Vectores en el espacio — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 9 son básicos, del 10 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía (2021 en adelante). Las soluciones están al final.

Salvo que se diga otra cosa, \(\vec u=(1,2,3)\), \(\vec v=(2,-1,1)\) y \(\vec w=(0,1,-1)\).

Operaciones y módulo

1. Calcula \(\vec u+\vec v\), \(2\vec u-3\vec v\), \(|\vec u|\) y \(|\vec v|\).

2. Calcula \(\vec u\cdot\vec v\) y el ángulo que forman \(\vec u\) y \(\vec v\).

3. Calcula \(\vec u\times\vec v\) y su módulo.

4. Calcula el área del triángulo de vértices \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,1)\) y \(C(1,1,3)\).

5. Calcula el volumen del tetraedro de vértices \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,1)\), \(C(1,1,3)\) y \(D(2,1,1)\).

6. Estudia si son linealmente independientes: a) \(\vec u\), \(\vec v\) y \(\vec u+2\vec v\); b) \(\vec u\), \(\vec v\) y \(\vec w\).

7. Halla \(a\) para que \((1,2,a)\) sea perpendicular a \(\vec v=(2,-1,1)\).

8. Halla los vectores unitarios perpendiculares a \(\vec u\) y a \(\vec v\).

9. (Tipo PAU) Halla \(m\) para que \((1,2,m)\), \((2,-1,1)\) y \((0,1,-1)\) sean coplanarios.

Geometría con vectores

10. (Tipo PAU) Tres vértices consecutivos de un paralelogramo \(ABCD\) son \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,1)\) y \(C(1,1,3)\). Halla \(D\) y el área.

11. Para \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,1)\) y \(C(1,1,3)\) calcula el punto medio de \(AB\), el simétrico de \(A\) respecto de \(B\) y el baricentro del triángulo \(ABC\).

12. (Tipo PAU) Comprueba que \(\vec u\), \(\vec v\) y \(\vec w\) forman una base y halla las coordenadas de \(\vec t=(4,3,2)\) en esa base.

13. Halla un vector de módulo 6 con la dirección y el sentido de \((2,-2,1)\).

14. (Tipo PAU) Demuestra que para cualquier par de vectores \(|\vec u\times\vec v|^2+(\vec u\cdot\vec v)^2=|\vec u|^2|\vec v|^2\) y compruébalo con \(\vec u\) y \(\vec v\).

15. Sean \(\vec u\) y \(\vec v\) con \(|\vec u|=3\), \(|\vec v|=4\) y ángulo de \(60^\circ\). Calcula \(\vec u\cdot\vec v\), \(|\vec u\times\vec v|\) y \(|\vec u+\vec v|\).

16. (Tipo PAU) Sean \(\vec u=(1,-1,0)\) y \(\vec v=(0,1,a)\). Halla \(a\) para que formen un ángulo de \(120^\circ\).

17. Calcula el volumen del paralelepípedo que determinan \(\vec u\), \(\vec v\) y \(\vec w\).

18. Calcula la proyección ortogonal del vector \(\vec u\) sobre \(\vec v\): su longitud con signo y el vector proyección.

19. Calcula el producto mixto de \((1,1,0)\), \((0,1,1)\) y \((1,0,1)\) e interpreta el resultado.

Problemas

20. Una fuerza \(\vec F=(2,1,3)\) N desplaza un objeto en línea recta desde \(A\) hasta \(B\), con \(\overrightarrow{AB}=(3,-1,2)\) m. Calcula el trabajo \(W=\vec F\cdot\overrightarrow{AB}\).

21. (Tipo PAU) En el triángulo \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,1)\), \(C(1,1,3)\) calcula la altura desde \(C\) sobre el lado \(AB\).

22. (Tipo PAU) En el tetraedro \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,1)\), \(C(1,1,3)\), \(D(2,1,1)\) calcula la altura desde \(D\) sobre la cara \(ABC\).

23. (Tipo PAU) Halla \(a\) para que \((1,2,a)\), \((2,4,6)\) y \((1,1,1)\) sean linealmente dependientes.

24. Calcula los cosenos directores de \((1,2,2)\), es decir, el coseno del ángulo que forma con cada eje coordenado, y los ángulos.

25. (Tipo PAU) Halla los valores de \(x\) para los que \((x,1,1)\), \((1,x,1)\) y \((1,1,x)\) no forman una base de \(\mathbb{R}^3\).

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Soluciones

Nota1

\(\vec u+\vec v=(3,1,4)\), \(2\vec u-3\vec v=(2-6,\,4+3,\,6-3)=(-4,7,3)\), \(|\vec u|=\sqrt{14}\), \(|\vec v|=\sqrt6\).

Nota2

\(\vec u\cdot\vec v=2-2+3=3\). \(\cos\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{14}\sqrt6}=\dfrac{\sqrt{21}}{14}\approx0{,}327\), luego \(\alpha\approx70{,}89^\circ\).

Nota3

\(\vec u\times\vec v=(2\cdot1-3\cdot(-1),\ 3\cdot2-1\cdot1,\ 1\cdot(-1)-2\cdot2)=(5,5,-5)\) y \(|\vec u\times\vec v|=\sqrt{75}=5\sqrt3\).

Nota4

\(\overrightarrow{AB}=(-1,2,1)\), \(\overrightarrow{AC}=(0,1,3)\), \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(5,3,-1)\) con módulo \(\sqrt{35}\).

Área \(=\dfrac{\sqrt{35}}{2}\approx2{,}96\) u\(^2\).

Nota5

\(\overrightarrow{AD}=(1,1,1)\). El producto mixto es \((5,3,-1)\cdot(1,1,1)=7\). Entonces \(V=\dfrac{7}{6}\) u\(^3\).

