Rectas y planos — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 8 son básicos y del 9 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía (2021 en adelante). Las soluciones están al final.

Se usan estos elementos en varios ejercicios:

Ecuaciones

1. Halla las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua e implícita de la recta que pasa por \(A(1,2,3)\) y \(B(3,1,0)\).

2. Halla las ecuaciones paramétricas y un vector director de la recta \(\begin{cases}x+y-z=2\\2x-y+z=1\end{cases}\).

3. Halla el plano que pasa por \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\) y \(C(0,0,3)\).

4. Halla el plano perpendicular a \(r\) que pasa por \(A(3,0,3)\).

5. (Tipo PAU) Halla el plano que contiene a \(r\) y es paralelo a la recta \(s'\) que pasa por \(Q'(0,1,1)\) con vector director \((1,0,0)\).

Posiciones relativas

6. (Tipo PAU) Estudia la posición relativa de \(r\) y \(s\). Si se cortan, halla el punto de corte y el plano que las contiene.

7. (Tipo PAU) Comprueba que \(r\) y \(s'\) (del ejercicio 5) se cruzan y calcula la distancia entre ellas.

8. Calcula la distancia de \(r\) a la recta paralela \(r_0\) que pasa por el origen con vector director \((1,2,2)\).

9. (Tipo PAU) Estudia la posición relativa de \(r\) y el plano \(\pi_m:\ x+my-z=4\) según \(m\). Para \(m=0\) halla el punto de corte.

10. Calcula el ángulo que forman los planos \(x+y+z=1\) y \(x-y+2z=3\).

11. (Tipo PAU) Estudia según \(m\) la posición relativa de los planos \[\begin{cases}x+y+z=m+1\\mx+y+z=1\\x+my+z=m\end{cases}\] y halla el punto común para \(m=0\).

Distancias, proyecciones y simétricos

12. Calcula la distancia del punto \(A(3,0,3)\) al plano \(\pi\).

13. Calcula la distancia del punto \(R(4,0,2)\) a la recta \(r\).

14. (Tipo PAU) Halla la proyección ortogonal y el simétrico de \(A(3,0,3)\) respecto del plano \(\pi\).

15. (Tipo PAU) Halla la proyección ortogonal y el simétrico de \(R(4,0,2)\) respecto de la recta \(r\).

16. (Tipo PAU) Halla la recta que pasa por \(R(4,0,2)\) y corta perpendicularmente a \(r\).

17. (Tipo PAU) Halla los planos paralelos a \(\pi\) que están a distancia 2 de él.

18. Halla el plano mediador del segmento de extremos \(A(1,2,3)\) y \(B(3,0,-1)\).

Ángulos

19. Calcula el ángulo que forman la recta \(r\) y el plano \(\pi\).

20. Calcula el ángulo que forman las rectas \(r\) y \(s\).

21. Calcula la distancia entre los planos \(2x-y+2z-3=0\) y \(4x-2y+4z+6=0\).

Problemas

22. (Tipo PAU) Calcula el volumen del tetraedro que forma el plano \(6x+3y+2z=6\) con los tres planos coordenados.

23. (Tipo PAU) Halla los puntos de \(r\) que están a distancia 3 del plano \(\pi\).

24. (Tipo PAU) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano \(6x+3y+2z=6\) con los ejes de coordenadas.

25. (Tipo PAU) Comprueba que la recta \(r_1\) que pasa por el origen con dirección \((1,2,0)\) es paralela al plano \(\pi\) y calcula la distancia entre ambos.

Soluciones

\(\vec d=\overrightarrow{AB}=(2,-1,-3)\).

  • Vectorial: \((x,y,z)=(1,2,3)+\lambda(2,-1,-3)\).
  • Paramétricas: \(x=1+2\lambda\), \(y=2-\lambda\), \(z=3-3\lambda\).
  • Continua: \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-3}\).
  • Implícita: \(\begin{cases}x+2y-5=0\\3y-z-3=0\end{cases}\)

Con \(x=1\) (de sumar las dos ecuaciones: \(3x=3\)) queda \(y-z=1\). Tomando \(z=\lambda\): \(x=1\), \(y=1+\lambda\), \(z=\lambda\).

