PAU Andalucía — Vectores en el espacio

Ejercicios de Matemáticas II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es vectores en el espacio: 13 ejercicios de convocatorias ordinarias, extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la solución paso a paso con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

2026

Ordinaria 2026

Ejercicio 2 · Ordinaria 2026 · Parte obligatoria · (2,5 puntos) · Examen

Considera los puntos \(A(1,2,0)\), \(B(2,m,1)\), \(C(3,4,2)\) y \(D(1,-1,m)\).

  1. Halla los valores de \(m\) para los cuales los puntos anteriores son coplanarios. (1 punto)

  2. Para \(m=1\), calcula el área del triángulo de vértices \(A\), \(B\), \(C\) y el volumen del tetraedro de vértices \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). (1,5 puntos)

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

\(\vec{u}\times\vec{v}\) es perpendicular a ambos, con \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\alpha\) (área del paralelogramo). Área del triángulo \(=\dfrac12|\vec{u}\times\vec{v}|\). Producto mixto \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\) (determinante): volumen del paralelepípedo \(=|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\) y del tetraedro \(\dfrac16|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\). Tres vectores son coplanarios si \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha\). Módulo \(|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\). Ortogonales: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Proyección de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\): \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\). Unitario: \(\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\).

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

  1. Forma los vectores con origen en un mismo vértice.
  2. Calcula el producto vectorial (determinante simbólico) o el mixto (determinante \(3\times3\)).
  3. Aplica la fórmula de área o volumen con su factor (\(\tfrac12\) o \(\tfrac16\) si es triángulo o tetraedro).
  4. Da la unidad: \(\text{u}^2\) o \(\text{u}^3\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

  1. Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
  2. Calcula el producto escalar y los módulos.
  3. Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
  4. Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Vectores con origen en \(A\). 1. \(\overrightarrow{AB}=(1,m-2,1)\), \(\overrightarrow{AC}=(2,2,2)\) y \(\overrightarrow{AD}=(0,-3,m)\).

a) Valores de \(m\) con puntos coplanarios. 1. Cuatro puntos son coplanarios si los tres vectores desde \(A\) lo son, es decir, si su producto mixto (determinante) es \(0\). 2. Se desarrolla el determinante: \[\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=-2m(m-3).\] 3. Se iguala a \(0\) y se resuelve.

\(m=0\) o \(m=3\).

b) Área y volumen (con \(m=1\)). 1. Vectores: \(\overrightarrow{AB}=(1,-1,1)\) y \(\overrightarrow{AC}=(2,2,2)\). 2. Producto vectorial: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-4,0,4)\), de módulo \(4\sqrt2\). 3. El área del triángulo es la mitad del módulo: \(\dfrac{4\sqrt2}{2}\). 4. El producto mixto de los tres vectores (con \(\overrightarrow{AD}=(0,-3,1)\)) vale \(-2m(m-3)=4\). 5. El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto: \(\dfrac{|4|}{6}\).

Área \(=\dfrac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2\ \text{u}^2\); volumen \(=\dfrac{|4|}{6}=\dfrac23\ \text{u}^3\).

Extraordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 3.1 · Extraordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque optativo 1 · (2,5 puntos) · Examen

Considera los vectores \(\vec{u}=(2,0,1)\) y \(\vec{v}=(1,m,2)\).

  1. Calcula \(m\) para que el área del triángulo que definen \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) sea \(\dfrac{\sqrt{29}}{2}\). (1,25 puntos)

  2. Para \(m=0\), halla los vectores que sean perpendiculares a \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), y tengan módulo \(\sqrt{20}\). (1,25 puntos)

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

\(\vec{u}\times\vec{v}\) es perpendicular a ambos, con \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\alpha\) (área del paralelogramo). Área del triángulo \(=\dfrac12|\vec{u}\times\vec{v}|\). Producto mixto \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\) (determinante): volumen del paralelepípedo \(=|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\) y del tetraedro \(\dfrac16|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\). Tres vectores son coplanarios si \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha\). Módulo \(|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\). Ortogonales: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Proyección de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\): \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\). Unitario: \(\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\).

