PAU Andalucía — Aplicaciones de la derivada

Ejercicios de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es aplicaciones de la derivada: 19 ejercicios de convocatorias ordinarias y extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la resolución breve con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

2026

Ordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque B · (3 puntos) · Examen

El peso en kilogramos (kg) de una persona que inicia un determinado régimen alimenticio viene dado por la función: \[P(t)=75-\frac{15t}{t+120};\qquad t\ge0\] siendo \(t\) el tiempo, en días, que lleva haciendo la dieta.

  1. Compruebe que, si la persona sigue de manera continuada el régimen alimenticio, irá reduciendo peso paulatinamente. ¿Cuál es el peso mínimo que podría llegar a alcanzar si pudiera seguir la dieta indefinidamente? (1 punto)

  2. ¿Cuántos días debe hacer de régimen para llegar a un peso de \(64\) kg? (0,75 puntos)

  3. El índice de masa corporal viene dado por la función \(i(t)=\dfrac{P(t)}{h^{2}}\), siendo \(h\) la estatura, en metros, de la persona. Se considera que la persona tiene sobrepeso si el índice de masa corporal es superior a \(25\ \text{kg}/\text{m}^{2}\). Si la persona mide \(1{,}68\) m, determine si ha tenido sobrepeso durante la dieta, y en caso afirmativo, calcule los días que han de transcurrir para dejar de tenerlo. (1,25 puntos)

Relacionado también con: Funciones, Límites y continuidad.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

a) Decrecimiento y peso mínimo. 1. Derivada: \(P'(t)=-\dfrac{15(t+120)-15t}{(t+120)^2}=-\dfrac{1\,800}{(t+120)^2}\). 2. \(P'(t)<0\) para todo \(t\ge0\): el peso es decreciente, la persona va perdiendo peso. 3. Peso límite: \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}P(t)=75-15=60\).

El peso mínimo al que podría llegar es de \(60\) kg (se acerca a él sin alcanzarlo).

b) Días para llegar a \(64\) kg. 1. Se resuelve \(P(t)=64\): \(75-\dfrac{15t}{t+120}=64\iff\dfrac{15t}{t+120}=11\). 2. \(P(t)=64\iff\dfrac{15t}{t+120}=11\iff15t=11t+1\,320\iff t=330\).

Debe hacer régimen \(330\) días.

c) Sobrepeso. 1. Altura: \(h^2=1{,}68^2=2{,}8224\). Hay sobrepeso si \(i(t)>25\iff P(t)>25\cdot2{,}8224=70{,}56\). 2. Al inicio, \(P(0)=75\) e \(i(0)=\dfrac{75}{2{,}8224}=26{,}57>25\): sí tenía sobrepeso. 3. Como \(P\) es decreciente, deja de tenerlo cuando \(P(t)=70{,}56\): \[75-\frac{15t}{t+120}=70{,}56\iff\frac{15t}{t+120}=4{,}44\iff10{,}56t=532{,}8\iff t=\frac{532{,}8}{10{,}56}=50{,}45.\]

Han de transcurrir unos \(50{,}45\) días (es decir, a partir del día \(51\) deja de tener sobrepeso).

Extraordinaria 2026

Ejercicio 2A · Extraordinaria 2026 · Bloque B · (3 puntos) · Examen

Los ingresos (en miles de euros) de una empresa que opera en mercados financieros en los últimos años vienen dados por la función \[f(t)=-t^{3}+\frac{21}{2}t^{2}-30t+80;\qquad1\le t\le6\] siendo \(t\) el tiempo medido en años.

  1. Determine los intervalos de tiempo en los que los ingresos aumentaron y los intervalos en los que disminuyeron. (0,75 puntos)

  2. Calcule los momentos en los que la empresa obtuvo el mayor y el menor ingreso, así como los valores correspondientes. (0,75 puntos)

  3. Estudie la evolución de los ingresos de la empresa, obteniendo sus puntos de inflexión, realizando su gráfica e interpretándola. (1,5 puntos)

Curvatura y puntos de inflexión.

\(f''>0\): convexa; \(f''<0\): cóncava. Punto de inflexión en \(x=a\): \(f''(a)=0\) y \(f''\) cambia de signo.

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Curvatura y puntos de inflexión.

  1. Calcula \(f''(x)\) y resuelve \(f''(x)=0\).
  2. Estudia el signo de \(f''\) en los intervalos que quedan.
  3. Indica los intervalos de convexidad y concavidad, y las coordenadas de los puntos de inflexión.

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Intervalos de crecimiento. 1. Derivada: \(f'(t)=-3t^2+21t-30=-3(t-2)(t-5)\), que se anula en \(t=2\) y \(t=5\). 2. Signo de \(f'\) en \([1,6]\): - \(f'<0\) en \((1,2)\): los ingresos disminuyeron. - \(f'>0\) en \((2,5)\): los ingresos aumentaron. - \(f'<0\) en \((5,6)\): los ingresos disminuyeron.

b) Mayor y menor ingreso. 1. Se comparan los puntos críticos y los extremos del intervalo: \(f(1)=59{,}5\), \(f(2)=54\), \(f(5)=67{,}5\) y \(f(6)=62\).

El mayor ingreso, \(67{,}5\) mil euros, se obtuvo a los \(5\) años; el menor, \(54\) mil euros, a los \(2\) años.

c) Inflexión, gráfica e interpretación. 1. Segunda derivada: \(f''(t)=-6t+21=0\Rightarrow t=\dfrac{7}{2}=3{,}5\). 2. \(f''>0\) en \((1;3{,}5)\) (convexa) y \(f''<0\) en \((3{,}5;6)\) (cóncava), luego hay inflexión.

Punto de inflexión en \(\left(\dfrac{7}{2},\dfrac{243}{4}\right)=(3{,}5;\ 60{,}75)\).

  1. Gráfica: parte de \((1;59{,}5)\), desciende hasta el mínimo \((2,54)\), asciende pasando por el punto de inflexión \((3{,}5;60{,}75)\) hasta el máximo \((5;67{,}5)\) y vuelve a descender hasta \((6,62)\).

Interpretación: tras un descenso inicial hasta el segundo año, los ingresos crecen entre los años \(2\) y \(5\). El crecimiento es más rápido en el punto de inflexión (\(t=3{,}5\), donde \(f'(3{,}5)=6{,}75\) mil euros por año es la máxima velocidad de aumento) y se frena después hasta el máximo del año \(5\). Desde ahí los ingresos vuelven a caer.

Ejercicio 2B · Extraordinaria 2026 · Bloque B · (3 puntos) · Examen

El coste en euros de producción de \(x\) toneladas de un determinado producto en una factoría es \[C(x)=0{,}2x^{2}+40x+5000\] El ingreso por venta es de 150 euros por tonelada. Se vende todo lo que se produce.

  1. Calcule la función \(B(x)\) que expresa el beneficio obtenido al vender \(x\) toneladas del producto. (0,25 puntos)

  2. Halle la cantidad de toneladas de producto que debe venderse para maximizar el beneficio. Obtenga dicho beneficio. (1 punto)

  3. Obtenga el beneficio cuando no hay producción y calcule para qué valores de la producción el beneficio es positivo. ¿Para qué producción se obtiene un beneficio de \(4000\) €? (1,25 puntos)

  4. Estudie cuándo los beneficios van aumentando y cuándo van disminuyendo. (0,5 puntos)

Relacionado también con: Funciones.

