PAU Andalucía — Muestreo e inferencia

Ejercicios de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es muestreo e inferencia: 60 ejercicios de convocatorias ordinarias y extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la resolución breve con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

Se usa la tabla de la normal N(0,1) que acompaña a cada examen: los resultados se dan con los valores de la tabla (z a dos decimales), no con la calculadora.

2026

Ordinaria 2026

Ejercicio 3A · Ordinaria 2026 · Bloque C · (2 puntos) · Examen

1. Dada la población \(\{-5,-2,13,18,20\}\), se consideran todas las muestras de tamaño 3 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de la variable media muestral. (1 punto)

2. Dados dos sucesos \(A\) y \(B\) de un mismo espacio muestral, se sabe que \(P(A)=0{,}75\), \(P\left(B^{C}\right)=0{,}8\) y \(P(A\mid B)=0{,}6\). Calcule las siguientes probabilidades: (1 punto)

\[P(A\cap B),\qquad P(B-A),\qquad P(A\cup B),\qquad P\left(A^{C}-B\right)\]

Relacionado también con: Probabilidad.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

Muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional: el tamaño de la muestra en cada estrato es \(n_i=n\cdot\dfrac{N_i}{N}\). Con una población pequeña, las muestras de tamaño \(n\) se forman eligiendo \(n\) elementos: con reemplazamiento (orden importa) hay \(N^n\); sin reemplazamiento y sin orden, \(\binom{N}{n}\). La media de las medias muestrales es la media de la población.

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Distribución de la media y de la proporción muestral.

1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

1. Si hay estratos, calcula la fracción \(\dfrac{n}{N}\) y multiplícala por el tamaño de cada estrato; redondea sin que la suma cambie.
2. Si piden muestras posibles, decide primero si hay reemplazamiento y si importa el orden; después enumera o cuenta.
3. Para la media y la varianza de las medias muestrales, escribe todas las medias, calcula su media y la media de sus cuadrados menos el cuadrado de la media.

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Media y varianza de la media muestral. 1. Media poblacional: \(\mu=\dfrac{-5-2+13+18+20}{5}=\dfrac{44}{5}=8{,}8\). 2. Varianza poblacional: \(\sigma^2=\dfrac{(-13{,}8)^2+(-10{,}8)^2+4{,}2^2+9{,}2^2+11{,}2^2}{5}=\dfrac{534{,}8}{5}=106{,}96\). 3. La media de las medias muestrales es la de la población, y su varianza es la de la población dividida entre el tamaño \(3\) de la muestra:

La media de las medias muestrales es \(\mu_{\bar x}=\mu=\mathbf{8{,}8}\) y su varianza es \(\sigma_{\bar x}^2=\dfrac{\sigma^2}{3}=\dfrac{106{,}96}{3}\approx\mathbf{35{,}65}\).

b) Probabilidades. 1. \(P(B)=1-0{,}8=0{,}2\). 2. Intersección: \(P(A\cap B)=P(A\mid B)\,P(B)=0{,}6\cdot0{,}2=\mathbf{0{,}12}\). 3. \(P(B-A)\) es «\(B\) y no \(A\)»: \(P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)=0{,}2-0{,}12=\mathbf{0{,}08}\). 4. Unión: \(P(A\cup B)=0{,}75+0{,}2-0{,}12=\mathbf{0{,}83}\). 5. \(A^C-B\) es «ni \(A\) ni \(B\)»: \(P\left(A^C-B\right)=P\left(A^C\cap B^C\right)=1-P(A\cup B)=1-0{,}83=\mathbf{0{,}17}\).

Ejercicio 4 · Ordinaria 2026 · Bloque D · (2 puntos) · Examen

Una empresa de transporte contrata una consultora para optimizar sus recursos. La consultora estudia la distancia en kilómetros que recorren en cada viaje los camiones de la empresa, sabiendo que la variable que mide dicha distancia se distribuye según una Normal de varianza \(225\ \text{km}^{2}\) y media desconocida. Para ello, toma aleatoriamente una muestra de 49 viajes y obtiene una media de \(325\) km recorridos por viaje.

1. Calcule un intervalo de confianza al \(97\,\%\) para que la consultora pueda estimar la distancia media que recorren por viaje los camiones de la empresa. (0,75 puntos)

2. A la vista del intervalo obtenido, razone si la consultora puede considerar que los camiones de la empresa recorren por término medio \(310\) km por viaje que realizan. (0,5 puntos)

3. ¿Cuántos viajes, como mínimo, tendría que seleccionar aleatoriamente la consultora para estimar la distancia media que recorren por viaje los camiones de la empresa mediante un intervalo de confianza del \(99\,\%\) que tuviera una amplitud inferior a \(4\) km? (0,75 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\sigma=\sqrt{225}=15\) km, \(n=49\), \(\bar x=325\) km.

a) Intervalo al \(97\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}985\) y la tabla da \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}17\). 2. Error máximo: \(E=2{,}17\cdot\dfrac{15}{\sqrt{49}}=4{,}65\). 3. Intervalo: \(\bar x\pm E\): \[IC=(325-4{,}65,\ 325+4{,}65)=(320{,}35,\ 329{,}65).\]

Interpretación: con confianza del \(97\,\%\), la distancia media por viaje está entre \(320{,}35\) y \(329{,}65\) km.

b) ¿Pueden ser \(310\) km de media? 1. Se mira si \(310\) pertenece al intervalo: queda por debajo de \(320{,}35\).

El valor \(310\) no pertenece al intervalo: no puede considerarse que los camiones recorran por término medio \(310\) km por viaje.

c) Tamaño mínimo para amplitud menor que \(4\) km al \(99\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}995\), entre \(\Phi(2{,}57)=0{,}9949\) y \(\Phi(2{,}58)=0{,}9951\); se toma \(z_{\alpha/2}=2{,}575\) (punto medio). 2. La amplitud es \(2E\): \(2E<4\iff E<2\). 3. Se despeja \(n\): \[n>\left(\frac{2{,}575\cdot15}{2}\right)^2=372{,}97.\] 4. Se redondea hacia arriba.

Tendría que seleccionar al menos \(n=373\) viajes.

Ordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 3A · Ordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque C · (2 puntos) · Examen

Sea \(X\) una variable aleatoria que sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 2.

1. Se selecciona una muestra de tamaño 81 resultando una media de 20. Calcule un intervalo de confianza al \(98{,}5\,\%\) para estimar la media poblacional. ¿Qué error máximo se comete en la estimación? (1 punto)

2. Manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo debería tener una nueva muestra para que la amplitud del intervalo para la media fuese inferior a \(2{,}16\)? (0,75 puntos)

3. Razone qué efecto produciría sobre la amplitud del intervalo una disminución del nivel de confianza. (0,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\sigma=2\), \(n=81\), \(\bar x=20\). Nivel \(98{,}5\,\%\): \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}9925\) y en la tabla \(\Phi(2{,}43)=0{,}9925\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}43\).

a) Intervalo y error máximo. 1. Error máximo: \(E=2{,}43\cdot\dfrac{2}{\sqrt{81}}=0{,}54\). 2. Intervalo: \(\bar x\pm E\): \[IC=(20-0{,}54,\ 20+0{,}54)=(19{,}46,\ 20{,}54).\]

Error máximo \(0{,}54\).

b) Tamaño mínimo para amplitud menor que \(2{,}16\). 1. La amplitud es \(2E\): \(2E<2{,}16\iff E<1{,}08\). 2. Se despeja \(n\): \(n>\left(\dfrac{2{,}43\cdot2}{1{,}08}\right)^2=20{,}25\). 3. Se redondea hacia arriba.

Hace falta una muestra de al menos \(n=21\).

c) Efecto de bajar el nivel de confianza. 1. La amplitud es \(2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\). 2. Al disminuir el nivel de confianza, \(z_{\alpha/2}\) disminuye.

La amplitud disminuye (el intervalo es más estrecho, pero con menos confianza).

Ordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque D · (2 puntos) · Examen

Una comunidad autónoma está analizando el rendimiento de sus estudiantes en la última convocatoria de la Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) en una determinada materia. De los \(20\,000\) estudiantes presentados, \(12\,000\) cursaron bachillerato en un centro público, \(6\,000\) lo hicieron en un centro concertado y el resto en un centro privado no concertado. Para estimar la proporción de estudiantes que suspenden la materia en la PAU, se extrae una muestra aleatoria de 500 estudiantes que han realizado el examen.

1. Determine el tamaño de la muestra que se debe de tomar de cada tipo de centro para realizar un muestreo con afijación proporcional. (0,4 puntos)

2. Tras realizar el muestreo se obtuvo que 200 de los 500 estudiantes seleccionados suspendieron la asignatura.

3. Calcule un intervalo de confianza al \(99\,\%\), para determinar la proporción de estudiantes que suspenden la materia entre todos los presentados. Basándonos en este intervalo, ¿puede afirmarse que el porcentaje de estudiantes que suspendieron el examen de esta materia en la PAU no es del \(43\,\%\)? (1 punto)

2. Con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuántos estudiantes, como mínimo, habría que seleccionar de forma aleatoria para que el error de estimación fuese inferior al \(4\,\%\)? (0,6 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

Muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional: el tamaño de la muestra en cada estrato es \(n_i=n\cdot\dfrac{N_i}{N}\). Con una población pequeña, las muestras de tamaño \(n\) se forman eligiendo \(n\) elementos: con reemplazamiento (orden importa) hay \(N^n\); sin reemplazamiento y sin orden, \(\binom{N}{n}\). La media de las medias muestrales es la media de la población.

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

1. Si hay estratos, calcula la fracción \(\dfrac{n}{N}\) y multiplícala por el tamaño de cada estrato; redondea sin que la suma cambie.
2. Si piden muestras posibles, decide primero si hay reemplazamiento y si importa el orden; después enumera o cuenta.
3. Para la media y la varianza de las medias muestrales, escribe todas las medias, calcula su media y la media de sus cuadrados menos el cuadrado de la media.

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Afijación proporcional. 1. Estratos: público \(12\,000\), concertado \(6\,000\) y privado \(20\,000-12\,000-6\,000=2\,000\). 2. Fracción muestreada: \(\dfrac{500}{20\,000}=0{,}025\), igual en todos los estratos. 3. Muestra de cada estrato: \[\text{público: }300,\qquad\text{concertado: }150,\qquad\text{privado: }50.\]

b) Datos. \(\hat p=\dfrac{200}{500}=0{,}4\), \(n=500\). Nivel \(99\,\%\): \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}995\), entre \(\Phi(2{,}57)=0{,}9949\) y \(\Phi(2{,}58)=0{,}9951\); se toma \(z_{\alpha/2}=2{,}575\) (punto medio).

i) Intervalo y conclusión. 1. Error máximo: \(E=2{,}575\sqrt{\dfrac{0{,}4\cdot0{,}6}{500}}=2{,}575\cdot0{,}02191=0{,}0564\). 2. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}4-0{,}0564,\ 0{,}4+0{,}0564)=(0{,}3436,\ 0{,}4564).\] 3. Se mira si \(0{,}43\) está dentro: \(0{,}3436<0{,}43<0{,}4564\).

El valor \(0{,}43\) sí pertenece al intervalo: no puede afirmarse que el porcentaje de suspensos no sea del \(43\,\%\) (es un valor compatible con los datos).

ii) Tamaño mínimo. 1. Se impone \(E<0{,}04\) y se despeja \(n\): \[E<0{,}04\iff n>\dfrac{2{,}575^2\cdot0{,}4\cdot0{,}6}{0{,}04^2}=994{,}59.\] 2. Se redondea hacia arriba.

Habría que seleccionar al menos \(n=995\) estudiantes.

