PAU Andalucía — Distribuciones binomial y normal

Ejercicios de Matemáticas II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es distribuciones binomial y normal: 5 ejercicios de convocatorias ordinarias, extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la solución paso a paso con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

Probabilidad y distribución normal no entraron en Matemáticas II hasta la convocatoria de 2025: los anteriores exámenes (2021–2024) no tienen ejercicios de este tema.

2026

Ordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 4.2 · Ordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen

Las tallas de las niñas al nacer se distribuyen según una distribución normal de media 50 cm y desviación típica 1,8 cm.

  1. Halla la probabilidad de que una niña al nacer mida más de 54 cm. (1 punto)

  2. Si en un hospital durante un mes han nacido 100 niñas, ¿cuántas tendrán en el momento del nacimiento una talla entre 48,2 y 51,8 cm? (1,5 puntos)

Binomial aproximada por una normal.

Si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\), \(B(n,p)\approx N\left(np,\sqrt{np(1-p)}\right)\). Corrección por continuidad: \(P(X=k)\approx P(k-0{,}5\le Y\le k+0{,}5)\); \(P(X\le k)\approx P(Y\le k+0{,}5)\); \(P(X\ge k)\approx P(Y\ge k-0{,}5)\).

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

Distribución binomial.

\(X\sim B(n,p)\): \(n\) pruebas independientes, probabilidad de éxito \(p\) constante. \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\). Media \(\mu=np\), desviación típica \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\). \(P(X\ge1)=1-P(X=0)\).

Binomial aproximada por una normal.

  1. Comprueba \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).
  2. Calcula \(\mu=np\) y \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\).
  3. Aplica la corrección por continuidad y tipifica.
  4. Lee en la tabla N(0,1) e interpreta.

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

Distribución binomial.

  1. Identifica \(n\), \(p\) y qué cuenta \(X\).
  2. Traduce la pregunta: «exactamente» \(P(X=k)\), «al menos» y «como máximo» suman o restan casos; usa el complementario cuando abrevie.
  3. Calcula con la fórmula y deja el resultado con 4 decimales (o como fracción).

Variable. \(X\sim N(50;1{,}8)\) es la talla en cm.

a) Más de 54 cm. 1. Se tipifica: \(Z=\dfrac{X-50}{1{,}8}\) y \(\dfrac{54-50}{1{,}8}=2{,}22\) (a dos decimales). 2. \(P(X>54)=P(Z>2{,}22)=1-\Phi(2{,}22)=1-0{,}9868\), con \(\Phi(2{,}22)=0{,}9868\) de la tabla.

\(P\approx0{,}0132\).

b) Niñas entre 48,2 y 51,8 cm entre 100. 1. Se tipifican los extremos: \(\dfrac{48{,}2-50}{1{,}8}=-1\) y \(\dfrac{51{,}8-50}{1{,}8}=1\), es decir \(z=\mp1\). 2. \(P=\Phi(1)-\Phi(-1)=2\Phi(1)-1=2\cdot0{,}8413-1=0{,}6826\). 3. Número esperado: \(100\cdot0{,}6826\approx68{,}3\).

Unas 68 niñas.

Interpretación: es la regla del \(68\,\%\): a una desviación típica de la media entra más de dos tercios de la población.

Extraordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 4.2 · Extraordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen

La estatura de los alumnos de un centro de Educación Secundaria sigue una distribución normal de media 172 cm y desviación típica 7 cm.

  1. Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar mida entre 168 y 180 cm. (1,25 puntos)

  2. ¿Cuánto mide al menos un alumno que está en el grupo del 5 % de alumnos más altos? (1,25 puntos)

Binomial aproximada por una normal.

Si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\), \(B(n,p)\approx N\left(np,\sqrt{np(1-p)}\right)\). Corrección por continuidad: \(P(X=k)\approx P(k-0{,}5\le Y\le k+0{,}5)\); \(P(X\le k)\approx P(Y\le k+0{,}5)\); \(P(X\ge k)\approx P(Y\ge k-0{,}5)\).

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

Distribución binomial.

\(X\sim B(n,p)\): \(n\) pruebas independientes, probabilidad de éxito \(p\) constante. \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\). Media \(\mu=np\), desviación típica \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\). \(P(X\ge1)=1-P(X=0)\).

Binomial aproximada por una normal.

