Aplicaciones de la derivada — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 9 son básicos y del 10 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía para Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (ejercicio de análisis, 3 puntos). Los marcados como competenciales piden modelizar, interpretar el resultado en el contexto o justificar. Las soluciones están al final. Una función es convexa donde \(f''>0\) y cóncava donde \(f''<0\).

Monotonía, extremos y curvatura

1. Sea \(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\). a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. b) Halla sus extremos relativos.

2. Sea \(f(x)=x\,e^{-x}\). a) Calcula \(f'(x)\). b) Halla su extremo relativo y clasifícalo. c) Calcula \(f''(x)\) y halla el punto de inflexión.

3. Sea \(f(x)=x^4-4x^3\). a) Halla los puntos con \(f'(x)=0\) y estudia el signo de \(f'\) para decidir cuáles son extremos. b) Estudia la curvatura (intervalos de convexidad y concavidad). c) Halla los puntos de inflexión.

4. Halla los extremos absolutos de \(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\) en el intervalo \([0,5]\): a) calcula \(f\) en los puntos críticos y en los extremos del intervalo; b) escribe el máximo y el mínimo absolutos y dónde se alcanzan.

5. Estudia la curvatura de \(f(x)=x^3-3x^2+2\) y halla su punto de inflexión.

Optimización

6. Halla dos números positivos que sumen 20 y cuyo producto sea máximo.

7. Entre todos los rectángulos de perímetro 60 m, halla las dimensiones del de área máxima y calcula esa área.

8. El beneficio, en euros, de una empresa al fabricar \(x\) unidades es \(B(x)=-2x^2+40x-100\). Halla las unidades que dan el beneficio máximo y ese beneficio.

Estudio de una función

9. Sea \(f(x)=\ln(x^2+1)\). a) Calcula \(f'(x)\) y estudia la monotonía. b) Halla su extremo relativo. c) Estudia la curvatura y halla los puntos de inflexión.

Problemas tipo PAU

10. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El beneficio, en miles de euros, de una empresa \(t\) años después de abrir es \(B(t)=t^3-12t^2+36t-5\), para \(1\le t\le7\).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(B'(t)\) y resuelve \(B'(t)=0\).

  2. (0,75 puntos) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de \(B\) y clasifica los extremos relativos.

  3. (0,75 puntos) Estudia la curvatura de \(B\) e interpreta el punto de inflexión.

  4. (0,75 puntos) Halla el máximo y el mínimo absolutos de \(B\) en \([1,7]\) e interpreta el resultado.

11. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Un cine vende 400 entradas por sesión al precio de 8 €. Por cada euro que sube el precio pierde 40 espectadores.

  1. (0,75 puntos) Comprueba que, con el precio \(p\), el ingreso es \(I(p)=720p-40p^2\).

  2. (0,75 puntos) Halla el precio que da el ingreso máximo.

  3. (0,75 puntos) Comprueba con la segunda derivada que es un máximo y calcula ese ingreso y las entradas vendidas.

  4. (0,75 puntos) Compara con el ingreso al precio actual de 8 € e interpreta la diferencia.

12. (Tipo PAU · 3 puntos)

Opción A. Se quiere vallar un terreno rectangular de \(900\ \mathrm{m}^2\) con la menor cantidad de valla.

  1. (1 punto) Si un lado mide \(x\), escribe el perímetro \(P(x)\).

  2. (1 punto) Halla el valor de \(x\) que hace mínimo el perímetro y comprueba que es un mínimo.

  3. (1 punto) Escribe las dimensiones del terreno y el perímetro mínimo.

Opción B. Sea \(f(x)=x^3-3x^2\).

  1. (1 punto) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

  2. (1 punto) Halla los extremos relativos.

  3. (1 punto) Estudia la curvatura y halla el punto de inflexión.

13. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El coste, en euros, de producir \(x\) unidades es \(C(x)=0{,}02x^2+8x+1800\), con \(x>0\).

  1. (0,75 puntos) Escribe el coste medio \(C_m(x)=\dfrac{C(x)}{x}\).