Extraordinaria 2026

Ejercicio 3B · Extraordinaria 2026 · Bloque C · (2 puntos) · Examen

Con el propósito de estudiar el precio medio del litro de gasoil en una provincia andaluza un determinado día, se seleccionan al azar 16 estaciones de servicio, obteniéndose que el precio medio del litro de gasoil es \(1{,}458\) €. Se sabe que el precio del litro de gasoil en esa provincia sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica \(0{,}08\) €.

1. Calcule un intervalo con un nivel de confianza del \(97{,}5\,\%\) para estimar el precio medio del litro de gasoil en dicha provincia. ¿Qué error máximo de estimación se obtiene? (1 punto)

2. Suponiendo que el precio medio del litro de gasoil en esa provincia es de \(1{,}44\) € y considerando muestras aleatorias de 7 estaciones de servicio, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria precio medio muestral del litro de gasoil? ¿Cuál es la probabilidad de que el precio medio muestral del litro de gasoil en esa provincia esté comprendido entre \(1{,}383\) € y \(1{,}4523\) €? (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\bar x=1{,}458\), \(\sigma=0{,}08\), \(n=16\); \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=0{,}02\).

a) Intervalo y error máximo al \(97{,}5\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}9875\) y la tabla da \(\Phi(2{,}24)=0{,}9875\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}24\). 2. Error máximo: \(E=2{,}24\cdot0{,}02=0{,}0448\). 3. Intervalo: \(\bar x\pm E\): \[IC=(1{,}458-0{,}0448,\ 1{,}458+0{,}0448)=(1{,}4132,\ 1{,}5028).\]

Error máximo: \(0{,}0448\) €.

Interpretación: con confianza del \(97{,}5\,\%\), el precio medio del litro de gasoil está entre \(1{,}4132\) y \(1{,}5028\) €.

b) Distribución del precio medio muestral. 1. Con población normal, \(\bar X\sim N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\): \(\bar X\sim N\!\left(1{,}44,\ \dfrac{0{,}08}{\sqrt7}\right)=N(1{,}44;\ 0{,}0302)\). 2. Se tipifica y se lee en la tabla (\(\Phi(0{,}41)=0{,}6591\) y \(\Phi(1{,}89)=0{,}9706\)): \[P(1{,}383<\bar X<1{,}4523)=P\!\left(\frac{1{,}383-1{,}44}{0{,}0302}<Z<\frac{1{,}4523-1{,}44}{0{,}0302}\right)=P(-1{,}89<Z<0{,}41)=0{,}6591-(1-0{,}9706)=\mathbf{0{,}6297}.\]

Extraordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 4B · Extraordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque D · (2 puntos) · Examen

Para estimar en Andalucía la proporción de personas que practican natación como hábito deportivo, se ha seleccionado una muestra de 400 personas, de las que 106 practican natación.

1. Con un nivel de confianza del \(98{,}5\,\%\), calcule un intervalo de confianza para estimar la proporción de personas que practican natación como hábito deportivo en Andalucía. (0,75 puntos)

2. A la vista del intervalo obtenido, razone si se puede admitir que en Andalucía el \(4\,\%\) de las personas practican natación como hábito deportivo. (0,5 puntos)

3. Si mantenemos la misma proporción muestral, ¿cuántas personas, como mínimo, tendrían que formar parte de la muestra seleccionada para que, con un nivel de confianza del \(97\,\%\), el error cometido en la estimación de la proporción poblacional de quienes practican natación como hábito deportivo en Andalucía fuese como máximo del \(3\,\%\)? (0,75 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{106}{400}=0{,}265\), \(n=400\).

a) Intervalo al \(98{,}5\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=2{,}43\) (pues \(\Phi(2{,}43)=0{,}9925\)). 2. Error máximo: \(E=2{,}43\sqrt{\dfrac{0{,}265\cdot0{,}735}{400}}=2{,}43\cdot0{,}02207=0{,}0536\). 3. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}265-0{,}0536,\ 0{,}265+0{,}0536)=(0{,}2114,\ 0{,}3186).\]

b) ¿Puede ser el \(4\,\%\)? 1. Se mira si \(0{,}04\) está en el intervalo: queda muy por debajo de \(0{,}2114\).

El valor \(0{,}04\) no pertenece al intervalo: no se puede admitir que el \(4\,\%\) de los andaluces practique natación como hábito deportivo.

c) Tamaño mínimo al \(97\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=2{,}17\) (tabla: \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\)). 2. Se impone \(E\le0{,}03\) y se despeja \(n\): \[E\le0{,}03\iff n\ge\dfrac{2{,}17^2\cdot0{,}265\cdot0{,}735}{0{,}03^2}=1\,019{,}08.\] 3. Se redondea hacia arriba.

Tendrían que formar parte de la muestra al menos \(n=1\,020\) personas.

Extraordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 4B · Extraordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque D · (2 puntos) · Examen

Un estudio sobre la diabetes en analítica de sangre, determina que la cantidad de hemoglobina glicosilada en sangre, en porcentaje, sigue una ley Normal de varianza \(0{,}09\). Se eligen de forma aleatoria 10 analíticas de sangre y se anota la hemoglobina glicosilada, obteniéndose:

\[6{,}6,\ 5{,}9,\ 6{,}2,\ 5{,}7,\ 5{,}8,\ 6{,}4,\ 6{,}4,\ 6{,}3,\ 5{,}7,\ 6{,}0\]

1. Con un nivel de confianza del \(97\,\%\), calcule un intervalo de confianza para estimar la cantidad media de hemoglobina glicosilada poblacional. (0,75 puntos)

2. A la vista del intervalo obtenido, razone si se puede admitir que la cantidad media de hemoglobina glicosilada poblacional es \(6{,}5\). (0,5 puntos)

3. ¿Cuántas analíticas, como mínimo, tendrían que formar parte de la muestra seleccionada para que, con un nivel de confianza del \(98\,\%\), el error cometido en la estimación de la cantidad media de hemoglobina glicosilada poblacional sea como máximo de \(0{,}1\)? (0,75 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\sigma=\sqrt{0{,}09}=0{,}3\), \(n=10\). Suma de las medidas: \(61\), luego \(\bar x=\dfrac{61}{10}=6{,}1\).

a) Intervalo al \(97\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=2{,}17\) (tabla: \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\)). 2. Error máximo: \(E=2{,}17\cdot\dfrac{0{,}3}{\sqrt{10}}=0{,}2059\). 3. Intervalo: \[IC=(6{,}1-0{,}2059,\ 6{,}1+0{,}2059)=(5{,}8941,\ 6{,}3059).\]

Interpretación: con confianza del \(97\,\%\), la hemoglobina glicosilada media está entre \(5{,}8941\,\%\) y \(6{,}3059\,\%\).

b) ¿Puede ser \(6{,}5\)? 1. Se mira si \(6{,}5\) está en el intervalo: queda por encima de \(6{,}3059\).

El valor \(6{,}5\) no pertenece al intervalo: no puede admitirse que la cantidad media sea \(6{,}5\).

c) Tamaño mínimo al \(98\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}99\) y la tabla da \(\Phi(2{,}33)=0{,}9901\), el más cercano, luego \(z_{\alpha/2}=2{,}33\). 2. Se impone \(E\le0{,}1\) y se despeja \(n\): \[E\le0{,}1\iff n\ge\left(\dfrac{2{,}33\cdot0{,}3}{0{,}1}\right)^2=48{,}86.\] 3. Se redondea hacia arriba.

Hacen falta al menos \(n=49\) analíticas.

2025

Ordinaria · Modelo A 2025

Ejercicio 6 · Ordinaria · Modelo A 2025 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

El tiempo de estudio semanal de los estudiantes andaluces, medido en horas, se distribuye según una ley Normal de media desconocida y desviación típica 5 horas. A partir de una muestra de 81 estudiantes se ha obtenido que el intervalo de confianza para la media poblacional es \((10{,}794;\ 13{,}206)\), con un nivel de confianza del \(97\,\%\).

1. Obtenga el tiempo medio de estudio de esa muestra de estudiantes. (0,5 puntos)

2. Si se amplía el tamaño de la muestra, razone si manteniendo el nivel de confianza, la amplitud del intervalo de confianza aumenta o disminuye. (0,5 puntos)

3. Si se desea reducir la amplitud del intervalo de confianza, razone si manteniendo el tamaño muestral, ha de reducirse o aumentarse el nivel de confianza. (0,75 puntos)

4. Si la media de la población es de \(10{,}2\) horas y sabiendo que la media muestral es de 12 horas, calcule el tamaño máximo de la muestra para obtener un intervalo de confianza que contenga la media poblacional, manteniendo el \(97\,\%\) de confianza. (0,75 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Distribución de la media y de la proporción muestral.

1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Media muestral. 1. La media muestral es el punto medio del intervalo: \(\bar x=\dfrac{10{,}794+13{,}206}{2}=\mathbf{12}\) horas. 2. Comprobación: el error es \(E=\dfrac{13{,}206-10{,}794}{2}=1{,}206=2{,}17\cdot\dfrac{5}{\sqrt{81}}\), que confirma \(z_{\alpha/2}=2{,}17\).

b) Efecto de aumentar \(n\). 1. La amplitud es \(2z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\). 2. Al aumentar \(n\), \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) disminuye.

La amplitud disminuye.

c) Reducir la amplitud con \(n\) fijo. 1. Con \(n\) fijo, la amplitud depende de \(z_{\alpha/2}\), que crece con el nivel de confianza. 2. Para reducir la amplitud hay que reducir \(z_{\alpha/2}\).

Ha de reducirse el nivel de confianza.

d) Tamaño máximo para que el intervalo contenga a \(\mu=10{,}2\). 1. El intervalo es \(\left(12-E,\ 12+E\right)\) y contiene a \(10{,}2\) si \(E\ge12-10{,}2=1{,}8\). 2. Se despeja \(n\): \[2{,}17\cdot\frac{5}{\sqrt n}\ge1{,}8\iff\sqrt n\le\frac{10{,}85}{1{,}8}=6{,}028\iff n\le36{,}33.\] 3. Como se pide el máximo y \(n\) es entero, se redondea hacia abajo.

El tamaño máximo es \(n=36\).

Ordinaria · Modelo B 2025

Ejercicio 6 · Ordinaria · Modelo B 2025 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

A partir de un estudio muestral se sabe que, con un nivel de confianza del \(95\,\%\), la proporción de estudiantes de una universidad que tienen carnet de conducir pertenece al intervalo \((0{,}5616;\ 0{,}7184)\).

1. Calcule la proporción muestral de estudiantes que tienen carnet de conducir. (0,5 puntos)

2. Calcule el error máximo cometido en la estimación de la proporción poblacional. (0,5 puntos)

3. Calcule el tamaño de la muestra seleccionada. (1 punto)

4. Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo un aumento del tamaño muestral. (0,5 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Proporción muestral. 1. Es el punto medio del intervalo: \(\hat p=\dfrac{0{,}5616+0{,}7184}{2}=\mathbf{0{,}64}\).

b) Error máximo. 1. Es la semiamplitud: \(E=\dfrac{0{,}7184-0{,}5616}{2}=\mathbf{0{,}0784}\).

c) Tamaño de la muestra. 1. Nivel \(95\,\%\): \(z_{\alpha/2}=1{,}96\). 2. Se iguala el error: \(E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}64\cdot0{,}36}{n}}=0{,}0784\Rightarrow\sqrt{\dfrac{0{,}2304}{n}}=0{,}04\). 3. Se despeja: \(n=\dfrac{0{,}2304}{0{,}0016}=144\).

El tamaño de la muestra es \(n=144\).

d) Efecto de aumentar \(n\). 1. La amplitud es \(2z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\). 2. Al aumentar \(n\), el error disminuye.

La amplitud del intervalo disminuye.

