PAU Andalucía — Rectas y planos

Ejercicios de Matemáticas II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es rectas y planos: 52 ejercicios de convocatorias ordinarias, extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la solución paso a paso con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

2026

Ordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente 1 2026 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · Examen

Considera los puntos \(P(4,-2,3)\) y \(Q(6,2,1)\).

Halla la ecuación del plano respecto del cual los puntos \(P\) y \(Q\) son simétricos. (1 punto)
Determina el ángulo formado por el plano \(2x+y+z-5=0\) y la recta que une \(P\) y \(Q\). (1,5 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Proyección de \(P\) sobre un plano \(\pi\): punto de corte de \(\pi\) con la recta perpendicular a \(\pi\) por \(P\). Simétrico de \(P\) respecto de ese plano: \(P'=2M-P\), con \(M\) la proyección. Con una recta se hace igual con el plano perpendicular a la recta por \(P\).

Distancias y ángulos.

Distancia de \(P\) al plano \(\pi:Ax+By+Cz+D=0\): \(\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\). Distancia de \(P\) a una recta \(r\) (punto \(Q\), dirección \(\vec{v}\)): \(\dfrac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}\). Entre dos rectas que se cruzan: \(\dfrac{|[\overrightarrow{PQ},\vec{u},\vec{v}]|}{|\vec{u}\times\vec{v}|}\). Ángulo entre vectores directores o normales: \(\cos\alpha=\dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) (el de recta y plano usa el seno).

Ecuaciones de rectas y planos.

Recta por \(P\) con dirección \(\vec{v}\): \((x,y,z)=P+\lambda\vec{v}\) (paramétricas, continua o implícita). Plano por \(P\) con vectores \(\vec{u},\vec{v}\): \(\begin{vmatrix}x-p_1&y-p_2&z-p_3\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}=0\); con normal \(\vec{n}=(A,B,C)\): \(A(x-p_1)+B(y-p_2)+C(z-p_3)=0\), es decir, \(Ax+By+Cz+D=0\).

Ayuda 2 · Método

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

a) Plano respecto del cual \(P\) y \(Q\) son simétricos. 1. Es el plano mediador del segmento \(PQ\): perpendicular a \(PQ\) y que pasa por su punto medio. 2. Normal: \(\overrightarrow{PQ}=(2,4,-2)\parallel(1,2,-1)\). 3. Punto medio: \(M=\dfrac{P+Q}{2}=(5,0,2)\). 4. El plano es \(x+2y-z+D=0\). Como contiene a \(M\), \(5-2+D=0\Rightarrow D=-3\).

Plano: \(x+2y-z-3=0\).

b) Ángulo entre la recta \(PQ\) y el plano \(2x+y+z-5=0\). 1. Vector director de la recta: \((1,2,-1)\). Normal del plano: \((2,1,1)\). 2. El ángulo entre recta y plano se calcula con el seno (es el complementario del ángulo entre la recta y la normal): \[\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{|2+2-1|}{\sqrt6\sqrt6}=\dfrac12.\] 3. De \(\operatorname{sen}\alpha=\tfrac12\) y \(0^\circ\le\alpha\le90^\circ\) sale \(\alpha=30^\circ\).

\(\alpha=30^\circ\).

Ordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 3.1 · Ordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen

Considera el plano \(\pi\equiv 4x+5y-20z+20=0\).

Halla el área del triángulo cuyos vértices están determinados por la intersección de \(\pi\) con los ejes coordenados. (1,25 puntos)
Halla los planos paralelos a \(\pi\) que distan 2 unidades del punto \(P(2,2,1)\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Vectores en el espacio.

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas, secantes o cruzarse: se estudia con los vectores directores y el vector que une dos puntos (rangos o producto mixto). Recta y plano: paralelos, secantes o recta contenida (\(\vec{v}\cdot\vec{n}=0\) si es paralela o está contenida). Dos planos: coincidentes, paralelos o secantes (rangos del sistema).

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha\). Módulo \(|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\). Ortogonales: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Proyección de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\): \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\). Unitario: \(\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\).

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
Calcula el producto escalar y los módulos.
Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Solución

a) Área del triángulo con los ejes. 1. Corte con el eje \(X\) (\(y=z=0\)): \(4x+20=0\Rightarrow x=-5\). Con el eje \(Y\): \(5y+20=0\Rightarrow y=-4\). Con el eje \(Z\): \(-20z+20=0\Rightarrow z=1\). 2. Vértices: \((-5,0,0)\), \((0,-4,0)\) y \((0,0,1)\). 3. Con \(a=5\), \(b=4\), \(c=1\) (las distancias al origen), el área es \(\tfrac12\sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2}=\tfrac12\sqrt{400+16+25}\) (equivale a \(\tfrac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\)). 4. \(\sqrt{441}=21\).

Área \(=\dfrac{21}{2}=10{,}5\ \text{u}^2\).

b) Planos paralelos a \(\pi\) a distancia 2 de \(P\). 1. Los planos paralelos a \(\pi\) son \(4x+5y-20z+k=0\), con normal \(\vec n=(4,5,-20)\) y \(|\vec n|=\sqrt{441}=21\). 2. Distancia de \(P(2,2,1)\) al plano: \(\dfrac{|8+10-20+k|}{21}=2\). 3. Se despeja: \(|k-2|=42\Rightarrow k=44\) o \(k=-40\).

\(4x+5y-20z+44=0\) y \(4x+5y-20z-40=0\).

Ejercicio 3.2 · Ordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen

Considera los planos \(\pi_1\equiv 2x-y-z=7\), \(\pi_2\equiv x-2y+z=3\) y el punto \(P(1,1,0)\).

Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto \(P\) y es paralela a ambos planos. (1,25 puntos)
Halla la ecuación del plano que pasa por el punto \(P\) y es perpendicular a \(\pi_1\) y a \(\pi_2\). (1,25 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Normales. 1. \(\vec n_1=(2,-1,-1)\) y \(\vec n_2=(1,-2,1)\). 2. Su producto vectorial: \(\vec n_1\times\vec n_2=(-3,-3,-3)\parallel(1,1,1)\).

a) Recta paralela a ambos planos. 1. Una recta es paralela a un plano si su dirección es perpendicular a la normal del plano. Debe serlo a las dos normales. 2. Esa dirección es la del producto vectorial: \((1,1,1)\). 3. Pasa por \(P(1,1,0)\).

Recta: \(x-1=y-1=z\).

b) Plano perpendicular a \(\pi_1\) y \(\pi_2\) por \(P\). 1. Un plano es perpendicular a \(\pi_1\) si su normal es perpendicular a \(\vec n_1\) (lo contiene); lo mismo con \(\pi_2\). 2. Su normal es perpendicular a \(\vec n_1\) y a \(\vec n_2\): \(\vec n=(1,1,1)\). 3. Plano \(x+y+z+D=0\) por \(P(1,1,0)\): \(2+D=0\Rightarrow D=-2\).

Plano: \(x+y+z-2=0\).

Extraordinaria 2026

Ejercicio 4.1 · Extraordinaria 2026 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen

Considera la recta \(r\equiv\begin{cases}x=-2\lambda\\y=-1+2\lambda\\z=3+2\lambda\end{cases}\) y el plano \(\pi\equiv x-2y+z-3=0\).

Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a \(r\) y que está contenida en \(\pi\). (1 punto)
Halla el punto simétrico de \(P(1,1,1)\) respecto de \(\pi\). (1,5 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. \(r\): punto \((0,-1,3)\) y dirección \(\vec d=(-1,1,1)\) (se toma \(-\tfrac12\) de \((-2,2,2)\)). Normal de \(\pi\): \(\vec n=(1,-2,1)\).

a) Recta contenida en \(\pi\) que corta perpendicularmente a \(r\). 1. \(r\) corta a \(\pi\) porque \(\vec d\cdot\vec n=-1-2+1=-2\ne0\). 2. Punto de corte: se sustituye \(r\) en \(\pi\): \(-2\lambda-2(-1+2\lambda)+3+2\lambda-3=0\Rightarrow-4\lambda+2=0\Rightarrow\lambda=\tfrac12\). El punto es \(M(-1,0,4)\). 3. La recta pedida pasa por \(M\) y debe estar en \(\pi\) (dirección perpendicular a \(\vec n\)) y ser perpendicular a \(r\) (dirección perpendicular a \(\vec d\)). Su dirección es \(\vec d\times\vec n=(3,2,1)\).

Recta: \(\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-4}{1}\).

b) Simétrico de \(P(1,1,1)\) respecto de \(\pi\). 1. Recta por \(P\) perpendicular a \(\pi\) (dirección \(\vec n\)): \((1+t,\,1-2t,\,1+t)\). 2. Pie de la perpendicular: se sustituye en \(\pi\), \((1+t)-2(1-2t)+(1+t)-3=6t-3=0\Rightarrow t=\tfrac12\), pie \((\tfrac32,0,\tfrac32)\). 3. El pie es el punto medio entre \(P\) y su simétrico: \(P'=2\cdot\text{pie}-P\).

\(P'(2,-1,2)\).

Extraordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 3.2 · Extraordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen

Considera el plano \(\pi\equiv 2x-y+2z-3=0\) y la recta \(r\equiv\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{m-2}\).

Halla la posición relativa de \(\pi\) y \(r\) según los valores de \(m\). (1,5 puntos)
Para \(m=1\), determina la ecuación del plano que contiene a \(r\) y corta perpendicularmente a \(\pi\). (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Posición relativa recta-plano. 1. Dirección de \(r\): \(\vec d=(2,1,m-2)\). Normal de \(\pi\): \(\vec n=(2,-1,2)\). 2. Producto escalar: \(\vec d\cdot\vec n=4-1+2(m-2)=2m-1\).

a) Según \(m\). 1. Si \(m\neq\tfrac12\): \(\vec d\cdot\vec n\neq0\) y la recta corta al plano en un punto. 2. Si \(m=\tfrac12\): \(r\parallel\pi\). Se comprueba si está contenida con un punto de \(r\), \((1,0,2)\): en \(\pi\) da \(2-0+4-3=3\neq0\), no está en \(\pi\).

Si \(m\neq\tfrac12\), secantes; si \(m=\tfrac12\), recta paralela al plano (sin puntos comunes).

b) Plano que contiene a \(r\) y es perpendicular a \(\pi\) (con \(m=1\)). 1. Dirección de \(r\): \(\vec d=(2,1,-1)\). 2. Si el plano contiene a \(r\) y es perpendicular a \(\pi\), su normal es perpendicular a \(\vec d\) y a \(\vec n\): \(\vec d\times\vec n=(1,-6,-4)\). 3. Pasa por \((1,0,2)\): \((x-1)-6y-4(z-2)=0\).

Plano: \(x-6y-4z+7=0\).

Extraordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 4.1 · Extraordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen

Considera los puntos \(A(1,0,2)\), \(B(-1,1,0)\), \(C(0,-1,1)\) y \(D(1,1,1)\).

Calcula la longitud de la altura del tetraedro de vértices \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) trazada desde el vértice \(D\). (1,5 puntos)
Determina el ángulo que forma la recta que pasa por \(A\) y \(D\) con el plano que contiene a los puntos \(A\), \(B\) y \(C\). (1 punto)

Relacionado también con: Vectores en el espacio.