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

  1. Forma los vectores con origen en un mismo vértice.
  2. Calcula el producto vectorial (determinante simbólico) o el mixto (determinante \(3\times3\)).
  3. Aplica la fórmula de área o volumen con su factor (\(\tfrac12\) o \(\tfrac16\) si es triángulo o tetraedro).
  4. Da la unidad: \(\text{u}^2\) o \(\text{u}^3\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

  1. Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
  2. Calcula el producto escalar y los módulos.
  3. Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
  4. Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Producto vectorial. 1. \(\vec u\times\vec v=(-m,-3,2m)\). 2. Módulo: \(|\vec u\times\vec v|=\sqrt{m^2+9+4m^2}=\sqrt{5m^2+9}\).

a) Valor de \(m\) para el área dada. 1. El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial: \(\tfrac12\sqrt{5m^2+9}=\tfrac{\sqrt{29}}{2}\). 2. Se elevan al cuadrado: \(5m^2+9=29\Rightarrow5m^2=20\).

\(m=2\) o \(m=-2\).

b) Vectores perpendiculares a \(\vec u\) y \(\vec v\) de módulo \(\sqrt{20}\) (con \(m=0\)). 1. Un vector perpendicular a ambos es paralelo al producto vectorial: \(\vec u\times\vec v=(0,-3,0)\). 2. Los vectores buscados son de la forma \((0,k,0)\) con \(|k|=\sqrt{20}=2\sqrt5\).

\((0,2\sqrt5,0)\) y \((0,-2\sqrt5,0)\).

2025

Ordinaria 2025

Ejercicio 4 · Ordinaria 2025 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sean los puntos \(O(0,0,0)\), \(A(0,2,-2)\), \(B(1,2,m)\) y \(C(2,3,2)\).

  1. Halla los valores de \(m\) para que el tetraedro determinado por los puntos \(O\), \(A\), \(B\) y \(C\) tenga un volumen de 3 unidades cúbicas. (1,25 puntos)

  2. Para \(m=0\), calcula la distancia del punto \(O\) al plano que pasa por los puntos \(A\), \(B\) y \(C\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Rectas y planos.

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

\(\vec{u}\times\vec{v}\) es perpendicular a ambos, con \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\alpha\) (área del paralelogramo). Área del triángulo \(=\dfrac12|\vec{u}\times\vec{v}|\). Producto mixto \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\) (determinante): volumen del paralelepípedo \(=|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\) y del tetraedro \(\dfrac16|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\). Tres vectores son coplanarios si \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Recta por \(P\) con dirección \(\vec{v}\): \((x,y,z)=P+\lambda\vec{v}\) (paramétricas, continua o implícita). Plano por \(P\) con vectores \(\vec{u},\vec{v}\): \(\begin{vmatrix}x-p_1&y-p_2&z-p_3\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}=0\); con normal \(\vec{n}=(A,B,C)\): \(A(x-p_1)+B(y-p_2)+C(z-p_3)=0\), es decir, \(Ax+By+Cz+D=0\).

Distancias y ángulos.

Distancia de \(P\) al plano \(\pi:Ax+By+Cz+D=0\): \(\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\). Distancia de \(P\) a una recta \(r\) (punto \(Q\), dirección \(\vec{v}\)): \(\dfrac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}\). Entre dos rectas que se cruzan: \(\dfrac{|[\overrightarrow{PQ},\vec{u},\vec{v}]|}{|\vec{u}\times\vec{v}|}\). Ángulo entre vectores directores o normales: \(\cos\alpha=\dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) (el de recta y plano usa el seno).

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

  1. Forma los vectores con origen en un mismo vértice.
  2. Calcula el producto vectorial (determinante simbólico) o el mixto (determinante \(3\times3\)).
  3. Aplica la fórmula de área o volumen con su factor (\(\tfrac12\) o \(\tfrac16\) si es triángulo o tetraedro).
  4. Da la unidad: \(\text{u}^2\) o \(\text{u}^3\).

Ecuaciones de rectas y planos.

  1. Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
  2. Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
  3. Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Distancias y ángulos.

  1. Elige la fórmula según los objetos (punto-plano, punto-recta, recta-recta, planos paralelos).
  2. Extrae los datos: puntos, vectores directores y normales.
  3. Sustituye y simplifica los radicales.
  4. Para dos planos o rectas paralelas, reduce a la distancia de un punto de una a la otra.

a) Volumen del tetraedro. 1. Vectores desde \(O\): \(\overrightarrow{OA}=(0,2,-2)\), \(\overrightarrow{OB}=(1,2,m)\) y \(\overrightarrow{OC}=(2,3,2)\). 2. Producto mixto (determinante): \[\left|\begin{matrix}0&2&-2\\1&2&m\\2&3&2\end{matrix}\right|=4m-2.\] 3. El volumen del tetraedro es una sexta parte del valor absoluto del producto mixto: \(V=\dfrac{|4m-2|}{6}=3\). 4. Entonces \(4m-2=\pm18\), de donde \(m=5\) o \(m=-4\).