Ordinaria · Suplente 1 · Modelo A 2025

Ejercicio 6 · Ordinaria · Suplente 1 · Modelo A 2025 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

El tiempo que tardan los usuarios de un sistema de salud en conseguir una cita en Atención Primaria sigue una distribución Normal con media desconocida y desviación típica \(4{,}2\) días.

1. Elegidos al azar 30 usuarios, se obtiene que el tiempo medio que tardan en obtener cita en Atención Primaria es de \(11{,}3\) días. Determine un intervalo de confianza para estimar la media poblacional, con un nivel de confianza del \(97\,\%\).

La gerencia del sistema de salud asegura que el promedio de días para obtener una cita en Atención Primaria es de \(9{,}8\) días. Según el intervalo obtenido ¿podría asumirse la afirmación de la gerencia como posible? (1,75 puntos)

2. ¿Cuántos usuarios como mínimo se deberían seleccionar en una nueva muestra para que, con un nivel de confianza del \(95\,\%\), el error máximo en el intervalo de la media poblacional sea de \(0{,}6\) días? (0,75 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\sigma=4{,}2\), \(n=30\), \(\bar x=11{,}3\); \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=0{,}7668\).

a) Intervalo al \(97\,\%\) y afirmación de la gerencia. 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=2{,}17\) (tabla: \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\)). 2. Error máximo: \(E=2{,}17\cdot0{,}7668=1{,}664\). 3. Intervalo: \[IC=(11{,}3-1{,}664,\ 11{,}3+1{,}664)=(9{,}636,\ 12{,}964).\] 4. El valor \(9{,}8\) sí está en el intervalo.

La afirmación de la gerencia es posible (compatible con los datos).

b) Tamaño mínimo al \(95\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=1{,}96\). 2. Se impone \(E\le0{,}6\) y se despeja \(n\): \(E\le0{,}6\iff n\ge\left(\dfrac{1{,}96\cdot4{,}2}{0{,}6}\right)^2=188{,}24\). 3. Se redondea hacia arriba.

Hacen falta al menos \(n=189\) usuarios.

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente 1 · Modelo A 2025 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se desea estimar la proporción de personas de una determinada localidad que se muestran favorables a la celebración de las fiestas locales durante el mes de mayo. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de 200 personas resultando que 130 de ellas están a favor.

1. Obtenga un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del \(96{,}5\,\%\), para estimar la proporción de personas de esta localidad que está a favor de celebrar las fiestas locales durante el mes de mayo. (1 punto)

2. Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del \(99\,\%\), ¿cuál es el número mínimo de personas que deberán seleccionarse aleatoriamente para que la proporción muestral y la poblacional no difieran en más de un \(2\%\)? (1 punto)

3. Manteniendo el tamaño de la muestra y la proporción muestral, si se aumenta el nivel de confianza, razone cómo influye en el error máximo de estimación. (0,5 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{130}{200}=0{,}65\), \(n=200\).

a) Intervalo al \(96{,}5\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}9825\) y la tabla da \(\Phi(2{,}11)=0{,}9826\), el más cercano, luego \(z_{\alpha/2}=2{,}11\) (pues \(\Phi(2{,}11)=0{,}9826\approx0{,}9825\)). 2. Error máximo: \(E=2{,}11\sqrt{\dfrac{0{,}65\cdot0{,}35}{200}}=2{,}11\cdot0{,}03373=0{,}0712\). 3. Intervalo: \[IC=(0{,}65-0{,}0712,\ 0{,}65+0{,}0712)=(0{,}5788,\ 0{,}7212).\]

Interpretación: con confianza del \(96{,}5\,\%\), entre el \(57{,}88\,\%\) y el \(72{,}12\,\%\) de las personas están a favor.

b) Tamaño mínimo al \(99\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}995\), que está entre \(\Phi(2{,}57)=0{,}9949\) y \(\Phi(2{,}58)=0{,}9951\). Se toma el punto medio, \(z_{\alpha/2}=2{,}575\). 2. Se impone \(E\le0{,}02\) y se despeja \(n\): \[n\ge\frac{2{,}575^2\cdot0{,}65\cdot0{,}35}{0{,}02^2}=3\,771{,}17.\] 3. Se redondea hacia arriba.

Hacen falta al menos \(n=3\,772\) personas.

c) Efecto de aumentar el nivel de confianza. 1. El error es \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\), con \(\hat p\) y \(n\) fijos. 2. Al aumentar el nivel de confianza, \(z_{\alpha/2}\) aumenta.

El error máximo aumenta (se gana confianza a costa de precisión).

Ordinaria · Suplente 1 · Modelo B 2025

Ejercicio 6 · Ordinaria · Suplente 1 · Modelo B 2025 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Una industria conservera envasa latas de anchoas cuyo peso en gramos sigue una distribución Normal con media poblacional desconocida y desviación típica 1 g. Para estimar la media poblacional, se selecciona al azar una muestra de 30 latas que dan un peso total de \(2\,404{,}5\) g.

1. Determine un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del \(99\,\%\), para estimar el peso medio de las latas envasadas por la conservera. (1 punto)

2. Calcule el tamaño mínimo de una nueva muestra para que, manteniendo el mismo nivel de confianza, el error máximo de estimación de la media poblacional sea menor que \(0{,}3\) g. (1 punto)

3. Explique, razonadamente, el efecto que tendría sobre el error máximo de estimación un aumento del número de latas seleccionadas en la muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza, y explique también qué ocurriría con dicho error si se aumentara el nivel de confianza manteniendo el mismo tamaño muestral. (0,5 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\bar x=\dfrac{2\,404{,}5}{30}=80{,}15\) g, \(\sigma=1\) g, \(n=30\).

Valor crítico. Nivel \(99\,\%\): \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}995\), que está entre \(\Phi(2{,}57)=0{,}9949\) y \(\Phi(2{,}58)=0{,}9951\). Se toma el punto medio, \(z_{\alpha/2}=2{,}575\).

a) Intervalo. 1. Error máximo: \(E=2{,}575\cdot\dfrac{1}{\sqrt{30}}=0{,}4701\). 2. Intervalo: \[IC=(80{,}15-0{,}4701,\ 80{,}15+0{,}4701)=(79{,}6799,\ 80{,}6201).\]

Interpretación: con confianza del \(99\,\%\), el peso medio de las latas está entre \(79{,}68\) y \(80{,}62\) g.

b) Tamaño mínimo. 1. Se impone \(E<0{,}3\) y se despeja \(n\): \(E<0{,}3\iff n>\left(\dfrac{2{,}575\cdot1}{0{,}3}\right)^2=73{,}67\). 2. Se redondea hacia arriba.

Hace falta una muestra de al menos \(n=74\) latas.

c) Efecto sobre el error máximo. 1. El error es \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\). 2. Si aumenta \(n\), \(\sqrt n\) aumenta y el error disminuye. 3. Si aumenta el nivel de confianza (con \(n\) fijo), \(z_{\alpha/2}\) aumenta y el error aumenta.

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente 1 · Modelo B 2025 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

1. Dada la población \(\{-4,-2,1,4,6\}\), calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. (1,25 puntos)

2. Una empresa multinacional con 10000 empleados desea realizar un estudio sobre la brecha salarial de género en su organización. La empresa está dividida en tres niveles jerárquicos, en los que se tiene 1000 empleados de nivel ejecutivo, siendo el \(30\,\%\) mujeres, 3000 empleados de nivel medio, de los cuales el \(55\,\%\) son hombres, y el resto empleados de nivel operativo, de los que el \(55\,\%\) son mujeres. Se quiere seleccionar una muestra estratificada de 2000 empleados, manteniendo la proporción de cada nivel jerárquico y la distribución de género dentro de cada nivel. ¿Cuántos empleados deben seleccionarse en cada nivel jerárquico? y dentro de cada uno, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres deben seleccionarse? (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

Muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional: el tamaño de la muestra en cada estrato es \(n_i=n\cdot\dfrac{N_i}{N}\). Con una población pequeña, las muestras de tamaño \(n\) se forman eligiendo \(n\) elementos: con reemplazamiento (orden importa) hay \(N^n\); sin reemplazamiento y sin orden, \(\binom{N}{n}\). La media de las medias muestrales es la media de la población.

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Distribución de la media y de la proporción muestral.

1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

1. Si hay estratos, calcula la fracción \(\dfrac{n}{N}\) y multiplícala por el tamaño de cada estrato; redondea sin que la suma cambie.
2. Si piden muestras posibles, decide primero si hay reemplazamiento y si importa el orden; después enumera o cuenta.
3. Para la media y la varianza de las medias muestrales, escribe todas las medias, calcula su media y la media de sus cuadrados menos el cuadrado de la media.

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Varianza de las medias muestrales de tamaño 2. 1. Media poblacional: \(\mu=\dfrac{-4-2+1+4+6}{5}=1\). 2. Varianza poblacional: \(\sigma^2=\dfrac{25+9+0+9+25}{5}=\dfrac{68}{5}=13{,}6\). 3. La varianza de las medias muestrales es la poblacional dividida entre el tamaño de la muestra: \(\sigma_{\bar x}^2=\dfrac{\sigma^2}{2}=\dfrac{13{,}6}{2}=6{,}8\).

\(\sigma_{\bar x}^2=6{,}8\).

b) Muestreo estratificado. 1. Fracción muestreada: \(\dfrac{2\,000}{10\,000}=0{,}2\). 2. Niveles: ejecutivo \(1\,000\), medio \(3\,000\) y operativo \(10\,000-1\,000-3\,000=6\,000\). 3. En cada nivel se aplica \(0{,}2\) y se reparte según el porcentaje de mujeres (en el nivel medio, \(100-55=45\,\%\)):

Nivel	Empleados	Muestra	Mujeres (%)	Hombres	Mujeres
Ejecutivo	\(1\,000\)	\(200\)	\(30\,\%\)	\(140\)	\(60\)
Medio	\(3\,000\)	\(600\)	\(45\,\%\)	\(330\)	\(270\)
Operativo	\(6\,000\)	\(1\,200\)	\(55\,\%\)	\(540\)	\(660\)

Deben seleccionarse \(200\), \(600\) y \(1\,200\) empleados en los niveles ejecutivo, medio y operativo, respectivamente; en cada uno: \(140\) hombres y \(60\) mujeres, \(330\) hombres y \(270\) mujeres, y \(540\) hombres y \(660\) mujeres.

Ordinaria · Suplente 2 · Modelo A 2025

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente 2 · Modelo A 2025 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

En un invernadero de Palos de la Frontera (Huelva), se cultivan fresas y frambuesas. Se desea estimar la proporción de fresas y frambuesas que se recolectan. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de 300 kg, obteniéndose que 180 kg de ellos son fresas y el resto frambuesas.

1. Obtenga, con un nivel de confianza del \(97\,\%\), un intervalo para estimar la proporción de fresas recolectadas en el invernadero y otro intervalo para estimar la proporción de frambuesas recolectadas. (1,5 puntos)

2. Con las proporciones muestrales iniciales y con un nivel de confianza del \(95\,\%\), ¿cuántos kilogramos de frutos deberían seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que las proporciones muestrales difieran de las proporciones poblacionales a lo sumo en un \(2\,\%\)? (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. Fresas: \(\hat p_F=\dfrac{180}{300}=0{,}6\); frambuesas: \(\hat p_R=\dfrac{120}{300}=0{,}4\); \(n=300\).

a) Intervalos al \(97\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=2{,}17\). 2. Como \(\hat p_F(1-\hat p_F)=\hat p_R(1-\hat p_R)=0{,}24\), el error es el mismo para las dos: \(E=2{,}17\sqrt{\dfrac{0{,}24}{300}}=2{,}17\cdot0{,}02828=0{,}0614\). 3. Intervalos \(\hat p\pm E\): - Fresas: \(IC=(0{,}6-0{,}0614,\ 0{,}6+0{,}0614)=(0{,}5386,\ 0{,}6614)\). - Frambuesas: \(IC=(0{,}4-0{,}0614,\ 0{,}4+0{,}0614)=(0{,}3386,\ 0{,}4614)\).