Ayuda 1 · Recordatorio

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

Ayuda 2 · Método

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
Calcula el producto escalar y los módulos.
Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Solución

Vectores desde \(A\). 1. \(\overrightarrow{AB}=(-2,1,-2)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1,-1,-1)\), \(\overrightarrow{AD}=(0,1,-1)\). 2. Producto vectorial: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-3,0,3)\), de módulo \(3\sqrt2\). Es la normal del plano \(ABC\).

a) Altura desde \(D\). 1. La altura desde \(D\) es la distancia de \(D\) al plano \(ABC\), que es el volumen del paralelepípedo (producto mixto en valor absoluto) dividido entre el área de su base (módulo del producto vectorial): \[h=\dfrac{|\overrightarrow{AD}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})|}{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{3}{3\sqrt2}.\]

\(h=\dfrac{\sqrt2}{2}\) u.

b) Ángulo entre la recta \(AD\) y el plano \(ABC\). 1. Normal del plano: \((1,0,-1)\) (paralela a \((-3,0,3)\)). Dirección de la recta \(AD\): \((0,1,-1)\). 2. El ángulo entre recta y plano usa el seno: \[\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{|(1,0,-1)\cdot(0,1,-1)|}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\dfrac12.\]

\(\alpha=30^\circ\).

2025

Ordinaria 2025

Ejercicio 5 · Ordinaria 2025 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera el punto \(P(1,1,1)\) y la recta \(r\equiv\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{2}\).

Halla el plano que pasa por el punto \(P\) y contiene a la recta \(r\). (1 punto)
Halla la recta que pasa por el punto \(P\) y corta perpendicularmente a la recta \(r\). (1,5 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. 1. \(r\) pasa por \(Q(1,2,3)\) con dirección \(\vec d=(1,2,2)\). 2. \(\overrightarrow{PQ}=(0,1,2)\).

a) Plano que contiene a \(r\) y pasa por \(P\). 1. El plano contiene a los vectores \(\overrightarrow{PQ}\) y \(\vec d\); su normal es el producto vectorial: \(\overrightarrow{PQ}\times\vec d=(-2,2,-1)\). 2. Se usa la normal opuesta \((2,-2,1)\): \(2x-2y+z+D=0\). 3. Pasa por \(P(1,1,1)\): \(2-2+1+D=0\), luego \(D=-1\).

\(2x-2y+z-1=0\).

b) Recta por \(P\) que corta perpendicularmente a \(r\). 1. Un punto genérico de \(r\): \(R(1+\lambda,2+2\lambda,3+2\lambda)\). 2. Se exige que \(\overrightarrow{PR}\) sea perpendicular a \(\vec d\): \(\overrightarrow{PR}=(\lambda,\,1+2\lambda,\,2+2\lambda)\) y \[\overrightarrow{PR}\cdot\vec d=(\lambda,\,1+2\lambda,\,2+2\lambda)\cdot(1,2,2)=9\lambda+6=0\Rightarrow\lambda=-\dfrac23.\] 3. El punto de corte es \(R\left(\dfrac13,\dfrac23,\dfrac53\right)\). 4. Dirección de la recta: \(\overrightarrow{PR}=\left(-\dfrac23,-\dfrac13,\dfrac23\right)\parallel(2,1,-2)\).

\(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{-2}\).

Ordinaria · Suplente 1 2025

Ejercicio 5 · Ordinaria · Suplente 1 2025 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera el plano \(\pi\equiv 2x+y+2z+5=0\).

Calcula el punto simétrico de \(P(1,0,1)\) respecto de \(\pi\). (1,5 puntos)
Calcula los planos paralelos a \(\pi\) y que disten 2 unidades de \(\pi\). (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

a) Simétrico de \(P\) respecto de \(\pi\). 1. Recta perpendicular a \(\pi\) por \(P\) (dirección la normal \((2,1,2)\)): \((1+2t,\,t,\,1+2t)\). 2. Se corta con \(\pi\): \(2(1+2t)+t+2(1+2t)+5=9t+9=0\Rightarrow t=-1\). 3. El punto de corte es la proyección de \(P\) sobre el plano, el punto medio \(M(-1,-1,-1)\). 4. El simétrico cumple \(M=\dfrac{P+P'}{2}\), luego \(P'=2M-P\):

\(P'=(-3,-2,-3)\).

b) Planos paralelos a \(\pi\) a distancia \(2\). 1. Los paralelos tienen la forma \(2x+y+2z+D=0\) (misma normal). 2. La distancia entre dos planos paralelos es \(\dfrac{|D-5|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{|D-5|}{3}=2\), luego \(|D-5|=6\). 3. \(D=11\) o \(D=-1\).

\(2x+y+2z+11=0\) y \(2x+y+2z-1=0\).

Ordinaria · Suplente 2 2025

Ejercicio 6 · Ordinaria · Suplente 2 2025 · Bloque optativo 3 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera el plano \(\pi\equiv x+y+z+1=0\) y los puntos \(A(1,2,0)\) y \(B(3,1,0)\).

Calcula el punto simétrico del punto \(A\) con respecto al plano \(\pi\). (1,5 puntos)
Halla el plano que contiene a los puntos \(A\) y \(B\) y es perpendicular al plano \(\pi\). (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

a) Simétrico de \(A\) respecto de \(\pi\). 1. Recta perpendicular a \(\pi\) por \(A\) (dirección la normal \((1,1,1)\)): \((1+t,\,2+t,\,t)\). 2. Se corta con \(\pi\): \((1+t)+(2+t)+t+1=3+3t+1=0\Rightarrow t=-\dfrac43\). 3. El punto de corte es el punto medio \(M\left(-\dfrac13,\dfrac23,-\dfrac43\right)\). 4. El simétrico cumple \(A'=2M-A\):

\(A'=\left(-\dfrac53,-\dfrac23,-\dfrac83\right)\).

b) Plano por \(A\) y \(B\) perpendicular a \(\pi\). 1. El plano contiene a \(\overrightarrow{AB}=(2,-1,0)\) y a la normal de \(\pi\), \((1,1,1)\) (por ser perpendicular a \(\pi\)). 2. Su normal es el producto vectorial: \(\overrightarrow{AB}\times(1,1,1)=(-1,-2,3)\). 3. Plano por \(A(1,2,0)\): \(-x-2y+3z+D=0\) con \(-1-4+D=0\), luego \(D=5\). Cambiando de signo toda la ecuación:

\(x+2y-3z-5=0\).

(Comprobación: \(B\): \(3+2-5=0\).)

Extraordinaria 2025

Ejercicio 4 · Extraordinaria 2025 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera la recta \(r\equiv\begin{cases}x-y+z=3\\x+2y-z=4\end{cases}\) y el plano \(\pi\equiv mx-y-2z=5\).

Halla \(m\) para que \(r\) y \(\pi\) sean paralelos. (1,5 puntos)
Para \(m=-8\), calcula la distancia de la recta \(r\) al plano \(\pi\). (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

a) Paralelismo entre \(r\) y \(\pi\). 1. Vector director de \(r\) (producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen): \(\vec d=(1,-1,1)\times(1,2,-1)=(-1,2,3)\). 2. La recta es paralela al plano si \(\vec d\) es perpendicular a la normal \((m,-1,-2)\): \(\vec d\cdot(m,-1,-2)=-m-2-6=0\), luego \(m=-8\). 3. Falta comprobar que \(r\) no está contenida en \(\pi\). Un punto de \(r\) (con \(z=0\)) es \((10/3,1/3,0)\) y no está en \(\pi\): \(-8\cdot\dfrac{10}{3}-\dfrac13=-27\neq5\).

\(m=-8\).

b) Distancia de la recta al plano. 1. Como son paralelos, la distancia es la de cualquier punto de \(r\) al plano; se toma \(P(10/3,1/3,0)\). 2. El plano es \(\pi\equiv-8x-y-2z-5=0\). 3. Distancia: \[d=\frac{\left|-\frac{80}{3}-\frac13-5\right|}{\sqrt{64+1+4}}=\frac{32}{\sqrt{69}}=\mathbf{\frac{32\sqrt{69}}{69}}\approx3{,}85.\]

Ejercicio 5 · Extraordinaria 2025 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Sean las rectas \(r\equiv\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z-2}{-1}\) y \(s\equiv\begin{cases}x=1-\lambda\\y=2+\lambda\\z=-3-2\lambda\end{cases}\)

Estudia la posición relativa de las rectas \(r\) y \(s\). (1 punto)
Halla la ecuación de un plano que contiene a \(r\) y a una recta perpendicular a las rectas \(r\) y \(s\). (1,5 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. \(r\) pasa por \(A(-1,-2,2)\) con \(\vec u=(4,3,-1)\); \(s\) pasa por \(B(1,2,-3)\) con \(\vec v=(-1,1,-2)\); \(\overrightarrow{AB}=(2,4,-5)\).

a) Posición relativa. 1. \(\vec u\) y \(\vec v\) no son proporcionales: no son paralelas ni coincidentes. 2. Se estudia si son coplanarias con el producto mixto: \[\left|\begin{matrix}4&3&-1\\-1&1&-2\\2&4&-5\end{matrix}\right|=-9\neq0.\] 3. No hay plano que contenga a ambas.

Las rectas se cruzan.

b) Plano que contiene a \(r\) y a una recta perpendicular a \(r\) y \(s\). 1. Dirección perpendicular a ambas: \(\vec w=\vec u\times\vec v=(-5,9,7)\). 2. El plano contiene a \(r\) (dirección \(\vec u\)) y tiene dirección \(\vec w\): su normal es \(\vec u\times\vec w=(30,-23,51)\). 3. Pasa por \(A(-1,-2,2)\): \(30(x+1)-23(y+2)+51(z-2)=0\). 4. Se desarrolla: \(30x+30-23y-46+51z-102=0\).

\(30x-23y+51z-118=0\).

Extraordinaria · Suplente 1 2025

Ejercicio 6 · Extraordinaria · Suplente 1 2025 · Bloque optativo 3 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera la recta \(r\equiv\begin{cases}x+y+z=0\\y-z=0\end{cases}\) y el punto \(P(2,1,0)\).

Halla la distancia del punto \(P\) a la recta \(r\). (1,25 puntos)
Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta \(r\) y al punto \(P\). (1,25 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. Se pasa \(r\) a paramétricas: de \(y=z\) y \(x=-2y\), la recta pasa por \(O(0,0,0)\) con \(\vec d=(-2,1,1)\).

a) Distancia de \(P\) a \(r\). 1. \(\overrightarrow{OP}=(2,1,0)\) y \(\overrightarrow{OP}\times\vec d=(1,-2,4)\). 2. Fórmula de la distancia punto-recta: \[d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{OP}\times\vec d|}{|\vec d|}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt6}=\mathbf{\frac{\sqrt{14}}{2}}\approx1{,}87.\]

b) Plano que contiene a \(r\) y a \(P\). 1. El plano pasa por \(O\) y contiene a \(\vec d\) y a \(\overrightarrow{OP}\). 2. Su normal es \(\overrightarrow{OP}\times\vec d=(1,-2,4)\). 3. Como pasa por el origen, no hay término independiente.