\(m=5\) o \(m=-4\).

b) Distancia de \(O\) al plano \(ABC\) (con \(m=0\)). 1. Puntos y vectores: \(B(1,2,0)\), \(\overrightarrow{AB}=(1,0,2)\) y \(\overrightarrow{AC}=(2,1,4)\). 2. Normal del plano: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-2,0,1)\). 3. Plano por \(A(0,2,-2)\): \(-2x+z+D=0\) con \(-2+D=0\), luego \(-2x+z+2=0\), es decir, \(2x-z-2=0\) (comprobado con \(B\): \(2-0-2=0\), y con \(C\): \(4-2-2=0\)). 4. Distancia del origen al plano: \[d(O,\pi)=\frac{|-2|}{\sqrt{4+1}}=\mathbf{\frac{2}{\sqrt5}}=\frac{2\sqrt5}{5}\approx0{,}89.\]

Ordinaria · Suplente 1 2025

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente 1 2025 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Sean los puntos \(A(3,-1,1)\), \(B(1,3,-3)\) y \(C(-2,-2,1)\).

  1. Calcula el área del triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\). (1 punto)

  2. Halla los puntos \(D\) pertenecientes al eje \(OZ\) para que el tetraedro de vértices \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) tenga un volumen de 20 unidades cúbicas. (1,5 puntos)

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

\(\vec{u}\times\vec{v}\) es perpendicular a ambos, con \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\alpha\) (área del paralelogramo). Área del triángulo \(=\dfrac12|\vec{u}\times\vec{v}|\). Producto mixto \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\) (determinante): volumen del paralelepípedo \(=|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\) y del tetraedro \(\dfrac16|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\). Tres vectores son coplanarios si \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha\). Módulo \(|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\). Ortogonales: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Proyección de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\): \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\). Unitario: \(\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\).

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

  1. Forma los vectores con origen en un mismo vértice.
  2. Calcula el producto vectorial (determinante simbólico) o el mixto (determinante \(3\times3\)).
  3. Aplica la fórmula de área o volumen con su factor (\(\tfrac12\) o \(\tfrac16\) si es triángulo o tetraedro).
  4. Da la unidad: \(\text{u}^2\) o \(\text{u}^3\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

  1. Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
  2. Calcula el producto escalar y los módulos.
  3. Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
  4. Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

a) Área del triángulo. 1. Vectores desde \(A\): \(\overrightarrow{AB}=(-2,4,-4)\) y \(\overrightarrow{AC}=(-5,-1,0)\). 2. Producto vectorial: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-4,20,22)\). 3. El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial: \[\text{Área}=\tfrac12\sqrt{16+400+484}=\tfrac12\sqrt{900}=\mathbf{15}\ u^2.\]

b) Puntos \(D\) del eje \(OZ\). 1. Un punto del eje \(OZ\) es \(D(0,0,z)\), y \(\overrightarrow{AD}=(-3,1,z-1)\). 2. Producto mixto: \((\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AD}=12+20+22(z-1)=22z+10\). 3. El volumen del tetraedro es \(V=\dfrac{|22z+10|}{6}=20\), luego \(22z+10=\pm120\). 4. Dos soluciones: \(z=5\) y \(z=-\dfrac{65}{11}\).

\(D(0,0,5)\) y \(D\left(0,0,-\dfrac{65}{11}\right)\).

2024

Ordinaria · Suplente 2024

Ejercicio 8 · Ordinaria · Suplente 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera los puntos \(A(1,1,2)\), \(B(1,0,1)\) y \(C(1,-1,2)\).

  1. Determina el área del triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\). (1,25 puntos)

  2. Calcula \(D\) para que los puntos \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) sean los vértices consecutivos de un paralelogramo. (1,25 puntos)

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

\(\vec{u}\times\vec{v}\) es perpendicular a ambos, con \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\alpha\) (área del paralelogramo). Área del triángulo \(=\dfrac12|\vec{u}\times\vec{v}|\). Producto mixto \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\) (determinante): volumen del paralelepípedo \(=|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\) y del tetraedro \(\dfrac16|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\). Tres vectores son coplanarios si \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha\). Módulo \(|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\). Ortogonales: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Proyección de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\): \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\). Unitario: \(\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\).