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

a) Función beneficio. 1. Beneficio = ingreso − coste, con ingreso \(150x\): \[B(x)=150x-\left(0{,}2x^2+40x+5\,000\right)=-0{,}2x^2+110x-5\,000.\]

b) Beneficio máximo. 1. Derivada: \(B'(x)=-0{,}4x+110=0\Rightarrow x=275\). 2. \(B''=-0{,}4<0\): máximo. 3. Beneficio: \(B(275)=-0{,}2\cdot75\,625+30\,250-5\,000=10\,125\).

Deben venderse \(275\) toneladas, con un beneficio máximo de \(10\,125\) €.

c) Sin producción, beneficio positivo y beneficio de \(4\,000\) €. 1. Sin producción: \(B(0)=-5\,000\), es decir, pérdidas de \(5\,000\) € (los costes fijos). 2. Beneficio positivo: \(B(x)>0\iff-0{,}2x^2+110x-5\,000>0\iff x^2-550x+25\,000<0\iff50<x<500\). 3. Beneficio de \(4\,000\) €: \(B(x)=4\,000\iff-0{,}2x^2+110x-9\,000=0\iff x^2-550x+45\,000=0\iff x=\dfrac{550\pm350}{2}\).

El beneficio es positivo si se producen entre \(50\) y \(500\) toneladas; se obtienen \(4\,000\) € con \(100\) o con \(450\) toneladas.

d) Crecimiento del beneficio. 1. \(B'(x)=-0{,}4x+110>0\iff x<275\).

Los beneficios aumentan para \(x<275\) toneladas y disminuyen para \(x>275\).

2025

Ordinaria · Modelo A 2025

Ejercicio 2 · Ordinaria · Modelo A 2025 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Un periódico digital ha publicado una noticia de última hora. El número de personas que han visto la noticia \(t\) horas después de su lanzamiento viene modelado por la función: \[N(t)=500\,000\cdot\left(1-e^{-0{,}2t}\right);\quad t>0\]

  1. Estudie la monotonía y curvatura de la función \(N\). (0,8 puntos)

  2. Represente gráficamente la función \(N\) y describa su tendencia a lo largo del tiempo. (0,7 puntos)

  3. ¿Cuánto tiempo ha debido de pasar para que la noticia haya sido vista por \(450\,000\) personas? (0,5 puntos)

  4. La velocidad de difusión de la noticia (número de personas por hora que han visto la publicación) es \(N'(t)\). ¿Qué conclusión se obtiene al comparar \(N'(t)\) en los instantes \(t=1\) y \(t=10\)? (0,5 puntos)

Relacionado también con: Funciones, Límites y continuidad.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Curvatura y puntos de inflexión.

\(f''>0\): convexa; \(f''<0\): cóncava. Punto de inflexión en \(x=a\): \(f''(a)=0\) y \(f''\) cambia de signo.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Curvatura y puntos de inflexión.

  1. Calcula \(f''(x)\) y resuelve \(f''(x)=0\).
  2. Estudia el signo de \(f''\) en los intervalos que quedan.
  3. Indica los intervalos de convexidad y concavidad, y las coordenadas de los puntos de inflexión.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Monotonía y curvatura. 1. Primera derivada: \(N'(t)=500\,000\cdot0{,}2\,e^{-0{,}2t}=100\,000\,e^{-0{,}2t}>0\) para todo \(t\). 2. Segunda derivada: \(N''(t)=-20\,000\,e^{-0{,}2t}<0\) para todo \(t\).

\(N\) es creciente y cóncava.

b) Gráfica y tendencia. 1. \(N(0)=0\) (no incluido, pues \(t>0\)) y \(N\) crece cada vez más despacio (creciente y cóncava). 2. \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}N(t)=500\,000\): la gráfica tiene la asíntota horizontal \(y=500\,000\) y se acerca a ella por debajo.

Curva creciente y cóncava N(t)=500000(1−e^(−0,2t)) que parte de 0 y tiende a la asíntota horizontal y=500000

Curva creciente y cóncava N(t)=500000(1−e^(−0,2t)) que parte de 0 y tiende a la asíntota horizontal y=500000

La noticia es vista cada vez por más personas, pero con un ritmo que decrece; el número de personas tiende a \(500\,000\) sin llegar a alcanzarlo.

c) Tiempo para \(450\,000\) personas. 1. Se iguala y se despeja la exponencial: \(N(t)=450\,000\iff1-e^{-0{,}2t}=0{,}9\iff e^{-0{,}2t}=0{,}1\). 2. Se toman logaritmos neperianos: \(-0{,}2t=\ln0{,}1\iff t=\dfrac{\ln10}{0{,}2}=5\ln10\approx11{,}51\).

Han debido pasar unas \(11{,}51\) horas (11 horas y 31 minutos).

d) Velocidad de difusión. 1. \(N'(1)=100\,000\,e^{-0{,}2}\approx81\,873\) personas por hora. 2. \(N'(10)=100\,000\,e^{-2}\approx13\,534\) personas por hora.

La velocidad de difusión disminuye con el tiempo: a la hora la noticia la ven \(\approx81\,873\) personas por hora y a las \(10\) horas solo \(\approx13\,534\), unas \(6\) veces menos.

Ejercicio 3 · Ordinaria · Modelo A 2025 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

A un paciente con diabetes se le monitoriza durante un día completo, suministrándole un medicamento a mediodía para observar su reacción. La función que aproxima la cantidad de glucosa en sangre (mg/dl) del paciente, en cada instante \(t\) (horas), es: \[f(t)=\begin{cases}\dfrac{5}{6}\left(\dfrac{t^{3}}{3}-12t^{2}+108t+108\right)&0\le t\le12\\t^{2}-40t+546&12<t\le24\end{cases}\]

  1. Halle en qué periodos de tiempo el nivel de glucosa va aumentando. (0,75 puntos)

  2. ¿En qué momentos del día el paciente tiene los niveles más alto y más bajo de glucosa en sangre y a cuánto ascienden? (1 punto)

  3. ¿En qué momentos, después del mediodía, el paciente tiene \(155\) mg/dl? (0,75 puntos)

Relacionado también con: Límites y continuidad.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

a) Periodos en que aumenta. 1. En \(0\le t\le12\): \(f'(t)=\dfrac{5}{6}\left(t^2-24t+108\right)=\dfrac{5}{6}(t-6)(t-18)\). Es positiva en \((0,6)\) y negativa en \((6,12)\). 2. En \(12<t\le24\): \(f'(t)=2t-40\). Es negativa en \((12,20)\) y positiva en \((20,24)\). 3. Continuidad en \(t=12\): \(f(12)=210\) por los dos trozos, así que no hay salto.

El nivel de glucosa aumenta de las \(0\) a las \(6\) h y de las \(20\) a las \(24\) h.

b) Máximo y mínimo del día. 1. Se comparan los valores en los puntos críticos y en los extremos: \(f(0)=90\), \(f(6)=330\), \(f(12)=210\), \(f(20)=146\), \(f(24)=162\).