\(x-2y+4z=0\).

(Comprobación: la normal es perpendicular a \(\vec d\): \(-2-2+4=0\).)

Extraordinaria · Suplente 2 2025

Ejercicio 1 · Extraordinaria · Suplente 2 2025 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera las rectas \(r\equiv\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-k}{2}\) y \(s\equiv\dfrac{x+2}{-1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z-1}{1}\).

Determina \(k\) sabiendo que ambas se cortan en un punto. (1,5 puntos)
Para \(k=0\), halla la ecuación general del plano que contiene a \(r\) y es paralelo a \(s\). (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. \(r\) pasa por \(A(0,2,k)\) con \(\vec u=(1,-1,2)\); \(s\) pasa por \(B(-2,-3,1)\) con \(\vec v=(-1,2,1)\). Los vectores directores no son proporcionales.

a) Valor de \(k\) para que se corten. 1. Dos rectas no paralelas se cortan si son coplanarias, es decir, si \(\overrightarrow{AB}\), \(\vec u\) y \(\vec v\) tienen producto mixto nulo. 2. \(\overrightarrow{AB}=(-2,-5,1-k)\). 3. Determinante: \[\left|\begin{matrix}1&-1&2\\-1&2&1\\-2&-5&1-k\end{matrix}\right|=26-k.\] 4. Se anula si \(26-k=0\).

\(k=26\).

b) Plano que contiene a \(r\) y es paralelo a \(s\) (con \(k=0\)). 1. El plano contiene a \(r\) (dirección \(\vec u\), punto \((0,2,0)\)) y es paralelo a \(s\) (dirección \(\vec v\)). 2. Su normal es \(\vec u\times\vec v=(-5,-3,1)\), es decir, \(5x+3y-z+D=0\) (normal opuesta). 3. Pasa por \((0,2,0)\): \(6+D=0\), luego \(D=-6\).

Plano: \(5x+3y-z-6=0\).

2024

Ordinaria 2024

Ejercicio 7 · Ordinaria 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Halla el punto simétrico de \(P(2,2,1)\) respecto de la recta \(r\equiv\begin{cases}x-2y+z=2\\y-z=1\end{cases}\) (1,25 puntos)
Halla el punto simétrico de \(Q(1,-1,-3)\) respecto del plano \(\pi\equiv x-2y+z+6=0\). (1,25 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

a) Simétrico de \(P(2,2,1)\) respecto de la recta \(r\). 1. Se parametriza \(r\). De \(y-z=1\), con \(z=t\): \(y=1+t\); en la primera, \(x=2+2y-z=2+2+2t-t=4+t\). Así \(r\equiv(4+t,\,1+t,\,t)\), con dirección \((1,1,1)\). 2. El pie de la perpendicular \(H\) es el punto de \(r\) tal que \(\overrightarrow{PH}\) es perpendicular a la dirección de \(r\): \((2+t,\,-1+t,\,t-1)\cdot(1,1,1)=3t=0\Rightarrow t=0\). 3. Pie: \(H(4,1,0)\). 4. \(H\) es el punto medio de \(P\) y su simétrico \(P'\), así que \(P'=2H-P\):

\[\mathbf{P'=(6,0,-1)}\]

b) Simétrico de \(Q(1,-1,-3)\) respecto del plano \(\pi\). 1. Normal del plano: \(\vec n=(1,-2,1)\), con \(|\vec n|^2=6\). 2. Valor del plano en \(Q\): \(\pi(Q)=1+2-3+6=6\). 3. Pie de la perpendicular: se retrocede desde \(Q\) en la dirección de \(\vec n\) hasta llegar al plano, \(H=Q-\dfrac{\pi(Q)}{|\vec n|^2}\,\vec n=Q-\dfrac66\vec n=(0,1,-4)\). 4. Simétrico: \(Q'=2H-Q\):

\[\mathbf{Q'=(-1,3,-5)}\]

Ejercicio 8 · Ordinaria 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera las rectas \(r\equiv\begin{cases}y=0\\2x-z=0\end{cases}\) y \(s\equiv\begin{cases}x+y+7=0\\z=0\end{cases}\)

Estudia la posición relativa de \(r\) y \(s\). (1 punto)
Calcula la ecuación del plano paralelo a \(r\) y \(s\) que equidista de ambas rectas. (1,5 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. 1. Recta \(r\): punto \(A(0,0,0)\) y dirección \(\vec d_r=(1,0,2)\) (de \(y=0\), \(z=2x\)). 2. Recta \(s\): de \(z=0\) e \(y=-7-x\), punto \(B(0,-7,0)\) y dirección \(\vec d_s=(1,-1,0)\).

a) Posición relativa. 1. \(\vec d_r\) y \(\vec d_s\) no son proporcionales: no son paralelas ni coincidentes. 2. \(\vec d_r\times\vec d_s=(2,2,-1)\). 3. Se estudia si son coplanarias con el producto mixto: \(\overrightarrow{AB}=(0,-7,0)\) y \(\big[\overrightarrow{AB},\vec d_r,\vec d_s\big]=(0,-7,0)\cdot(2,2,-1)=-14\neq0\).

Las rectas se cruzan.

b) Plano paralelo a \(r\) y \(s\) que equidista de ambas. 1. Un plano paralelo a las dos tiene como normal \(\vec d_r\times\vec d_s=(2,2,-1)\): \(2x+2y-z+D=0\). 2. El plano que contiene a \(r\) es \(2x+2y-z=0\) (pasa por \(A\)). El que contiene a \(s\) es \(2x+2y-z=-14\) (pasa por \(B\)). 3. Los valores de \(2x+2y-z\) en cada recta son \(0\) y \(-14\); el plano equidistante toma el valor medio, \(-7\): \(2x+2y-z=-7\), es decir \(D=7\).

\[\mathbf{2x+2y-z+7=0}\]

Comprobación: la distancia a cada recta es \(\dfrac{7}{3}\) (\(7/3\) a cada una).

Ordinaria · Reserva 2024

Ejercicio 7 · Ordinaria · Reserva 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera la recta \(r\equiv\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-2}{2}=3-z\) y el punto \(P(0,2,-4)\).

Calcula el punto de \(r\) a menor distancia de \(P\). (1,25 puntos)
Halla los puntos de \(r\) cuya distancia a \(P\) sea igual a \(\sqrt{50}\). (1,25 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. La recta \(r\) pasa por \((-1,2,3)\) con dirección \((2,2,-1)\) (de \(\frac{x+1}2=\frac{y-2}2=\frac{z-3}{-1}\)). 1. Punto genérico: \(R(-1+2t,\,2+2t,\,3-t)\). 2. Vector desde \(P\): \(\overrightarrow{PR}=(2t-1,\,2t,\,7-t)\).

a) Punto de \(r\) más cercano a \(P\). 1. El punto más cercano es el pie de la perpendicular: \(\overrightarrow{PR}\) perpendicular a la dirección de \(r\). 2. \(\overrightarrow{PR}\cdot(2,2,-1)=0\): \(2(2t-1)+2\cdot2t-(7-t)=9t-9=0\Rightarrow t=1\).

\[\mathbf{R=(1,4,2)}\quad(\text{distancia }\sqrt{41}).\]

b) Puntos a distancia \(\sqrt{50}\). 1. Se impone \(|\overrightarrow{PR}|^2=50\): \((2t-1)^2+(2t)^2+(7-t)^2=9t^2-18t+50=50\). 2. \(9t^2-18t=0\Rightarrow 9t(t-2)=0\Rightarrow t=0\) o \(t=2\).

\[\mathbf{(-1,2,3)\ \text{ y }\ (3,6,1)}\]

Ejercicio 8 · Ordinaria · Reserva 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sea \(\pi_1\) el plano determinado por los puntos \(A(1,0,0)\), \(B(1,1,-3)\) y \(C(0,1,1)\), y sea \(\pi_2\equiv x-y+z-1=0\). Determina la ecuación de la recta paralela a ambos planos que pasa por el origen.

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. 1. Vectores del plano \(\pi_1\): \(\overrightarrow{AB}=(0,1,-3)\) y \(\overrightarrow{AC}=(-1,1,1)\). 2. Normal de \(\pi_1\): \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(4,3,1)\). Normal de \(\pi_2\): \((1,-1,1)\).

Recta paralela a ambos planos por el origen. 1. Una recta es paralela a un plano si su dirección es perpendicular a la normal del plano. 2. Para que lo sea a los dos, su dirección debe ser perpendicular a las dos normales: \((4,3,1)\times(1,-1,1)=(4,-3,-7)\). 3. Pasa por el origen:

\[\mathbf{(x,y,z)=\lambda(4,-3,-7)}\ \ \text{es decir}\ \ \frac x4=\frac y{-3}=\frac z{-7}.\]

Ordinaria · Suplente 2024

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera los puntos \(P(1,0,1)\) y \(Q(3,-2,1)\).

Calcula el plano perpendicular al segmento \(PQ\) que pasa por su punto medio. (1 punto)
Calcula el plano paralelo a la recta \(r\equiv 1-x=\dfrac{y-2}{3}=z+1\) que pasa por \(P\) y \(Q\). (1,5 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Dato común. \(\overrightarrow{PQ}=(2,-2,0)\).

a) Plano perpendicular a \(PQ\) por su punto medio. 1. Punto medio: \(M(2,-1,1)\). 2. El plano es perpendicular al segmento, así que su normal es \(\overrightarrow{PQ}=(2,-2,0)\), que se simplifica a \((1,-1,0)\): \(x-y+D=0\). 3. Pasa por \(M\): \(2-(-1)+D=0\Rightarrow D=-3\).

\[\mathbf{x-y-3=0}\]

b) Plano por \(P\) y \(Q\) paralelo a \(r\). 1. Dirección de \(r\) (de \(1-x=\frac{y-2}{3}=z+1\), es decir, \(\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{1}\)): \((-1,3,1)\). 2. El plano contiene a \(\overrightarrow{PQ}\) y es paralelo a \(r\), así que su normal es perpendicular a ambos: \(\overrightarrow{PQ}\times(-1,3,1)\parallel(-1,-1,2)\). 3. Plano por \(P(1,0,1)\): \(-(x-1)-y+2(z-1)=0\).

\[\mathbf{x+y-2z+1=0}\]

Comprobación: contiene a \(Q\): \(3-2-2+1=0\).

Extraordinaria 2024

Ejercicio 7 · Extraordinaria 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera el plano \(\pi\equiv x-2y+z-2=0\) y la recta \(r\equiv\begin{cases}x=1+2\lambda\\y=\lambda\\z=1\end{cases}\quad\lambda\in\mathbb{R}.\)

Estudia la posición relativa de \(\pi\) y \(r\). (1 punto)
Calcula la ecuación de la recta contenida en \(\pi\) que pasa por el punto \(P(2,-1,-2)\) y es perpendicular a \(r\). (1,5 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. Plano \(\pi\): normal \(\vec n=(1,-2,1)\). Recta \(r\): punto \(A(1,0,1)\) (con \(\lambda=0\)) y dirección \(\vec d=(2,1,0)\).

a) Posición relativa. 1. Producto escalar: \(\vec n\cdot\vec d=2-2+0=0\), luego \(r\) es paralela al plano o está contenida en él. 2. Se comprueba si un punto de \(r\) está en \(\pi\): \(A\in\pi\), pues \(1-0+1-2=0\).