Interpretación: los dos intervalos tienen la misma amplitud porque \(\hat p_F+\hat p_R=1\).

b) Tamaño mínimo al \(95\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=1{,}96\). 2. Como \(\hat p(1-\hat p)=0{,}24\) en ambos casos, se impone \(E\le0{,}02\): \(E\le0{,}02\iff n\ge\dfrac{1{,}96^2\cdot0{,}24}{0{,}02^2}=2\,304{,}96\). 3. Se redondea hacia arriba.

Deberían seleccionarse al menos \(2\,305\) kg de frutos.

Ordinaria · Suplente 2 · Modelo B 2025

Ejercicio 6 · Ordinaria · Suplente 2 · Modelo B 2025 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se selecciona una muestra aleatoria de 600 familias a las que se les pregunta si tienen mascota, resultando que 240 de esas familias contestaron afirmativamente. Con un nivel de confianza del \(95\,\%\),

1. Obtenga el correspondiente intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional de familias que tienen mascota. ¿Puede suponerse que la mitad de las familias de esta población tiene mascota? (1,25 puntos)

2. ¿Qué tamaño muestral mínimo se debe tomar para que el error máximo al estimar esta proporción sea \(0{,}025\)? (0,75 puntos)

3. Explique razonadamente el efecto que tendría sobre la amplitud del intervalo de confianza de la proporción poblacional el aumento del tamaño de la muestra elegida. (0,5 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{240}{600}=0{,}4\), \(n=600\). Nivel \(95\,\%\): \(z_{\alpha/2}=1{,}96\).

a) Intervalo y valor \(0{,}5\). 1. Error máximo: \(E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}4\cdot0{,}6}{600}}=1{,}96\cdot0{,}02=0{,}0392\). 2. Intervalo: \[IC=(0{,}4-0{,}0392,\ 0{,}4+0{,}0392)=(0{,}3608,\ 0{,}4392).\] 3. El valor \(0{,}5\) no pertenece al intervalo.

No puede suponerse que la mitad de las familias tenga mascota.

b) Tamaño mínimo. 1. Se impone \(E=0{,}025\) (como máximo) y se despeja \(n\): \(E=0{,}025\Rightarrow n\ge\dfrac{1{,}96^2\cdot0{,}4\cdot0{,}6}{0{,}025^2}=1\,475{,}17\). 2. Se redondea hacia arriba.

Hace falta una muestra de al menos \(n=1\,476\) familias.

c) Efecto de aumentar \(n\). 1. La amplitud es \(2z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\). 2. Al aumentar \(n\), el error disminuye.

La amplitud del intervalo disminuye.

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente 2 · Modelo B 2025 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se ha realizado un estudio para analizar el peso, en kilogramos, de las mochilas de los estudiantes de ESO de los institutos de una localidad. Para ello, se seleccionó una muestra aleatoria de 13 mochilas, obteniéndose los siguientes datos:

\[4{,}5,\ 5{,}3,\ 4{,}9,\ 5{,}2,\ 5{,}5,\ 5{,}5,\ 5{,}7,\ 4{,}8,\ 5{,}6,\ 4{,}7,\ 4{,}2,\ 5{,}8,\ 4{,}6\]

El peso de las mochilas se distribuye según una ley Normal de desviación típica \(0{,}9\) kg y media desconocida.

1. Halle un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del \(98{,}5\,\%\), para estimar el peso medio de las mochilas escolares. (1,25 puntos)

2. Para el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño muestral mínimo se debería tomar para que el error cometido al estimar el peso medio de estas mochilas sea inferior al \(10\,\%\)? (0,75 puntos)

3. El peso medio de las mochilas de los estudiantes de ESO de esa localidad es de \(4{,}9\) kg y tomando una muestra de 36 mochilas, ¿qué distribución sigue la variable que mide el peso medio de estas 36 mochilas? ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio no supere los \(5{,}2\) kg? (0,5 puntos)

Relacionado también con: Distribuciones binomial y normal.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Intervalo al \(98{,}5\,\%\). 1. Media muestral: la suma de los pesos es \(66{,}3\), luego \(\bar x=\dfrac{66{,}3}{13}=5{,}1\) kg. 2. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}9925\) y la tabla da \(\Phi(2{,}43)=0{,}9925\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}43\). 3. Error máximo: \(E=2{,}43\cdot\dfrac{0{,}9}{\sqrt{13}}=0{,}6066\). 4. Intervalo: \[IC=(5{,}1-0{,}6066,\ 5{,}1+0{,}6066)=(4{,}4934,\ 5{,}7066).\]

Interpretación: con confianza del \(98{,}5\,\%\), el peso medio de las mochilas está entre \(4{,}49\) y \(5{,}71\) kg.

b) Tamaño mínimo para un error inferior al \(10\,\%\). 1. Lectura del enunciado: el «\(10\,\%\)» se interpreta como el \(10\,\%\) del peso medio estimado, \(0{,}1\cdot5{,}1=0{,}51\) kg. 2. Se impone \(E<0{,}51\) y se despeja \(n\): \(E<0{,}51\iff n>\left(\dfrac{2{,}43\cdot0{,}9}{0{,}51}\right)^2=18{,}39\). 3. Se redondea hacia arriba.

Hacen falta al menos \(n=19\) mochilas. Si el error se exigiera inferior a \(0{,}1\) kg, saldría \(n>478{,}3\), es decir, \(n=479\).

c) Distribución de la media de 36 mochilas. 1. Con población normal, \(\bar X\sim N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\): \(\bar X\sim N\!\left(4{,}9,\ \dfrac{0{,}9}{\sqrt{36}}\right)=N(4{,}9,\ 0{,}15)\). 2. Se tipifica: \[P(\bar X\le5{,}2)=P\!\left(Z\le\frac{5{,}2-4{,}9}{0{,}15}\right)=P(Z\le2)=\mathbf{0{,}9772}.\]

Interpretación: en el \(97{,}72\,\%\) de las muestras de 36 mochilas, el peso medio no supera los \(5{,}2\) kg.

2024

Ordinaria · Modelo A 2024

Ejercicio 7 · Ordinaria · Modelo A 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

1. Se realizan dos muestreos aleatorios estratificados con afijación proporcional para una población dividida en cuatro estratos \(E_1\), \(E_2\), \(E_3\) y \(E_4\). En la primera muestra se han seleccionado 25 individuos de \(E_1\) y 30 de \(E_2\). En la segunda muestra se han seleccionado 80 individuos de \(E_3\) y 100 de \(E_4\). Sabiendo que el estrato \(E_1\) tiene 500 individuos y que el \(E_3\) tiene 400, determine el tamaño de cada estrato de la población y el tamaño de las muestras en cada estrato. (1,5 puntos)

2. Dada la población \(\{-3,-1,2,5,7\}\), se consideran todas las muestras posibles de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de las medias muestrales. (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

Muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional: el tamaño de la muestra en cada estrato es \(n_i=n\cdot\dfrac{N_i}{N}\). Con una población pequeña, las muestras de tamaño \(n\) se forman eligiendo \(n\) elementos: con reemplazamiento (orden importa) hay \(N^n\); sin reemplazamiento y sin orden, \(\binom{N}{n}\). La media de las medias muestrales es la media de la población.

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Distribución de la media y de la proporción muestral.

1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

1. Si hay estratos, calcula la fracción \(\dfrac{n}{N}\) y multiplícala por el tamaño de cada estrato; redondea sin que la suma cambie.
2. Si piden muestras posibles, decide primero si hay reemplazamiento y si importa el orden; después enumera o cuenta.
3. Para la media y la varianza de las medias muestrales, escribe todas las medias, calcula su media y la media de sus cuadrados menos el cuadrado de la media.

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Afijación proporcional. En cada muestra, el cociente \(\dfrac{\text{muestra}}{\text{estrato}}\) es el mismo para todos los estratos. 1. Primera muestra: \(\dfrac{25}{500}=0{,}05\). Entonces \(E_2\) tiene \(\dfrac{30}{0{,}05}=600\) individuos y la muestra en \(E_3\) es \(0{,}05\cdot400=20\). 2. Segunda muestra: \(\dfrac{80}{400}=0{,}2\). Entonces \(E_4\) tiene \(\dfrac{100}{0{,}2}=500\) individuos; en \(E_1\) la muestra es \(0{,}2\cdot500=100\) y en \(E_2\) es \(0{,}2\cdot600=120\). 3. Con la primera muestra, en \(E_4\) salen \(0{,}05\cdot500=25\).

Estratos: \(500\), \(600\), \(400\) y \(500\) (población \(2\,000\)). Primera muestra: \(25\), \(30\), \(20\) y \(25\) (total \(100\)). Segunda muestra: \(100\), \(120\), \(80\) y \(100\) (total \(400\)).

b) Medias muestrales de la población \(\{-3,-1,2,5,7\}\). 1. Media poblacional: \(\mu=\dfrac{-3-1+2+5+7}{5}=2\). 2. Varianza poblacional: \(\sigma^2=\dfrac{25+9+0+9+25}{5}=\dfrac{68}{5}=13{,}6\). 3. Con muestreo aleatorio simple (con reemplazamiento) de tamaño \(2\), la media de las medias muestrales es la poblacional y la varianza se divide entre \(n=2\).

La media de las medias muestrales es \(\mu_{\bar x}=\mu=\mathbf{2}\) y su varianza es \(\sigma_{\bar x}^2=\dfrac{\sigma^2}{2}=\dfrac{13{,}6}{2}=\mathbf{6{,}8}\).

Ejercicio 8 · Ordinaria · Modelo A 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se desea conocer la proporción de habitantes de una determinada ciudad que realizan turismo sostenible durante sus vacaciones. Para ello se selecciona al azar una muestra de 2500 habitantes, resultando que 1825 realizan turismo sostenible.

1. Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del \(95\,\%\), para estimar la proporción de habitantes de la ciudad que realizan turismo sostenible. (1,25 puntos)

2. Para un nivel de confianza del \(97\,\%\) y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál sería el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al \(1\%\)? (0,75 puntos)

3. Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo una disminución del tamaño de la muestra. (0,5 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{1825}{2500}=0{,}73\), \(n=2500\).

a) Intervalo al \(95\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=1{,}96\). 2. Error máximo: \(E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}73\cdot0{,}27}{2500}}=1{,}96\cdot0{,}008879=0{,}0174\). 3. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}73-0{,}0174,\ 0{,}73+0{,}0174)=(0{,}7126,\ 0{,}7474).\]

Interpretación: con confianza del \(95\,\%\), entre el \(71{,}26\,\%\) y el \(74{,}74\,\%\) de los habitantes hacen turismo sostenible.

b) Tamaño mínimo al \(97\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}985\) y la tabla da \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}17\). 2. Se impone \(E<0{,}01\) y se despeja \(n\): \(E<0{,}01\iff n>\dfrac{2{,}17^2\cdot0{,}73\cdot0{,}27}{0{,}01^2}=9\,281{,}24\). 3. Se redondea hacia arriba.

Hace falta una muestra de al menos \(n=9\,282\) habitantes.

c) Efecto de disminuir \(n\). 1. \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) y la amplitud del intervalo es \(2E\). 2. Si \(n\) disminuye, \(\sqrt{n}\) disminuye y \(E\) aumenta.

La amplitud del intervalo aumenta (la estimación es menos precisa).