Punto \((1,1,0)\) y vector director \((0,1,1)\). Comprobación: \((1,1,-1)\times(2,-1,1)=(0,-3,-3)\parallel(0,1,1)\) ✓.

\(\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1,0,3)\). \(\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(6,3,2)\).

Plano: \(6x+3y+2z+D=0\) y con \(A\): \(6+D=0\). Luego \(6x+3y+2z-6=0\), o en forma segmentaria \(x+\dfrac y2+\dfrac z3=1\).

\(\vec n=\vec d=(1,2,2)\): \(x+2y+2z+D=0\). Con \(A(3,0,3)\): \(3+6+D=0\), luego \(D=-9\).

Plano: \(x+2y+2z-9=0\).

El plano contiene a \(r\): pasa por \(P(1,0,-1)\) y tiene directores \(\vec d=(1,2,2)\) y \((1,0,0)\). \(\vec n=(1,2,2)\times(1,0,0)=(0,2,-2)\parallel(0,1,-1)\).

\(y-z+D=0\) con \(P\): \(0+1+D=0\), \(D=-1\). Plano: \(y-z-1=0\).

\(\overrightarrow{PQ}=(1,2,2)\). Como \(\vec d=(1,2,2)\), \(\vec e=(1,-1,1)\) no son proporcionales, \(\operatorname{rg}(\vec d,\vec e)=2\). Además \(\det(\vec d,\vec e,\overrightarrow{PQ})=0\) porque \(\overrightarrow{PQ}=\vec d\), luego el rango es 2: se cortan.

Punto de corte: \(Q(2,2,1)\) (es el punto de \(r\) para \(t=1\) y de \(s\) para \(\lambda=0\)).

Plano que las contiene: \(\vec n=\vec d\times\vec e=(4,1,-3)\); \(4x+y-3z+D=0\) con \(P\): \(4+3+D=0\), \(D=-7\). Plano: \(4x+y-3z-7=0\).

\(\overrightarrow{PQ'}=(-1,1,2)\), \(\vec d=(1,2,2)\), \(\vec e'=(1,0,0)\). \[\det(\vec d,\vec e',\overrightarrow{PQ'})=\begin{vmatrix}1&2&2\\1&0&0\\-1&1&2\end{vmatrix}=-2\neq0\Rightarrow\text{se cruzan}\] \(\vec d\times\vec e'=(0,2,-2)\) con módulo \(2\sqrt2\). \[d(r,s')=\frac{|-2|}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}71\]

\(\overrightarrow{OP}=(1,0,-1)\), \(\overrightarrow{OP}\times\vec d=(1,0,-1)\times(1,2,2)=(2,-3,2)\) con módulo \(\sqrt{17}\) y \(|\vec d|=3\).

\(d=\dfrac{\sqrt{17}}{3}\approx1{,}37\).

Un punto de \(r\) es \((1+t,\ 2t,\ -1+2t)\). Sustituyendo en \(x+my-z=4\): \[1+t+2mt+1-2t=4\ \Rightarrow\ (2m-1)t=2\] - Si \(m\neq\frac12\): una solución, la recta corta al plano en \(t=\dfrac{2}{2m-1}\). - Si \(m=\frac12\): \(0=2\), sin solución, la recta es paralela al plano.

Para \(m=0\): \(t=-2\) y el punto de corte es \((-1,-4,-5)\).

\(\vec n_1=(1,1,1)\), \(\vec n_2=(1,-1,2)\). \(\cos\alpha=\dfrac{|1-1+2|}{\sqrt3\sqrt6}=\dfrac{2}{3\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{3}\), luego \(\alpha\approx61{,}87^\circ\).

\(|A|=(m-1)^2\).

  • \(m\neq1\): rangos 3 y 3, se cortan en un punto.
  • \(m=1\): los planos son \(x+y+z=2\), \(x+y+z=1\) y \(x+y+z=1\). El segundo y el tercero coinciden y el primero es paralelo a ellos.

Para \(m=0\): \(\begin{cases}x+y+z=1\\y+z=1\\x+z=0\end{cases}\) da el punto \((0,1,0)\).