El nivel más alto, \(330\) mg/dl, se da a las \(6\) h; el más bajo, \(90\) mg/dl, a las \(0\) h (al empezar el día). El mínimo relativo de la tarde es \(146\) mg/dl a las \(20\) h.

c) Momentos con \(155\) mg/dl después del mediodía. 1. Se usa el segundo trozo: \(t^2-40t+546=155\iff t^2-40t+391=0\). 2. Fórmula de segundo grado: \(t=\dfrac{40\pm6}{2}\), es decir, \(t=17\) y \(t=23\) (ambos en \((12,24]\)).

A las \(17\) h y a las \(23\) h.

Ordinaria · Suplente 1 · Modelo A 2025

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente 1 · Modelo A 2025 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

El nivel de concentración de un alumno universitario durante un examen viene dado por la siguiente función: \[f(t)=\begin{cases}-t^{2}+2t+10&0\le t\le2{,}5\\t^{2}+at+b&2{,}5<t\le5\end{cases}\] donde \(t\) es el tiempo en horas y \(a\) y \(b\) números reales.

  1. ¿Con qué nivel de concentración el alumno comienza el examen? Determine los valores de \(a\) y \(b\) para que la función \(f\) sea continua y derivable en \(t=2{,}5\). (1,25 puntos)

  2. Para \(a=-8\) y \(b=22{,}5\), esboce la gráfica de la función \(f\), estudiando previamente la monotonía y calculando en qué momentos se alcanzan los niveles máximo y mínimo de concentración. (1,25 puntos)

Relacionado también con: Límites y continuidad, Derivadas.

Continuidad.

\(f\) es continua en \(a\) si \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\). Las funciones elementales son continuas en su dominio; en una función a trozos solo hay que vigilar los puntos de cambio.

Derivabilidad.

\(f\) derivable en \(a\) si es continua en \(a\) y las derivadas laterales coinciden: \(f'(a^-)=f'(a^+)\). Derivable implica continua, pero no al revés.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Continuidad.

  1. Localiza los puntos problemáticos (cambios de trozo, ceros de denominadores).
  2. Calcula los dos límites laterales y \(f(a)\).
  3. Iguálalos: si hay parámetros, obtienes una ecuación para cada punto.
  4. Concluye indicando el tipo de discontinuidad si no es continua (evitable o de salto).

Derivabilidad.

  1. Impón primero la continuidad en el punto de cambio.
  2. Deriva cada trozo y evalúa en el punto, por la izquierda y por la derecha.
  3. Iguala las derivadas: segunda ecuación para los parámetros.
  4. Resuelve el sistema y comprueba.

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Nivel inicial y parámetros. 1. El nivel inicial es \(f(0)=10\). 2. Continuidad en \(t=2{,}5\): \(-2{,}5^2+2\cdot2{,}5+10=8{,}75\) y \(2{,}5^2+2{,}5a+b=6{,}25+2{,}5a+b\); luego \(6{,}25+2{,}5a+b=8{,}75\). 3. Derivabilidad: \(f'(t)=-2t+2\) si \(t<2{,}5\) y \(f'(t)=2t+a\) si \(t>2{,}5\). En \(t=2{,}5\): \(-3=5+a\Rightarrow a=-8\). 4. Se sustituye en la continuidad: \(6{,}25-20+b=8{,}75\Rightarrow b=22{,}5\).

Comienza con nivel \(10\); \(a=-8\) y \(b=22{,}5\).

b) Monotonía, extremos y gráfica. 1. Tramo 1: \(f'(t)=-2t+2=0\Rightarrow t=1\). Crece en \((0,1)\) y decrece en \((1,2{,}5)\), con \(f(1)=11\). 2. Tramo 2: \(f(t)=t^2-8t+22{,}5\) y \(f'(t)=2t-8=0\Rightarrow t=4\). Decrece en \((2{,}5;4)\) y crece en \((4,5)\), con \(f(4)=6{,}5\). 3. Valores en los extremos: \(f(0)=10\), \(f(2{,}5)=8{,}75\), \(f(5)=7{,}5\).

Concentración máxima \(11\) a la hora \(t=1\) y mínima \(6{,}5\) a las \(4\) horas.

  1. Gráfica: sube desde \((0,10)\) hasta el máximo \((1,11)\), baja hasta el mínimo \((4;6{,}5)\) (pasando por \((2{,}5;8{,}75)\) sin pico) y sube hasta \((5;7{,}5)\).

Concentración f(t): sube de 10 a 11 en t=1, baja hasta el mínimo 6,5 en t=4 y sube a 7,5 en t=5; la gráfica es continua y suave en t=2,5

Concentración f(t): sube de 10 a 11 en t=1, baja hasta el mínimo 6,5 en t=4 y sube a 7,5 en t=5; la gráfica es continua y suave en t=2,5

Ordinaria · Suplente 1 · Modelo B 2025

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente 1 · Modelo B 2025 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Las ventas de un producto (en miles de euros), en los 6 primeros años desde que se lanzó una campaña de publicidad, evolucionan de acuerdo con la siguiente función: \[V(t)=4t^{3}-24t^{2}+36t+100;\qquad0\le t\le6\] siendo \(t\) el tiempo transcurrido en años.

  1. Estudie el crecimiento y decrecimiento de las ventas a lo largo de los 6 años. Calcule los extremos. (1,25 puntos)

  2. Represente gráficamente la función \(V\). (0,5 puntos)

  3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de \(V\), la recta \(t=6\) y los ejes de coordenadas. (0,75 puntos)

Relacionado también con: Integrales.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Crecimiento y extremos. 1. Derivada: \(V'(t)=12t^2-48t+36=12(t-1)(t-3)\), con raíces \(t=1\) y \(t=3\). 2. Signo de \(V'\): - \(V'>0\) en \((0,1)\) y en \((3,6)\): las ventas crecen. - \(V'<0\) en \((1,3)\): las ventas decrecen. 3. Valores: \(V(0)=100\), \(V(1)=116\), \(V(3)=100\), \(V(6)=316\).

Máximo relativo en \((1,116)\) y mínimo relativo en \((3,100)\). En el intervalo \([0,6]\): máximo absoluto \(316\) en \(t=6\) y mínimo absoluto \(100\) (en \(t=0\) y en \(t=3\)).

b) Gráfica. 1. Cúbica que parte de \((0,100)\), sube hasta el máximo \((1,116)\), baja hasta el mínimo \((3,100)\) y vuelve a subir hasta \((6,316)\).

c) Área. 1. \(V>0\) en \([0,6]\) (su mínimo es \(100\)), así que el área es la integral. 2. Barrow: \[A=\int_0^6\left(4t^3-24t^2+36t+100\right)dt=\left[t^4-8t^3+18t^2+100t\right]_0^6=1\,296-1\,728+648+600=816.\]

\(A=816\) u\(^2\) (miles de euros por año).