  2. (0,75 puntos) Halla las unidades que hacen mínimo el coste medio y comprueba que es un mínimo.

  3. (0,75 puntos) Calcula el coste medio mínimo.

  4. (0,75 puntos) Calcula el coste marginal \(C'(300)\) y compáralo con el coste medio mínimo.

14. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}\).

  1. (0,75 puntos) Halla el dominio de \(f\) y sus asíntotas. (Escribe \(f(x)=x+\frac{1}{x}\).)

  2. (0,75 puntos) Estudia la monotonía y halla los extremos relativos.

  3. (0,75 puntos) Estudia la curvatura.

  4. (0,75 puntos) Indica si la gráfica corta a los ejes y resume el estudio en una descripción de la gráfica.

15. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) La demanda de un producto es \(p=60-\dfrac{x}{2}\) euros cuando se venden \(x\) unidades, y el coste de producir \(x\) unidades es \(C(x)=10x+400\).

  1. (0,75 puntos) Escribe el ingreso \(I(x)=x\cdot p\).

  2. (0,75 puntos) Escribe el beneficio \(B(x)=I(x)-C(x)\).

  3. (0,75 puntos) Halla las unidades que dan el máximo beneficio y ese beneficio.

  4. (0,75 puntos) Calcula el precio óptimo e interpreta el resultado.

16. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\) en el intervalo \([-2,4]\).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(f'(x)\).

  2. (0,75 puntos) Halla los puntos críticos que están en el intervalo.

  3. (0,75 puntos) Calcula \(f\) en los puntos críticos y en los extremos del intervalo.

  4. (0,75 puntos) Escribe el máximo y el mínimo absolutos de \(f\) en \([-2,4]\).

17. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una tienda gasta cada año, al pedir \(q\) unidades por pedido, \(C(q)=\dfrac{20000}{q}+0{,}5q\) euros (el primer sumando son los gastos de gestión y el segundo, los de almacenamiento), con \(q>0\).

  1. (0,75 puntos) Interpreta por qué un término decrece y el otro crece con \(q\).

  2. (0,75 puntos) Calcula \(C'(q)\).

  3. (0,75 puntos) Halla el tamaño del pedido que minimiza el coste y comprueba que es un mínimo.

  4. (0,75 puntos) Calcula el coste mínimo y compáralo con el de pedir 100 y 400 unidades.

18. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=x^4-6x^2\).

  1. (0,75 puntos) Halla los puntos con \(f'(x)=0\).

  2. (0,75 puntos) Clasifícalos con la segunda derivada.

  3. (0,75 puntos) Halla los puntos de inflexión.

  4. (0,75 puntos) Escribe los intervalos de convexidad y de concavidad.

19. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El número de usuarios activos, en miles, de una aplicación \(t\) meses después de lanzarla es \(G(t)=10\,t\,e^{-t/4}\).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(G'(t)\).

  2. (0,75 puntos) Halla cuándo hay más usuarios y cuántos son.

  3. (0,75 puntos) Calcula \(G''(t)\).

  4. (0,75 puntos) Halla el punto de inflexión e interpreta su significado.

20. (Tipo PAU · 3 puntos) La función \(f(x)=x^3+ax^2+bx\) tiene un máximo relativo en \(x=1\) y un mínimo relativo en \(x=3\).

  1. (0,75 puntos) Plantea las dos ecuaciones que cumplen \(a\) y \(b\).

  2. (0,75 puntos) Resuélvelas y escribe \(f(x)\).

  3. (0,75 puntos) Comprueba con la segunda derivada que \(x=1\) es un máximo y \(x=3\) es un mínimo.

  4. (0,75 puntos) Calcula los valores de \(f\) en esos puntos.

21. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Un camión recorre un trayecto a velocidad constante \(v\) km/h. El coste total del viaje, en euros, es \(C(v)=\dfrac{3600}{v}+\frac{v}{4}\), con \(v>0\) (el primer sumando es el coste del conductor y el segundo, el del combustible).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(C'(v)\).