  1. Comprueba \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).
  2. Calcula \(\mu=np\) y \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\).
  3. Aplica la corrección por continuidad y tipifica.
  4. Lee en la tabla N(0,1) e interpreta.

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

Distribución binomial.

  1. Identifica \(n\), \(p\) y qué cuenta \(X\).
  2. Traduce la pregunta: «exactamente» \(P(X=k)\), «al menos» y «como máximo» suman o restan casos; usa el complementario cuando abrevie.
  3. Calcula con la fórmula y deja el resultado con 4 decimales (o como fracción).

Variable. \(X\sim N(172;7)\) es la estatura en cm.

a) Entre 168 y 180 cm. 1. Se tipifican los extremos (a dos decimales): \(\dfrac{168-172}{7}=-0{,}57\) y \(\dfrac{180-172}{7}=1{,}14\). 2. \(P(168<X<180)=P\!\left(-0{,}57<Z<1{,}14\right)=\Phi(1{,}14)-\Phi(-0{,}57)\). 3. Con la simetría, \(\Phi(-0{,}57)=1-\Phi(0{,}57)\): \[P=\Phi(1{,}14)-\left(1-\Phi(0{,}57)\right)=0{,}8729-0{,}2843.\]

\(P\approx0{,}5886\).

b) Grupo del \(5\,\%\) más alto. 1. Se busca \(k\) con \(P(X\ge k)=0{,}05\), es decir \(\Phi(z)=0{,}95\). 2. En la tabla, \(0{,}95\) queda justo entre \(\Phi(1{,}64)=0{,}9495\) y \(\Phi(1{,}65)=0{,}9505\), luego \(z=1{,}645\). 3. Se deshace la tipificación: \(k=172+1{,}645\cdot7\approx183{,}5\).

Mide al menos unos 183,5 cm.

Interpretación: solo uno de cada veinte alumnos supera los \(183{,}5\) cm.

2025

Ordinaria · Suplente 1 2025

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente 1 2025 · Bloque optativo 3 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Los rodamientos de las ruedas de un coche se configuran con unas bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 13 mm y desviación típica 0,1 mm. Para que el funcionamiento del rodamiento sea óptimo el diámetro debe estar entre 12,9 mm y 13,15 mm. No obstante, la máquina que los elabora es muy sensible a los cambios de temperatura y pierde eficacia cuando ésta sube considerablemente. El 15 de julio, tras una rotura del sistema de refrigeración, la máquina configura bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 12,9 mm y desviación típica 0,2 mm.

  1. En circunstancias ideales, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo? (1,25 puntos)

  2. ¿Cuál es la probabilidad de que el 15 de julio la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo? (1,25 puntos)

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

Distribución binomial.

\(X\sim B(n,p)\): \(n\) pruebas independientes, probabilidad de éxito \(p\) constante. \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\). Media \(\mu=np\), desviación típica \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\). \(P(X\ge1)=1-P(X=0)\).

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

Distribución binomial.

  1. Identifica \(n\), \(p\) y qué cuenta \(X\).
  2. Traduce la pregunta: «exactamente» \(P(X=k)\), «al menos» y «como máximo» suman o restan casos; usa el complementario cuando abrevie.
  3. Calcula con la fórmula y deja el resultado con 4 decimales (o como fracción).

Valores de la tabla. Los extremos se tipifican con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\) y se redondean a dos decimales.

a) Circunstancias ideales: \(X\sim N(13;\,0{,}1)\). 1. \(z_1=\dfrac{12{,}9-13}{0{,}1}=-1\) y \(z_2=\dfrac{13{,}15-13}{0{,}1}=1{,}5\). 2. \(P(12{,}9<X<13{,}15)=P(-1<Z<1{,}5)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1)\). 3. Por simetría, \(\Phi(-1)=1-\Phi(1)=1-0{,}8413\). Con \(\Phi(1{,}5)=0{,}9332\): \[P=0{,}9332-(1-0{,}8413)=\mathbf{0{,}7745}.\]

b) El 15 de julio: \(X\sim N(12{,}9;\,0{,}2)\). 1. \(z_1=\dfrac{12{,}9-12{,}9}{0{,}2}=0\) y \(z_2=\dfrac{13{,}15-12{,}9}{0{,}2}=1{,}25\). 2. \(P(12{,}9<X<13{,}15)=P(0<Z<1{,}25)=\Phi(1{,}25)-0{,}5=0{,}8944-0{,}5=\mathbf{0{,}3944}\).