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

  1. Forma los vectores con origen en un mismo vértice.
  2. Calcula el producto vectorial (determinante simbólico) o el mixto (determinante \(3\times3\)).
  3. Aplica la fórmula de área o volumen con su factor (\(\tfrac12\) o \(\tfrac16\) si es triángulo o tetraedro).
  4. Da la unidad: \(\text{u}^2\) o \(\text{u}^3\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

  1. Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
  2. Calcula el producto escalar y los módulos.
  3. Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
  4. Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Datos. Vectores desde \(B\): \(\overrightarrow{BA}=(0,1,1)\) y \(\overrightarrow{BC}=(0,-1,1)\). Su producto vectorial es \(\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}=(2,0,0)\).

a) Área del triángulo. 1. El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial: \(\tfrac12\,|(2,0,0)|=\tfrac12\cdot2\).

Área \(=\tfrac12\cdot2=\mathbf{1\ u^2}\).

b) Cuarto vértice del paralelogramo. 1. Con los vértices consecutivos \(A,B,C,D\), los lados opuestos son iguales: \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\). 2. De aquí, \(D=C+\overrightarrow{BA}=A+C-B\). 3. \(D=(1,1,2)+(1,-1,2)-(1,0,1)\):

\[\mathbf{D=(1,0,3)}\]

Extraordinaria 2024

Ejercicio 8 · Extraordinaria 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera los puntos \(A(4,0,0)\) y \(B(0,2,0)\). Calcula los puntos del plano \(OXZ\) que forman un triángulo equilátero con \(A\) y \(B\).

Relacionado también con: Rectas y planos.

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

\(\vec{u}\times\vec{v}\) es perpendicular a ambos, con \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\alpha\) (área del paralelogramo). Área del triángulo \(=\dfrac12|\vec{u}\times\vec{v}|\). Producto mixto \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\) (determinante): volumen del paralelepípedo \(=|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\) y del tetraedro \(\dfrac16|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\). Tres vectores son coplanarios si \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha\). Módulo \(|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\). Ortogonales: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Proyección de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\): \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\). Unitario: \(\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Recta por \(P\) con dirección \(\vec{v}\): \((x,y,z)=P+\lambda\vec{v}\) (paramétricas, continua o implícita). Plano por \(P\) con vectores \(\vec{u},\vec{v}\): \(\begin{vmatrix}x-p_1&y-p_2&z-p_3\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}=0\); con normal \(\vec{n}=(A,B,C)\): \(A(x-p_1)+B(y-p_2)+C(z-p_3)=0\), es decir, \(Ax+By+Cz+D=0\).

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

  1. Forma los vectores con origen en un mismo vértice.
  2. Calcula el producto vectorial (determinante simbólico) o el mixto (determinante \(3\times3\)).
  3. Aplica la fórmula de área o volumen con su factor (\(\tfrac12\) o \(\tfrac16\) si es triángulo o tetraedro).
  4. Da la unidad: \(\text{u}^2\) o \(\text{u}^3\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

  1. Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
  2. Calcula el producto escalar y los módulos.
  3. Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
  4. Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Ecuaciones de rectas y planos.

  1. Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
  2. Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
  3. Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Planteamiento. 1. Un punto del plano \(OXZ\) (\(y=0\)) es \(P(x,0,z)\). 2. Lado del triángulo: \(|AB|^2=16+4=20\). 3. Equilátero: \(|PA|=|PB|=|AB|\).

Resolución. 1. \(|PA|=|PB|\): \((x-4)^2+z^2=x^2+4+z^2\Rightarrow-8x+16=4\Rightarrow x=\tfrac32\). 2. \(|PA|^2=20\): \(\left(\tfrac32-4\right)^2+z^2=\left(\tfrac52\right)^2+z^2=20\Rightarrow z^2=\tfrac{55}{4}\). 3. Dos soluciones, simétricas respecto del plano \(OXY\) (\(z=\pm\tfrac{\sqrt{55}}2\)).

\[\mathbf{P=\left(\tfrac32,0,\tfrac{\sqrt{55}}2\right)\ \text{ y }\ P'=\left(\tfrac32,0,-\tfrac{\sqrt{55}}2\right)}\]

Extraordinaria · Reserva 2024

Ejercicio 8 · Extraordinaria · Reserva 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera los vectores \(\vec{u}=(1,a,2)\) y \(\vec{v}=(-2,1,a)\).