Ordinaria · Modelo B 2024

Ejercicio 8 · Ordinaria · Modelo B 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se desea estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota. Para ello, se selecciona una muestra aleatoria de 300 viajeros, obteniéndose que 12 de ellos viajan con su mascota.

1. Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del \(97\,\%\), para estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota. (1,25 puntos)

2. Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del \(95\,\%\), ¿cuántas personas que viajan en tren deberán seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un \(2\,\%\)? (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{12}{300}=0{,}04\), \(n=300\).

a) Intervalo al \(97\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}985\) y la tabla da \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}17\). 2. Error máximo: \(E=2{,}17\sqrt{\dfrac{0{,}04\cdot0{,}96}{300}}=2{,}17\cdot0{,}011314=0{,}0246\). 3. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}04-0{,}0246,\ 0{,}04+0{,}0246)=(0{,}0154,\ 0{,}0646).\]

Interpretación: con confianza del \(97\,\%\), entre el \(1{,}54\,\%\) y el \(6{,}46\,\%\) de los viajeros llevan mascota.

b) Tamaño mínimo al \(95\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=1{,}96\). 2. Se impone \(E\le0{,}02\) y se despeja \(n\): \(E\le0{,}02\iff n\ge\dfrac{1{,}96^2\cdot0{,}04\cdot0{,}96}{0{,}02^2}=368{,}79\). 3. Se redondea hacia arriba.

Hay que seleccionar al menos \(n=369\) personas.

Ordinaria · Reserva · Modelo A 2024

Ejercicio 7 · Ordinaria · Reserva · Modelo A 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

1. Para estimar la proporción de mujeres matriculadas en carreras STEM en Andalucía, se realiza una encuesta a \(2\,000\) universitarias andaluzas elegidas al azar y se obtiene que \(710\) de ellas están matriculadas en carreras STEM. Con un nivel de confianza del \(96{,}5\,\%\), calcule un intervalo de confianza para estimar la proporción de mujeres matriculadas en carreras STEM en Andalucía. (1,25 puntos)

2. En otra comunidad autónoma, al seleccionar una muestra de universitarias, se observa que el porcentaje de mujeres matriculadas en carreras STEM es del \(37\,\%\). Con un nivel de confianza del \(98\,\%\), calcule el tamaño mínimo de esa nueva muestra para que el error máximo cometido sea del \(1{,}5\,\%\). (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Intervalo al \(96{,}5\,\%\). 1. Proporción muestral: \(\hat p=\dfrac{710}{2000}=0{,}355\). 2. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}9825\) y en la tabla \(\Phi(2{,}11)=0{,}9826\) (el más cercano), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}11\). 3. Error máximo: \(E=2{,}11\sqrt{\dfrac{0{,}355\cdot0{,}645}{2000}}=2{,}11\cdot0{,}0107=0{,}0226\). 4. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}355-0{,}0226,\ 0{,}355+0{,}0226)=(0{,}3324,\ 0{,}3776).\]

Interpretación: con confianza del \(96{,}5\,\%\), entre el \(33{,}24\,\%\) y el \(37{,}76\,\%\) de las universitarias andaluzas cursan carreras STEM.

b) Tamaño mínimo al \(98\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}99\) y \(z_{\alpha/2}=2{,}33\) (tabla: \(\Phi(2{,}33)=0{,}9901\)). 2. Con \(\hat p=0{,}37\) y \(E\le0{,}015\): \[n\ge\frac{2{,}33^2\cdot0{,}37\cdot0{,}63}{0{,}015^2}=5\,624{,}34.\] 3. Se redondea hacia arriba.

Hace falta una muestra de al menos \(n=5\,625\) universitarias.

Ejercicio 8 · Ordinaria · Reserva · Modelo A 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

La cuota mensual de las hipotecas en una ciudad es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica igual a 140 €.

1. Se toma una muestra aleatoria de hipotecas en dicha ciudad y se obtiene que el intervalo de confianza al \(95\,\%\) para la media de las cuotas mensuales es \((517{,}65;\ 551{,}95)\). Calcule el valor de la media muestral y el tamaño de la muestra elegida. (1 punto)

2. Escogida otra muestra de 78 hipotecas en esa ciudad y con un nivel de confianza del \(97\,\%\), calcule el error máximo cometido para estimar la cuota mensual media. (0,5 puntos)

3. Si en otra ciudad la cuota mensual de las hipotecas sigue una distribución Normal de media 540 € y desviación típica de 150 €, calcule la probabilidad de que la cuota de una hipoteca elegida al azar en dicha ciudad esté comprendida entre 600 y 700 euros. (1 punto)

Relacionado también con: Distribuciones binomial y normal.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Distribución de la media y de la proporción muestral.

1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Media y tamaño de la muestra. 1. La media muestral es el punto medio del intervalo: \(\bar x=\dfrac{517{,}65+551{,}95}{2}=\mathbf{534{,}8}\) €. 2. El error máximo es la semiamplitud: \(E=\dfrac{551{,}95-517{,}65}{2}=17{,}15\). 3. Nivel \(95\,\%\) (\(z_{\alpha/2}=1{,}96\)): \(E=1{,}96\cdot\dfrac{140}{\sqrt n}=17{,}15\Rightarrow\sqrt n=\dfrac{1{,}96\cdot140}{17{,}15}=16\Rightarrow n=256\).

Media muestral \(534{,}8\) € y tamaño de la muestra \(n=256\).

b) Error máximo con 78 hipotecas al \(97\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=2{,}17\). 2. \(E=2{,}17\cdot\dfrac{140}{\sqrt{78}}=2{,}17\cdot15{,}8519=34{,}3986\).

Error máximo \(\approx34{,}4\) €.

c) Probabilidad en otra ciudad. 1. \(X\sim N(540,\ 150)\). Se tipifica con \(Z=\dfrac{X-540}{150}\). 2. Con la tabla, \(\Phi(1{,}07)-\Phi(0{,}4)=0{,}8577-0{,}6554\): \[P(600<X<700)=P\!\left(\dfrac{600-540}{150}<Z<\dfrac{700-540}{150}\right)=P(0{,}4<Z<1{,}07)=0{,}8577-0{,}6554=\mathbf{0{,}2023}.\]

Interpretación: en torno al \(20\,\%\) de las hipotecas de esa ciudad tienen una cuota entre \(600\) y \(700\) €.

Ordinaria · Reserva · Modelo B 2024

Ejercicio 7 · Ordinaria · Reserva · Modelo B 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

En un invernadero de Almería se realiza un estudio sobre dos de sus productos, melones y sandías.

1. De los \(4\,000\) melones recolectados en un determinado periodo, \(1\,420\) son de la variedad \(A\), \(980\) de la \(B\), \(720\) de la \(C\) y el resto de la \(D\). Si se selecciona una muestra de \(200\) de estos melones, ¿cuál debe ser la composición que debe tener dicha muestra si se realiza mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional? (1 punto)

2. El peso de las sandías sigue una distribución Normal de media \(3{,}85\) kg y desviación típica \(1{,}32\) kg. Se selecciona, de forma aleatoria, una muestra de \(121\) sandías.

b.1) Indique la distribución que sigue la media muestral del peso de las sandías. (0,5 puntos)

b.2) Calcule la probabilidad de que el peso medio de la muestra esté comprendido entre \(3{,}6\) kg y \(4\) kg. (1 punto)

Relacionado también con: Distribuciones binomial y normal.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

Muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional: el tamaño de la muestra en cada estrato es \(n_i=n\cdot\dfrac{N_i}{N}\). Con una población pequeña, las muestras de tamaño \(n\) se forman eligiendo \(n\) elementos: con reemplazamiento (orden importa) hay \(N^n\); sin reemplazamiento y sin orden, \(\binom{N}{n}\). La media de las medias muestrales es la media de la población.

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

NotaAyuda 2 · Método

Distribución de la media y de la proporción muestral.

1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

1. Si hay estratos, calcula la fracción \(\dfrac{n}{N}\) y multiplícala por el tamaño de cada estrato; redondea sin que la suma cambie.
2. Si piden muestras posibles, decide primero si hay reemplazamiento y si importa el orden; después enumera o cuenta.
3. Para la media y la varianza de las medias muestrales, escribe todas las medias, calcula su media y la media de sus cuadrados menos el cuadrado de la media.

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

TipSolución

a) Muestreo estratificado con afijación proporcional. 1. Melones de la variedad \(D\): \(4\,000-1\,420-980-720=880\). 2. Fracción muestreada: \(\dfrac{200}{4\,000}=0{,}05\), la misma en todos los estratos. 3. Tamaño en cada estrato: \[A:\ 0{,}05\cdot1\,420=71,\quad B:\ 0{,}05\cdot980=49,\quad C:\ 0{,}05\cdot720=36,\quad D:\ 0{,}05\cdot880=44.\]

Composición de la muestra: \(71\) de \(A\), \(49\) de \(B\), \(36\) de \(C\) y \(44\) de \(D\) (total \(200\)).

b.1) Distribución de la media muestral. 1. Si la población es normal, \(\bar X\sim N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\):

\(\bar X\sim N\!\left(3{,}85,\ \dfrac{1{,}32}{\sqrt{121}}\right)=N(3{,}85,\ 0{,}12)\).

b.2) Probabilidad del peso medio. 1. Se tipifica: \(P(3{,}6<\bar X<4)=P\!\left(\dfrac{3{,}6-3{,}85}{0{,}12}<Z<\dfrac{4-3{,}85}{0{,}12}\right)=P(-2{,}08<Z<1{,}25)\). 2. Con la tabla, \(\Phi(1{,}25)-\Phi(-2{,}08)=\Phi(1{,}25)-(1-\Phi(2{,}08))\): \[P(3{,}6<\bar X<4)=P(-2{,}08<Z<1{,}25)=0{,}8944-(1-0{,}9812)=\mathbf{0{,}8756}.\]

Interpretación: el \(87{,}56\,\%\) de las muestras de 121 sandías tienen un peso medio entre \(3{,}6\) y \(4\) kg.

Ejercicio 8 · Ordinaria · Reserva · Modelo B 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Una empresa farmacéutica desea revisar la efectividad de un nuevo medicamento antipirético (reduce la fiebre). Se conoce que el tiempo en el que este medicamento comienza a hacer efecto sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica de 5 minutos. Para estimar la media poblacional, se ha seleccionado una muestra aleatoria de 10 individuos con fiebre y tras administrarse el medicamento, se han anotado los tiempos en los que comienza a remitir. Los tiempos obtenidos, en minutos, fueron:

\[20,\ 25,\ 30,\ 35,\ 35,\ 20,\ 20,\ 25,\ 30,\ 30\]

1. Determine un intervalo de confianza al \(98\,\%\), para estimar el tiempo medio de respuesta de este medicamento. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el tiempo medio en el que el medicamento comienza a hacer efecto es superior a \(35\) minutos. (1,5 puntos)

2. Un estudio posterior ha revelado que el tiempo de respuesta a este medicamento sigue una ley Normal de media \(27{,}2\) minutos y desviación típica de 5 minutos. Determine la probabilidad de que a un paciente con fiebre que ha ingerido el medicamento no le haya hecho efecto hasta pasados 20 minutos. (1 punto)

Relacionado también con: Distribuciones binomial y normal.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Intervalo al \(98\,\%\) y conclusión. 1. Suma de los tiempos: \(270\), luego \(\bar x=\dfrac{270}{10}=27\). 2. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}99\) y en la tabla \(\Phi(2{,}33)=0{,}9901\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}33\). 3. Error máximo: \(E=2{,}33\cdot\dfrac{5}{\sqrt{10}}=3{,}684\). 4. Intervalo: \(\bar x\pm E\): \[IC=(27-3{,}684,\ 27+3{,}684)=(23{,}316,\ 30{,}684).\] 5. El valor \(35\) no pertenece al intervalo y todo el intervalo está por debajo de \(35\).