La recta \(r\) está contenida en el plano \(\pi\).

b) Recta de \(\pi\) por \(P\) perpendicular a \(r\). 1. Comprobación previa: \(P\in\pi\), pues \(2+2-2-2=0\). 2. Su dirección debe ser paralela al plano (perpendicular a \(\vec n\)) y perpendicular a \(r\) (perpendicular a \(\vec d\)). Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial \(\vec n\times\vec d=(-1,2,5)\). 3. Recta por \(P(2,-1,-2)\) con esa dirección:

\[\mathbf{(x,y,z)=(2,-1,-2)+\mu(-1,2,5)}\ \ \text{es decir}\ \ \frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{5}.\]

Extraordinaria · Reserva 2024

Ejercicio 7 · Extraordinaria · Reserva 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera las rectas \(r\equiv x=y+a=\dfrac{z+1}{2}\) y \(s\equiv\begin{cases}x-2y=3a\\x+z=2\end{cases}\)

Calcula \(a\) para que las rectas se corten. (1,25 puntos)
Para \(a=-1\), halla la recta que corta perpendicularmente a \(r\) y \(s\). (1,25 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. 1. \(r\): punto \((0,-a,-1)\) (con \(x=0\)) y dirección \(\vec d_r=(1,1,2)\). 2. \(s\): con \(y=\mu\), de \(x-2y=3a\) y \(x+z=2\): \((x,y,z)=(3a+2\mu,\ \mu,\ 2-3a-2\mu)\). Punto \((3a,0,2-3a)\) y dirección \(\vec d_s=(2,1,-2)\).

a) Valor de \(a\) para que se corten. 1. No son paralelas: \(\vec d_r\) y \(\vec d_s\) no son proporcionales. 2. Se cortan si son coplanarias: \(\big[\overrightarrow{P_rP_s},\vec d_r,\vec d_s\big]=0\), con \(\overrightarrow{P_rP_s}=(3a,a,3-3a)\). 3. \(\vec d_r\times\vec d_s=(-4,6,-1)\) y el producto mixto es el producto escalar: \[-12a+6a-3+3a=-3a-3=0\ \Rightarrow\ \mathbf{a=-1}.\]

b) Recta perpendicular común con \(a=-1\). 1. Con \(a=-1\) las rectas se cortan en un punto: \(r\,(t,\,1+t,\,-1+2t)\) y \(s\,(-3+2\mu,\,\mu,\,5-2\mu)\). 2. Igualando: \(t=1\), \(\mu=2\), punto \((1,2,1)\). 3. La recta perpendicular a ambas tiene la dirección de \(\vec d_r\times\vec d_s=(-4,6,-1)\) y pasa por el punto de corte:

\[\mathbf{(x,y,z)=(1,2,1)+\lambda(-4,6,-1)}\ \ \text{es decir}\ \ \frac{x-1}{-4}=\frac{y-2}{6}=\frac{z-1}{-1}.\]

Extraordinaria · Suplente 2024

Ejercicio 7 · Extraordinaria · Suplente 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera el plano \(\pi\equiv x-y=0\) y la recta \(r\equiv\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=z-2\).

Calcula, si es posible, el plano perpendicular a \(\pi\) que contiene a \(r\). (1,25 puntos)
Calcula, si es posible, la recta perpendicular a \(r\), contenida en \(\pi\) y que pasa por el origen. (1,25 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. El plano \(\pi\) tiene normal \(\vec n_\pi=(1,-1,0)\); la recta \(r\) pasa por \((1,0,2)\) con dirección \(\vec d=(2,3,1)\).

a) Plano perpendicular a \(\pi\) que contiene a \(r\). 1. El plano buscado contiene a \(\vec d\) (porque contiene a \(r\)) y a \(\vec n_\pi\) (porque es perpendicular a \(\pi\)). 2. Es posible porque \(\vec d\) y \(\vec n_\pi\) no son paralelos. 3. Su normal es perpendicular a ambos: \(\vec d\times\vec n_\pi=(1,1,-5)\). 4. Ecuación: \(x+y-5z+D=0\). Pasa por \((1,0,2)\): \(1+0-10+D=0\Rightarrow D=9\).

\[\mathbf{x+y-5z+9=0}\]

b) Recta perpendicular a \(r\), contenida en \(\pi\), por el origen. 1. El origen está en \(\pi\) (\(0-0=0\)). 2. La dirección debe ser perpendicular a \(\vec d\) (por ser perpendicular a \(r\)) y a \(\vec n_\pi\) (por estar contenida en \(\pi\)): \(\vec n_\pi\times\vec d=(-1,-1,5)\), que es proporcional a \((1,1,-5)\).

\[\mathbf{(x,y,z)=\lambda(1,1,-5)}\ \ \text{es decir}\ \ x=y=-\frac z5.\]

2023

Ordinaria 2023

Ejercicio 7 · Ordinaria 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

El plano perpendicular al segmento de extremos \(P(0,3,8)\) y \(Q(2,1,6)\) que pasa por su punto medio corta a los ejes coordenados en los puntos \(A\), \(B\) y \(C\). Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos \(A\), \(B\) y \(C\).

Relacionado también con: Vectores en el espacio.

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Normal del plano. El plano es perpendicular a \(PQ\), luego su normal es \(\overrightarrow{PQ}=(2,-2,-2)\parallel(1,-1,-1)\).
Punto medio. \(M(1,2,7)\).
Ecuación. \(x-y-z=1-2-7=-8\), es decir, \(x-y-z+8=0\).
Cortes con los ejes. Se anulan dos coordenadas cada vez: \(A(-8,0,0)\), \(B(0,8,0)\), \(C(0,0,8)\).
Área. Los tres lados miden \(8\sqrt2\) (triángulo equilátero) y: \[\text{Área}=\dfrac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\dfrac{\sqrt3}4(8\sqrt2)^{2}.\]

Área \(=32\sqrt3\approx55{,}43\ \text{u}^2\).

Ejercicio 8 · Ordinaria 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera el punto \(A(-1,1,3)\) y la recta \(r\) determinada por los puntos \(B(2,1,1)\) y \(C(0,1,-1)\).

Halla la distancia del punto \(A\) a la recta \(r\). (1,5 puntos)
Calcula el área del triángulo cuyos vértices son \(A\), \(B\) y \(C\). (1 punto)

Relacionado también con: Vectores en el espacio.

Ayuda 1 · Recordatorio

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

Ayuda 2 · Método

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
Calcula el producto escalar y los módulos.
Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Solución

Vectores. \(\overrightarrow{BC}=(-2,0,-2)\), \(\overrightarrow{BA}=(-3,0,2)\) y \(\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}=(0,-10,0)\).

a) Distancia de \(A\) a la recta \(r\). 1. \(r\) pasa por \(B\) con dirección \(\overrightarrow{BC}\). 2. \(d(A,r)=\dfrac{|\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{BC}|}=\dfrac{10}{2\sqrt2}\).

\(d=\dfrac{5\sqrt2}2\approx3{,}54\).

b) Área del triángulo \(ABC\). 1. El área es la mitad del módulo del producto vectorial: \(\text{Área}=\dfrac12|\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}|=\dfrac{10}2\).

Área \(=5\ \text{u}^2\).

Ordinaria · Reserva 2023

Ejercicio 8 · Ordinaria · Reserva 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera el plano \(\pi\equiv x+y+z=0\) y la recta \(r\equiv x-1=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{2}\). Halla la ecuación de un plano \(\pi'\), paralelo a \(\pi\), tal que si \(Q\) y \(Q'\) son respectivamente los puntos de corte de la recta \(r\) con los planos \(\pi\) y \(\pi'\), entonces la distancia entre \(Q\) y \(Q'\) sea de 2 unidades.

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Ecuaciones de \(r\). De \(x-1=\dfrac y2=\dfrac{z+1}2\): \(r\) pasa por \((1,0,-1)\) con dirección \((1,2,2)\), es decir, \((x,y,z)=(1,0,-1)+t(1,2,2)\).
Punto \(Q\). Se sustituye en \(\pi\equiv x+y+z=0\): \((1+t)+2t+(-1+2t)=5t=0\Rightarrow t=0\), y \(Q=(1,0,-1)\).
Punto \(Q'\). \(Q'=Q+s(1,2,2)\), con \(|QQ'|=3|s|=2\) (el módulo de \((1,2,2)\) es \(3\)), luego \(s=\pm\dfrac23\).
Plano \(\pi'\). Es paralelo a \(\pi\): \(x+y+z=k\). Como \(Q'\) está en él, \(k=5s=\pm\dfrac{10}3\) (el valor de \(x+y+z\) en \(Q+s(1,2,2)\) es \(5s\) porque \(Q\) da \(0\)).

\(\pi'\equiv x+y+z=\dfrac{10}3\) (o también \(x+y+z=-\dfrac{10}3\)).

Ordinaria · Suplente 2023

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Determina el punto simétrico de \(A(2,-4,-3)\) con respecto al plano que contiene a los puntos \(B(1,1,2)\), \(C\left(0,\tfrac13,1\right)\) y \(D(-3,0,3)\).

Ayuda 1 · Recordatorio

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Simétrico de \(A\) respecto del plano \(BCD\). 1. Plano. Vectores \(\overrightarrow{BC}=\left(-1,-\tfrac23,-1\right)\) y \(\overrightarrow{BD}=(-4,-1,1)\). Su producto vectorial es proporcional a \((1,-3,1)\), luego el plano es \(x-3y+z=0\). Se comprueba con \(B\): \(1-3+2=0\). 2. Recta perpendicular por \(A\). Dirección la normal: \((2+t,\,-4-3t,\,-3+t)\). 3. Pie de la perpendicular. Se sustituye en el plano: \(11+11t=0\Rightarrow t=-1\), \(M=(1,-1,-4)\). 4. Simétrico. \(M\) es el punto medio de \(A\) y \(A'\), así que \(A'=2M-A\).

\(A'=(0,2,-5)\).

Extraordinaria 2023

Ejercicio 7 · Extraordinaria 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera los planos \(\pi_1\equiv x-y+z=0\) y \(\pi_2\equiv x+y=2\).

Calcula la distancia entre la recta intersección de \(\pi_1\) y \(\pi_2\) y el punto \(P(2,6,-2)\). (1,5 puntos)
Halla el ángulo que forman \(\pi_1\) y \(\pi_2\). (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Recta intersección. 1. Dirección: producto vectorial de las normales, \((1,-1,1)\times(1,1,0)=(-1,1,2)\). 2. Punto: \(A(0,2,2)\), que cumple \(x+y=2\) y \(x-y+z=0\).

a) Distancia de \(P(2,6,-2)\) a la recta. 1. \(\overrightarrow{AP}=(2,4,-4)\) y \(\overrightarrow{AP}\times\vec d=(12,0,6)\). 2. \(d=\dfrac{|\overrightarrow{AP}\times\vec d|}{|\vec d|}\): \[d=\dfrac{|(12,0,6)|}{|(-1,1,2)|}=\dfrac{\sqrt{180}}{\sqrt6}=\sqrt{30}.\]

Distancia \(=\sqrt{30}\approx5{,}48\).

b) Ángulo entre los planos. 1. El ángulo entre dos planos es el ángulo entre sus normales: \(\cos\alpha=\dfrac{|(1,-1,1)\cdot(1,1,0)|}{\sqrt3\sqrt2}=0\).