Ventas V(t) en [0,6]: parte de 100, máximo relativo 116 en t=1, mínimo relativo 100 en t=3 y llega a 316 en t=6; sombreada el área bajo la curva

Ventas V(t) en [0,6]: parte de 100, máximo relativo 116 en t=1, mínimo relativo 100 en t=3 y llega a 316 en t=6; sombreada el área bajo la curva

Ordinaria · Suplente 2 · Modelo A 2025

Ejercicio 3 · Ordinaria · Suplente 2 · Modelo A 2025 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

  1. El índice de audiencia de un programa de radio se puede modelizar por una función del tipo: \[f(t)=at^{2}+bt+c,\qquad t\in[0,60]\] donde \(t\) es el tiempo medido en minutos y \(a,b,c\in\mathbb R\). Se sabe que cuando comienza el programa el índice de audiencia es 20 puntos y que a los 40 minutos se alcanza el máximo índice de audiencia, que es 36 puntos. Determine \(a,b\) y \(c\) y represente gráficamente la función obtenida. (1,5 puntos)

  2. Calcule la derivada de las siguientes funciones: (1 punto)

\[g(x)=\ln\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)\qquad\qquad h(x)=(2x-1)\,e^{x^{2}-x}\]

Relacionado también con: Funciones, Derivadas.

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Parámetros y gráfica. 1. Al comenzar, \(f(0)=c=20\). 2. Máximo en \(t=40\): \(f'(40)=2a\cdot40+b=0\Rightarrow b=-80a\). 3. Su valor es \(36\): \(f(40)=1\,600a+40b+c=36\). Se sustituye \(b\) y \(c\): \(1\,600a-3\,200a+20=36\Rightarrow-1\,600a=16\Rightarrow a=-0{,}01\) y \(b=0{,}8\).

\(a=-0{,}01\), \(b=0{,}8\), \(c=20\): \(f(t)=-0{,}01t^2+0{,}8t+20\).

  1. Gráfica: arco de parábola abierta hacia abajo que parte de \((0,20)\), crece hasta el máximo \((40,36)\) y decrece hasta \((60,32)\) (pasa por \((20,32)\), simétrico de \((60,32)\) respecto de \(t=40\)).

Índice de audiencia f(t)=−0,01t²+0,8t+20: parte de 20, alcanza el máximo 36 a los 40 minutos y baja a 32 en t=60

Índice de audiencia f(t)=−0,01t²+0,8t+20: parte de 20, alcanza el máximo 36 a los 40 minutos y baja a 32 en t=60

b) Derivadas. 1. \(g\) es el logaritmo de un cociente. Se deriva con la regla de la cadena, \(\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}\), o separando antes los logaritmos: \[g'(x)=\dfrac{2x}{x^2-1}-\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{2x\left(x^2+1\right)-2x\left(x^2-1\right)}{x^4-1}=\dfrac{4x}{x^4-1}.\] 2. \(h\) es un producto, \((uv)'=u'v+uv'\), con \(u=2x-1\) y \(v=e^{x^2-x}\) (derivada \((2x-1)e^{x^2-x}\), por la regla de la cadena): \[h'(x)=2e^{x^2-x}+(2x-1)(2x-1)e^{x^2-x}=e^{x^2-x}\left[(2x-1)^2+2\right]=e^{x^2-x}\left(4x^2-4x+3\right).\]

2023

Ordinaria · Modelo A 2023

Ejercicio 3 · Ordinaria · Modelo A 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2x\).

  1. Halle los puntos de corte con los ejes, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos de \(f\) y su curvatura. (1 punto)

  2. Represente gráficamente la función \(f\). (0,5 puntos)

  3. Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de \(f\) y el eje de abscisas. (1 punto)

Relacionado también con: Funciones, Integrales.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Curvatura y puntos de inflexión.

\(f''>0\): convexa; \(f''<0\): cóncava. Punto de inflexión en \(x=a\): \(f''(a)=0\) y \(f''\) cambia de signo.

Dominio, cortes y simetrías.

Dominio: excluye los puntos donde se anula un denominador, el radicando de una raíz de índice par es negativo o el argumento de un logaritmo no es positivo. Cortes: con el eje \(X\) se resuelve \(f(x)=0\); con el eje \(Y\) se calcula \(f(0)\).

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Curvatura y puntos de inflexión.

  1. Calcula \(f''(x)\) y resuelve \(f''(x)=0\).
  2. Estudia el signo de \(f''\) en los intervalos que quedan.
  3. Indica los intervalos de convexidad y concavidad, y las coordenadas de los puntos de inflexión.

Dominio, cortes y simetrías.

  1. Halla el dominio y escríbelo como unión de intervalos.
  2. Calcula los cortes con los ejes.
  3. Estudia el signo de \(f\) entre los puntos que anulan \(f\) o su denominador.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

Factorización. \(f(x)=x(x-1)(x-2)\).

a) Estudio de \(f\). 1. Cortes. Con \(OY\) en \((0,0)\); con \(OX\) en \((0,0)\), \((1,0)\) y \((2,0)\). 2. Puntos críticos. \(f'(x)=3x^2-6x+2=0\Rightarrow x=1\pm\dfrac{\sqrt3}{3}\). 3. Monotonía. - \(f'>0\) en \(\left(-\infty,1-\frac{\sqrt3}{3}\right)\) y en \(\left(1+\frac{\sqrt3}{3},+\infty\right)\): crece. - \(f'<0\) en \(\left(1-\frac{\sqrt3}{3},1+\frac{\sqrt3}{3}\right)\): decrece. 4. Extremos. Máximo relativo en \(\left(1-\dfrac{\sqrt3}{3},\dfrac{2\sqrt3}{9}\right)\) y mínimo relativo en \(\left(1+\dfrac{\sqrt3}{3},-\dfrac{2\sqrt3}{9}\right)\). 5. Curvatura. \(f''(x)=6x-6\): cóncava en \((-\infty,1)\) (\(f''<0\)) y convexa en \((1,+\infty)\) (\(f''>0\)), con punto de inflexión en \((1,0)\).

b) Gráfica. 1. Es una cúbica que viene de \(-\infty\) y corta al eje en \((0,0)\). 2. Sube hasta el máximo (\(\approx(0{,}42;\,0{,}38)\)) y baja pasando por \((1,0)\) (punto de inflexión) hasta el mínimo (\(\approx(1{,}58;\,-0{,}38)\)). 3. Vuelve a subir, cortando el eje en \((2,0)\), hacia \(+\infty\).

Gráfica de f(x)=x³−3x²+2x: cortes en x=0, 1, 2, máximo en x=1−√3/3 y mínimo en x=1+√3/3; recinto sombreado entre la curva y el eje X de 0 a 2

Gráfica de f(x)=x³−3x²+2x: cortes en x=0, 1, 2, máximo en x=1−√3/3 y mínimo en x=1+√3/3; recinto sombreado entre la curva y el eje X de 0 a 2

c) Área. 1. El recinto acotado va de \(x=0\) a \(x=2\). Entre \(0\) y \(1\), \(f\ge0\); entre \(1\) y \(2\), \(f\le0\), así que se integra por separado y se toma el valor absoluto del segundo trozo. 2. Con Barrow: \[\int_0^1f=\left[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]_0^1=\frac{1}{4},\qquad\int_1^2f=-\frac{1}{4}.\] 3. Suma de áreas: \[A=\frac{1}{4}+\left|-\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{2}.\]

\(A=\dfrac{1}{2}\ \text{u}^2\)

Ejercicio 4 · Ordinaria · Modelo A 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se desea analizar el valor de las acciones de una empresa en un día. La función \(v(t)\) nos indica el valor, en euros, de cada acción de la empresa en función del tiempo \(t\), medido en horas, a partir de la hora de apertura del mercado. De la función \(v(t)\) se conoce que su variación instantánea es \[v'(t)=t^{2}-5t+6,\qquad t\in[0,6]\]