No puede admitirse que el tiempo medio sea superior a \(35\) minutos.

b) Probabilidad de que no haga efecto hasta pasados 20 minutos. 1. \(X\sim N(27{,}2,\ 5)\) y se pide \(P(X>20)\). 2. Se tipifica: \(P(X>20)=P\!\left(Z>\dfrac{20-27{,}2}{5}\right)=P(Z>-1{,}44)\). 3. Por simetría, \(P(Z>-1{,}44)=P(Z<1{,}44)\): \[P(X>20)=P\!\left(Z>\dfrac{20-27{,}2}{5}\right)=P(Z>-1{,}44)=P(Z<1{,}44)=\mathbf{0{,}9251}.\]

Interpretación: a más del \(92\,\%\) de los pacientes el medicamento no les hace efecto antes de los 20 minutos.

Ordinaria · Suplente · Modelo A 2024

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente · Modelo A 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se ha administrado un determinado medicamento a una muestra de 220 enfermos de una población que padece una cierta enfermedad y se ha observado una respuesta positiva en 165 de ellos.

1. Estime, mediante un intervalo de confianza del \(97{,}5\,\%\), la proporción de enfermos que responderían positivamente si este medicamento se administrase a la población de la que se ha extraído la muestra. Según el intervalo obtenido, razone si puede admitirse que el porcentaje de enfermos que responderían positivamente al medicamento administrado es del \(70\,\%\). (1,5 puntos)

2. Con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea menor que el \(2{,}5\,\%\)? (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{165}{220}=0{,}75\), \(n=220\). Nivel \(97{,}5\,\%\): \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}9875\) y la tabla da exactamente \(\Phi(2{,}24)=0{,}9875\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}24\).

a) Intervalo y conclusión. 1. Error máximo: \(E=2{,}24\sqrt{\dfrac{0{,}75\cdot0{,}25}{220}}=2{,}24\cdot0{,}02919=0{,}0654\). 2. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}75-0{,}0654,\ 0{,}75+0{,}0654)=(0{,}6846,\ 0{,}8154).\] 3. \(0{,}70\) está entre \(0{,}6846\) y \(0{,}8154\).

\(0{,}70\) sí está en el intervalo: puede admitirse que el \(70\,\%\) responda positivamente.

b) Tamaño mínimo. 1. Se impone \(E<0{,}025\) y se despeja \(n\): \[E<0{,}025\iff n>\dfrac{2{,}24^2\cdot0{,}75\cdot0{,}25}{0{,}025^2}=1\,505{,}28.\] 2. Se redondea hacia arriba.

Hace falta una muestra de al menos \(n=1\,506\) enfermos.

Ejercicio 8 · Ordinaria · Suplente · Modelo A 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Un atleta obtiene los siguientes tiempos, en minutos, de 10 repeticiones cronometradas de una prueba:

\[2{,}71\quad3{,}84\quad3{,}26\quad2{,}28\quad2{,}86\quad3{,}08\quad3{,}07\quad2{,}46\quad2{,}54\quad2{,}58\]

Por experiencias anteriores se sabe que el tiempo en cada repetición sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica \(0{,}36\) minutos.

1. Calcule un intervalo de confianza para el tiempo medio de estas repeticiones con un \(93{,}5\,\%\) de confianza. (1,25 puntos)

2. ¿Cuántas repeticiones como mínimo se tendrán que cronometrar si se quiere obtener un error en la estimación del tiempo medio inferior a \(0{,}05\) minutos manteniendo el mismo nivel de confianza? (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. Suma de los tiempos: \(28{,}68\), luego \(\bar x=\dfrac{28{,}68}{10}=2{,}868\) min. \(\sigma=0{,}36\), \(n=10\).

a) Intervalo al \(93{,}5\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}9675\) y en la tabla \(\Phi(1{,}85)=0{,}9678\) (el más cercano), luego \(z_{\alpha/2}=1{,}85\). 2. Error máximo: \(E=1{,}85\cdot\dfrac{0{,}36}{\sqrt{10}}=0{,}2106\). 3. Intervalo: \[IC=(2{,}868-0{,}2106,\ 2{,}868+0{,}2106)=(2{,}6574,\ 3{,}0786).\]

Interpretación: con confianza del \(93{,}5\,\%\), el tiempo medio está entre \(2{,}6574\) y \(3{,}0786\) minutos.

b) Repeticiones mínimas. 1. Se impone \(E<0{,}05\) y se despeja \(n\): \[E<0{,}05\iff n>\left(\dfrac{1{,}85\cdot0{,}36}{0{,}05}\right)^2=177{,}42.\] 2. Se redondea hacia arriba.

Hay que cronometrar al menos \(n=178\) repeticiones.

Ordinaria · Suplente · Modelo B 2024

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente · Modelo B 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Una tienda decide evaluar a su empresa de transporte para determinar si está cumpliendo con sus estándares de calidad. Para ello, se analizan 400 de sus envíos y se comprueba que 370 han sido entregados a tiempo.

1. Si los estándares de calidad de dicha empresa requieren que al menos el \(88\,\%\) de los envíos sean entregados a tiempo, estime, mediante un intervalo de confianza al \(93\,\%\), si la empresa de transporte cumple con los estándares de calidad. (1,5 puntos)

2. Si se mantiene la misma proporción muestral y se aumenta el nivel de confianza al \(95\,\%\), ¿cuántos envíos, como mínimo, habrá que analizar para que la amplitud del intervalo de confianza sea inferior a \(0{,}03\)? (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{370}{400}=0{,}925\), \(n=400\).

a) Intervalo al \(93\,\%\) y conclusión. 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}965\) y en la tabla \(\Phi(1{,}81)=0{,}9649\) (el más cercano), luego \(z_{\alpha/2}=1{,}81\). 2. Error máximo: \(E=1{,}81\sqrt{\dfrac{0{,}925\cdot0{,}075}{400}}=1{,}81\cdot0{,}01317=0{,}0238\). 3. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}925-0{,}0238,\ 0{,}925+0{,}0238)=(0{,}9012,\ 0{,}9488).\] 4. Todo el intervalo está por encima de \(0{,}88\).

La empresa sí cumple los estándares de calidad.

b) Tamaño mínimo con amplitud inferior a \(0{,}03\) al \(95\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=1{,}96\). 2. La amplitud es \(2E\): \(2E<0{,}03\iff E<0{,}015\). 3. Se despeja \(n\): \[n>\frac{1{,}96^2\cdot0{,}925\cdot0{,}075}{0{,}015^2}=1\,184{,}49.\] 4. Se redondea hacia arriba.

Hay que analizar al menos \(n=1\,185\) envíos.

2023

Ordinaria · Modelo A 2023

Ejercicio 7 · Ordinaria · Modelo A 2023 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

1. Una población está dividida en cuatro estratos de \(250\), \(300\), \(400\) y \(350\) individuos. Realizado un muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado \(20\) individuos del primer estrato. Determine el tamaño de la población, el tamaño de la muestra y el número de individuos seleccionados de los tres restantes estratos. (1,25 puntos)

2. En un centro de enseñanza la calificación media de los estudiantes fue de \(6{,}4\) puntos con una desviación típica de \(0{,}7\) puntos. Se seleccionó aleatoriamente una muestra de \(49\) estudiantes.

b1) Indique la distribución que sigue la media de las muestras de tamaño \(49\). (0,25 puntos)

b2) Calcule la probabilidad de que la media de las calificaciones de los estudiantes de una de esas muestras esté comprendida entre \(6{,}3\) y \(6{,}8\) puntos. (1 punto)

Relacionado también con: Distribuciones binomial y normal.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

Muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional: el tamaño de la muestra en cada estrato es \(n_i=n\cdot\dfrac{N_i}{N}\). Con una población pequeña, las muestras de tamaño \(n\) se forman eligiendo \(n\) elementos: con reemplazamiento (orden importa) hay \(N^n\); sin reemplazamiento y sin orden, \(\binom{N}{n}\). La media de las medias muestrales es la media de la población.

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Distribución de la media y de la proporción muestral.

1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

1. Si hay estratos, calcula la fracción \(\dfrac{n}{N}\) y multiplícala por el tamaño de cada estrato; redondea sin que la suma cambie.
2. Si piden muestras posibles, decide primero si hay reemplazamiento y si importa el orden; después enumera o cuenta.
3. Para la media y la varianza de las medias muestrales, escribe todas las medias, calcula su media y la media de sus cuadrados menos el cuadrado de la media.

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Muestreo estratificado con afijación proporcional. 1. Población: \(N=250+300+400+350=1\,300\). 2. Fracción muestreada, con el primer estrato: \(\dfrac{20}{250}=0{,}08\). 3. Tamaño de la muestra: \(n=0{,}08\cdot1\,300=104\). 4. Resto de estratos: \(0{,}08\cdot300=24\), \(0{,}08\cdot400=32\) y \(0{,}08\cdot350=28\) (con los \(20\) del primero suman \(104\)).

Población \(1\,300\); muestra \(104\); seleccionados de los otros estratos: \(24\), \(32\) y \(28\).

b1) Distribución de la media muestral. 1. \(\bar X\sim N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\): \[\bar X\sim N\!\left(6{,}4,\ \dfrac{0{,}7}{\sqrt{49}}\right)=N(6{,}4,\ 0{,}1).\]

b2) Probabilidad entre \(6{,}3\) y \(6{,}8\). 1. Se tipifica: \[P(6{,}3<\bar X<6{,}8)=P\!\left(\dfrac{6{,}3-6{,}4}{0{,}1}<Z<\dfrac{6{,}8-6{,}4}{0{,}1}\right)=P(-1<Z<4)=P(Z<4)-P(Z<-1).\] 2. Con la tabla, \(P(Z<4)=0{,}99997\) y \(P(Z<-1)=1-0{,}8413=0{,}1587\): \[P=0{,}99997-0{,}1587=\mathbf{0{,}8413}.\]

Interpretación: alrededor del \(84\,\%\) de las muestras de 49 estudiantes tienen una media entre \(6{,}3\) y \(6{,}8\).

Ejercicio 8 · Ordinaria · Modelo A 2023 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se desea estimar la proporción de donantes de sangre en una universidad. Para ello se toma una muestra aleatoria de \(400\) personas de esa universidad, resultando que \(64\) son donantes de sangre.

1. Calcule un intervalo de confianza, con un nivel del \(98\,\%\), para estimar la proporción poblacional de donantes de sangre. (1,25 puntos)

2. Si el nivel de confianza es del \(95\,\%\), calcule el error máximo cometido. Razone si este error será mayor o menor al disminuir el nivel de confianza. (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{64}{400}=0{,}16\), \(n=400\).

a) Intervalo al \(98\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}99\) y en la tabla \(\Phi(2{,}33)=0{,}9901\) (el más cercano a \(0{,}99\)), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}33\). 2. Error máximo: \(E=2{,}33\sqrt{\dfrac{0{,}16\cdot0{,}84}{400}}=2{,}33\cdot0{,}01833=0{,}0427\). 3. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}16-0{,}0427,\ 0{,}16+0{,}0427)=(0{,}1173,\ 0{,}2027).\]

Interpretación: con confianza del \(98\,\%\), entre el \(11{,}73\,\%\) y el \(20{,}27\,\%\) de los universitarios son donantes.

b) Error al \(95\,\%\) y efecto del nivel de confianza. 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=1{,}96\). 2. Error máximo: \(E=1{,}96\cdot0{,}01833=0{,}0359\).

Error máximo \(0{,}0359\).

3. Razonamiento: \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}\). Al disminuir el nivel de confianza disminuye \(z_{\alpha/2}\) (por ejemplo, de \(2{,}33\) a \(1{,}96\)) y el resto no cambia, así que el error será menor.

