Rectas y planos en el espacio

1. Ecuaciones de la recta

Una recta \(r\) queda determinada por un punto \(P(p_1,p_2,p_3)\) y un vector director \(\vec d=(d_1,d_2,d_3)\).

Forma Ecuación
Vectorial \((x,y,z)=(p_1,p_2,p_3)+\lambda(d_1,d_2,d_3)\)
Paramétricas \(x=p_1+\lambda d_1,\quad y=p_2+\lambda d_2,\quad z=p_3+\lambda d_3\)
Continua \(\dfrac{x-p_1}{d_1}=\dfrac{y-p_2}{d_2}=\dfrac{z-p_3}{d_3}\)
Implícita dos planos: \(\begin{cases}Ax+By+Cz+D=0\\A'x+B'y+C'z+D'=0\end{cases}\)
  • Por dos puntos \(A\) y \(B\): \(P=A\) y \(\vec d=\overrightarrow{AB}\).
  • De la forma implícita se pasa a la paramétrica resolviendo el sistema con una incógnita como parámetro. El vector director también es el producto vectorial de las normales de los dos planos.

2. Ecuaciones del plano

Un plano \(\pi\) queda determinado por un punto \(P\) y dos vectores directores \(\vec u,\vec v\) no paralelos, o por un punto y un vector normal \(\vec n=(A,B,C)\).

Forma Ecuación
Vectorial \((x,y,z)=P+\lambda\vec u+\mu\vec v\)
General (implícita) \(Ax+By+Cz+D=0\)

Cómo pasar a la general: \(\vec n=\vec u\times\vec v\) y \(D=-\vec n\cdot P\). Equivalentemente: \[\left|\begin{matrix}x-p_1&y-p_2&z-p_3\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{matrix}\right|=0\]

Casos habituales:

  • Por tres puntos \(A,B,C\): \(\vec u=\overrightarrow{AB}\), \(\vec v=\overrightarrow{AC}\).
  • Por un punto y una recta: \(\vec u=\vec d\), \(\vec v=\overrightarrow{PQ}\) con \(Q\) de la recta.
  • Perpendicular a una recta: \(\vec n=\vec d\).
  • Plano mediador de \(A\) y \(B\): \(\vec n=\overrightarrow{AB}\) y pasa por el punto medio.

3. Posiciones relativas

Dos planos \(\pi:\ \vec n\cdot X+D=0\), \(\pi':\ \vec n'\cdot X+D'=0\):

Situación Condición
Se cortan en una recta \(\vec n\) y \(\vec n'\) no proporcionales
Paralelos \(\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\neq\frac{D}{D'}\)
Coincidentes \(\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}=\frac{D}{D'}\)

Tres dibujos: dos planos que se cortan en una recta, dos planos paralelos y un único plano para los coincidentes

Dos planos: secantes (se cortan en una recta), paralelos o coincidentes.

Recta y plano: sustituye las paramétricas de la recta en el plano y obtén una ecuación en \(\lambda\).

  • Una solución: la recta corta al plano en un punto.
  • Ninguna solución: paralela (\(\vec d\cdot\vec n=0\) y el punto no está en el plano).
  • Todo \(\lambda\): la recta está contenida en el plano.

Tres dibujos: una recta que atraviesa un plano en un punto P, una recta paralela por encima del plano y una recta dentro del plano

Recta y plano: secante en un punto \(P\), paralela o contenida.

Dos rectas \(r(P,\vec d)\) y \(s(Q,\vec e)\): mira el rango de \(\{\vec d,\vec e\}\) y el de \(\{\vec d,\vec e,\overrightarrow{PQ}\}\).

Situación \(\operatorname{rg}(\vec d,\vec e)\) \(\operatorname{rg}(\vec d,\vec e,\overrightarrow{PQ})\)
Coincidentes 1 1
Paralelas 1 2
Se cortan 2 2
Se cruzan 2 3

Cuatro dibujos: dos rectas paralelas, dos rectas superpuestas, dos rectas que se cortan en un punto P y dos rectas que se cruzan a distinta altura sin cortarse

Dos rectas: paralelas, coincidentes, se cortan en un punto o se cruzan (no están en un mismo plano).

Tres planos forman un sistema \(3\times3\): se aplica Rouché (tema 3). \(\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3\): se cortan en un punto; rangos \(2\) y \(2\): en una recta; rangos \(2\) y \(3\): se cortan dos a dos o dos son paralelos; rangos \(1\) y \(1\): coincidentes; rangos \(1\) y \(2\): paralelos (o dos coincidentes y el tercero paralelo).

4. Ángulos

  • Entre dos rectas: \(\cos\alpha=\dfrac{|\vec d\cdot\vec e|}{|\vec d|\,|\vec e|}\).
  • Entre dos planos: \(\cos\alpha=\dfrac{|\vec n\cdot\vec n'|}{|\vec n|\,|\vec n'|}\).
  • Entre recta y plano: \(\sin\alpha=\dfrac{|\vec d\cdot\vec n|}{|\vec d|\,|\vec n|}\) (seno, no coseno).

5. Distancias

  • Punto \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) a un plano \(Ax+By+Cz+D=0\): \(\ d=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)
  • Punto \(P_0\) a una recta \(r(P,\vec d)\): \(\ d=\dfrac{|\overrightarrow{PP_0}\times\vec d|}{|\vec d|}\)
  • Entre dos planos paralelos: distancia de un punto de uno al otro.
  • Recta paralela a un plano: distancia de un punto de la recta al plano.
  • Entre dos rectas paralelas: distancia de un punto de una a la otra.
  • Entre dos rectas que se cruzan \(r(P,\vec d)\), \(s(Q,\vec e)\): \(\ d=\dfrac{|[\overrightarrow{PQ},\vec d,\vec e]|}{|\vec d\times\vec e|}\)

6. Proyecciones y simétricos

Proyección ortogonal de un punto \(P_0\) sobre un plano \(\pi\): traza la recta perpendicular por \(P_0\) (dirección \(\vec n\)) y corta con \(\pi\). Simétrico \(P_0'=2H-P_0\), con \(H\) la proyección.

Dos dibujos: un punto P, su proyección H sobre un plano y su simétrico P' al otro lado; y lo mismo respecto de una recta

\(H\) es la proyección de \(P\) y el punto medio del segmento \(PP'\): \(P'=2H-P\).

Proyección de \(P_0\) sobre una recta \(r\): traza el plano perpendicular a \(r\) por \(P_0\) (normal \(\vec d\)) y corta con \(r\). El simétrico se obtiene igual: \(P_0'=2H-P_0\).

Recta que pasa por \(P_0\) y corta perpendicularmente a \(r\): tiene dirección \(\overrightarrow{P_0H}\), con \(H\) la proyección de \(P_0\) sobre \(r\).

TipResumen rápido
  • Recta: punto + vector director. Plano: punto + normal, \(\vec n=\vec u\times\vec v\).
  • Recta–plano: sustituir en el plano y mirar el número de soluciones.
  • Rectas: comparar los rangos de \(\{\vec d,\vec e\}\) y \(\{\vec d,\vec e,\overrightarrow{PQ}\}\).
  • Ángulo recta–plano: usa el seno.
  • Distancia a un plano: \(\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{|\vec n|}\).
  • Simétrico: \(2H-P_0\) con \(H\) la proyección.