  1. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función \(v\). (0,75 puntos)

  2. Si en el momento de la apertura del mercado se conoce que \(v(0)=10\), halle la función \(v\). (0,75 puntos)

  3. Si un inversor compró \(3000\) de estas acciones en el instante \(t=2\) y posteriormente las vendió en el instante \(t=4\), indique a cuánto ascendió la ganancia o la pérdida que obtuvo el inversor con esta gestión. (0,5 puntos)

  4. ¿En qué momentos debería haber realizado este inversor las gestiones de compra y de venta para que la ganancia hubiese sido máxima? Justifique su respuesta. (0,5 puntos)

Relacionado también con: Integrales.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

a) Crecimiento y decrecimiento. 1. \(v'(t)=t^2-5t+6=(t-2)(t-3)\), con raíces \(t=2\) y \(t=3\). 2. Signo de \(v'\) en \([0,6]\): positivo en \((0,2)\), negativo en \((2,3)\) y positivo en \((3,6)\).

\(v\) crece en \((0,2)\cup(3,6)\) y decrece en \((2,3)\).

b) Función \(v\). 1. Se integra la variación instantánea: \(v(t)=\displaystyle\int\left(t^2-5t+6\right)dt=\frac{t^3}{3}-\frac{5t^2}{2}+6t+K\). 2. Con \(v(0)=10\) se obtiene \(K=10\).

\(v(t)=\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{5t^2}{2}+6t+10\).

c) Ganancia del inversor. 1. Precio de compra y de venta: \(v(2)=\dfrac{8}{3}-10+12+10=\dfrac{44}{3}\) y \(v(4)=\dfrac{64}{3}-40+24+10=\dfrac{46}{3}\). 2. Ganancia por acción: \(\dfrac{46}{3}-\dfrac{44}{3}=\dfrac{2}{3}\) €. 3. Con \(3000\) acciones: \(3000\cdot\dfrac{2}{3}=2000\).

Ganó \(2\,000\) €.

d) Mejor momento de compra y de venta. 1. Valores en los puntos críticos y en los extremos del intervalo: \(v(0)=10\), \(v(2)=\dfrac{44}{3}\approx14{,}67\), \(v(3)=\dfrac{29}{2}=14{,}5\), \(v(6)=28\). 2. La ganancia por acción es \(v(t_2)-v(t_1)\) con \(t_1<t_2\): se hace máxima comprando en el mínimo y vendiendo en el máximo posteriores. 3. \(v(6)-v(0)=18\) €, mayor que cualquier otra combinación (por ejemplo, \(v(6)-v(3)=13{,}5\)). 4. Con las \(3000\) acciones del inversor: \(3000\cdot18=54\,000\) €.

Debería haber comprado en la apertura (\(t=0\)) y vendido al final (\(t=6\)), con una ganancia de \(18\) € por acción, es decir, \(54\,000\) € con sus \(3000\) acciones.

Ordinaria · Suplente · Modelo B 2023

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente · Modelo B 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

La función \(B(t)=-t^{2}+21t-20\) con \(0\le t\le15\) representa el beneficio, en miles de euros, de una empresa en función de los años, \(t\).

  1. Si la función \(I(t)=-t^{2}+48t\) representa los ingresos de esta empresa, en miles de euros, para el mismo intervalo de tiempo, ¿cuál es la función de gastos de dicha empresa? ¿Cuáles son los gastos iniciales? (0,5 puntos)

  2. Calcule el momento a partir del cual el beneficio fue positivo. (0,5 puntos)

  3. Calcule en qué momento el beneficio fue máximo y el valor del mismo. (0,75 puntos)

  4. Represente gráficamente la función beneficio. (0,75 puntos)

Relacionado también con: Funciones.

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Función de gastos. 1. Beneficio = ingresos − gastos, luego \(G(t)=I(t)-B(t)\). 2. \(G(t)=-t^2+48t-\left(-t^2+21t-20\right)=27t+20\). 3. Gastos iniciales: \(G(0)=20\).

La función de gastos es \(G(t)=27t+20\) y los gastos iniciales son \(20\) mil euros (\(20\,000\) €).

b) Beneficio positivo. 1. Se factoriza: \(B(t)=-(t-1)(t-20)>0\iff1<t<20\). 2. En el intervalo \([0,15]\) queda \(t>1\).

El beneficio es positivo a partir del año \(1\) (\(t>1\)).

c) Beneficio máximo. 1. Derivada: \(B'(t)=-2t+21=0\Rightarrow t=10{,}5\), dentro de \([0,15]\). 2. \(B''<0\): es un máximo. 3. Valor: \(B(10{,}5)=-110{,}25+220{,}5-20=90{,}25\).

El beneficio máximo se alcanza a los \(10{,}5\) años y vale \(90{,}25\) mil euros (\(90\,250\) €).

d) Gráfica. 1. Parábola abierta hacia abajo con vértice \((10{,}5;\ 90{,}25)\). 2. Arranca en \((0,-20)\), corta al eje \(OX\) en \(t=1\) y llega a \(t=15\) con \(B(15)=70\).

Parábola de beneficio B(t)=−t²+21t−20 en [0,15]: parte de −20, corta al eje en t=1, alcanza el máximo 90,25 en t=10,5 y llega a 70 en t=15

Parábola de beneficio B(t)=−t²+21t−20 en [0,15]: parte de −20, corta al eje en t=1, alcanza el máximo 90,25 en t=10,5 y llega a 70 en t=15

2022

Ordinaria 2022

Ejercicio 3 · Ordinaria 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

  1. Se considera la función \(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\), con \(a,b\) y \(c\) números reales. Calcule los valores \(a,b\) y \(c\), sabiendo que la gráfica de \(f\) posee un extremo relativo en el punto de abscisa \(x=3\) y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \(P(0,18)\) es \(-3\). (1,25 puntos)

  2. Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función \(g(x)=x^{3}-4x^{2}-3x+18\) y el eje de abscisas. (1,25 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Integrales.

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Parámetros. 1. Derivada: \(f'(x)=3x^2+2ax+b\). 2. \(P(0,18)\) está en la gráfica: \(f(0)=c=18\). 3. Pendiente \(-3\) en \(P\): \(f'(0)=b=-3\). 4. Extremo en \(x=3\): \(f'(3)=27+6a+b=0\Rightarrow27+6a-3=0\Rightarrow a=-4\).

\(a=-4\), \(b=-3\), \(c=18\), es decir, \(f(x)=x^3-4x^2-3x+18\) (que es la función \(g\) del apartado siguiente).

b) Área. 1. Se factoriza: \(g(x)=(x-3)^2(x+2)\) se anula en \(x=-2\) y en \(x=3\) (raíz doble, la gráfica es tangente al eje). 2. En \([-2,3]\) se cumple \(g\ge0\), así que el área es la integral sin cambiar el signo. 3. Barrow: \[A=\int_{-2}^{3}\left(x^3-4x^2-3x+18\right)dx=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+18x\right]_{-2}^{3}=\frac{99}{4}-\left(-\frac{82}{3}\right)=\frac{625}{12}.\]

\(A=\dfrac{625}{12}\ \text{u}^2\approx52{,}08\ \text{u}^2\)

Ordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 3 · Ordinaria · Suplente 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Una empresa de fumigación sabe que los beneficios, en miles de euros, que obtiene en función de las hectáreas que le encargan fumigar mensualmente viene dada por la expresión \[B(x)=-x^{2}+16x-48\] Además, por problemas de personal, la empresa no puede fumigar más de 10 hectáreas al mes.

