

2. \(2x^2-x+3=(x-1)(2x+1)+4\), luego \(g(x)=2x+1+\dfrac{4}{x-1}\).

3. \(m=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2-x+3}{x^2-x}=2\) y \(n=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(g(x)-2x)=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{4}{x-1}\right)=1\). La asíntota oblicua es \(y=2x+1\) (la misma en \(-\infty\)). Además, \(x=1\) es asíntota vertical.