Ordinaria · Modelo B 2023

Ejercicio 7 · Ordinaria · Modelo B 2023 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

1. Un gimnasio establece sus tarifas por grupos de edad: juvenil, adulto y senior. Tiene matriculados 25 juveniles, 75 adultos y 50 seniors. Se quiere seleccionar una muestra de 30 personas del gimnasio utilizando un muestreo estratificado con afijación proporcional. ¿Cuál será la composición que debe tener dicha muestra? (1 punto)

2. Dada la población \(\{9,\,11,\,13,\,18,\,20\}\), calcule la varianza de la distribución de las medias muestrales de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. (1,5 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

Muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional: el tamaño de la muestra en cada estrato es \(n_i=n\cdot\dfrac{N_i}{N}\). Con una población pequeña, las muestras de tamaño \(n\) se forman eligiendo \(n\) elementos: con reemplazamiento (orden importa) hay \(N^n\); sin reemplazamiento y sin orden, \(\binom{N}{n}\). La media de las medias muestrales es la media de la población.

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Distribución de la media y de la proporción muestral.

1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

1. Si hay estratos, calcula la fracción \(\dfrac{n}{N}\) y multiplícala por el tamaño de cada estrato; redondea sin que la suma cambie.
2. Si piden muestras posibles, decide primero si hay reemplazamiento y si importa el orden; después enumera o cuenta.
3. Para la media y la varianza de las medias muestrales, escribe todas las medias, calcula su media y la media de sus cuadrados menos el cuadrado de la media.

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Afijación proporcional. 1. Total: \(25+75+50=150\). 2. Fracción muestreada: \(\dfrac{30}{150}=0{,}2\). 3. Se aplica a cada estrato: \(0{,}2\cdot25=5\), \(0{,}2\cdot75=15\) y \(0{,}2\cdot50=10\).

Composición de la muestra: \(5\) juveniles, \(15\) adultos y \(10\) seniors.

b) Varianza de las medias muestrales de tamaño 2. 1. Media poblacional: \(\mu=\dfrac{9+11+13+18+20}{5}=14{,}2\). 2. Varianza poblacional: \(\sigma^2=\dfrac{(9-14{,}2)^2+(11-14{,}2)^2+(13-14{,}2)^2+(18-14{,}2)^2+(20-14{,}2)^2}{5}=\dfrac{86{,}8}{5}=17{,}36\). 3. En el muestreo aleatorio simple (con reemplazamiento), la varianza de las medias de tamaño \(n\) es \(\sigma_{\bar x}^2=\dfrac{\sigma^2}{n}\).

La varianza de la distribución de las medias de las muestras de tamaño \(2\) es \(\sigma_{\bar x}^2=\dfrac{\sigma^2}{n}=\dfrac{17{,}36}{2}=\mathbf{8{,}68}\) (se comprueba calculando las \(25\) medias muestrales).

Ejercicio 8 · Ordinaria · Modelo B 2023 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

En el otoño de 2021, el municipio de El Paso en la Isla de La Palma sufrió la erupción del volcán Cumbre Vieja. Al finalizar la erupción, se escogió una muestra de 500 casas resultando que 325 de ellas estaban afectadas por la erupción.

1. Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del \(97\,\%\), para estimar la proporción de casas afectadas por la erupción del volcán. Según el resultado obtenido, ¿se puede admitir que el porcentaje de casas afectadas por el volcán es del \(64\,\%\)? (1,25 puntos)

2. Para un nivel de confianza del \(92\,\%\) y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo de estimación sea del \(2\,\%\)? (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{325}{500}=0{,}65\), \(n=500\).

a) Intervalo al \(97\,\%\) y comprobación del \(64\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}985\) y la tabla da exactamente \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}17\). 2. Error máximo: \(E=2{,}17\sqrt{\dfrac{0{,}65\cdot0{,}35}{500}}=2{,}17\cdot0{,}02133=0{,}0463\). 3. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}65-0{,}0463,\ 0{,}65+0{,}0463)=(0{,}6037,\ 0{,}6963).\] 4. \(0{,}6037<0{,}64<0{,}6963\).

\(0{,}64\) sí pertenece al intervalo: se puede admitir que el \(64\,\%\) de las casas fue afectado.

b) Tamaño mínimo al \(92\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=1{,}75\) (el valor de la tabla más próximo a \(\Phi=0{,}96\)). 2. Se impone \(E=0{,}02\) y se despeja \(n\): \(E=0{,}02\Rightarrow n\ge\dfrac{1{,}75^2\cdot0{,}65\cdot0{,}35}{0{,}02^2}=1\,741{,}80\). 3. Se redondea hacia arriba.

Hacen falta al menos \(n=1\,742\) casas.

Ordinaria · Reserva · Modelo A 2023

Ejercicio 7 · Ordinaria · Reserva · Modelo A 2023 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

1. Utilizando los números naturales del 1 al 6, ¿cuántas muestras de tamaño 2 pueden formarse aplicando un muestreo aleatorio simple? Si se elige una de estas muestras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la media de los números obtenidos sea como máximo 2? (1,25 puntos)

2. Se ha diseñado una encuesta para estimar qué proporción de adolescentes de una zona están suscritos a una determinada red social. ¿Qué tamaño debemos tomar para estimar dicha proporción por un intervalo de confianza al \(95\,\%\) con un error máximo de \(0{,}15\)? (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

Muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional: el tamaño de la muestra en cada estrato es \(n_i=n\cdot\dfrac{N_i}{N}\). Con una población pequeña, las muestras de tamaño \(n\) se forman eligiendo \(n\) elementos: con reemplazamiento (orden importa) hay \(N^n\); sin reemplazamiento y sin orden, \(\binom{N}{n}\). La media de las medias muestrales es la media de la población.

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

1. Si hay estratos, calcula la fracción \(\dfrac{n}{N}\) y multiplícala por el tamaño de cada estrato; redondea sin que la suma cambie.
2. Si piden muestras posibles, decide primero si hay reemplazamiento y si importa el orden; después enumera o cuenta.
3. Para la media y la varianza de las medias muestrales, escribe todas las medias, calcula su media y la media de sus cuadrados menos el cuadrado de la media.

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Muestras de tamaño 2. 1. Muestreo aleatorio simple (con reemplazamiento, ordenadas): \(6\cdot6=36\) muestras. 2. La media es como máximo \(2\) si la suma es \(\le4\): suma \(2\): \((1,1)\); suma \(3\): \((1,2),(2,1)\); suma \(4\): \((1,3),(2,2),(3,1)\). Son \(6\) muestras.

Hay \(36\) muestras y la probabilidad es \(\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\).

b) Tamaño de la muestra. 1. No se conoce la proporción muestral: se toma el caso más desfavorable, \(\hat p=0{,}5\). 2. Valor crítico al \(95\,\%\): \(z_{\alpha/2}=1{,}96\). 3. Se impone \(E\le0{,}15\) y se despeja \(n\): \[n\ge\frac{1{,}96^2\cdot0{,}5\cdot0{,}5}{0{,}15^2}=42{,}68.\] 4. Se redondea hacia arriba.

Hay que tomar al menos \(n=43\) adolescentes.

Ejercicio 8 · Ordinaria · Reserva · Modelo A 2023 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

El gasto mensual por vivienda en electricidad de los inquilinos de la zona centro de una determinada ciudad sigue una ley Normal con desviación típica \(18{,}25\) €. Se ha tomado una muestra aleatoria de 361 de estas viviendas obteniendo como resultado un gasto medio de 97 €.

1. Obtenga el intervalo de confianza del \(93\,\%\) para el gasto medio mensual en electricidad por vivienda. (1,25 puntos)

2. ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener una muestra para que el error cometido al estimar la media, con un nivel de confianza del \(91\,\%\), sea un tercio del error cometido en el intervalo \((95{,}5;\ 98{,}5)\)? (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\sigma=18{,}25\) €, \(n=361\) y \(\bar x=97\) €; \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=\dfrac{18{,}25}{19}=0{,}96053\).

a) Intervalo al \(93\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}965\) y en la tabla \(\Phi(1{,}81)=0{,}9649\) (el más cercano), luego \(z_{\alpha/2}=1{,}81\). 2. Error máximo: \(E=1{,}81\cdot0{,}96053=1{,}7386\). 3. Intervalo: \(\bar x\pm E\): \[IC=(97-1{,}7386,\ 97+1{,}7386)=(95{,}2614,\ 98{,}7386).\]

Interpretación: con confianza del \(93\,\%\), el gasto medio mensual está entre \(95{,}26\) y \(98{,}74\) €.

b) Tamaño mínimo con un tercio del error. 1. El error del intervalo \((95{,}5;\ 98{,}5)\) es su semiamplitud: \(\dfrac{98{,}5-95{,}5}{2}=1{,}5\). 2. Se quiere \(E=\dfrac{1{,}5}{3}=0{,}5\). 3. Valor crítico al \(91\,\%\): \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}955\) y en la tabla \(\Phi(1{,}70)=0{,}9554\) (el más cercano), luego \(z_{\alpha/2}=1{,}70\). 4. Se despeja \(n\): \[n\ge\left(\frac{1{,}70\cdot18{,}25}{0{,}5}\right)^2=3\,850{,}20.\] 5. Se redondea hacia arriba.

Hacen falta al menos \(n=3\,851\) viviendas.

Ordinaria · Reserva · Modelo B 2023

Ejercicio 7 · Ordinaria · Reserva · Modelo B 2023 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se sabe que la vida útil en meses de una batería de coche sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza \(8\ \text{meses}^{2}\). Se seleccionan al azar 100 clientes que habían comprado una de estas baterías y se les pregunta cuándo las reemplazaron, obteniéndose una media de 4 años y 2 meses.

1. Determine, con un nivel de confianza del \(94\,\%\), un intervalo de confianza para estimar la vida media de estas baterías. (1,25 puntos)

2. Manteniendo el mismo nivel de confianza, determine el tamaño muestral mínimo que debe tomarse para que el error cometido al estimar la vida media de estas baterías sea menor que 0,1 meses. (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\sigma=\sqrt8=2{,}8284\) meses, \(n=100\) y \(\bar x=4\cdot12+2=50\) meses (se pasan los años a meses).

a) Intervalo al \(94\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}97\) y en la tabla \(\Phi(1{,}88)=0{,}9699\) (el más cercano), luego \(z_{\alpha/2}=1{,}88\). 2. Error máximo: \(E=1{,}88\cdot\dfrac{2{,}8284}{10}=0{,}5317\). 3. Intervalo: \(\bar x\pm E\): \[IC=(50-0{,}5317,\ 50+0{,}5317)=(49{,}4683,\ 50{,}5317).\]

Interpretación: con confianza del \(94\,\%\), la vida media de las baterías está entre \(49{,}47\) y \(50{,}53\) meses.

b) Tamaño mínimo. 1. Se impone \(E<0{,}1\) y se despeja \(n\): \[E<0{,}1\iff n>\dfrac{1{,}88^2\cdot8}{0{,}1^2}=2\,827{,}52.\] 2. Se redondea hacia arriba.

Hace falta una muestra de al menos \(n=2\,828\) baterías.

Ordinaria · Suplente · Modelo A 2023

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente · Modelo A 2023 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

El peso de la gamba roja de Garrucha, en gramos, sigue una distribución Normal de media poblacional desconocida y desviación típica 5 gramos.