  1. ¿Cuántas hectáreas tiene que fumigar al mes para que la empresa tenga beneficios? (0,75 puntos)

  2. ¿Cuántas hectáreas tiene que fumigar para obtener el máximo beneficio mensual? ¿A cuánto asciende dicho beneficio? (0,75 puntos)

  3. Si un mes ha obtenido un beneficio de 7000 €, ¿cuántas hectáreas ha fumigado? (1 punto)

Relacionado también con: Funciones.

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

a) Beneficios positivos. 1. Se factoriza: \(B(x)=-(x-4)(x-12)\), que es positivo entre las raíces: \(B(x)>0\iff4<x<12\). 2. Se añade la limitación \(x\le10\).

Hay beneficios si fumiga más de 4 y hasta 10 hectáreas (\(4<x\le10\)).

b) Máximo beneficio. 1. Derivada: \(B'(x)=-2x+16=0\Rightarrow x=8\), que está dentro de \([0,10]\). 2. \(B''<0\), luego es un máximo. 3. Beneficio: \(B(8)=-64+128-48=16\).

Debe fumigar 8 hectáreas y el beneficio máximo es de 16 mil euros (\(16\,000\) €).

c) Beneficio de \(7\,000\) €. 1. En miles de euros, \(B(x)=7\): \(-x^2+16x-48=7\iff x^2-16x+55=0\). 2. Soluciones: \(x=5\) o \(x=11\). 3. Como \(x\le10\), se descarta \(x=11\).

Ha fumigado 5 hectáreas.

Extraordinaria 2022

Ejercicio 3 · Extraordinaria 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

  1. Se considera la función \(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx-1\) donde \(b\) y \(c\) son números reales. Determine el valor de \(b\) y \(c\) para que la función \(f\) presente un extremo en el punto de abscisa \(x=\dfrac{1}{3}\) y además la gráfica de la función \(f\) pase por el punto \((-2,-3)\). (1 punto)

  2. Dada la función \(g(x)=-x^{3}-x^{2}+x+1\), realice el esbozo de su gráfica, estudiando los puntos de corte con los ejes coordenados y su monotonía. Determine el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función \(g\) y el eje de abscisas. (1,5 puntos)

Relacionado también con: Funciones, Integrales.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Dominio, cortes y simetrías.

Dominio: excluye los puntos donde se anula un denominador, el radicando de una raíz de índice par es negativo o el argumento de un logaritmo no es positivo. Cortes: con el eje \(X\) se resuelve \(f(x)=0\); con el eje \(Y\) se calcula \(f(0)\).

Hallar parámetros de una función.

Cada dato del enunciado da una ecuación: pasa por \((a,b)\Rightarrow f(a)=b\); extremo en \(x=a\Rightarrow f'(a)=0\); pendiente \(m\) en \(x=a\Rightarrow f'(a)=m\); inflexión en \(x=a\Rightarrow f''(a)=0\); área o integral dada \(\Rightarrow\) igualar la integral.

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Dominio, cortes y simetrías.

  1. Halla el dominio y escríbelo como unión de intervalos.
  2. Calcula los cortes con los ejes.
  3. Estudia el signo de \(f\) entre los puntos que anulan \(f\) o su denominador.

Hallar parámetros de una función.

  1. Lista los datos y escribe una ecuación por cada uno.
  2. Resuelve el sistema (suele ser lineal en los parámetros).
  3. Comprueba que la función resultante cumple todo, y que el extremo es del tipo pedido.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Parámetros \(b\) y \(c\). 1. Derivada: \(f'(x)=3x^2+2bx+c\). 2. Extremo en \(x=\dfrac{1}{3}\): \(f'\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2b}{3}+c=0\), de donde \(c=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2b}{3}\). 3. La gráfica pasa por \((-2,-3)\): \(-8+4b-2c-1=-3\Rightarrow2b-c=3\). 4. Se sustituye \(c\) en la segunda: \(2b+\dfrac{1}{3}+\dfrac{2b}{3}=3\), es decir, \(\dfrac{8b}{3}=\dfrac{8}{3}\), luego \(b=1\) y \(c=-1\).

\(b=1\) y \(c=-1\).

b) Esbozo y área. 1. Cortes. Se factoriza: \(g(x)=-(x-1)(x+1)^2\). Con \(OX\): \(x=-1\) (doble, tangente al eje) y \(x=1\). Con \(OY\): \((0,1)\). 2. Monotonía. \(g'(x)=-3x^2-2x+1=-(3x-1)(x+1)\), con raíces \(x=-1\) y \(x=\dfrac{1}{3}\): - \(g'<0\) en \((-\infty,-1)\): decrece. - \(g'>0\) en \(\left(-1,\dfrac{1}{3}\right)\): crece. - \(g'<0\) en \(\left(\dfrac{1}{3},+\infty\right)\): decrece. 3. Extremos. Mínimo relativo en \((-1,0)\) y máximo relativo en \(\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{32}{27}\right)\). 4. Forma. La gráfica viene de \(+\infty\), toca el eje en \((-1,0)\), sube hasta el máximo, pasa por \((0,1)\) y cruza el eje en \((1,0)\) hacia \(-\infty\).

Gráfica de g(x)=−x³−x²+x+1: tangente al eje X en (−1,0), máximo en (1/3, 32/27) y corte con el eje X en (1,0); recinto sombreado entre x=−1 y x=1

Gráfica de g(x)=−x³−x²+x+1: tangente al eje X en (−1,0), máximo en (1/3, 32/27) y corte con el eje X en (1,0); recinto sombreado entre x=−1 y x=1
  1. Área. El recinto acotado va de \(x=-1\) a \(x=1\), con \(g\ge0\). Barrow: \[A=\int_{-1}^{1}\left(-x^3-x^2+x+1\right)dx=\left[-\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x\right]_{-1}^{1}=\frac{11}{12}-\left(-\frac{5}{12}\right)=\frac{4}{3}.\]

\(A=\dfrac{4}{3}\ \text{u}^2\)

Extraordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 3 · Extraordinaria · Suplente 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Los ingresos (\(I\)) y costes (\(C\)) de una discoteca, en miles de euros, en función del número de horas diarias que permanece abierta, vienen dados por las funciones: \[I(x)=x^{3}-x,\qquad C(x)=x^{3}-x^{2}+6\] respectivamente. Sabiendo que la licencia del ayuntamiento no permite que este tipo de local permanezca abierto más de 8 horas diarias, halle:

  1. La función beneficio en función del número de horas diarias que la discoteca permanece abierta. (0,5 puntos)

  2. El número de horas que debe permanecer abierta para obtener beneficios. (0,5 puntos)

  3. En qué momento se tienen las mayores pérdidas y a cuánto ascienden. (0,75 puntos)

  4. El tiempo que debe permanecer abierta para obtener el máximo beneficio y a cuánto asciende. (0,75 puntos)

Relacionado también con: Funciones.

