Distribuciones binomial y normal — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 6 y el 9 son básicos y los demás siguen el estilo de la PAU de Andalucía (2021 en adelante). Las soluciones están al final y usan la tabla de la \(N(0,1)\) con dos decimales, como en el examen.

Distribución binomial

1. Sea \(X\sim B(10,0{,}3)\). Calcula \(P(X=3)\), \(P(X\le2)\), \(P(X\ge1)\), la media y la desviación típica.

2. Se lanza una moneda 6 veces. Calcula la probabilidad de obtener exactamente 4 caras y la de obtener al menos 5.

3. Un test tiene 10 preguntas con 4 opciones cada una y se responde al azar. Calcula la probabilidad de acertar exactamente 6 y la de acertar al menos 6.

4. Un jugador encesta el 70 % de sus tiros libres. En 5 lanzamientos, calcula la probabilidad de encestar exactamente 3 y la de encestar al menos 4.

5. El 2 % de las piezas de una partida es defectuoso. Se toman 20 al azar. Calcula la probabilidad de que ninguna sea defectuosa y la de que haya como mucho una.

6. Cada vez que se lanza un dardo, se acierta con probabilidad \(0{,}2\). ¿Cuántos dardos hay que lanzar como mínimo para que la probabilidad de acertar al menos una vez sea mayor que \(0{,}9\)?

7. (Tipo PAU) Una variable binomial tiene media 12 y varianza 7,2. Halla \(n\) y \(p\).

8. (Tipo PAU) Sea \(X\sim B(8,0{,}5)\). Calcula \(P(3\le X\le5)\).

Distribución normal

9. Sea \(Z\sim N(0,1)\). Calcula \(P(Z\le1{,}25)\), \(P(Z>-0{,}5)\) y \(P(-1<Z<2)\). Halla \(z\) tal que \(P(Z\le z)=0{,}975\).

10. (Tipo PAU) Sea \(X\sim N(100,15)\). Calcula \(P(X>120)\) y \(P(85<X<115)\).

11. (Tipo PAU) Sea \(X\sim N(70,8)\). Halla el valor \(x\) tal que \(P(X\le x)=0{,}9\).

12. (Tipo PAU) La estatura de un grupo sigue una \(N(170,8)\) (en cm). Calcula la proporción de personas con estatura entre 160 y 180 cm y la estatura mínima del 5 % más alto.

13. (Tipo PAU) El peso de unos paquetes sigue una normal de media 500 g y se sabe que el 2,5 % pesa más de 540 g. Halla la desviación típica.

14. (Tipo PAU) Una variable \(N(\mu,10)\) cumple \(P(X<50)=0{,}3\). Halla \(\mu\).

15. (Tipo PAU) Una normal cumple \(P(X<10)=0{,}1587\) y \(P(X<20)=0{,}9772\). Halla \(\mu\) y \(\sigma\).

16. (Tipo PAU) Las notas de un examen siguen una \(N(6{,}2;\,1{,}8)\). Calcula la proporción de aprobados (nota \(\ge5\)) y la nota mínima para estar entre el 10 % mejor.

17. (Tipo PAU) El tiempo de un trayecto sigue una \(N(45,5)\) minutos. Calcula \(P(X<40)\), \(P(X>50)\) y \(P(40<X<50)\).

Aproximación de la binomial por la normal

18. (Tipo PAU) Sea \(X\sim B(100;0{,}4)\). Calcula aproximadamente \(P(X\ge45)\).

19. (Tipo PAU) Sea \(X\sim B(200;0{,}5)\). Calcula aproximadamente \(P(95\le X\le105)\).

20. (Tipo PAU) El 60 % de los clientes está satisfecho. En una muestra de 150, calcula aproximadamente la probabilidad de que estén satisfechos más de 100.

21. Sea \(X\sim B(20;0{,}5)\). Calcula \(P(X=10)\) con la fórmula exacta y con la aproximación normal, y compara.

22. (Tipo PAU) Una aerolínea vende 120 billetes para un avión de 100 plazas. Cada pasajero se presenta con probabilidad \(0{,}8\), de forma independiente. Calcula la probabilidad de que haya más pasajeros que plazas.

23. (Tipo PAU) En una encuesta el 35 % de la población está a favor de una medida. Se consultan 200 personas. Calcula aproximadamente la probabilidad de que entre 60 y 80 (ambos incluidos) estén a favor.

Problemas

24. (Tipo PAU) Una máquina llena paquetes cuyo peso sigue una \(N(500,10)\) g. Un paquete se rechaza si pesa menos de 490 g. Calcula la probabilidad de rechazar un paquete y, en una caja de 5 paquetes, la probabilidad de que al menos uno sea rechazado.