  2. (0,75 puntos) Halla la velocidad que minimiza el coste y comprueba que es un mínimo.

  3. (0,75 puntos) Calcula el coste mínimo.

  4. (0,75 puntos) Interpreta por qué ir más despacio o más deprisa que la velocidad óptima encarece el viaje.

22. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\).

  1. (0,75 puntos) Halla el dominio y los cortes con los ejes.

  2. (0,75 puntos) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)\) y escribe la asíntota.

  3. (0,75 puntos) Estudia la monotonía y halla los extremos relativos.

  4. (0,75 puntos) Describe la gráfica a partir de lo anterior.

23. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) El rendimiento de un estudiante, en puntos, tras \(t\) horas seguidas de estudio es \(R(t)=40\ln(t+1)-5t\), con \(t\ge0\) (el segundo término recoge el cansancio).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(R'(t)\).

  2. (0,75 puntos) Halla las horas de estudio que dan el máximo rendimiento.

  3. (0,75 puntos) Comprueba con la segunda derivada que es un máximo y calcula el rendimiento máximo.

  4. (0,75 puntos) Interpreta en el contexto el signo de \(R'\) antes y después de ese punto.

24. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(f(x)=x^3-6x^2+9x+2\).

  1. (0,75 puntos) Estudia el crecimiento y el decrecimiento.

  2. (0,75 puntos) Halla los extremos relativos.

  3. (0,75 puntos) Halla el punto de inflexión.

  4. (0,75 puntos) Halla la recta tangente a la gráfica en el punto de inflexión.

25. (Tipo PAU · 3 puntos)

Opción A. Halla dos números positivos que sumen 24 y tales que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máximo.

  1. (1 punto) Escribe la función que hay que maximizar, con \(x\) el primer número, y su dominio.

  2. (1 punto) Calcula la derivada y halla sus puntos críticos.

  3. (1 punto) Comprueba que se trata de un máximo y escribe los números y el producto máximo.

Opción B. Sea \(g(x)=e^{-x^2}\).

  1. (1 punto) Estudia la monotonía y halla el extremo relativo.

  2. (1 punto) Estudia la curvatura y halla los puntos de inflexión.

  3. (1 punto) Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g(x)\) y escribe la asíntota.

Soluciones

  1. \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\), que se anula en \(x=1\) y \(x=3\). Signo de \(f'\): positivo en \((-\infty,1)\), negativo en \((1,3)\) y positivo en \((3,+\infty)\). Luego \(f\) crece en \((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\) y decrece en \((1,3)\).

  2. \(f'\) pasa de \(+\) a \(-\) en \(x=1\): máximo relativo en \((1,5)\). Pasa de \(-\) a \(+\) en \(x=3\): mínimo relativo en \((3,1)\).

  1. \(f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}\).

  2. \(f'(x)=0\Rightarrow x=1\). Como \(e^{-x}>0\), \(f'\) es positiva para \(x<1\) y negativa para \(x>1\): máximo relativo en \(\left(1,\frac{1}{e}\right)\).

  3. \(f''(x)=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}=(x-2)e^{-x}\). Se anula en \(x=2\) y cambia de signo (negativa antes, positiva después): punto de inflexión en \(\left(2,\frac{2}{e^2}\right)\).

  1. \(f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)\), que se anula en \(x=0\) y \(x=3\). Como \(4x^2\ge0\), el signo de \(f'\) es el de \(x-3\): negativo en \((-\infty,3)\) (también alrededor de \(x=0\)) y positivo en \((3,+\infty)\). En \(x=3\) pasa de \(-\) a \(+\): mínimo relativo en \((3,-27)\). En \(x=0\) no cambia de signo: no hay extremo.

  2. \(f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2)\). Es positiva en \((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\): \(f\) es convexa ahí; y negativa en \((0,2)\): \(f\) es cóncava.

  3. \(f''\) cambia de signo en \(x=0\) y en \(x=2\): puntos de inflexión \((0,0)\) y \((2,-16)\).