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

a) Función beneficio. 1. Beneficio = ingresos − costes: \[B(x)=I(x)-C(x)=x^3-x-\left(x^3-x^2+6\right)=x^2-x-6,\qquad0\le x\le8.\] 2. Es decir, \(B(x)=x^2-x-6\) en miles de euros.

b) Horas con beneficios. 1. Se factoriza: \(B(x)=(x-3)(x+2)\). 2. Hay beneficio si \(B(x)>0\). Como \(x\ge0\), \(x+2>0\) y basta \(x>3\).

Obtiene beneficios si está abierta más de 3 horas y hasta 8 horas (\(3<x\le8\)).

c) Mayores pérdidas. 1. Derivada: \(B'(x)=2x-1=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\). 2. \(B''=2>0\): es un mínimo. 3. Valor: \(B\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}-6=-\dfrac{25}{4}\). En el extremo del intervalo, \(B(0)=-6\), que es mayor.

Las mayores pérdidas se tienen a las \(0{,}5\) horas (media hora) y ascienden a \(6{,}25\) mil euros (\(6\,250\) €).

d) Máximo beneficio. 1. \(B\) es creciente para \(x>\dfrac{1}{2}\), luego el máximo está en el extremo \(x=8\). 2. \(B(8)=64-8-6=50\).

Debe permanecer abierta 8 horas, con un beneficio máximo de \(50\) mil euros (\(50\,000\) €).

2021

Ordinaria 2021

Ejercicio 3 · Ordinaria 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la función \(f(x)=x^{3}-4x^{2}+4x\).

  1. Estudie su monotonía y calcule sus extremos. (1 punto)

  2. Represente gráficamente la función. (0,5 puntos)

  3. Calcule \(\displaystyle\int f(x)\,dx\). (0,5 puntos)

  4. Calcule el área del recinto acotado limitado por la gráfica de \(f\) y el eje de abscisas. (0,5 puntos)

Relacionado también con: Funciones, Integrales.

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Primitivas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Área de un recinto.

Área entre \(y=f(x)\) y el eje \(X\): \(\int_a^b|f(x)|\,dx\), partiendo en los puntos donde \(f\) cambia de signo. Área entre dos curvas: \(\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx\) con \(f\ge g\). Los límites de integración son las abscisas de corte.

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Primitivas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Área de un recinto.

  1. Haz un esbozo del recinto.
  2. Calcula los puntos de corte (resolviendo \(f=g\) o \(f=0\)): son los límites.
  3. Decide qué función va por encima en cada tramo; si se cruzan, parte la integral.
  4. Aplica Barrow y da el área en \(\text{u}^2\), siempre positiva.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Monotonía y extremos. 1. Derivada: \(f'(x)=3x^2-8x+4=(3x-2)(x-2)\), que se anula en \(x=\dfrac{2}{3}\) y \(x=2\). 2. Signo de \(f'\) en los tres intervalos: \(f\) crece en \(\left(-\infty,\dfrac{2}{3}\right)\) y en \((2,+\infty)\); decrece en \(\left(\dfrac{2}{3},2\right)\). 3. Tipo de extremo con la segunda derivada \(f''(x)=6x-8\): \(f''\!\left(\frac{2}{3}\right)=-4<0\) y \(f''(2)=4>0\).

Máximo relativo en \(\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{32}{27}\right)\) y mínimo relativo en \((2,0)\).

b) Gráfica. 1. Se factoriza: \(f(x)=x(x-2)^2\). Corta a los ejes en \((0,0)\) y es tangente al eje de abscisas en \((2,0)\) (raíz doble). 2. Parte de \(-\infty\) (cuando \(x\to-\infty\)), pasa por el origen, sube hasta el máximo \(\left(\frac{2}{3},\frac{32}{27}\right)\), baja hasta el mínimo \((2,0)\) y vuelve a crecer hacia \(+\infty\).

c) Primitiva. Se integra término a término: \[\int f(x)\,dx=\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+2x^2+C.\]

d) Área. 1. El recinto acotado está entre las raíces \(x=0\) y \(x=2\), donde \(f\ge0\). 2. Barrow: \[A=\int_0^2f(x)\,dx=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+2x^2\right]_0^2=4-\frac{32}{3}+8=\frac{4}{3}.\]

\(A=\dfrac{4}{3}\ \text{u}^2\)

Gráfica de f(x)=x³−4x²+4x: pasa por el origen, máximo en (2/3, 32/27), tangente al eje X en (2,0); recinto sombreado entre x=0 y x=2

Gráfica de f(x)=x³−4x²+4x: pasa por el origen, máximo en (2/3, 32/27), tangente al eje X en (2,0); recinto sombreado entre x=0 y x=2

Ordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Una fábrica estima que sus costes de producción, expresados en miles de euros, vienen dados por la función \(f(x)=x^{2}-6x+10\), donde \(x\) es la cantidad semanal a producir expresada en miles de kilogramos.

  1. ¿Cuál debe ser la producción semanal para que el coste sea mínimo? ¿Cuál es dicho coste? (1 punto)

  2. Calcule la recta tangente a la función de costes en el punto de abscisa \(x=4\). Represente gráficamente la función de costes y la recta tangente hallada. (1,5 puntos)

Relacionado también con: Derivadas.

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

El óptimo de una función derivable en un intervalo se busca entre los puntos con \(f'(x)=0\) y los extremos del intervalo. Se confirma el tipo con el signo de \(f'\) o con \(f''\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Optimización (máximo y mínimo en un contexto).

  1. Escribe la función a optimizar con una sola variable (usa la condición del enunciado para eliminar la otra).
  2. Fija el dominio que tiene sentido en el contexto.
  3. Resuelve \(f'(x)=0\) y comprueba que es máximo o mínimo.
  4. Responde con unidades y en palabras: ¿en qué valor se alcanza y cuánto vale?

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) Coste mínimo. 1. Se deriva e iguala a cero: \(f'(x)=2x-6=0\Rightarrow x=3\). 2. Segunda derivada: \(f''(x)=2>0\), luego es un mínimo. 3. Coste en ese punto: \(f(3)=9-18+10=1\).

El coste es mínimo con una producción de \(3\) mil kg (\(3\,000\) kg) y vale \(1\) mil euros (\(1\,000\) €).

b) Tangente en \(x=4\). 1. Punto: \(f(4)=16-24+10=2\). 2. Pendiente: \(f'(4)=2\cdot4-6=2\). 3. Recta punto-pendiente: \(y-2=2(x-4)\).

\(y=2x-6\).

  1. Gráfica. La parábola tiene vértice \((3,1)\) y está abierta hacia arriba; corta al eje \(OY\) en \((0,10)\) y no corta al eje \(OX\) porque \(\Delta=36-40<0\); pasa por \((2,2)\) y \((4,2)\). La recta \(y=2x-6\) la toca en \((4,2)\) y corta al eje \(OX\) en \((3,0)\).

Parábola de costes f(x)=x²−6x+10 con vértice (3,1) y su recta tangente y=2x−6 en el punto (4,2)

Parábola de costes f(x)=x²−6x+10 con vértice (3,1) y su recta tangente y=2x−6 en el punto (4,2)

Extraordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 4 · Extraordinaria · Reserva 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

La cotización en bolsa de una empresa en un determinado día viene expresada, en euros, por la función \(c(t)\), con \(t\in[0,24]\), medido en horas.