  1. Calcula \(a\) para que ambos vectores formen un ángulo de \(\pi/3\) radianes. (1 punto)

  2. Calcula \(a\) para que el vector \((\vec{u}\times\vec{v})-\vec{v}\) sea ortogonal a \(\vec{u}\). (1,5 puntos)

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha\). Módulo \(|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\). Ortogonales: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Proyección de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\): \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\). Unitario: \(\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\).

  1. Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
  2. Calcula el producto escalar y los módulos.
  3. Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
  4. Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Datos. \(\vec u\cdot\vec v=-2+a+2a=3a-2\) y \(|\vec u|=|\vec v|=\sqrt{5+a^2}\) (para \(\vec u\): \(1+a^2+4\); para \(\vec v\): \(4+1+a^2\)).

a) Ángulo de \(\pi/3\). 1. \(\cos\dfrac\pi3=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}=\dfrac{3a-2}{5+a^2}=\dfrac12\). 2. \(6a-4=5+a^2\Rightarrow a^2-6a+9=0\Rightarrow(a-3)^2=0\).

\(\mathbf{a=3}\) (comprobación: \(7/14=1/2\)).

b) Ortogonalidad. 1. \(\vec u\times\vec v\) es perpendicular a \(\vec u\), luego \((\vec u\times\vec v)\cdot\vec u=0\). 2. Entonces \(\big((\vec u\times\vec v)-\vec v\big)\cdot\vec u=0-\vec v\cdot\vec u=0\Rightarrow3a-2=0\):

\[\mathbf{a=\tfrac23}.\]

Extraordinaria · Suplente 2024

Ejercicio 8 · Extraordinaria · Suplente 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · PDF del examen

Considera los puntos \(O(0,0,0)\), \(A(a,-1,2)\) y \(B(a,1,0)\).

  1. Determina \(a\) para que el triángulo \(OAB\) tenga área 3 unidades cuadradas. (1,5 puntos)

  2. Calcula \(a\) para que \(O\), \(A\) y \(B\) sean coplanarios con el punto \(C(1,1,0)\). (1 punto)

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

\(\vec{u}\times\vec{v}\) es perpendicular a ambos, con \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\alpha\) (área del paralelogramo). Área del triángulo \(=\dfrac12|\vec{u}\times\vec{v}|\). Producto mixto \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\) (determinante): volumen del paralelepípedo \(=|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\) y del tetraedro \(\dfrac16|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\). Tres vectores son coplanarios si \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha\). Módulo \(|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\). Ortogonales: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Proyección de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\): \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\). Unitario: \(\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\).

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

  1. Forma los vectores con origen en un mismo vértice.
  2. Calcula el producto vectorial (determinante simbólico) o el mixto (determinante \(3\times3\)).
  3. Aplica la fórmula de área o volumen con su factor (\(\tfrac12\) o \(\tfrac16\) si es triángulo o tetraedro).
  4. Da la unidad: \(\text{u}^2\) o \(\text{u}^3\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

  1. Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
  2. Calcula el producto escalar y los módulos.
  3. Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
  4. Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Datos. \(\overrightarrow{OA}=(a,-1,2)\) y \(\overrightarrow{OB}=(a,1,0)\), con \(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=(-2,2a,2a)\).

a) Área \(3\). 1. Área del triángulo: \(\tfrac12\,|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}|=\tfrac12\sqrt{4+8a^2}\). 2. Se iguala a \(3\): \(\sqrt{4+8a^2}=6\Rightarrow4+8a^2=36\Rightarrow a^2=4\).

\[\mathbf{a=2\ \text{ o }\ a=-2}.\]

b) Coplanarios con \(C(1,1,0)\). 1. Cuatro puntos con \(O\) en el origen son coplanarios si \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\) y \(\overrightarrow{OC}\) lo son: producto mixto cero. 2. Determinante: \(\begin{vmatrix}a&-1&2\\a&1&0\\1&1&0\end{vmatrix}=2(a-1)\) (se desarrolla por la tercera columna, que solo tiene el elemento \(2\)). 3. \(2(a-1)=0\):

\[\mathbf{a=1}.\]

2023

Ordinaria · Reserva 2023

Ejercicio 7 · Ordinaria · Reserva 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Considera los puntos \(A(1,-2,3)\) y \(B(2,0,-1)\).

  1. Halla los puntos que dividen el segmento \(AB\) en cuatro partes iguales. (1,5 puntos)

  2. Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento \(AB\) que pasa por el punto medio de dicho segmento. (1 punto)

Relacionado también con: Rectas y planos.