  1. \(f'(x)=3(x-1)(x-3)\), luego los puntos críticos son \(x=1\) y \(x=3\). \(f(0)=1\), \(f(1)=5\), \(f(3)=1\) y \(f(5)=125-150+45+1=21\).

  2. El mayor valor es \(21\): máximo absoluto en \(x=5\). El menor es \(1\): mínimo absoluto, que se alcanza en \(x=0\) y en \(x=3\).

\(f'(x)=3x^2-6x\) y \(f''(x)=6x-6=6(x-1)\). Es negativa para \(x<1\) (cóncava) y positiva para \(x>1\) (convexa). Cambia de signo en \(x=1\): punto de inflexión \((1,0)\), porque \(f(1)=1-3+2=0\).

Sean \(x\) e \(y=20-x\). El producto es \(P(x)=x(20-x)=20x-x^2\) con \(0<x<20\). \(P'(x)=20-2x=0\Rightarrow x=10\), y \(P''=-2<0\) (máximo). Los números son \(10\) y \(10\), con producto \(100\).

Con un lado \(x\), el otro mide \(30-x\) (el semiperímetro es 30) y el área es \(A(x)=x(30-x)=30x-x^2\) con \(0<x<30\). \(A'(x)=30-2x=0\Rightarrow x=15\), y \(A''=-2<0\) (máximo). Es un cuadrado de \(15\times15\) m, con área \(225\ \mathrm{m}^2\).

\(B'(x)=-4x+40=0\Rightarrow x=10\). Como \(B''=-4<0\), es un máximo. \(B(10)=-200+400-100=100\). Hay que fabricar 10 unidades y el beneficio máximo es de \(100\) €.

  1. \(f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\). Como \(x^2+1>0\), \(f'\) es negativa para \(x<0\) y positiva para \(x>0\): \(f\) decrece en \((-\infty,0)\) y crece en \((0,+\infty)\).

  2. \(f'(0)=0\) y \(f'\) pasa de \(-\) a \(+\): mínimo relativo en \((0,0)\), porque \(f(0)=\ln1=0\).

  3. \(f''(x)=\dfrac{2(x^2+1)-2x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\). Es positiva para \(-1<x<1\) (convexa) y negativa para \(|x|>1\) (cóncava). Los puntos de inflexión son \(x=\pm1\): \((-1,\ln2)\) y \((1,\ln2)\).

  1. \(B'(t)=3t^2-24t+36=3(t-2)(t-6)\), que se anula en \(t=2\) y \(t=6\).

  2. \(B'>0\) en \((1,2)\), \(B'<0\) en \((2,6)\) y \(B'>0\) en \((6,7)\). El beneficio crece en \((1,2)\cup(6,7)\) y decrece en \((2,6)\). Máximo relativo en \(t=2\), con \(B(2)=27\); mínimo relativo en \(t=6\), con \(B(6)=-5\).

  3. \(B''(t)=6t-24=6(t-4)\): cóncava en \((1,4)\), convexa en \((4,7)\), con punto de inflexión en \(t=4\), con \(B(4)=11\). Hasta el año 4 la bajada del beneficio se acelera y desde el año 4 se frena, hasta que el beneficio se recupera.

  4. Valores: \(B(1)=20\), \(B(2)=27\), \(B(6)=-5\) y \(B(7)=2\). El máximo absoluto es \(27\) mil euros en \(t=2\) y el mínimo absoluto es \(-5\) mil euros en \(t=6\) (el año en que la empresa pierde más dinero).

  1. Si el precio es \(p\), hay \(p-8\) euros de subida y se pierden \(40(p-8)\) espectadores, así que se venden \(400-40(p-8)=720-40p\) entradas. El ingreso es \(I(p)=p(720-40p)=720p-40p^2\).

  2. \(I'(p)=720-80p=0\Rightarrow p=9\) €.

  3. \(I''(p)=-80<0\): es un máximo. Se venden \(720-40\cdot9=360\) entradas y el ingreso es \(I(9)=3240\) €.

  4. Con 8 € el ingreso es \(I(8)=3200\) €. Subir el precio a 9 € aumenta el ingreso en \(40\) €, aunque se vendan 40 entradas menos.