Los planos son perpendiculares: \(90^\circ\).

Ejercicio 8 · Extraordinaria 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Calcula el volumen del tetraedro que limita el plano determinado por los puntos \(A(0,2,-2)\), \(B(3,2,1)\) y \(C(2,3,2)\) con los planos cartesianos.

Relacionado también con: Vectores en el espacio.

Ayuda 1 · Recordatorio

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

Ayuda 2 · Método

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
Calcula el producto escalar y los módulos.
Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Solución

Volumen del tetraedro con los planos coordenados. 1. Plano por \(A\), \(B\) y \(C\). \(\overrightarrow{AB}=(3,0,3)\), \(\overrightarrow{AC}=(2,1,4)\) y \(\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-3,-6,3)\parallel(1,2,-1)\). 2. Ecuación. \(x+2y-z=d\); con \(A\): \(d=4+2=6\), es decir, \(x+2y-z=6\). 3. Cortes con los ejes. \((6,0,0)\), \((0,3,0)\), \((0,0,-6)\). 4. Volumen. El tetraedro tiene tres aristas perpendiculares (sobre los ejes) de longitudes \(6\), \(3\) y \(6\): \[V=\dfrac16\cdot6\cdot3\cdot6=18.\]

Volumen \(=18\ \text{u}^3\).

Extraordinaria · Reserva 2023

Ejercicio 7 · Extraordinaria · Reserva 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera el plano \(\pi\), determinado por los puntos \(A(-1,0,0)\), \(B(0,1,1)\) y \(C(2,1,0)\), y la recta

\[r\equiv\begin{cases}x-2z-3=0\\y-z-2=0\end{cases}\]

Halla los puntos de \(r\) cuya distancia a \(\pi\) es \(\sqrt{14}\) unidades.

Ayuda 1 · Recordatorio

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Plano \(\pi\). 1. Vectores del plano: \(\overrightarrow{AB}=(1,1,1)\) y \(\overrightarrow{AC}=(3,1,0)\). 2. Normal: \(\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-1,3,-2)\). 3. Ecuación por \(A(-1,0,0)\): \(-(x+1)+3y-2z=0\), es decir, \(\pi\equiv x-3y+2z+1=0\). 4. Comprobación: \(B(0,1,1)\) cumple \(0-3+2+1=0\) y \(C(2,1,0)\) cumple \(2-3+0+1=0\).

Recta \(r\). 1. Se despeja en función de \(z=t\): \(x=3+2t\), \(y=2+t\), \(z=t\). 2. Dirección \((2,1,1)\). Como \((2,1,1)\cdot(1,-3,2)=1\neq0\), \(r\) no es paralela a \(\pi\): la distancia de sus puntos al plano varía con \(t\).

Distancia de un punto de \(r\) a \(\pi\). 1. Para \(P(3+2t,\,2+t,\,t)\): \((3+2t)-3(2+t)+2t+1=t-2\). 2. \(d(P,\pi)=\dfrac{|t-2|}{\sqrt{1+9+4}}=\dfrac{|t-2|}{\sqrt{14}}\). 3. Se impone \(d=\sqrt{14}\): \(|t-2|=14\), de donde \(t=16\) o \(t=-12\). 4. Se sustituye en las paramétricas: \(t=16\) da \((35,18,16)\) y \(t=-12\) da \((-21,-10,-12)\).

Los puntos de \(r\) a distancia \(\sqrt{14}\) del plano son \((35,18,16)\) y \((-21,-10,-12)\).

Interpretación: hay dos puntos, uno a cada lado del plano, porque \(r\) atraviesa \(\pi\) (en \(t=2\), el punto \((7,4,2)\)).

Ejercicio 8 · Extraordinaria · Reserva 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera el paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos \(P(-1,2,3)\), \(Q(-2,1,0)\), \(R(0,5,1)\) y \(S\).

Halla las coordenadas del punto \(S\). (1 punto)
Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos \(P\), \(Q\) y \(R\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Vectores en el espacio.

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Ecuaciones de rectas y planos.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
Calcula el producto escalar y los módulos.
Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Solución

a) Cuarto vértice. 1. En un paralelogramo \(PQRS\) se cumple \(\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{QR}=(2,4,1)\). 2. \(S=P+\overrightarrow{QR}=(-1,2,3)+(2,4,1)\).

\(S=(1,6,4)\).

b) Recta por el origen perpendicular al plano \(PQR\). 1. Vectores del plano: \(\overrightarrow{PQ}=(-1,-1,-3)\) y \(\overrightarrow{PR}=(1,3,-2)\). 2. Normal: \(\vec n=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=(11,-5,-2)\). 3. La recta tiene esa dirección y pasa por el origen.

\(\dfrac{x}{11}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z}{-2}\).

Extraordinaria · Suplente 2023

Ejercicio 7 · Extraordinaria · Suplente 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Determina los puntos de la recta \(r\equiv\begin{cases}x-y+z=0\\x+3y-1=0\end{cases}\) que son equidistantes de los planos cartesianos \(OYZ\) y \(OXZ\).

Ayuda 1 · Recordatorio

Ayuda 2 · Método

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Puntos de \(r\) equidistantes de \(OYZ\) y \(OXZ\). 1. Puntos de la recta. De \(x-y+z=0\) y \(x+3y=1\): \(x=1-3y\) y \(z=y-x=4y-1\). Los puntos son \((1-3y,\,y,\,4y-1)\). 2. Distancias. Al plano \(OYZ\) (\(x=0\)): \(|x|\). Al plano \(OXZ\) (\(y=0\)): \(|y|\). 3. Igualdad. \(|1-3y|=|y|\): - \(1-3y=y\Rightarrow y=\tfrac14\). - \(1-3y=-y\Rightarrow y=\tfrac12\). 4. Puntos. Se sustituye cada \(y\) en \((1-3y,\,y,\,4y-1)\).

Puntos: \(\left(\tfrac14,\tfrac14,0\right)\) y \(\left(-\tfrac12,\tfrac12,1\right)\).

Ejercicio 8 · Extraordinaria · Suplente 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera la recta \(r\equiv\begin{cases}x-y+z=1\\3x-2z=-2\end{cases}\)

Determina la ecuación del plano paralelo a \(r\) que contiene a la recta \(-x+1=y=\dfrac{z-3}{2}\). (1,5 puntos)
Calcula la distancia entre la recta \(r\) y el plano \(2x+5y+3z=41\). (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

a) Plano paralelo a \(r\) que contiene a la otra recta. 1. Dirección de \(r\) (producto vectorial de las normales): \((1,-1,1)\times(3,0,-2)=(2,5,3)\). 2. La otra recta, \(-x+1=y=\dfrac{z-3}{2}\), tiene dirección \((-1,1,2)\) y pasa por \((1,0,3)\). 3. Normal del plano (perpendicular a ambas direcciones): \((2,5,3)\times(-1,1,2)=(7,-7,7)\parallel(1,-1,1)\). 4. Plano \(x-y+z=d\) con el punto \((1,0,3)\): \(d=4\).

\(x-y+z=4\).

b) Distancia entre la recta \(r\) y el plano \(2x+5y+3z=41\). 1. El vector normal del plano es \((2,5,3)\), que coincide con la dirección de \(r\). 2. Por tanto la recta es perpendicular al plano y lo corta, así que la distancia es \(0\).

Nota: el enunciado coincide con el examen oficial. Con estos datos \(r\) es perpendicular al plano (no paralela) y lo corta, así que la distancia es nula; probablemente es una errata del examen.

2022

Ordinaria 2022

Ejercicio 8 · Ordinaria 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera la recta \(r\equiv x-2=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-1}{2}\), así como la recta \(s\) determinada por el punto \(P(1,2,3)\) y el vector director \(\vec{v}=(1+a,-a,3a)\).

Calcula \(a\) para que las rectas \(r\) y \(s\) se corten. (1,5 puntos)
Calcula \(a\) para que las rectas \(r\) y \(s\) sean perpendiculares. (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Ecuaciones de rectas y planos.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

Ayuda 2 · Método

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
Calcula el producto escalar y los módulos.
Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Solución

Datos. 1. \(r\): punto \((2,0,1)\) y dirección \(\vec d_r=(1,-1,2)\); en paramétricas, \((2+t,\,-t,\,1+2t)\). 2. \(s\): punto \(P(1,2,3)\) y dirección \(\vec d_s=(1+a,-a,3a)\); en paramétricas, \((1+\lambda(1+a),\ 2-\lambda a,\ 3+3a\lambda)\).

a) Rectas secantes. 1. Para que se corten, los vectores \(\vec d_r\), \(\vec d_s\) y el que une un punto de cada recta, \(\overrightarrow{P_rP}=(1-2,2-0,3-1)=(-1,2,2)\), deben ser coplanarios y las direcciones no proporcionales. 2. Se anula el determinante: \[\begin{vmatrix}1&-1&2\\1+a&-a&3a\\-1&2&2\end{vmatrix}=6-a=0\Rightarrow a=6.\] 3. Con \(a=6\), \(\vec d_s=(7,-6,18)\) no es proporcional a \(\vec d_r\): las rectas se cortan. 4. Punto de corte: igualando \((2+t,-t,1+2t)=(1+7\lambda,2-6\lambda,3+18\lambda)\) resulta \(\lambda=-1\) y \(t=-8\).

\(a=6\) (punto de corte \((-6,8,-15)\), con \(t=-8\)).

b) Rectas perpendiculares. 1. Son perpendiculares si sus vectores directores lo son: \(\vec d_r\cdot\vec d_s=0\). 2. \(\vec d_r\cdot\vec d_s=1\cdot(1+a)+(-1)(-a)+2\cdot3a=1+8a=0\).

\(a=-\tfrac18\).

Ordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 7 · Ordinaria · Reserva 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera las rectas \(r\equiv\begin{cases}x=0\\z=0\end{cases}\) y \(s\equiv\begin{cases}x+y=1\\x-y=1\end{cases}\)

Determina la ecuación del plano que contiene a \(r\) y es paralelo a \(s\). (1,5 puntos)
Determina la ecuación del plano que contiene a \(r\) y es perpendicular a \(s\). (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. 1. \(r\) es el eje \(Y\): punto \(O(0,0,0)\) y dirección \((0,1,0)\). 2. \(s\): de \(x+y=1\) y \(x-y=1\) resulta \(x=1\), \(y=0\), con \(z\) libre: punto \((1,0,0)\) y dirección \((0,0,1)\).

a) Plano que contiene a \(r\) y es paralelo a \(s\). 1. El plano contiene la dirección \((0,1,0)\) de \(r\) y es paralelo a la dirección \((0,0,1)\) de \(s\): esos son sus dos vectores directores. 2. Normal: \((0,1,0)\times(0,0,1)=(1,0,0)\). 3. Pasa por \(O\) (por contener a \(r\)): \(x=0\).