La variación instantánea de esta función es la derivada de \(c\), que viene dada por \(c'(t)=0{,}03t^{2}-0{,}9t+6\), con \(t\in(0,24)\).

  1. Estudie los intervalos en los que la función \(c\) es creciente. (1,25 puntos)

  2. Analice los puntos críticos de la función \(c\), indicando en cuáles se alcanza el máximo y el mínimo relativos. (0,5 puntos)

  3. Halle la expresión analítica de la función \(c\), sabiendo que la cotización en bolsa de la empresa era de 50 euros en el instante inicial. (0,75 puntos)

Relacionado también con: Integrales.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

a) Crecimiento. \(c\) crece donde \(c'>0\). 1. Se resuelve \(c'(t)=0\): \(0{,}03t^2-0{,}9t+6=0\iff t^2-30t+200=0\iff t=10\) o \(t=20\). 2. Se estudia el signo de \(c'\) en los tres intervalos en que esos puntos dividen \((0,24)\) (con un valor de prueba en cada uno): - \(c'>0\) en \((0,10)\). - \(c'<0\) en \((10,20)\). - \(c'>0\) en \((20,24)\).

\(c\) es creciente en \((0,10)\cup(20,24)\) (y decreciente en \((10,20)\)). La cotización sube hasta las 10 h, baja hasta las 20 h y vuelve a subir hasta el cierre.

b) Puntos críticos. 1. Son los que anulan \(c'\): \(t=10\) y \(t=20\). 2. En \(t=10\), \(c'\) pasa de \(+\) a \(-\): máximo relativo en \(t=10\). 3. En \(t=20\), \(c'\) pasa de \(-\) a \(+\): mínimo relativo en \(t=20\).

c) Recuperar \(c\). 1. \(c\) es una primitiva de \(c'\): \(c(t)=\displaystyle\int\left(0{,}03t^2-0{,}9t+6\right)dt=0{,}01t^3-0{,}45t^2+6t+K\). 2. La condición inicial \(c(0)=50\) da \(K=50\).

\(c(t)=0{,}01t^3-0{,}45t^2+6t+50\).

Extraordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 4 · Extraordinaria · Suplente 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

  1. Sea \(f\) una función de la que sabemos que la gráfica de su derivada, \(f'\), es una parábola con vértice en el punto \((0,8)\) que corta al eje de abscisas en los puntos \((-4,0)\) y \((4,0)\). (2 puntos)
  1. Dibuje la gráfica de \(f'\).
  2. A partir de dicha gráfica, halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \(f\), así como las abscisas de los extremos relativos de \(f\).
  3. Sabiendo que la gráfica de \(f\) pasa por el origen de coordenadas, calcule la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x=0\).
  1. Calcule la derivada de la función \(g(x)=\left(-3+x^{2}\right)\cdot e^{2x-1}\). (0,5 puntos)

Relacionado también con: Derivadas, Integrales.

Recta tangente.

Tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=a\): \(y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\). La pendiente es \(f'(a)\). Tangente horizontal: \(f'(a)=0\). Rectas paralelas tienen la misma pendiente; perpendiculares, \(m\cdot m'=-1\).

Monotonía y extremos relativos.

\(f'>0\) en un intervalo: creciente; \(f'<0\): decreciente. Un extremo relativo en \(x=a\) exige \(f'(a)=0\); es mínimo si \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\) (o \(f''(a)>0\)) y máximo si pasa de \(+\) a \(-\) (o \(f''(a)<0\)).

Primitivas.

\(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)\); \(\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\); \(\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}+C\); \(\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C\). Linealidad: \(\int(af+bg)=a\int f+b\int g\). Para \(F(x)\) con \(F(a)=b\) se usa la constante \(C\).

Representar una función.

Una gráfica se construye con: dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos (con \(f'\)), curvatura y puntos de inflexión (con \(f''\)), y una tabla de valores. Convexa si \(f''>0\) y cóncava si \(f''<0\).

Recta tangente.

  1. Calcula \(f(a)\) (el punto) y \(f'(x)\).
  2. Evalúa \(f'(a)\) (la pendiente).
  3. Sustituye en la ecuación punto-pendiente.
  4. Si el punto no es dato, obtén \(a\) de la condición del enunciado (pendiente dada, tangente horizontal…).

Monotonía y extremos relativos.

  1. Halla el dominio y calcula \(f'(x)\).
  2. Resuelve \(f'(x)=0\) y localiza también los puntos donde \(f'\) no existe.
  3. Con esos puntos divide el dominio y estudia el signo de \(f'\) en cada intervalo.
  4. Escribe intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos con sus coordenadas \((a,f(a))\).

Primitivas.

  1. Reescribe el integrando como suma de potencias (separa fracciones, pasa raíces a exponente fraccionario).
  2. Integra término a término.
  3. Si piden una primitiva concreta, impón la condición \(F(a)=b\) para hallar \(C\).
  4. Deriva el resultado para comprobarlo.

Representar una función.

  1. Dominio y cortes.
  2. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas con límites.
  3. Signo de \(f'\): intervalos de crecimiento y extremos.
  4. Signo de \(f''\) si hace falta, y unos cuantos puntos.
  5. Dibuja y comprueba que la gráfica respeta todos los datos anteriores.

a) 1. Expresión de \(f'\). Una parábola con vértice \((0,8)\) y raíces \(\pm4\) es \(f'(x)=k\left(x^2-16\right)\) con \(f'(0)=-16k=8\), luego \(f'(x)=8-\dfrac{x^2}{2}\) (comprobación: \(f'(4)=8-8=0\)).

Gráfica de f′: parábola abierta hacia abajo con vértice (0,8) que corta al eje X en (−4,0) y (4,0); f′>0 entre −4 y 4

Gráfica de f′: parábola abierta hacia abajo con vértice (0,8) que corta al eje X en (−4,0) y (4,0); f′>0 entre −4 y 4
  1. Gráfica de \(f'\): parábola abierta hacia abajo, con máximo \((0,8)\), que corta al eje \(OX\) en \((-4,0)\) y \((4,0)\).
  2. Monotonía de \(f\). El signo de \(f'\) da el crecimiento de \(f\): \(f'>0\) en \((-4,4)\) y \(f'<0\) en \((-\infty,-4)\cup(4,+\infty)\). \(f\) crece en \((-4,4)\) y decrece en \((-\infty,-4)\cup(4,+\infty)\); mínimo relativo en \(x=-4\) y máximo relativo en \(x=4\).
  3. Tangente en \(x=0\). \(f(0)=0\) (pasa por el origen) y \(f'(0)=8\): \(y-0=8(x-0)\). \(y=8x\).

b) 1. Es un producto: \((uv)'=u'v+uv'\) con \(u=x^2-3\) y \(v=e^{2x-1}\) (cuya derivada, por la regla de la cadena, es \(2e^{2x-1}\)). 2. \(g'(x)=2x\,e^{2x-1}+\left(x^2-3\right)\cdot2e^{2x-1}=e^{2x-1}\left(2x^2+2x-6\right).\)

También trabajan este tema

Ejercicios cuyo tema principal es otro pero en los que aparece este tema:

Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF oficial del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.