Opción A.

  1. Si un lado mide \(x\), el otro mide \(\dfrac{900}{x}\) y el perímetro es \(P(x)=2x+\dfrac{1800}{x}\), con \(x>0\).

  2. \(P'(x)=2-\dfrac{1800}{x^2}=0\Rightarrow x^2=900\Rightarrow x=30\). Como \(P''(x)=\dfrac{3600}{x^3}>0\), es un mínimo.

  3. El terreno es un cuadrado de \(30\times30\) m y el perímetro mínimo es \(P(30)=60+60=120\) m.

Opción B.

  1. \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\), que se anula en \(x=0\) y \(x=2\). \(f\) crece en \((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\) y decrece en \((0,2)\).

  2. Máximo relativo en \((0,0)\) y mínimo relativo en \((2,-4)\).

  3. \(f''(x)=6x-6=6(x-1)\): cóncava en \((-\infty,1)\) y convexa en \((1,+\infty)\). Punto de inflexión: \((1,-2)\).

  1. \(C_m(x)=\dfrac{0{,}02x^2+8x+1800}{x}=0{,}02x+8+\dfrac{1800}{x}\).

  2. \(C_m'(x)=0{,}02-\dfrac{1800}{x^2}=0\Rightarrow x^2=90000\Rightarrow x=300\). Como \(C_m''(x)=\dfrac{3600}{x^3}>0\), es un mínimo.

  3. \(C_m(300)=6+8+6=20\) €/unidad.

  4. \(C'(x)=0{,}04x+8\), luego \(C'(300)=12+8=20\) €/unidad. Coincide con el coste medio mínimo: en el mínimo del coste medio, el coste marginal es igual al coste medio.

  1. \(\operatorname{Dom}f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Como \(f(x)=x+\frac{1}{x}\): \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty\), luego \(x=0\) es asíntota vertical. Además, \(f(x)-x=\frac{1}{x}\to0\) cuando \(x\to\pm\infty\): la recta \(y=x\) es asíntota oblicua.

  2. \(f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}\), que se anula en \(x=\pm1\). \(f'>0\) en \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\) y \(f'<0\) en \((-1,0)\cup(0,1)\). Máximo relativo en \((-1,-2)\) y mínimo relativo en \((1,2)\).

  3. \(f''(x)=\dfrac{2}{x^3}\): negativa para \(x<0\) (cóncava) y positiva para \(x>0\) (convexa). No hay puntos de inflexión, porque \(f''\) no se anula y \(x=0\) no está en el dominio.

  4. No corta al eje \(Y\) (no está definida en \(x=0\)) ni al eje \(X\) (\(x^2+1\ne0\)). La gráfica tiene dos ramas: en \(x>0\) baja desde \(+\infty\) hasta el mínimo \((1,2)\) y luego sube pegada a \(y=x\); en \(x<0\) sube desde la asíntota \(y=x\) hasta el máximo \((-1,-2)\) y luego baja hasta \(-\infty\).

  1. \(I(x)=x\left(60-\dfrac{x}{2}\right)=60x-\dfrac{x^2}{2}\).

  2. \(B(x)=60x-\dfrac{x^2}{2}-10x-400=-\dfrac{x^2}{2}+50x-400\).

  3. \(B'(x)=-x+50=0\Rightarrow x=50\). Como \(B''(x)=-1<0\), es un máximo. \(B(50)=-1250+2500-400=850\) €.

  4. El precio es \(p=60-\dfrac{50}{2}=35\) €. Hay que producir y vender 50 unidades a 35 € cada una para obtener el máximo beneficio, \(850\) €.

  1. \(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)\).

  2. \(f'(x)=0\) en \(x=-1\) y \(x=3\), que están en \([-2,4]\).

  3. \(f(-2)=-8-12+18+5=3\), \(f(-1)=-1-3+9+5=10\), \(f(3)=27-27-27+5=-22\) y \(f(4)=64-48-36+5=-15\).