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha\). Módulo \(|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\). Ortogonales: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Proyección de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\): \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\). Unitario: \(\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Recta por \(P\) con dirección \(\vec{v}\): \((x,y,z)=P+\lambda\vec{v}\) (paramétricas, continua o implícita). Plano por \(P\) con vectores \(\vec{u},\vec{v}\): \(\begin{vmatrix}x-p_1&y-p_2&z-p_3\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}=0\); con normal \(\vec{n}=(A,B,C)\): \(A(x-p_1)+B(y-p_2)+C(z-p_3)=0\), es decir, \(Ax+By+Cz+D=0\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

  1. Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
  2. Calcula el producto escalar y los módulos.
  3. Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
  4. Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Ecuaciones de rectas y planos.

  1. Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
  2. Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
  3. Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Vector del segmento. \(\overrightarrow{AB}=(1,2,-4)\).

a) Puntos que dividen \(AB\) en cuatro partes iguales. 1. Se avanza desde \(A\) un cuarto del vector cada vez: \(A+\dfrac k4\overrightarrow{AB}\), con \(k=1,2,3\). 2. Se calculan los tres puntos:

\(\left(\dfrac54,-\dfrac32,2\right)\), \(\left(\dfrac32,-1,1\right)\) y \(\left(\dfrac74,-\dfrac12,0\right)\) (el segundo es el punto medio).

b) Plano perpendicular por el punto medio. 1. La normal es \(\overrightarrow{AB}=(1,2,-4)\): el plano es \(x+2y-4z+D=0\). 2. Debe pasar por \(M\left(\dfrac32,-1,1\right)\): \(\dfrac32-2-4+D=0\Rightarrow D=\dfrac92\). 3. Se multiplica por \(2\) para quitar denominadores.

\(2x+4y-8z+9=0\).

Ordinaria · Suplente 2023

Ejercicio 8 · Ordinaria · Suplente 2023 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Dados los puntos \(O(0,0,0)\), \(A(2,-1,0)\), \(B(3,0,x)\) y \(C(-x,1,-1)\), los vectores \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\) y \(\overrightarrow{OC}\) determinan un paralelepípedo.

  1. Calcula los posibles valores de \(x\) sabiendo que el volumen del paralelepípedo es 5 unidades cúbicas. (1,5 puntos)

  2. Para \(x=1\), halla el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los vértices \(O\), \(A\) y \(B\). (1 punto)

\(\vec{u}\times\vec{v}\) es perpendicular a ambos, con \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\alpha\) (área del paralelogramo). Área del triángulo \(=\dfrac12|\vec{u}\times\vec{v}|\). Producto mixto \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\) (determinante): volumen del paralelepípedo \(=|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\) y del tetraedro \(\dfrac16|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\). Tres vectores son coplanarios si \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0\).

  1. Forma los vectores con origen en un mismo vértice.
  2. Calcula el producto vectorial (determinante simbólico) o el mixto (determinante \(3\times3\)).
  3. Aplica la fórmula de área o volumen con su factor (\(\tfrac12\) o \(\tfrac16\) si es triángulo o tetraedro).
  4. Da la unidad: \(\text{u}^2\) o \(\text{u}^3\).

a) Volumen del paralelepípedo. 1. El volumen es el valor absoluto del producto mixto, es decir, del determinante de los tres vectores. 2. \(\begin{vmatrix}2&-1&0\\3&0&x\\-x&1&-1\end{vmatrix}=x^{2}-2x-3\). 3. Se impone \(|x^{2}-2x-3|=5\): - \(x^{2}-2x-8=0\Rightarrow x=4,\ x=-2\). - \(x^{2}-2x+2=0\) no tiene solución real.

\(x=4\) o \(x=-2\).

b) Área de la cara \(OAB\) con \(x=1\). 1. Los lados de la cara son \(\overrightarrow{OA}=(2,-1,0)\) y \(\overrightarrow{OB}=(3,0,1)\). 2. \(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=(2,-1,0)\times(3,0,1)=(-1,-2,3)\). 3. El área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial.

Área \(=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\ \text{u}^2\).

2022

Ordinaria 2022

Ejercicio 7 · Ordinaria 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Se consideran los vectores \(\vec{u}=(-1,2,3)\) y \(\vec{v}=(2,0,-1)\), así como el punto \(A(-4,4,7)\).

