Derivadas
1. Derivada de una función en un punto
La tasa de variación media de \(f\) en \([a,\,b]\) es \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\): cuánto cambia \(f\) por unidad de \(x\) en promedio. La derivada en \(a\) es la tasa de variación instantánea, el límite de la media cuando el intervalo se hace muy pequeño:
\[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
- Significado geométrico: \(f'(a)\) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en \((a,\,f(a))\).
- Significado económico: si \(C(x)\) es el coste de producir \(x\) unidades, \(C'(x)\) es el coste marginal (lo que cuesta, aproximadamente, producir una unidad más). De igual forma existen el ingreso marginal \(I'(x)\) y el beneficio marginal \(B'(x)\).
Ejemplo. Para \(C(x)=0{,}02x^2+5x+300\) (euros, con \(x\) unidades), pasar de 50 a 60 unidades cuesta de media \(\dfrac{C(60)-C(50)}{10}=\dfrac{672-600}{10}=7{,}2\) € por unidad. El coste marginal en \(x=50\) es la derivada, que se obtiene con la definición:
\[\frac{C(50+h)-C(50)}{h}=\frac{0{,}02(100h+h^2)+5h}{h}=7+0{,}02h\ \xrightarrow[h\to0]{}\ 7\]
es decir, \(C'(50)=7\) €/unidad. La función \(f'\), que da la derivada en cada punto, es la función derivada.
2. Derivadas de las funciones elementales y reglas de derivación
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) |
| \(x^n\) | \(n\,x^{n-1}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\ln a\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac1x\) |
| \(\log_a x\) | \(\dfrac{1}{x\ln a}\) |
Reglas de las operaciones:
- Suma: \((f+g)'=f'+g'\). Producto por un número: \((k\cdot f)'=k\cdot f'\).
- Producto: \((f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\).
- Cociente: \(\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}\).
- Regla de la cadena: \((f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\) (se deriva «por fuera» y se multiplica por la derivada de «lo de dentro»).
Con la cadena, cada fila de la tabla se generaliza (\(u\) es una función de \(x\)):
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(u^n\) | \(n\,u^{n-1}\cdot u'\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) |
| \(e^{u}\) | \(u'\,e^{u}\) |
| \(a^{u}\) | \(u'\,a^{u}\ln a\) |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) |
| \(\log_a u\) | \(\dfrac{u'}{u\ln a}\) |
Ejemplos.
| Función | Derivada |
|---|---|
| \(x^3-2x^2+5x-1\) (polinómica) | \(3x^2-4x+5\) |
| \((2x+1)^5\) (cadena) | \(5(2x+1)^4\cdot2=10(2x+1)^4\) |
| \(\dfrac{x^2+1}{x-2}\) (racional) | \(\dfrac{2x(x-2)-(x^2+1)}{(x-2)^2}=\dfrac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}\) |
| \(\sqrt{x^2+1}\) (irracional) | \(\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\) |
| \(e^{x^2}\) y \(2^x\) (exponenciales) | \(2x\,e^{x^2}\) y \(2^x\ln2\) |
| \(\ln(x^2+1)\) y \(\log_2x\) (logarítmicas) | \(\dfrac{2x}{x^2+1}\) y \(\dfrac{1}{x\ln2}\) |
Ejemplo con contexto (publicidad). Las ventas, en miles de euros, al invertir \(x\) miles de euros en publicidad son \(V(x)=x\,e^{-x/10}\). Por la regla del producto y la cadena:
\[V'(x)=1\cdot e^{-x/10}+x\cdot\left(-\tfrac1{10}\right)e^{-x/10}=\left(1-\frac{x}{10}\right)e^{-x/10}\]
3. Recta tangente
La recta tangente a \(y=f(x)\) en el punto de abscisa \(a\) es
\[y-f(a)=f'(a)\,(x-a)\]
Ejemplo. La tangente al coste \(C(x)=0{,}02x^2+5x+300\) en \(x=50\): \(C(50)=600\) y \(C'(x)=0{,}04x+5\), luego \(C'(50)=7\) y la tangente es \(y=600+7(x-50)=7x+250\). Sirve para estimar: \(C(51)\approx7\cdot51+250=607\) €; el valor exacto es \(C(51)=607{,}02\) €.
Ejemplo (tangente con pendiente dada). Para hallar la tangente a \(f(x)=x^2-x\) paralela a \(y=2x+1\) se impone \(f'(x)=2\): \(2x-1=2\Rightarrow x=\frac32\). Como \(f\!\left(\frac32\right)=\frac34\), la tangente es \(y-\frac34=2\left(x-\frac32\right)\), es decir, \(y=2x-\frac94\).
Otro ejemplo. La tangente a \(f(x)=\ln x\) en \(x=1\): \(f(1)=0\), \(f'(1)=1\), luego \(y=x-1\).
4. Derivabilidad, derivadas laterales y continuidad
Las derivadas laterales son \(f'(a^-)=\displaystyle\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) y \(f'(a^+)=\displaystyle\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\). La función es derivable en \(a\) si las dos existen y son iguales: \(f'(a^-)=f'(a^+)\).
- Si \(f\) es derivable en \(a\), entonces es continua en \(a\). Por tanto, si no es continua, no es derivable.
- El recíproco es falso: \(f\) puede ser continua y no derivable (un «pico» o punto anguloso), como \(f(x)=|x|\) en \(x=0\).