25. (Tipo PAU) Sea \(X\sim B(4,p)\) con \(P(X=0)=0{,}0625\). Halla \(p\) y calcula \(P(X\ge3)\).

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Soluciones

Nota1

• \(P(X=3)=\dbinom{10}{3}0{,}3^3\,0{,}7^7=120\cdot0{,}027\cdot0{,}0823543\approx0{,}2668\).
• \(P(X\le2)=0{,}0282+0{,}1211+0{,}2335\approx0{,}3828\).
• \(P(X\ge1)=1-0{,}7^{10}\approx0{,}9718\).
• Media: \(np=3\). Varianza: \(npq=2{,}1\). Desviación típica: \(\sqrt{2{,}1}\approx1{,}449\).

Nota2

\(X\sim B(6;0{,}5)\). \(P(X=4)=\dbinom64\dfrac1{2^6}=\dfrac{15}{64}\approx0{,}2344\).

\(P(X\ge5)=P(5)+P(6)=\dfrac{6+1}{64}=\dfrac7{64}\approx0{,}1094\).

Nota3

\(X\sim B(10;0{,}25)\). \(P(X=6)=\dbinom{10}{6}0{,}25^6\,0{,}75^4\approx0{,}0162\).

\(P(X\ge6)=1-P(X\le5)\approx0{,}0197\). Adivinando es muy difícil acertar más de la mitad.

Nota4

\(X\sim B(5;0{,}7)\). \(P(X=3)=\dbinom53\,0{,}7^3\,0{,}3^2=10\cdot0{,}343\cdot0{,}09\approx0{,}3087\).

\(P(X\ge4)=P(4)+P(5)=5\cdot0{,}7^4\cdot0{,}3+0{,}7^5=0{,}3602+0{,}1681=0{,}5282\).

Nota5

\(X\sim B(20;0{,}02)\). \(P(X=0)=0{,}98^{20}\approx0{,}6676\).

\(P(X\le1)=0{,}6676+20\cdot0{,}02\cdot0{,}98^{19}\approx0{,}6676+0{,}2725=0{,}9401\).

Nota6

\(P(\text{al menos un acierto})=1-0{,}8^n>0{,}9\Rightarrow0{,}8^n<0{,}1\Rightarrow n>\dfrac{\ln0{,}1}{\ln0{,}8}\approx10{,}3\).

Hay que lanzar como mínimo 11 dardos (\(1-0{,}8^{10}\approx0{,}893<0{,}9\) y \(1-0{,}8^{11}\approx0{,}914>0{,}9\)).

Nota7

\(np=12\) y \(npq=7{,}2\). Dividiendo: \(q=\dfrac{7{,}2}{12}=0{,}6\), luego \(p=0{,}4\) y \(n=\dfrac{12}{0{,}4}=30\).

\(X\sim B(30;0{,}4)\).

Nota8

\(P(3\le X\le5)=\dfrac{\binom83+\binom84+\binom85}{2^8}=\dfrac{56+70+56}{256}=\dfrac{182}{256}\approx0{,}7109\).

Nota9

• \(P(Z\le1{,}25)=0{,}8944\).
• \(P(Z>-0{,}5)=P(Z<0{,}5)=0{,}6915\).
• \(P(-1<Z<2)=\Phi(2)-\Phi(-1)=0{,}9772-(1-0{,}8413)=0{,}8185\).
• \(P(Z\le z)=0{,}975\Rightarrow z=1{,}96\).

Nota10

\(P(X>120)=P\left(Z>\dfrac{20}{15}\right)=P(Z>1{,}33)=1-0{,}9082=0{,}0918\).

\(P(85<X<115)=P(-1<Z<1)=2\Phi(1)-1=2\cdot0{,}8413-1=0{,}6826\).

Nota11

\(P(Z\le z)=0{,}9\Rightarrow z=1{,}28\) (tabla: \(\Phi(1{,}28)=0{,}8997\)). Entonces \(x=70+8\cdot1{,}28=80{,}24\).

Nota12

\(P(160<X<180)=P(-1{,}25<Z<1{,}25)=2\Phi(1{,}25)-1=2\cdot0{,}8944-1=0{,}7888\): el 78,88 % de las personas.

El 5 % más alto: \(P(X>x)=0{,}05\Rightarrow P(Z\le z)=0{,}95\Rightarrow z=1{,}645\), luego \(x=170+8\cdot1{,}645=183{,}16\) cm.

Nota13

\(P(X>540)=0{,}025\Rightarrow P(Z\le z)=0{,}975\Rightarrow z=1{,}96\). Entonces \(\dfrac{540-500}{\sigma}=1{,}96\Rightarrow\sigma=\dfrac{40}{1{,}96}\approx20{,}4\) g.