  1. Calcula \(a\) y \(b\) para que el vector \(\vec{w}=(1,a,b)\) sea ortogonal a \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\). (0,75 puntos)

  2. Determina los cuatro vértices de un paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), y que tiene al vector \(\overrightarrow{OA}\) como una de sus diagonales, siendo \(O\) el origen de coordenadas. (1,75 puntos)

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

\(\vec{u}\times\vec{v}\) es perpendicular a ambos, con \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\alpha\) (área del paralelogramo). Área del triángulo \(=\dfrac12|\vec{u}\times\vec{v}|\). Producto mixto \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\) (determinante): volumen del paralelepípedo \(=|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\) y del tetraedro \(\dfrac16|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\). Tres vectores son coplanarios si \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha\). Módulo \(|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\). Ortogonales: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Proyección de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\): \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\). Unitario: \(\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\).

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

  1. Forma los vectores con origen en un mismo vértice.
  2. Calcula el producto vectorial (determinante simbólico) o el mixto (determinante \(3\times3\)).
  3. Aplica la fórmula de área o volumen con su factor (\(\tfrac12\) o \(\tfrac16\) si es triángulo o tetraedro).
  4. Da la unidad: \(\text{u}^2\) o \(\text{u}^3\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

  1. Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
  2. Calcula el producto escalar y los módulos.
  3. Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
  4. Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

a) Vector ortogonal. 1. \(\vec w\) es ortogonal a \(\vec u\) y a \(\vec v\) si sus productos escalares son nulos. 2. Con \(\vec v\): \(\vec w\cdot\vec v=2-b=0\Rightarrow b=2\). 3. Con \(\vec u\): \(\vec w\cdot\vec u=-1+2a+3b=0\); con \(b=2\): \(2a+5=0\Rightarrow a=-\tfrac52\).

\(b=2\), \(a=-\tfrac52\).

b) Vértices del paralelogramo. 1. Un vértice es \(O\), y los lados que parten de él tienen las direcciones \(\vec u\) y \(\vec v\): son \(\alpha\vec u\) y \(\beta\vec v\). La diagonal \(\overrightarrow{OA}\) es la suma de los dos lados. 2. \(\overrightarrow{OA}=\alpha\vec u+\beta\vec v\): \((-\alpha+2\beta,\,2\alpha,\,3\alpha-\beta)=(-4,4,7)\). 3. De la segunda componente, \(\alpha=2\). De la primera, \(-2+2\beta=-4\Rightarrow\beta=-1\). Comprobación en la tercera: \(6+1=7\) ✓. 4. Los otros dos vértices son \(O+\alpha\vec u=O+2\vec u\) y \(O+\beta\vec v=O-\vec v\).

\(O(0,0,0)\), \(B(-2,4,6)\), \(A(-4,4,7)\) y \(C(-2,0,1)\).

Extraordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 7 · Extraordinaria · Reserva 2022 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos \(A(0,2,3)\), \(B(m,0,1)\) y \(C(2,1,2)\).

  1. Halla los valores de \(m\), sabiendo que el área del triángulo es \(\dfrac{\sqrt{18}}{2}\) unidades cuadradas. (1,5 puntos)

  2. Para \(m=0\), calcula el coseno del ángulo en el vértice \(A\) de dicho triángulo. (1 punto)

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

\(\vec{u}\times\vec{v}\) es perpendicular a ambos, con \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\alpha\) (área del paralelogramo). Área del triángulo \(=\dfrac12|\vec{u}\times\vec{v}|\). Producto mixto \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\) (determinante): volumen del paralelepípedo \(=|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\) y del tetraedro \(\dfrac16|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\). Tres vectores son coplanarios si \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha\). Módulo \(|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\). Ortogonales: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Proyección de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\): \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\). Unitario: \(\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\).

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

  1. Forma los vectores con origen en un mismo vértice.
  2. Calcula el producto vectorial (determinante simbólico) o el mixto (determinante \(3\times3\)).
  3. Aplica la fórmula de área o volumen con su factor (\(\tfrac12\) o \(\tfrac16\) si es triángulo o tetraedro).
  4. Da la unidad: \(\text{u}^2\) o \(\text{u}^3\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

  1. Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
  2. Calcula el producto escalar y los módulos.
  3. Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
  4. Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

a) Valores de \(m\). 1. Vectores desde \(A\): \(\overrightarrow{AB}=(m,-2,-2)\) y \(\overrightarrow{AC}=(2,-1,-1)\). 2. Producto vectorial: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,\,m-4,\,4-m)\), de módulo \(\sqrt2\,|m-4|\). 3. El área del triángulo es la mitad del módulo: \(\tfrac12\sqrt2|m-4|=\tfrac{\sqrt{18}}{2}\). 4. Se despeja: \(\sqrt2|m-4|=\sqrt{18}=3\sqrt2\Rightarrow|m-4|=3\).