Ejemplos. La factura del agua (tema 4) es continua en \(x=10\), pero las derivadas laterales son distintas: \(f'(10^-)=0{,}9\) y \(f'(10^+)=1{,}5\), luego no es derivable en \(x=10\) (el precio por m³ cambia de golpe). La tarifa de envío ni siquiera es continua en \(w=2\), así que tampoco es derivable.
Derivabilidad de una función a trozos. En cada punto \(a\) de unión de los trozos:
- Se comprueba la continuidad: los dos valores laterales coinciden.
- Se derivan los trozos y se comparan las derivadas laterales en \(a\).
Ejemplo. \(f(x)=\begin{cases}x^2-1&x\le2\\2x-1&x>2\end{cases}\). En \(x=2\): los valores laterales son \(3\) y \(3\) (continua). Las derivadas, \(2x=4\) por la izquierda y \(2\) por la derecha, son distintas: continua pero no derivable en \(x=2\).
5. Hallar coeficientes para que se cumplan ciertas propiedades
Cada propiedad da una ecuación sobre los coeficientes:
| Propiedad | Ecuación |
|---|---|
| La gráfica pasa por \((a,\,b)\) | \(f(a)=b\) |
| La tangente en \(x=a\) tiene pendiente \(m\) | \(f'(a)=m\) |
| Tangente horizontal (o extremo) en \(x=a\) | \(f'(a)=0\) |
| Continua en \(x=a\) (función a trozos) | los valores laterales coinciden |
| Derivable en \(x=a\) (función a trozos) | continua y derivadas laterales iguales |
Ejemplo (función a trozos derivable). Se quiere que \(f(x)=\begin{cases}x^2+ax+b&x\le1\\\ln x+3&x>1\end{cases}\) sea derivable en \(x=1\). Continuidad: \(1+a+b=\ln1+3=3\Rightarrow a+b=2\). Derivadas: \(f'(1^-)=2+a\) y \(f'(1^+)=\frac11=1\), luego \(2+a=1\Rightarrow a=-1\) y \(b=3\).
Ejemplo (otro tipo de trozos). \(f(x)=\begin{cases}ax+b&x<0\\e^x&x\ge0\end{cases}\) es derivable en \(0\) si \(b=e^0=1\) (continuidad) y \(a=e^0=1\) (derivadas laterales).
Ejemplo (función de costes). Se sabe que \(C(x)=ax^2+bx+c\) tiene un coste fijo de 200 € (\(C(0)=200\)), cuesta 420 € producir 10 unidades (\(C(10)=420\)) y el coste marginal en 10 unidades es 32 € (\(C'(10)=32\)). Como \(c=200\), queda \(100a+10b=220\) y \(20a+b=32\); resolviendo, \(a=1\) y \(b=12\): \(C(x)=x^2+12x+200\).
Ejemplo (máximo). Una función de ingresos \(I(x)=ax^2+bx\) tiene su máximo en \(x=25\) con \(I(25)=625\). Por tanto \(I'(25)=50a+b=0\) y \(625a+25b=625\); de la primera \(b=-50a\), y entonces \(-625a=625\), de donde \(a=-1\) y \(b=50\): \(I(x)=-x^2+50x\).
6. Derivadas y cálculo de límites: regla de L’Hôpital
Si al calcular \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\) sale la indeterminación \(\dfrac00\) o \(\dfrac{\infty}{\infty}\), y existe el límite del cociente de las derivadas, entonces
\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]
Vale también para \(x\to\pm\infty\). Se derivan numerador y denominador por separado (no es la regla del cociente). Se puede aplicar varias veces.
- \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\frac00\ \Rightarrow\ \lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=1\).
- \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=\frac00\ \Rightarrow\ \lim_{x\to1}\frac{1/x}{1}=1\).
- \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}=\frac\infty\infty\ \Rightarrow\ \lim\frac{2x}{e^x}=\frac\infty\infty\ \Rightarrow\ \lim\frac{2}{e^x}=0\).
- \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt x}=\lim\frac{1/x}{1/(2\sqrt x)}=\lim\frac{2}{\sqrt x}=0\).
- Otras indeterminaciones con L’Hôpital. Las formas \(0\cdot\infty\), \(\infty-\infty\), \(1^\infty\), \(0^0\) o \(\infty^0\) se transforman primero en un cociente. Por ejemplo, \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1/x}=\lim\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim(-x)=0\).
- Derivación logarítmica. Para derivar \(y=x^x\) se toman logaritmos, \(\ln y=x\ln x\), y se deriva: \(\frac{y'}{y}=\ln x+1\), luego \(y'=x^x(\ln x+1)\).
- \(f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\): pendiente de la tangente y tasa de variación instantánea (coste, ingreso o beneficio marginal).
- Tabla de derivadas + suma, producto, cociente y cadena: \((u^n)'=nu^{n-1}u'\), \((e^u)'=u'e^u\), \((\ln u)'=u'/u\), \((\sqrt u)'=u'/(2\sqrt u)\).
- Tangente: \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\).
- Derivable en \(a\) \(\iff\) \(f'(a^-)=f'(a^+)\). Derivable \(\Rightarrow\) continua; no al revés.
- A trozos: continuidad primero, derivadas laterales después. Parámetros: una ecuación por propiedad.
- L’Hôpital: solo para \(\frac00\) y \(\frac\infty\infty\); se deriva numerador y denominador por separado.