Nota14

\(P(X<50)=0{,}3<0{,}5\), luego \(z<0\). Por simetría, \(P(Z\le-z_0)=0{,}3\Rightarrow\Phi(z_0)=0{,}7\Rightarrow z_0=0{,}52\), es decir \(z=-0{,}52\).

\(\dfrac{50-\mu}{10}=-0{,}52\Rightarrow\mu=50+5{,}2=55{,}2\).

Nota15

\(P(X<10)=0{,}1587=\Phi(-1)\Rightarrow\dfrac{10-\mu}{\sigma}=-1\) y \(P(X<20)=0{,}9772=\Phi(2)\Rightarrow\dfrac{20-\mu}{\sigma}=2\).

Restando las ecuaciones \(10-\mu=-\sigma\) y \(20-\mu=2\sigma\): \(10=3\sigma\), luego \(\sigma=\dfrac{10}3\approx3{,}33\) y \(\mu=10+\sigma=\dfrac{40}{3}\approx13{,}33\).

Nota16

\(P(X\ge5)=P\left(Z\ge\dfrac{5-6{,}2}{1{,}8}\right)=P(Z\ge-0{,}67)=\Phi(0{,}67)=0{,}7486\): aprueba el 74,86 %.

Mejor 10 %: \(z=1{,}28\) y \(x=6{,}2+1{,}8\cdot1{,}28\approx8{,}50\).

Nota17

• \(P(X<40)=P(Z<-1)=1-0{,}8413=0{,}1587\).
• \(P(X>50)=P(Z>1)=1-0{,}8413=0{,}1587\).
• \(P(40<X<50)=2\cdot0{,}8413-1=0{,}6826\).

Nota18

\(np=40\ge5\) y \(nq=60\ge5\). \(X\approx N(40;\sqrt{24})=N(40;4{,}90)\).

\(P(X\ge45)\approx P(X'>44{,}5)=P\left(Z>\dfrac{4{,}5}{4{,}90}\right)=P(Z>0{,}92)=1-0{,}8212=0{,}1788\).

Nota19

\(X\approx N(100;\sqrt{50})=N(100;7{,}07)\).

\(P(95\le X\le105)\approx P(94{,}5<X'<105{,}5)=P\left(-0{,}78<Z<0{,}78\right)=2\cdot0{,}7823-1=0{,}5646\).

Nota20

\(X\approx N(90;\sqrt{36})=N(90;6)\).

\(P(X>100)=P(X\ge101)\approx P(X'>100{,}5)=P\left(Z>\dfrac{10{,}5}{6}\right)=P(Z>1{,}75)=1-0{,}9599=0{,}0401\).

Nota21

Exacta: \(P(X=10)=\dbinom{20}{10}\dfrac1{2^{20}}\approx0{,}1762\).

Aproximación: \(X\approx N(10;\sqrt5)=N(10;2{,}24)\) y \(P(9{,}5<X'<10{,}5)=P(-0{,}22<Z<0{,}22)=2\cdot0{,}5871-1=0{,}1742\).

La diferencia es de solo \(0{,}002\): la aproximación es buena.

Nota22

\(X\sim B(120;0{,}8)\approx N(96;\sqrt{19{,}2})=N(96;4{,}38)\).

\(P(X>100)=P(X\ge101)\approx P(X'>100{,}5)=P\left(Z>\dfrac{4{,}5}{4{,}38}\right)=P(Z>1{,}03)=1-0{,}8485=0{,}1515\).

Hay una probabilidad del 15 % de que sobren pasajeros.

Nota23

\(X\sim B(200;0{,}35)\approx N(70;\sqrt{45{,}5})=N(70;6{,}75)\).

\(P(60\le X\le80)\approx P(59{,}5<X'<80{,}5)=P\left(-1{,}56<Z<1{,}56\right)=2\cdot0{,}9406-1=0{,}8812\).

Nota24

\(P(X<490)=P\left(Z<\dfrac{490-500}{10}\right)=P(Z<-1)=0{,}1587\).

Con 5 paquetes (independientes): \(P(\text{al menos uno rechazado})=1-(1-0{,}1587)^5=1-0{,}8413^5\approx1-0{,}4215=0{,}5785\).

Nota25

\(P(X=0)=(1-p)^4=0{,}0625=\left(\dfrac12\right)^4\Rightarrow1-p=\dfrac12\Rightarrow p=0{,}5\).

\(P(X\ge3)=P(3)+P(4)=\dbinom43\dfrac1{16}+\dfrac1{16}=\dfrac{5}{16}=0{,}3125\).