Interpretación: tras la avería, la máquina descentrada y más imprecisa produce rodamientos óptimos solo en torno al \(39\,\%\) de los casos, frente al \(77\,\%\) en condiciones ideales.

Extraordinaria 2025

Ejercicio 7 · Extraordinaria 2025 · Bloque optativo 3 · (2,5 puntos) · PDF del examen

La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de 70 km/h.

  1. En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media 64 km/h y desviación típica 4 km/h. Si el radar de control salta a partir de 72 km/h, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan? (1 punto)

  2. En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de 63,6 km/h y que el 5,05 % de todos los vehículos viaja a más de 80 km/h. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica? (1,5 puntos)

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

a) Porcentaje de vehículos sancionados. 1. \(X\sim N(64;\,4)\) y se sanciona si \(X>72\). 2. Se tipifica: \(P(X>72)=P\!\left(Z>\dfrac{72-64}{4}\right)=P(Z>2)\). 3. Con la tabla: \(1-\Phi(2)=1-0{,}9772=0{,}0228\).

Se sanciona el \(2{,}28\,\%\) de los vehículos.

b) Desviación típica en el otro sentido. 1. Datos: \(\mu=63{,}6\) y \(P(X>80)=0{,}0505\). 2. Entonces \(P\!\left(Z\le\dfrac{80-63{,}6}{\sigma}\right)=1-0{,}0505=0{,}9495\). 3. En la tabla, \(\Phi(1{,}64)=0{,}9495\), luego \(z=1{,}64\). 4. Se despeja: \(\dfrac{16{,}4}{\sigma}=1{,}64\Rightarrow\sigma=\dfrac{16{,}4}{1{,}64}=10\).

\(\sigma=10\) km/h.

Interpretación: la velocidad en este sentido está bastante más dispersa que en el primero (\(4\) km/h).

Extraordinaria · Suplente 2 2025

Ejercicio 7 · Extraordinaria · Suplente 2 2025 · Bloque optativo 3 · (2,5 puntos) · PDF del examen

El peso de las manzanas producidas en una granja sigue una distribución normal de media 200 gramos y desviación típica desconocida.

  1. Si el 33 % de las manzanas pesan más de 230 gramos, calcula la desviación típica del peso de las manzanas. (1,25 puntos)

  2. Si la desviación típica es de 50 gramos, calcula el porcentaje de manzanas que pesan entre 160 y 220 gramos. (1,25 puntos)

Binomial aproximada por una normal.

Si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\), \(B(n,p)\approx N\left(np,\sqrt{np(1-p)}\right)\). Corrección por continuidad: \(P(X=k)\approx P(k-0{,}5\le Y\le k+0{,}5)\); \(P(X\le k)\approx P(Y\le k+0{,}5)\); \(P(X\ge k)\approx P(Y\ge k-0{,}5)\).

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

Binomial aproximada por una normal.

  1. Comprueba \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).
  2. Calcula \(\mu=np\) y \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\).
  3. Aplica la corrección por continuidad y tipifica.
  4. Lee en la tabla N(0,1) e interpreta.

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

a) Desviación típica. 1. \(P(X>230)=0{,}33\Rightarrow P(X\le230)=0{,}67\), es decir, \(P\!\left(Z\le\dfrac{230-200}{\sigma}\right)=0{,}67\). 2. En la tabla, \(\Phi(0{,}44)=0{,}6700\): \(z=0{,}44\). 3. Se despeja: \(\dfrac{30}{\sigma}=0{,}44\Rightarrow\sigma=\dfrac{30}{0{,}44}\).

\(\sigma\approx68{,}2\) g.

b) Porcentaje entre \(160\) y \(220\) g (\(\sigma=50\)). 1. Se tipifican los extremos: \(z_1=\dfrac{160-200}{50}=-0{,}8\) y \(z_2=\dfrac{220-200}{50}=0{,}4\). 2. \(P(160<X<220)=P(-0{,}8<Z<0{,}4)=\Phi(0{,}4)-\Phi(-0{,}8)\). 3. Por simetría, \(\Phi(-0{,}8)=1-\Phi(0{,}8)=1-0{,}7881\): \[P=0{,}6554-(1-0{,}7881)=0{,}4435.\]

Aproximadamente el \(44{,}35\,\%\) de las manzanas.

Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.