Plano \(x=0\).

b) Plano que contiene a \(r\) y es perpendicular a \(s\). 1. El plano es perpendicular a \(s\) si su normal es la dirección de \(s\): \(\vec n=(0,0,1)\). 2. Contiene a \(r\) y por tanto pasa por \(O\): \(0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z=0\). 3. Comprobación: la dirección de \(r\), \((0,1,0)\), cumple \(\vec n\cdot(0,1,0)=0\), luego \(r\) está contenida en el plano.

Plano \(z=0\).

Ejercicio 8 · Ordinaria · Reserva 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera los planos \(\pi_1\equiv x+y+2=0\) y \(\pi_2\equiv x-z-1=0\), así como la recta \(r\equiv\begin{cases}2x+z=1\\y=1\end{cases}\)

Calcula los puntos de la recta \(r\) que equidistan de los planos \(\pi_1\) y \(\pi_2\). (1,5 puntos)
Halla el ángulo que forman los planos \(\pi_1\) y \(\pi_2\). (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

a) Puntos de \(r\) equidistantes. 1. Se pasa \(r\) a paramétricas. De \(y=1\) y \(2x+z=1\), con \(x=t\): \((t,\,1,\,1-2t)\). 2. Distancia de un punto de \(r\) a \(\pi_1\): \(d(P,\pi_1)=\dfrac{|t+1+2|}{\sqrt{2}}=\dfrac{|t+3|}{\sqrt2}\). 3. Distancia a \(\pi_2\): \(d(P,\pi_2)=\dfrac{|t-(1-2t)-1|}{\sqrt{2}}=\dfrac{|3t-2|}{\sqrt2}\). 4. Se igualan: \(|t+3|=|3t-2|\), es decir, \(t+3=\pm(3t-2)\). 5. Si \(t+3=3t-2\): \(t=\tfrac52\). Si \(t+3=-(3t-2)\): \(4t=-1\), \(t=-\tfrac14\). 6. Se sustituye cada \(t\) en \((t,1,1-2t)\).

Puntos: \(\left(\tfrac52,1,-4\right)\) y \(\left(-\tfrac14,1,\tfrac32\right)\).

b) Ángulo entre los planos. 1. Normales: \(\vec n_1=(1,1,0)\) y \(\vec n_2=(1,0,-1)\). 2. El ángulo entre planos es el de sus normales: \[\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}=\frac{|(1,1,0)\cdot(1,0,-1)|}{\sqrt2\sqrt2}=\frac12.\]

\(\varphi=60^\circ\) (\(\pi/3\) rad).

Ordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera el plano \(\pi\equiv x+y+z=0\) y la recta \(r\equiv\begin{cases}x=\lambda\\y=1-\lambda\\z=0\end{cases}\)

Determina la ecuación del plano perpendicular a \(\pi\) que contiene a \(r\). (1,25 puntos)
Calcula la distancia entre \(r\) y \(\pi\). (1,25 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. \(r\) pasa por \((0,1,0)\) con dirección \(\vec d=(1,-1,0)\). La normal de \(\pi\) es \(\vec n=(1,1,1)\).

a) Plano perpendicular a \(\pi\) que contiene a \(r\). 1. El plano buscado contiene la dirección \(\vec d\) de \(r\) y es perpendicular a \(\pi\), luego contiene también a la normal \(\vec n\) de \(\pi\). 2. Su normal es \(\vec d\times\vec n=(-1,-1,2)\), proporcional a \((1,1,-2)\). 3. Pasa por \((0,1,0)\): \(x+(y-1)-2z=0\).

\(x+y-2z-1=0\).

b) Distancia entre \(r\) y \(\pi\). 1. \(\vec d\cdot\vec n=1-1+0=0\): la recta es paralela al plano, o está contenida en él. 2. El punto \((0,1,0)\) no cumple \(x+y+z=0\) (\(0+1+0=1\neq0\)), así que no está contenida: \(r\) es paralela a \(\pi\). 3. La distancia es la de cualquier punto de \(r\) al plano: \[d\big((0,1,0),\pi\big)=\dfrac{|0+1+0|}{\sqrt{1+1+1}}.\]

\(d=\dfrac{\sqrt3}{3}\).

Ejercicio 8 · Ordinaria · Suplente 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Sean los planos \(\pi_1\equiv 2x+y+z-3=0\), \(\pi_2\equiv x+2y-z+5=0\) y la recta \(r\equiv x-1=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{5}\).

Halla los puntos de \(r\) que equidistan de \(\pi_1\) y \(\pi_2\). (2 puntos)
Halla el seno del ángulo que forma el plano \(\pi_1\) con la recta \(r\). (0,5 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. \(r\) en paramétricas: \((1+t,\,2t,\,-1+5t)\), con dirección \(\vec d=(1,2,5)\).

a) Puntos de \(r\) equidistantes de los planos. 1. Distancia a \(\pi_1\) (\(2x+y+z-3=0\), con \(\sqrt{4+1+1}=\sqrt6\)): \(d_1=\dfrac{|2(1+t)+2t-1+5t-3|}{\sqrt6}=\dfrac{|9t-2|}{\sqrt6}\). 2. Distancia a \(\pi_2\) (\(x+2y-z+5=0\), con \(\sqrt{1+4+1}=\sqrt6\)): \(d_2=\dfrac{|(1+t)+4t-(-1+5t)+5|}{\sqrt6}=\dfrac{7}{\sqrt6}\) (todos los términos con \(t\) se cancelan: \(r\) es paralela a \(\pi_2\)). 3. Se igualan: \(|9t-2|=7\). 4. Si \(9t-2=7\): \(t=1\). Si \(9t-2=-7\): \(t=-\tfrac59\). 5. Se sustituye en \((1+t,2t,-1+5t)\).

Puntos: \((2,2,4)\) y \(\left(\tfrac49,-\tfrac{10}9,-\tfrac{34}9\right)\).

b) Seno del ángulo entre \(\pi_1\) y \(r\). 1. El seno del ángulo entre un plano y una recta usa la normal \(\vec n_1=(2,1,1)\) y la dirección \(\vec d=(1,2,5)\): \[\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec d|}{|\vec n_1||\vec d|}=\dfrac{|(2,1,1)\cdot(1,2,5)|}{\sqrt6\sqrt{30}}=\dfrac{9}{6\sqrt5}.\] 2. Se racionaliza: \(\dfrac{9}{6\sqrt5}=\dfrac{3}{2\sqrt5}=\dfrac{3\sqrt5}{10}\).

\(\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{3\sqrt5}{10}\).

Extraordinaria 2022

Ejercicio 7 · Extraordinaria 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera las rectas \(r\equiv x+1=y-a=-z\) y \(s\equiv\begin{cases}x=5+2\lambda\\y=-3\\z=2-\lambda\end{cases}\)

Calcula \(a\) para que \(r\) y \(s\) se corten. Determina dicho punto de corte. (1,5 puntos)
Halla la ecuación del plano que pasa por \(P(8,-7,2)\) y que contiene a la recta \(s\). (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Ayuda 2 · Método

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. \(r\) pasa por \((-1,a,0)\) con dirección \((1,1,-1)\); \(s\) pasa por \((5,-3,2)\) con dirección \((2,0,-1)\).

a) Valor de \(a\) y punto de corte. 1. Se escriben en paramétricas: \(r:\ (-1+t,\ a+t,\ -t)\) y \(s:\ (5+2\lambda,\ -3,\ 2-\lambda)\). Se igualan las coordenadas. 2. De la tercera, \(-t=2-\lambda\Rightarrow\lambda=t+2\). 3. En la primera: \(-1+t=5+2(t+2)\Rightarrow t=-10\), y \(\lambda=-8\). 4. De la segunda: \(a+t=-3\Rightarrow a=-3+10=7\). 5. Punto de corte (en \(r\) con \(t=-10\)): \((-1-10,\ 7-10,\ 10)=(-11,-3,10)\). Comprobación en \(s\) con \(\lambda=-8\): \((5-16,-3,2+8)=(-11,-3,10)\) ✓.

\(a=7\); punto de corte \((-11,-3,10)\).

b) Plano por \(P\) que contiene a \(s\). 1. El plano tiene como vectores directores la dirección de \(s\), \((2,0,-1)\), y el vector que une un punto de \(s\) con \(P\): \(\overrightarrow{P_sP}=(8-5,-7+3,2-2)=(3,-4,0)\). 2. Normal: \((2,0,-1)\times(3,-4,0)=(-4,-3,-8)\), proporcional a \((4,3,8)\). 3. Ecuación: \(4x+3y+8z+D=0\) y, al pasar por \(P(8,-7,2)\): \(32-21+16+D=0\Rightarrow D=-27\).

\(4x+3y+8z-27=0\).

Ejercicio 8 · Extraordinaria 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Sean el plano \(\pi\equiv x+y-z=2\) y la recta \(r\equiv x=\dfrac{y}{3}=z-1\).

Calcula, si existe, el punto de intersección de \(\pi\) y \(r\). (0,75 puntos)
Dado el punto \(Q(2,6,3)\), halla su simétrico respecto del plano \(\pi\). (1,75 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

a) Intersección de \(\pi\) y \(r\). 1. Se pasa \(r\) a paramétricas: \((t,\,3t,\,1+t)\). 2. Se sustituye en \(\pi\): \(t+3t-(1+t)=2\Rightarrow3t=3\Rightarrow t=1\).

Punto de intersección: \((1,3,2)\).

b) Simétrico de \(Q\) respecto de \(\pi\). 1. Normal de \(\pi\): \(\vec n=(1,1,-1)\). Recta perpendicular a \(\pi\) por \(Q\): \(Q+s\vec n=(2+s,\,6+s,\,3-s)\). 2. Se corta con \(\pi\): \((2+s)+(6+s)-(3-s)=2\Rightarrow5+3s=2\Rightarrow s=-1\). El pie de la perpendicular es \(M=(1,5,4)\). 3. El simétrico cumple que \(M\) es el punto medio de \(Q\) y \(Q'\): \(Q'=2M-Q=(2,10,8)-(2,6,3)\). 4. (Otra forma: para \(Q\) se tiene \(2+6-3-2=3\) y \(|\vec n|^2=3\), así que \(Q'=Q-2\,\dfrac{3}{3}\,\vec n=(2,6,3)-2(1,1,-1)\).)

\(Q'(0,4,5)\).

Extraordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 8 · Extraordinaria · Reserva 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera el punto \(P(2,0,-4)\) y el plano \(\pi\equiv\begin{cases}x=9\alpha+3\beta\\y=-1+2\alpha\\z=3+4\alpha+\beta\end{cases}\)

Halla el punto simétrico del punto \(P\) respecto del plano \(\pi\). (1,75 puntos)
Calcula la distancia del punto \(P\) al plano \(\pi\). (0,75 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Ecuación del plano. 1. Del plano en paramétricas: vectores directores \((9,2,4)\) y \((3,0,1)\), y punto \((0,-1,3)\) (para \(\alpha=\beta=0\)). 2. Normal: \(\vec n=(9,2,4)\times(3,0,1)=(2,3,-6)\), con \(|\vec n|=\sqrt{4+9+36}=7\). 3. Con el punto: \(2x+3y-6z+D=0\) y \(0-3-18+D=0\Rightarrow D=21\): \[\pi:\ 2x+3y-6z+21=0.\]

a) Simétrico de \(P\) respecto de \(\pi\). 1. Recta por \(P\) perpendicular a \(\pi\) (con dirección \(\vec n\)): \((2+2t,\,3t,\,-4-6t)\). 2. Se corta con \(\pi\): \(2(2+2t)+3(3t)-6(-4-6t)+21=0\Rightarrow4+4t+9t+24+36t+21=0\Rightarrow49t=-49\Rightarrow t=-1\). 3. El pie de la perpendicular es \(M(0,-3,2)\) (el punto medio de \(P\) y su simétrico). 4. Simétrico: \(P'=2M-P=(0,-6,4)-(2,0,-4)\).

\(P'(-2,-6,8)\).

b) Distancia de \(P\) a \(\pi\). 1. Fórmula: \(d(P,\pi)=\dfrac{|2\cdot2+3\cdot0-6\cdot(-4)+21|}{\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}}=\dfrac{|4+0+24+21|}{7}=\dfrac{49}{7}\).

\(d=7\).

Extraordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 7 · Extraordinaria · Suplente 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Sea el plano \(\pi\equiv 2x+y-2z-2=0\).

Halla las ecuaciones de los planos paralelos a \(\pi\) que distan 2 unidades de dicho plano. (1,5 puntos)
Calcula el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos de corte del plano \(\pi\) con los ejes coordenados. (1 punto)

Relacionado también con: Vectores en el espacio.

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
Calcula el producto escalar y los módulos.
Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Solución

a) Planos paralelos a \(\pi\) a distancia \(2\). 1. Los planos paralelos a \(\pi\) tienen la misma normal: \(2x+y-2z+k=0\). El plano \(\pi\) corresponde a \(k=-2\). 2. La distancia entre dos planos paralelos es \(\dfrac{|k-(-2)|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}=\dfrac{|k+2|}{3}\). 3. Se impone que valga \(2\): \(|k+2|=6\Rightarrow k+2=\pm6\), es decir, \(k=4\) o \(k=-8\).

\(2x+y-2z+4=0\) y \(2x+y-2z-8=0\).

b) Volumen del tetraedro. 1. Cortes de \(\pi\) con los ejes: con \(OX\) (\(y=z=0\)), \(2x=2\Rightarrow A(1,0,0)\); con \(OY\), \(y=2\Rightarrow B(0,2,0)\); con \(OZ\), \(-2z=2\Rightarrow C(0,0,-1)\). 2. El volumen del tetraedro es \(\tfrac16\) del valor absoluto del producto mixto de los vectores desde el origen: \[V=\tfrac16\left|[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]\right|=\tfrac16\,|1\cdot2\cdot(-1)|.\]

\(V=\tfrac13\) u\(^3\).

Ejercicio 8 · Extraordinaria · Suplente 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera las rectas \(r\equiv x=1-y=z\) y \(s\equiv\begin{cases}x+y-3z=4\\3x-y+z=-2\end{cases}\)

Estudia la posición relativa de \(r\) y \(s\). (1,5 puntos)
Calcula la ecuación del plano que contiene a \(s\) y es paralelo a \(r\). (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. 1. \(r\): punto \((0,1,0)\) y dirección \(\vec d_r=(1,-1,1)\) (de \(x=1-y=z\)). 2. \(s\): sumando las dos ecuaciones, \(4x-2z=2\Rightarrow z=2x-1\); sustituyendo, \(y=1+5x\). Con \(x\) como parámetro: punto \((0,1,-1)\) y dirección \(\vec d_s=(1,5,2)\).

a) Posición relativa. 1. Las direcciones \((1,-1,1)\) y \((1,5,2)\) no son proporcionales: no son paralelas ni coincidentes. 2. Vector entre los puntos de las rectas: \(\vec w=(0,0,-1)\). Se estudia si \(\vec d_r\), \(\vec d_s\) y \(\vec w\) son coplanarios: \[\begin{vmatrix}1&-1&1\\1&5&2\\0&0&-1\end{vmatrix}=-6\neq0.\] 3. No son coplanarios: las rectas no están en un mismo plano.

Las rectas se cruzan.

b) Plano que contiene a \(s\) y es paralelo a \(r\). 1. El plano tiene como vectores directores \(\vec d_s\) y \(\vec d_r\) y pasa por el punto \((0,1,-1)\) de \(s\). 2. Normal: \(\vec d_s\times\vec d_r=(1,5,2)\times(1,-1,1)=(7,1,-6)\). 3. Ecuación: \(7x+(y-1)-6(z+1)=0\).

\(7x+y-6z-7=0\).

2021

Ordinaria 2021

Ejercicio 7 · Ordinaria 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera las rectas

\[r\equiv\begin{cases}2x-3y+z-2=0\\-3x+2y+2z+1=0\end{cases}\qquad\text{y}\qquad s\equiv\begin{cases}x=3-2\lambda\\y=-1+\lambda\\z=-2+2\lambda\end{cases}\]

Calcula el plano perpendicular a la recta \(s\) que pasa por el punto \(P(1,0,-5)\). (1,5 puntos)
Calcula el seno del ángulo que forma la recta \(r\) con el plano \(\pi\equiv -2x+y+2z=0\). (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

a) Plano perpendicular a \(s\) por \(P\). 1. Un plano es perpendicular a la recta \(s\) si su vector normal es el director de \(s\), \((-2,1,2)\). 2. El plano es \(-2x+y+2z+k=0\). 3. Pasa por \(P(1,0,-5)\): \(-2\cdot1+0+2\cdot(-5)+k=0\Rightarrow-2-10+k=0\Rightarrow k=12\).

\(-2x+y+2z+12=0\) (equivalentemente \(2x-y-2z-12=0\)).

b) Seno del ángulo entre \(r\) y \(\pi\). 1. Dirección de \(r\): producto vectorial de los normales de sus dos planos, \((2,-3,1)\times(-3,2,2)=(-8,-7,-5)\), de módulo \(\sqrt{138}\). 2. Normal de \(\pi\): \((-2,1,2)\), de módulo \(3\). 3. Producto escalar: \((-8,-7,-5)\cdot(-2,1,2)=16-7-10=-1\). 4. El ángulo entre recta y plano usa el seno, con valor absoluto:

\[\operatorname{sen}\alpha=\frac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u||\vec n|}=\mathbf{\frac{1}{3\sqrt{138}}}=\frac{\sqrt{138}}{414}\approx0{,}028\]

Interpretación: el ángulo es muy pequeño (unos \(1{,}6^\circ\)): la recta es casi paralela al plano.

Ejercicio 8 · Ordinaria 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

La recta \(r\equiv\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+4}{2}=\dfrac{z-3}{3}\) y la recta \(s\), que pasa por los puntos \(P(1,0,2)\) y \(Q(a,1,0)\), se cortan en un punto. Calcula el valor de \(a\) y el punto de corte.

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. \(r\): punto \(R(-3,-4,3)\) y dirección \((2,2,3)\). \(s\): punto \(P(1,0,2)\) y dirección \(\overrightarrow{PQ}=(a-1,1,-2)\).
Condición de corte. Si se cortan, las dos rectas están en un mismo plano: los vectores directores y \(\overrightarrow{RP}=(4,4,-1)\) (de \(R\) a \(P\)) son coplanarios, es decir, su determinante es \(0\): \[\begin{vmatrix}2&2&3\\a-1&1&-2\\4&4&-1\end{vmatrix}=14a-28=0.\]
Resolviendo, \(a=2\), con dirección \((1,1,-2)\) para \(s\).
Punto de corte. \(r\): \((-3+2u,\,-4+2u,\,3+3u)\) y \(s\): \((1+v,\,v,\,2-2v)\). Se igualan componentes y se resuelve: \(u=1\), \(v=-2\).
Sustituyendo \(u=1\) en \(r\) (o \(v=-2\) en \(s\)) sale el mismo punto.

\(a=2\) y punto de corte \((-1,-2,6)\).

Ordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 7 · Ordinaria · Reserva 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera las rectas

\[r\equiv\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-1}{1}\qquad\text{y}\qquad s\equiv\begin{cases}x-y+z=2\\3x-y-z=-4\end{cases}\]

Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas \(r\) y \(s\), calcula su área.

Ayuda 1 · Recordatorio

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Direcciones. \(\vec u=(1,2,1)\) para \(r\). Para \(s\): \((1,-1,1)\times(3,-1,-1)=(2,4,2)\parallel\vec u\): las rectas son paralelas.
Puntos. Un punto de \(r\): \(R(0,-2,1)\). Un punto de \(s\) (tomando \(x=0\)): \(S(0,1,3)\), que no está en \(r\) (las rectas no coinciden).
Lado del cuadrado. Dos lados paralelos de un cuadrado distan lo que mide el lado, luego es la distancia entre ambas rectas.
Distancia. \[d=\frac{|\overrightarrow{RS}\times\vec u|}{|\vec u|}=\frac{|(0,3,2)\times(1,2,1)|}{\sqrt6}=\frac{|(-1,2,-3)|}{\sqrt6}=\sqrt{\frac{14}{6}}.\]
Área del cuadrado \(=d^2\).

Área \(=d^2=\dfrac73\ \text{u}^2\)

Ejercicio 8 · Ordinaria · Reserva 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera las rectas

\[r\equiv\begin{cases}x=1+\lambda\\y=1+\lambda\\z=2+m\lambda\end{cases}\qquad\text{y}\qquad s\equiv\begin{cases}x-y+2z=3\\x+z=2\end{cases}\]

Estudia la posición relativa de \(r\) y \(s\) según los valores de \(m\). (1,5 puntos)
Para \(m=1\), calcula el coseno del ángulo que forman las rectas \(r\) y \(s\). (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. \(r\): punto \(R(1,1,2)\), dirección \((1,1,m)\). \(s\): de \(x+z=2\) y \(x-y+2z=3\) resulta \(y=z-1\); con \(z=\mu\): \((2-\mu,\,\mu-1,\,\mu)\), punto \(S(2,-1,0)\), dirección \((-1,1,1)\).

a) Posición relativa. 1. Las direcciones \((1,1,m)\) y \((-1,1,1)\) nunca son proporcionales (sus dos primeras componentes lo impiden): no son paralelas ni coincidentes. 2. \(\overrightarrow{RS}=(1,-2,-2)\) y se estudia el determinante con las dos direcciones: \(\begin{vmatrix}1&1&m\\-1&1&1\\1&-2&-2\end{vmatrix}=m-1\). 3. Casos: - \(m\neq1\): se cruzan. - \(m=1\): se cortan en un punto.

b) Coseno del ángulo para \(m=1\). 1. Direcciones: \(\vec u=(1,1,1)\) y \(\vec v=(-1,1,1)\). 2. Producto escalar \(\vec u\cdot\vec v=1\) y módulos \(\sqrt3\) cada uno.

\[\cos\alpha=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u||\vec v|}=\frac{1}{\sqrt3\sqrt3}=\mathbf{\frac13}.\]

Ordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera las rectas

\[r\equiv\begin{cases}x=2+3\lambda\\y=-1+2\lambda\\z=3+\lambda\end{cases}\qquad\text{y}\qquad s\equiv\begin{cases}2x-y-2=0\\y+2z-4=0\end{cases}\]

Halla el plano que contiene a \(r\) y es paralelo a \(s\). (1,5 puntos)
Deduce razonadamente que ningún plano perpendicular a \(s\) contiene a \(r\). (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. \(r\): punto \(R(2,-1,3)\), dirección \(\vec u=(3,2,1)\). \(s\): de \(y=2x-2\) y \(z=3-x\), con \(x=\mu\): punto \((0,-2,3)\), dirección \(\vec v=(1,2,-1)\).

a) Plano que contiene a \(r\) y es paralelo a \(s\). 1. Contiene a \(r\) y es paralelo a \(s\): sus vectores directores son \(\vec u\) y \(\vec v\). 2. Normal: \(\vec u\times\vec v=(-4,4,4)\parallel(1,-1,-1)\). 3. Plano \(x-y-z+k=0\) por \(R(2,-1,3)\): \(2+1-3+k=0\Rightarrow k=0\).