\(d=\dfrac{|2\cdot3-0+2\cdot3-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{9}{3}=3\).

\(\overrightarrow{PR}=(3,0,3)\), \(\overrightarrow{PR}\times\vec d=(3,0,3)\times(1,2,2)=(-6,-3,6)\) con módulo \(9\).

\(d=\dfrac{9}{3}=3\).

Recta perpendicular a \(\pi\) por \(A\): \((3+2\lambda,\ -\lambda,\ 3+2\lambda)\). Sustituyendo en \(\pi\): \(2(3+2\lambda)+\lambda+2(3+2\lambda)-3=9\lambda+9=0\), luego \(\lambda=-1\).

Proyección: \(H=(1,1,1)\). Simétrico: \(A'=2H-A=(-1,2,-1)\).

Plano perpendicular a \(r\) por \(R\): \(x+2y+2z+D=0\) con \(R\): \(4+4+D=0\), \(D=-8\). Punto de \(r\): \((1+t)+2(2t)+2(-1+2t)-8=9t-9=0\), luego \(t=1\).

Proyección: \(H=(2,2,1)\). Simétrico: \(R'=2H-R=(0,4,0)\).

La recta pedida pasa por \(R\) y por la proyección \(H=(2,2,1)\) de \(R\) sobre \(r\). Dirección: \(\overrightarrow{RH}=(-2,2,-1)\).

\[(x,y,z)=(4,0,2)+\lambda(-2,2,-1)\] Comprobación: \((-2,2,-1)\cdot(1,2,2)=-2+4-2=0\) ✓.

Los planos paralelos a \(\pi\) son \(2x-y+2z+D=0\). Su distancia a \(\pi\) es \(\dfrac{|D+3|}{3}=2\), luego \(D+3=\pm6\): \(D=3\) o \(D=-9\).

Planos: \(2x-y+2z+3=0\) y \(2x-y+2z-9=0\).

\(\overrightarrow{AB}=(2,-2,-4)\parallel(1,-1,-2)\) y el punto medio es \(M=(2,1,1)\).

\(x-y-2z+D=0\) con \(M\): \(2-1-2+D=0\), \(D=1\). Plano: \(x-y-2z+1=0\).

\(\vec d\cdot\vec n=(1,2,2)\cdot(2,-1,2)=4\); \(|\vec d|=3\), \(|\vec n|=3\). \(\sin\alpha=\dfrac{4}{9}\), luego \(\alpha\approx26{,}39^\circ\).

\(\vec d\cdot\vec e=1-2+2=1\); \(|\vec d|=3\), \(|\vec e|=\sqrt3\). \(\cos\alpha=\dfrac{1}{3\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{9}\), luego \(\alpha\approx78{,}90^\circ\).

El segundo plano dividido entre 2 es \(2x-y+2z+3=0\), paralelo al primero (\(D=-3\) frente a \(D=3\)).

\(d=\dfrac{|3-(-3)|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac63=2\).

El plano corta a los ejes en \(x=1\), \(y=2\), \(z=3\). Los vértices son \(O(0,0,0)\), \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\) y \(C(0,0,3)\). \[V=\frac16\begin{vmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{vmatrix}=\frac{6}{6}=1\text{ u}^3\]

Un punto de \(r\) es \((1+t,2t,-1+2t)\). Su distancia a \(\pi\) es \[\frac{|2(1+t)-2t+2(-1+2t)-3|}{3}=\frac{|4t-3|}{3}=3\ \Rightarrow\ 4t-3=\pm9\] - \(t=3\): punto \((4,6,5)\). - \(t=-\frac32\): punto \(\left(-\frac12,-3,-4\right)\).

Vértices: \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\), \(C(0,0,3)\). \(\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1,0,3)\), \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(6,3,2)\) con módulo \(7\).

Área \(=\dfrac72=3{,}5\) u\(^2\).

\(\vec d_1\cdot\vec n=(1,2,0)\cdot(2,-1,2)=2-2=0\), así que la recta es paralela al plano o está contenida en él. El origen no está en \(\pi\) (\(-3\neq0\)), luego es paralela.

\(d=\dfrac{|2\cdot0-0+2\cdot0-3|}{3}=1\).