\(m=1\) o \(m=7\).

b) Coseno del ángulo en \(A\) para \(m=0\). 1. Con \(m=0\): \(\overrightarrow{AB}=(0,-2,-2)\) y \(\overrightarrow{AC}=(2,-1,-1)\). 2. Producto escalar: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0+2+2=4\). Módulos: \(|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt2\) y \(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt6\). 3. Se aplica la fórmula del ángulo entre vectores: \[\cos\widehat A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{4}{2\sqrt2\cdot\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt3}.\]

\(\cos\widehat A=\dfrac{\sqrt3}{3}\).

2021

Ordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 8 · Ordinaria · Suplente 2021 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen

Considera los puntos \(A(1,2,3)\), \(B(-2,4,-3)\) y \(C(-10,1,0)\).

  1. Halla el área del triángulo de vértices \(A\), \(B\) y \(C\). (1,25 puntos)

  2. Halla el plano que equidista de \(A\) y \(B\). (1,25 puntos)

Relacionado también con: Rectas y planos.

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

\(\vec{u}\times\vec{v}\) es perpendicular a ambos, con \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\alpha\) (área del paralelogramo). Área del triángulo \(=\dfrac12|\vec{u}\times\vec{v}|\). Producto mixto \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\) (determinante): volumen del paralelepípedo \(=|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\) y del tetraedro \(\dfrac16|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|\). Tres vectores son coplanarios si \([\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha\). Módulo \(|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\). Ortogonales: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). Proyección de \(\vec{u}\) sobre \(\vec{v}\): \(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\). Unitario: \(\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\).

Ecuaciones de rectas y planos.

Recta por \(P\) con dirección \(\vec{v}\): \((x,y,z)=P+\lambda\vec{v}\) (paramétricas, continua o implícita). Plano por \(P\) con vectores \(\vec{u},\vec{v}\): \(\begin{vmatrix}x-p_1&y-p_2&z-p_3\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}=0\); con normal \(\vec{n}=(A,B,C)\): \(A(x-p_1)+B(y-p_2)+C(z-p_3)=0\), es decir, \(Ax+By+Cz+D=0\).

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes.

  1. Forma los vectores con origen en un mismo vértice.
  2. Calcula el producto vectorial (determinante simbólico) o el mixto (determinante \(3\times3\)).
  3. Aplica la fórmula de área o volumen con su factor (\(\tfrac12\) o \(\tfrac16\) si es triángulo o tetraedro).
  4. Da la unidad: \(\text{u}^2\) o \(\text{u}^3\).

Producto escalar, módulo y ángulo de vectores.

  1. Escribe los vectores (resta extremo menos origen).
  2. Calcula el producto escalar y los módulos.
  3. Despeja el coseno del ángulo o el parámetro que haga \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
  4. Interpreta el resultado (perpendiculares, ángulo en grados).

Ecuaciones de rectas y planos.

  1. Decide qué datos tienes: punto, dirección, normal, dos puntos, tres puntos.
  2. Obtén el punto y los vectores necesarios (resta de puntos, producto vectorial para la normal).
  3. Escribe la ecuación pedida y comprueba que los puntos dados la cumplen.

Vectores. \(\overrightarrow{AB}=(-3,2,-6)\), \(\overrightarrow{AC}=(-11,-1,-3)\).

a) Área del triángulo. 1. Producto vectorial: \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-12,57,25)\). 2. Módulo: \(\sqrt{144+3249+625}=\sqrt{4018}=7\sqrt{82}\). 3. El área del triángulo es la mitad del módulo.

Área \(=\dfrac{7\sqrt{82}}{2}\approx31{,}7\ \text{u}^2\)

b) Plano que equidista de \(A\) y \(B\). 1. Es el plano mediador del segmento \(AB\): perpendicular a \(AB\) por su punto medio. 2. Normal: \(\overrightarrow{AB}\parallel(3,-2,6)\). 3. Punto medio: \(M\left(-\tfrac12,3,0\right)\). 4. Plano \(3x-2y+6z+k=0\) por \(M\): \(-\tfrac32-6+k=0\Rightarrow k=\tfrac{15}2\).

\(6x-4y+12z+15=0\)

También trabajan este tema

Ejercicios cuyo tema principal es otro pero en los que aparece este tema:

Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.