  4. El máximo absoluto es \(10\), en \(x=-1\), y el mínimo absoluto es \(-22\), en \(x=3\).

  1. El término \(\dfrac{20000}{q}\) (gestión) decrece con \(q\): cuantos más pedidos grandes, menos pedidos hay que tramitar al año. El término \(0{,}5q\) (almacenamiento) crece con \(q\): cuanto más se almacena, más cuesta. El coste total es un equilibrio entre ambos.

  2. \(C'(q)=-\dfrac{20000}{q^2}+0{,}5\).

  3. \(C'(q)=0\Rightarrow q^2=40000\Rightarrow q=200\) unidades. Como \(C''(q)=\dfrac{40000}{q^3}>0\), es un mínimo.

  4. \(C(200)=100+100=200\) €. Con 100 unidades, \(C(100)=200+50=250\) €; con 400 unidades, \(C(400)=50+200=250\) €. Ambos extremos cuestan 50 € más que el pedido óptimo.

  1. \(f'(x)=4x^3-12x=4x(x^2-3)=0\Rightarrow x=0\) y \(x=\pm\sqrt{3}\).

  2. \(f''(x)=12x^2-12\). \(f''(0)=-12<0\): máximo relativo en \((0,0)\). \(f''(\pm\sqrt{3})=24>0\): mínimos relativos en \(\left(\pm\sqrt{3},-9\right)\).

  3. \(f''(x)=12(x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=\pm1\), y \(f''\) cambia de signo en ambos. Puntos de inflexión: \((-1,-5)\) y \((1,-5)\).

  4. \(f''>0\) en \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\): convexa. \(f''<0\) en \((-1,1)\): cóncava.

  1. \(G'(t)=10e^{-t/4}+10t\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)e^{-t/4}=10\left(1-\frac{t}{4}\right)e^{-t/4}\).

  2. \(G'(t)=0\Rightarrow t=4\). \(G'>0\) para \(t<4\) y \(G'<0\) para \(t>4\): máximo en \(t=4\). \(G(4)=40e^{-1}\approx14{,}72\). Hay más usuarios a los 4 meses, unos 14 720.

  3. \(G''(t)=-\dfrac{10}{4}e^{-t/4}-\dfrac{10}{4}\left(1-\frac{t}{4}\right)e^{-t/4}=\dfrac{5}{8}(t-8)e^{-t/4}\).

  4. \(G''(t)=0\Rightarrow t=8\), y cambia de signo (negativa antes, positiva después). Punto de inflexión: \(\left(8,\ 80e^{-2}\right)\approx(8;\ 10{,}83)\). Hasta el mes 8 los usuarios pierden cada vez más rápido, y desde ese momento la bajada se frena.

  1. \(f'(x)=3x^2+2ax+b\). Los extremos en \(x=1\) y \(x=3\) exigen \(f'(1)=3+2a+b=0\) y \(f'(3)=27+6a+b=0\).

  2. Restando, \(24+4a=0\), luego \(a=-6\) y \(b=-3-2a=9\). Entonces \(f(x)=x^3-6x^2+9x\).

  3. \(f''(x)=6x+2a=6x-12\). \(f''(1)=-6<0\): máximo en \(x=1\). \(f''(3)=6>0\): mínimo en \(x=3\).

  4. \(f(1)=1-6+9=4\) y \(f(3)=27-54+27=0\). El máximo relativo es \((1,4)\) y el mínimo relativo es \((3,0)\).

  1. \(C'(v)=-\dfrac{3600}{v^2}+\frac{1}{4}\).

  2. \(C'(v)=0\Rightarrow v^2=14400\Rightarrow v=120\) km/h. Como \(C''(v)=\dfrac{7200}{v^3}>0\), es un mínimo.

  3. \(C(120)=30+30=60\) €.

  4. Al ir más despacio, el viaje dura más y sube el coste del conductor \(\left(\dfrac{3600}{v}\right)\); al ir más deprisa, se gasta más combustible \(\left(\frac{v}{4}\right)\). A \(120\) km/h ambos costes están equilibrados y el total es mínimo.