\(x-y-z=0\)

b) Ningún plano perpendicular a \(s\) contiene a \(r\). 1. Un plano perpendicular a \(s\) tiene normal \(\vec v\). 2. Contendría a \(r\) solo si \(\vec u\cdot\vec v=0\) (la dirección de \(r\) debe ser perpendicular a la normal). 3. Pero \(\vec u\cdot\vec v=3+4-1=6\neq0\), luego \(r\) no es paralela a ningún plano de normal \(\vec v\), y por tanto ninguno la contiene.

Extraordinaria 2021

Ejercicio 7 · Extraordinaria 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

La recta perpendicular desde el punto \(A(1,1,0)\) a un cierto plano \(\pi\) corta a éste en el punto \(B\left(1,\dfrac12,\dfrac12\right)\).

Calcula la ecuación del plano \(\pi\). (1,5 puntos)
Halla la distancia del punto \(A\) a su simétrico respecto a \(\pi\). (1 punto)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

a) Plano \(\pi\). 1. La recta es perpendicular a \(\pi\), así que \(\overrightarrow{AB}=\left(0,-\tfrac12,\tfrac12\right)\) es normal a \(\pi\); tomamos \((0,-1,1)\). 2. El plano es \(-y+z+k=0\). 3. Pasa por \(B\): \(-\tfrac12+\tfrac12+k=0\Rightarrow k=0\).

\(\pi\equiv y-z=0\)

b) Distancia de \(A\) a su simétrico. 1. El simétrico \(A'\) de \(A\) respecto de \(\pi\) cumple que \(B\) (la proyección) es el punto medio de \(AA'\). 2. Luego \(d(A,A')=2\,|AB|=2\sqrt{\tfrac14+\tfrac14}=\) \(\sqrt2\) u

Ejercicio 8 · Extraordinaria 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera las rectas

\[r\equiv\begin{cases}x=3+\lambda\\y=1\\z=-3-\lambda\end{cases}\qquad\text{y}\qquad s\equiv\begin{cases}x+y=1\\z=0\end{cases}\]

Estudia la posición relativa de \(r\) y \(s\). (1,25 puntos)
Halla la recta que corta perpendicularmente a \(r\) y a \(s\). (1,25 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. \(r\): punto \((3,1,-3)\), dirección \((1,0,-1)\). \(s\): \(x=\mu,\ y=1-\mu,\ z=0\): punto \((0,1,0)\), dirección \((1,-1,0)\).

a) Posición relativa. 1. Las direcciones no son proporcionales: no son paralelas ni coincidentes. 2. El punto \((0,1,0)\) de \(s\) está también en \(r\) (con \(\lambda=-3\): \(x=0\), \(y=1\), \(z=0\)).

Las rectas se cortan en el punto \((0,1,0)\).

b) Recta perpendicular a ambas. 1. Como las rectas se cortan, la recta que corta perpendicularmente a ambas pasa por el punto de corte. 2. Dirección perpendicular a ambas: \((1,0,-1)\times(1,-1,0)=(-1,-1,-1)\parallel(1,1,1)\).

\(\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{1}\)

Extraordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 7 · Extraordinaria · Reserva 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera el punto \(P(1,2,6)\) y el plano \(\pi\equiv 2x-y+z=0\).

Halla las ecuaciones de los planos paralelos a \(\pi\) cuya distancia a éste sea \(\sqrt{6}\) unidades. (1,25 puntos)
Halla el simétrico del punto \(P\) respecto al plano \(\pi\). (1,25 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Dato. Normal de \(\pi\): \(\vec n=(2,-1,1)\), con \(|\vec n|=\sqrt6\).

a) Planos paralelos a distancia \(\sqrt6\). 1. Los planos paralelos a \(\pi\) son \(2x-y+z+k=0\). 2. Distancia a \(\pi\) (que tiene \(k=0\)): \(d=\dfrac{|k|}{\sqrt6}=\sqrt6\Rightarrow|k|=6\Rightarrow k=\pm6\).

\(2x-y+z+6=0\) y \(2x-y+z-6=0\)

b) Simétrico de \(P\) respecto de \(\pi\). 1. Recta por \(P\) perpendicular a \(\pi\): \((1+2t,\,2-t,\,6+t)\). 2. Se corta con \(\pi\): \(2(1+2t)-(2-t)+(6+t)=6t+6=0\Rightarrow t=-1\). 3. Proyección de \(P\) sobre \(\pi\): \(M(-1,3,5)\). 4. \(M\) es el punto medio de \(P\) y su simétrico, luego \(P'=2M-P\):

\(P'=(-3,4,4)\)

Ejercicio 8 · Extraordinaria · Reserva 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera los puntos \(B(-1,0,-1)\), \(C(0,1,-3)\) y la recta \(r\equiv\begin{cases}x=-\lambda\\y=1+2\lambda\\z=-1+\lambda\end{cases}\)

Calcula un punto que esté en \(r\) y equidiste de \(B\) y \(C\). (1,25 puntos)
Siendo \(D(1,-1,-2)\), calcula el área del triángulo con vértices en los puntos \(B\), \(C\) y \(D\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Vectores en el espacio.

Ayuda 1 · Recordatorio

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

Ayuda 2 · Método

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
Calcula el producto escalar y los módulos.
Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Solución

Dato. Un punto genérico de \(r\) es \(R(-\lambda,\,1+2\lambda,\,-1+\lambda)\).

a) Punto de \(r\) equidistante de \(B\) y \(C\). 1. Distancias al cuadrado: \(|RB|^2=6\lambda^2+2\lambda+2\) y \(|RC|^2=6\lambda^2+4\lambda+4\). 2. Se igualan: \(2\lambda+2=4\lambda+4\Rightarrow\lambda=-1\). 3. Sustituyendo \(\lambda=-1\) en \(R\).

Punto \((1,-1,-2)\) (para \(\lambda=-1\)).

b) Área del triángulo \(BCD\). 1. Vectores: \(\overrightarrow{BC}=(1,1,-2)\) y \(\overrightarrow{BD}=(2,-1,-1)\). 2. Producto vectorial: \(\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BD}=(-3,-3,-3)\), de módulo \(3\sqrt3\). 3. El área es la mitad del módulo.

Área \(=\dfrac{3\sqrt3}{2}\ \text{u}^2\)

Extraordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 7 · Extraordinaria · Suplente 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera el punto \(P(1,0,1)\) y el plano \(\pi\equiv x-y+z+1=0\).

Halla el simétrico del punto \(P\) respecto al plano \(\pi\). (1,25 puntos)
Halla la distancia del punto \(P\) al plano \(\pi\). (1,25 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Distancias y ángulos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Proyecciones, simétricos y puntos de una recta o plano.

Construye la recta (o plano) perpendicular que pasa por \(P\): dirección \(\vec{n}\) (o normal \(\vec{v}\)).
Corta con el plano (o la recta) sustituyendo las paramétricas en la ecuación y resolviendo para el parámetro.
Esa intersección \(M\) es la proyección; el simétrico es \(P'=2M-P\) (en cada coordenada).
Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(P\) y \(P'\).

Distancias y ángulos.

Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
Sustituye y simplifica los radicales.
Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Dato. Normal de \(\pi\): \(\vec n=(1,-1,1)\).

a) Simétrico de \(P\). 1. Recta por \(P\) perpendicular a \(\pi\): \((1+t,\,-t,\,1+t)\). 2. Se corta con \(\pi\): \((1+t)+t+(1+t)+1=3t+3=0\Rightarrow t=-1\). 3. Proyección de \(P\) sobre \(\pi\) (punto medio): \(M(0,1,0)\). 4. El simétrico es \(2M-P\):

\(P'=(-1,2,-1)\)

b) Distancia de \(P\) a \(\pi\). 1. Fórmula: \(d(P,\pi)=\dfrac{|1-0+1+1|}{\sqrt3}=\) \(\sqrt3\) u

Ejercicio 8 · Extraordinaria · Suplente 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera las rectas

\[r\equiv\dfrac{x-2}{-2}=y-1=\dfrac{z}{-2}\qquad\text{y}\qquad s\equiv\begin{cases}x+2y=3\\2y+z=2\end{cases}\]

Estudia la posición relativa de \(r\) y \(s\). (1,25 puntos)
Calcula, si es posible, el plano que contiene a \(r\) y a \(s\). (1,25 puntos)

Ayuda 1 · Recordatorio

Posición relativa de rectas y planos.

Ecuaciones de rectas y planos.

Ayuda 2 · Método

Posición relativa de rectas y planos.

Plantea el sistema formado por las ecuaciones y discútelo con rangos (Rouché), o compara vectores directores y normales.
Si hay parámetro, obtén los valores críticos con el determinante y estudia cada caso.
Si son secantes, resuelve el sistema para hallar el punto o la recta de corte.

Ecuaciones de rectas y planos.

Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Solución

Datos. \(r\): punto \((2,1,0)\), dirección \(\vec u=(-2,1,-2)\). \(s\): de \(x+2y=3\), \(2y+z=2\) con \(y=\mu\): \((3-2\mu,\,\mu,\,2-2\mu)\), punto \((3,0,2)\), dirección \(\vec v=(-2,1,-2)\).

a) Posición relativa. 1. \(\vec u=\vec v\): las rectas son paralelas o coincidentes. 2. El vector que une los puntos es \((3,0,2)-(2,1,0)=(1,-1,2)\), que no es proporcional a \(\vec u\): el punto de \(s\) no está en \(r\).

Las rectas son paralelas y distintas.

b) Plano que contiene a \(r\) y a \(s\). 1. Sí existe, porque las rectas paralelas siempre están en un plano. 2. Su normal es perpendicular a \(\vec u\) y a \((1,-1,2)\): \(\vec u\times(1,-1,2)=(0,2,1)\). 3. Pasa por \((2,1,0)\): \(2\cdot1+0+k=0\Rightarrow k=-2\).

\(2y+z-2=0\)

También trabajan este tema

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