Distribuciones binomial y normal

1. Distribución binomial

Se usa en experimentos con estas condiciones:

  • Se repite \(n\) veces la misma prueba.
  • Cada prueba tiene solo dos resultados: éxito (probabilidad \(p\)) o fracaso (\(q=1-p\)).
  • Las pruebas son independientes y \(p\) es la misma en todas.

\(X=\) «número de éxitos en \(n\) pruebas» sigue una \(B(n,p)\): \[P(X=k)=\binom nk\,p^k\,q^{\,n-k}\qquad k=0,1,\dots,n\]

Parámetro Fórmula
Media \(\mu=np\)
Varianza \(\sigma^2=npq\)
Desviación típica \(\sigma=\sqrt{npq}\)

Sucesos habituales:

  • \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-q^n\) («al menos uno»).
  • \(P(X\le k)=\sum_{i=0}^kP(X=i)\) y \(P(X>k)=1-P(X\le k)\).

Ejemplo: \(X\sim B(10,0{,}3)\), \(P(X=3)=\binom{10}{3}0{,}3^3\,0{,}7^7=0{,}2668\).

2. Distribución normal

Una variable continua \(X\) sigue una normal \(N(\mu,\sigma)\) si su gráfica es la campana de Gauss, simétrica respecto de \(\mu\). La probabilidad es el área bajo la curva.

  • \(P(X=a)=0\) (en una variable continua), y por tanto \(<\) y \(\le\) dan lo mismo.
  • Es simétrica: \(P(X\le\mu)=0{,}5\).
  • Regla 68-95-99,7: \(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx0{,}68\), con \(2\sigma\) es \(0{,}95\) y con \(3\sigma\) es \(0{,}997\).

Campana de Gauss dividida en bandas de una, dos y tres desviaciones típicas con las probabilidades 68, 95 y 99,7 por ciento

Regla 68-95-99,7: probabilidad a menos de una, dos y tres desviaciones típicas de la media.

3. Tipificación y uso de la tabla

La normal estándar es \(Z\sim N(0,1)\). Cualquier \(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica: \[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\]

La tabla da \(\Phi(z)=P(Z\le z)\) para \(z\ge0\). Para otros casos:

Probabilidad Cálculo
\(P(Z\le a)\), \(a\ge0\) \(\Phi(a)\) (directo de la tabla)
\(P(Z>a)\) \(1-\Phi(a)\)
\(P(Z\le-a)\) \(1-\Phi(a)\) (por simetría)
\(P(a<Z<b)\) \(\Phi(b)-\Phi(a)\)
\(P(-a<Z<a)\) \(2\Phi(a)-1\)

Campana de Gauss normal estándar con el área a la izquierda de z igual a 1 sombreada

La tabla da el área a la izquierda de \(z\): \(\Phi(1)=P(Z\le1)\approx0{,}8413\).

Dos campanas de Gauss: una con el área a la izquierda de menos z sombreada y otra con el área a la derecha de z sombreada, de igual tamaño

Simetría de la campana: el área a la izquierda de \(-z\) es igual que el área a la derecha de \(z\), es decir, \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\).

Ejemplo: \(X\sim N(100,15)\). \(P(X>120)=P\left(Z>\dfrac{120-100}{15}\right)=P(Z>1{,}33)=1-0{,}9082=0{,}0918\).

Problema inverso (hallar un valor o un parámetro a partir de una probabilidad): se busca en la tabla el \(z\) que da la probabilidad y se despeja.

  • Valor \(x\) con \(P(X\le x)=0{,}9\) para \(N(70,8)\): \(z=1{,}28\), \(x=70+8\cdot1{,}28=80{,}24\).
  • Valores útiles: \(P(Z\le1{,}645)=0{,}95\) y \(P(Z\le1{,}96)=0{,}975\).

4. Aproximación de la binomial por la normal

Si \(X\sim B(n,p)\) con \(np\ge5\) y \(nq\ge5\) (y \(n\) grande), se aproxima \[X\approx N\big(np,\ \sqrt{npq}\big)\]

Se aplica la corrección de continuidad (se pasa de discreta a continua ensanchando cada valor \(\pm0{,}5\)):

Discreta Continua
\(P(X=k)\) \(P(k-0{,}5<X'<k+0{,}5)\)
\(P(X\ge k)\) \(P(X'>k-0{,}5)\)
\(P(X>k)\) \(P(X'>k+0{,}5)\)
\(P(X\le k)\) \(P(X'<k+0{,}5)\)
\(P(X<k)\) \(P(X'<k-0{,}5)\)
\(P(a\le X\le b)\) \(P(a-0{,}5<X'<b+0{,}5)\)

Ejemplo: \(X\sim B(100,0{,}4)\), \(\mu=40\), \(\sigma=\sqrt{24}\approx4{,}90\). \(P(X\ge45)\approx P(X'>44{,}5)=P\left(Z>\dfrac{44{,}5-40}{4{,}90}\right)=P(Z>0{,}92)=1-0{,}8212=0{,}1788\).

TipResumen rápido
  • Binomial: \(P(X=k)=\binom nkp^kq^{n-k}\), \(\mu=np\), \(\sigma=\sqrt{npq}\).
  • «Al menos uno»: \(1-q^n\).
  • Normal: tipifica \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\) y usa la tabla de \(\Phi\).
  • \(P(Z\le-a)=1-\Phi(a)\); \(P(-a<Z<a)=2\Phi(a)-1\).
  • Binomial a normal: \(N(np,\sqrt{npq})\) con corrección \(\pm0{,}5\).