  1. \(x^2+1>0\) para todo \(x\): \(\operatorname{Dom}f=\mathbb{R}\). Con el eje \(Y\): \(f(0)=0\). Con el eje \(X\): \(\dfrac{x}{x^2+1}=0\Rightarrow x=0\). Solo corta en el origen.

  2. El grado del numerador, \(1\), es menor que el del denominador, \(2\): \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0\). La asíntota horizontal es \(y=0\).

  3. \(f'(x)=\dfrac{(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\), que se anula en \(x=\pm1\). \(f'<0\) en \((-\infty,-1)\), \(f'>0\) en \((-1,1)\) y \(f'<0\) en \((1,+\infty)\). Mínimo relativo en \(\left(-1,-\frac{1}{2}\right)\) y máximo relativo en \(\left(1,\frac{1}{2}\right)\).

  4. La gráfica pasa por el origen, baja hasta el mínimo \(\left(-1,-\frac{1}{2}\right)\) por la izquierda, sube hasta el máximo \(\left(1,\frac{1}{2}\right)\) y luego decrece acercándose a la asíntota \(y=0\) por la derecha; por la izquierda también se acerca a \(y=0\) (desde valores negativos). Es simétrica respecto del origen.

  1. \(R'(t)=\dfrac{40}{t+1}-5\).

  2. \(R'(t)=0\Rightarrow\dfrac{40}{t+1}=5\Rightarrow t+1=8\), luego \(t=7\) horas.

  3. \(R''(t)=-\dfrac{40}{(t+1)^2}\), y \(R''(7)=-\dfrac{40}{64}=-\frac{5}{8}<0\): es un máximo. \(R(7)=40\ln8-35\approx48{,}18\) puntos.

  4. \(R'(t)>0\) si \(t<7\): el rendimiento aumenta con cada hora de estudio. \(R'(t)<0\) si \(t>7\): a partir de las 7 horas, estudiar más empeora el rendimiento por el cansancio.

  1. \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\). \(f'>0\) en \((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\) y \(f'<0\) en \((1,3)\): crece en \((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\) y decrece en \((1,3)\).

  2. Máximo relativo en \((1,6)\) y mínimo relativo en \((3,2)\), porque \(f(1)=1-6+9+2=6\) y \(f(3)=27-54+27+2=2\).

  3. \(f''(x)=6x-12=0\Rightarrow x=2\), y cambia de signo. Punto de inflexión: \((2,4)\), porque \(f(2)=8-24+18+2=4\).

  4. \(f'(2)=12-24+9=-3\), luego la tangente es \(y-4=-3(x-2)\), es decir, \(y=-3x+10\).

Opción A.

  1. Si el primer número es \(x\), el segundo es \(24-x\) y hay que maximizar \(P(x)=x(24-x)^2\) con \(0<x<24\).

  2. \(P'(x)=(24-x)^2-2x(24-x)=(24-x)(24-3x)\). Se anula en \(x=24\) (fuera del dominio) y en \(x=8\).

  3. \(P'>0\) en \((0,8)\) y \(P'<0\) en \((8,24)\), luego \(x=8\) es un máximo. Los números son \(8\) y \(16\), y el producto máximo es \(P(8)=8\cdot256=2048\).

Opción B.

  1. \(g'(x)=-2x\,e^{-x^2}\). Como \(e^{-x^2}>0\), \(g'>0\) para \(x<0\) y \(g'<0\) para \(x>0\): crece en \((-\infty,0)\) y decrece en \((0,+\infty)\). Máximo relativo en \((0,1)\).

  2. \(g''(x)=-2e^{-x^2}+4x^2e^{-x^2}=(4x^2-2)e^{-x^2}\), que se anula en \(x=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Es positiva (convexa) para \(|x|>\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) y negativa (cóncava) entre ambos puntos. Puntos de inflexión: \(\left(\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2},\ e^{-1/2}\right)\).

  3. Cuando \(x\to\pm\infty\), \(x^2\to+\infty\) y \(e^{-x^2}\to0\): \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0\). La asíntota horizontal es \(y=0\).