Nota6

1. \(\vec u+2\vec v\) es combinación lineal de \(\vec u\) y \(\vec v\): dependientes (el rango es 2).

2. El determinante de \(\vec u,\vec v,\vec w\) es \(10\neq0\): independientes.

Nota7

\((1,2,a)\cdot(2,-1,1)=2-2+a=a=0\). Luego \(a=0\).

Nota8

\(\vec u\times\vec v=(5,5,-5)\) con módulo \(5\sqrt3\). Los vectores unitarios son \[\pm\frac{(1,1,-1)}{\sqrt3}=\pm\left(\frac{\sqrt3}{3},\frac{\sqrt3}{3},-\frac{\sqrt3}{3}\right)\]

Nota9

Coplanarios \(\iff\) determinante 0: \[\begin{vmatrix}1&2&m\\2&-1&1\\0&1&-1\end{vmatrix}=1+0+2m-0-1+4=2m+4=2(m+2)\] Luego \(m=-2\).

Nota10

\(D=A+C-B=(1+1-0,\ 0+1-2,\ 0+3-1)=(2,-1,2)\). El área del paralelogramo es \(|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{35}\approx5{,}92\) u\(^2\).

Nota11

• Punto medio de \(AB\): \(\left(\dfrac12,1,\dfrac12\right)\).
• Simétrico de \(A\) respecto de \(B\): \(2B-A=(-1,4,2)\).
• Baricentro: \(G=\dfrac{A+B+C}{3}=\left(\dfrac23,1,\dfrac43\right)\).

Nota12

\(\det(\vec u,\vec v,\vec w)=10\neq0\), luego son base. Se resuelve \(a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec t\): \[\begin{cases}a+2b=4\\2a-b+c=3\\3a+b-c=2\end{cases}\] Sumando las dos últimas: \(5a=5\), \(a=1\). Entonces \(b=\dfrac32\) y \(c=\dfrac52\).

Coordenadas: \(\left(1,\dfrac32,\dfrac52\right)\).

Nota13

\(|(2,-2,1)|=3\). El vector pedido es \(6\cdot\dfrac{(2,-2,1)}{3}=(4,-4,2)\).

Nota14

Como \(|\vec u\times\vec v|=|\vec u||\vec v|\sin\alpha\) y \(\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos\alpha\): \[|\vec u\times\vec v|^2+(\vec u\cdot\vec v)^2=|\vec u|^2|\vec v|^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=|\vec u|^2|\vec v|^2\] Comprobación: \(75+9=84=14\cdot6\) ✓.

Nota15

\(\vec u\cdot\vec v=3\cdot4\cos60^\circ=6\). \(|\vec u\times\vec v|=3\cdot4\sin60^\circ=6\sqrt3\).

\(|\vec u+\vec v|^2=|\vec u|^2+|\vec v|^2+2\,\vec u\cdot\vec v=9+16+12=37\), luego \(|\vec u+\vec v|=\sqrt{37}\).

Nota16

\(\vec u\cdot\vec v=-1\), \(|\vec u|=\sqrt2\), \(|\vec v|=\sqrt{1+a^2}\).

\(\cos120^\circ=-\dfrac12=\dfrac{-1}{\sqrt2\sqrt{1+a^2}}\Rightarrow\sqrt2\sqrt{1+a^2}=2\Rightarrow2(1+a^2)=4\Rightarrow a^2=1\).

Luego \(a=1\) o \(a=-1\).

Nota17

\(V=|\det(\vec u,\vec v,\vec w)|=10\) u\(^3\).

Nota18

\(\vec u\cdot\vec v=3\), \(\vec v\cdot\vec v=6\).

Longitud con signo: \(\dfrac{3}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{2}\). Vector proyección: \(\dfrac36\vec v=\left(1,-\dfrac12,\dfrac12\right)\).

Nota19

\(\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{vmatrix}=1+1+0-0-0-0=2\). El volumen del paralelepípedo es 2 u\(^3\), y como es \(\neq0\), los tres vectores no son coplanarios.

Nota20

\(W=(2,1,3)\cdot(3,-1,2)=6-1+6=11\) J.

Nota21

Área \(=\dfrac{\sqrt{35}}{2}\) y la base es \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt6\). La altura es \(h=\dfrac{2\cdot\text{Área}}{|\overrightarrow{AB}|}=\dfrac{\sqrt{35}}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt{210}}{6}\approx2{,}42\).

(Es la altura sobre el lado \(AB\), que sale de \(|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|/|\overrightarrow{AB}|\).)

Nota22

\(V=\dfrac76\) y el área de la base \(ABC\) es \(\dfrac{\sqrt{35}}{2}\). Entonces \[h=\frac{3V}{\text{Área}}=\frac{7/2}{\sqrt{35}/2}=\frac{7}{\sqrt{35}}=\frac{\sqrt{35}}{5}\approx1{,}18\]

Nota23

\(\begin{vmatrix}1&2&a\\2&4&6\\1&1&1\end{vmatrix}=6-2a\). Son dependientes si \(6-2a=0\), es decir \(a=3\).

Nota24

\(|(1,2,2)|=3\) y el vector unitario es \(\left(\tfrac13,\tfrac23,\tfrac23\right)\). Los cosenos directores son \(\tfrac13,\tfrac23,\tfrac23\) y los ángulos \(\arccos\tfrac13\approx70{,}53^\circ\), \(\arccos\tfrac23\approx48{,}19^\circ\) y \(48{,}19^\circ\).

Comprobación: \(\tfrac19+\tfrac49+\tfrac49=1\).

Nota25

\(\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)\). No forman base cuando el determinante es 0: \(x=1\) o \(x=-2\).