1. Se elige una muestra aleatoria de 100 gambas obteniéndose una media de 53 gramos. Calcule un intervalo de confianza al \(97{,}5\,\%\) para estimar el peso medio de la gamba roja. (1,25 puntos)

2. Sabiendo que la media poblacional es 53 gramos y escogiendo una muestra aleatoria de 64 gambas, calcule la probabilidad de que el peso medio de la muestra sea superior a \(53{,}25\) gramos. (1,25 puntos)

Relacionado también con: Distribuciones binomial y normal.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Intervalo al \(97{,}5\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}9875\) y en la tabla \(\Phi(2{,}24)=0{,}9875\): \(z_{\alpha/2}=2{,}24\). 2. Error máximo: \(E=2{,}24\cdot\dfrac{5}{\sqrt{100}}=1{,}12\). 3. Intervalo: \(\bar x\pm E\): \[IC=(53-1{,}12,\ 53+1{,}12)=(51{,}88,\ 54{,}12).\]

Interpretación: con confianza del \(97{,}5\,\%\), el peso medio de la gamba está entre \(51{,}88\) y \(54{,}12\) g.

b) Media muestral con \(n=64\). 1. Distribución: \(\bar X\sim N\!\left(53,\ \dfrac{5}{\sqrt{64}}\right)=N(53,\ 0{,}625)\). 2. Se tipifica y se pasa al complementario con la tabla: \[P(\bar X>53{,}25)=P\!\left(Z>\frac{53{,}25-53}{0{,}625}\right)=P(Z>0{,}4)=1-0{,}6554=\mathbf{0{,}3446}.\]

Ejercicio 8 · Ordinaria · Suplente · Modelo A 2023 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se desea estimar la proporción de clientes de una compañía de seguros que han requerido el servicio de asistencia en carretera. Para ello, se ha recogido una muestra aleatoria de 300 asegurados resultando que 90 han requerido este servicio.

1. Obtenga un intervalo de confianza al \(97\,\%\) para estimar la proporción de asegurados que han solicitado este servicio. (1,25 puntos)

2. Con la proporción muestral facilitada y con un nivel de confianza del \(95\,\%\), ¿cuál es el número mínimo de asegurados que se deberán seleccionar aleatoriamente para que la proporción muestral y la poblacional no difieran en más de un \(3\,\%\)? (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{90}{300}=0{,}3\), \(n=300\).

a) Intervalo al \(97\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}985\) y la tabla da \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}17\). 2. Error máximo: \(E=2{,}17\sqrt{\dfrac{0{,}3\cdot0{,}7}{300}}=2{,}17\cdot0{,}02646=0{,}0574\). 3. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}3-0{,}0574,\ 0{,}3+0{,}0574)=(0{,}2426,\ 0{,}3574).\]

Interpretación: con confianza del \(97\,\%\), entre el \(24{,}26\,\%\) y el \(35{,}74\,\%\) de los asegurados han pedido asistencia en carretera.

b) Tamaño mínimo al \(95\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=1{,}96\). 2. Se impone \(E\le0{,}03\) y se despeja \(n\): \[E\le0{,}03\iff n\ge\dfrac{1{,}96^2\cdot0{,}3\cdot0{,}7}{0{,}03^2}=896{,}37.\] 3. Se redondea hacia arriba.

Hay que seleccionar al menos \(n=897\) asegurados.

Ordinaria · Suplente · Modelo B 2023

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente · Modelo B 2023 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Una empresa fabrica piezas cuyo diámetro sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza \(9\ \text{mm}^{2}\).

1. Se seleccionan al azar 144 piezas obteniéndose un diámetro medio de \(81\) mm. Determine un intervalo de confianza al \(98{,}5\,\%\) para estimar el diámetro medio de las piezas fabricadas por la empresa. (0,75 puntos)

2. Con el mismo nivel de confianza del apartado anterior, ¿de qué tamaño mínimo habría que tomar la muestra para obtener un intervalo de confianza con una amplitud máxima de \(0{,}9\)? (0,75 puntos)

3. Suponiendo que la media poblacional es de \(80{,}4\) mm y tomando muestras aleatorias de 64 piezas, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria diámetro medio muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro medio muestral esté comprendido entre \(79{,}5\) mm y \(80{,}7\) mm? (1 punto)

Relacionado también con: Distribuciones binomial y normal.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\sigma=3\) mm. Valor crítico al \(98{,}5\,\%\): \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}9925\) y en la tabla \(\Phi(2{,}43)=0{,}9925\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}43\).

a) Intervalo. 1. Error máximo: \(E=2{,}43\cdot\dfrac{3}{\sqrt{144}}=0{,}6075\). 2. Intervalo: \(\bar x\pm E\): \[IC=(81-0{,}6075,\ 81+0{,}6075)=(80{,}3925,\ 81{,}6075).\]

Interpretación: con confianza del \(98{,}5\,\%\), el diámetro medio está entre \(80{,}39\) y \(81{,}61\) mm.

b) Tamaño mínimo para amplitud \(\le0{,}9\). 1. La amplitud del intervalo es \(2E\): \(2E\le0{,}9\iff E\le0{,}45\). 2. Se despeja \(n\): \[n\ge\left(\frac{2{,}43\cdot3}{0{,}45}\right)^2=262{,}44.\] 3. Se redondea hacia arriba.

Hace falta una muestra de al menos \(n=263\) piezas.

c) Diámetro medio muestral con \(n=64\). 1. Distribución: \(\bar X\sim N\!\left(80{,}4,\ \dfrac{3}{\sqrt{64}}\right)=N(80{,}4,\ 0{,}375)\). 2. Se tipifica: \[P(79{,}5<\bar X<80{,}7)=P\!\left(\frac{79{,}5-80{,}4}{0{,}375}<Z<\frac{80{,}7-80{,}4}{0{,}375}\right)=P(-2{,}4<Z<0{,}8).\] 3. Con la tabla, \(P(Z<0{,}8)=0{,}7881\) y \(P(Z<-2{,}4)=1-0{,}9918\): \[P(-2{,}4<Z<0{,}8)=0{,}7881-(1-0{,}9918)=\mathbf{0{,}7799}.\]

Ejercicio 8 · Ordinaria · Suplente · Modelo B 2023 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se selecciona una muestra aleatoria de 300 habitantes de una ciudad, a los que se les pregunta si creen que llevan una dieta saludable. De las personas encuestadas, 180 han contestado afirmativamente, mientras que el resto ha respondido que no.

1. Calcule un intervalo de confianza al \(95\,\%\) para la proporción de personas que creen seguir una dieta saludable. (1,25 puntos)

2. ¿Cuál sería el número de habitantes mínimo necesario en este estudio de opinión para que se reduzca a un tercio del error cometido en el intervalo \((0{,}54;\ 0{,}66)\) con el mismo nivel de confianza? (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{180}{300}=0{,}6\), \(n=300\).

a) Intervalo al \(95\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=1{,}96\). 2. Error máximo: \(E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}6\cdot0{,}4}{300}}=1{,}96\cdot0{,}02828=0{,}0554\). 3. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}6-0{,}0554,\ 0{,}6+0{,}0554)=(0{,}5446,\ 0{,}6554).\]

Interpretación: con confianza del \(95\,\%\), entre el \(54{,}46\,\%\) y el \(65{,}54\,\%\) de los habitantes creen seguir una dieta saludable.

b) Tamaño mínimo con un tercio del error. 1. El error del intervalo \((0{,}54;\ 0{,}66)\) es su semiamplitud: \(\dfrac{0{,}66-0{,}54}{2}=0{,}06\), y un tercio de él es \(0{,}02\). 2. Se despeja \(n\) de \(E\le0{,}02\): \[n\ge\frac{1{,}96^2\cdot0{,}6\cdot0{,}4}{0{,}02^2}=2\,304{,}96.\] 3. Se redondea hacia arriba.

Hace falta una muestra de al menos \(n=2\,305\) habitantes.

2022

Ordinaria 2022

Ejercicio 7 · Ordinaria 2022 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

La resistencia media a la ruptura de una nueva gama de herramientas sigue una distribución Normal de desviación típica 15 MPa (megapascales). Se seleccionan al azar 100 herramientas forjadas en la misma máquina durante el mismo proceso de producción, obteniéndose una resistencia media de 800 MPa.

1. Realizando la estimación con un nivel de confianza del \(92\,\%\), ¿entre qué valores se estima la resistencia media poblacional de esta gama de herramientas? (1,25 puntos)

2. Manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo en la estimación de la resistencia media a la ruptura sea menor que 2 MPa? (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Valor crítico. 1. Nivel \(92\,\%\): \(1-\alpha=0{,}92\), así que \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}96\). 2. En la tabla, \(\Phi(1{,}75)=0{,}9599\) es el valor más próximo a \(0{,}96\), luego \(z_{\alpha/2}=1{,}75\).

a) Intervalo de confianza. 1. Error máximo: \(E=1{,}75\cdot\dfrac{15}{\sqrt{100}}=2{,}625\). 2. Intervalo: \(\bar x\pm E\): \[IC=(800-2{,}625,\ 800+2{,}625)=(797{,}375,\ 802{,}625).\]

Interpretación: con confianza del \(92\,\%\), la resistencia media está entre \(797{,}375\) y \(802{,}625\) MPa.

b) Tamaño mínimo de muestra. 1. Se impone \(E<2\): \(1{,}75\cdot\dfrac{15}{\sqrt n}<2\). 2. Se despeja: \(E<2\iff n>\left(\dfrac{1{,}75\cdot15}{2}\right)^2=172{,}27\). 3. Como \(n\) es entero, se redondea hacia arriba.

Hace falta una muestra de al menos \(n=173\) herramientas.

Ejercicio 8 · Ordinaria 2022 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se quiere estudiar la proporción de perros que están vacunados en Andalucía. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 400 perros de los que 320 resultan estar vacunados.

1. Obtenga un intervalo con un nivel de confianza del \(92\,\%\) para estimar la proporción de perros vacunados en Andalucía y calcule el error máximo cometido. (1,5 puntos)

2. En una nueva muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuántos perros, como mínimo, hay que elegir para que el error sea menor que 0,02? (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{320}{400}=0{,}8\), \(n=400\). Nivel \(92\,\%\): \(z_{\alpha/2}=1{,}75\) (el valor de la tabla más próximo a \(\Phi=0{,}96\)).

a) Intervalo y error máximo. 1. Error máximo: \(E=1{,}75\sqrt{\dfrac{0{,}8\cdot0{,}2}{400}}=1{,}75\cdot0{,}02=0{,}035\). 2. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}8-0{,}035,\ 0{,}8+0{,}035)=(0{,}765,\ 0{,}835).\]

Interpretación: con confianza del \(92\,\%\), entre el \(76{,}5\,\%\) y el \(83{,}5\,\%\) de los perros están vacunados.

b) Tamaño mínimo de muestra. 1. Se impone \(E<0{,}02\): \(1{,}75\sqrt{\dfrac{0{,}8\cdot0{,}2}{n}}<0{,}02\). 2. Se despeja: \(E<0{,}02\iff n>\dfrac{1{,}75^2\cdot0{,}8\cdot0{,}2}{0{,}02^2}=1\,225\). 3. Como la desigualdad es estricta (\(E<0{,}02\)), hace falta un entero mayor que \(1\,225\).

Hay que elegir al menos \(n=1\,226\) perros.

Ordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 7 · Ordinaria · Reserva 2022 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Un taller desea estimar el grado de satisfacción de sus clientes. Para ello, a 120 clientes seleccionados al azar, les pregunta si volverían a solicitar sus servicios en caso de necesitarlo, de los que 96 respondieron que sí lo harían.

1. Determine, con un nivel de confianza del \(95\,\%\), un intervalo de confianza para estimar la proporción de clientes de este taller que volverían a solicitar sus servicios. (1,25 puntos)

2. Mediante una muestra queremos estimar la proporción de clientes de ese taller que volverían a solicitar sus servicios con un error máximo del \(5\,\%\) y un nivel de confianza del \(97\,\%\). Suponiendo que se mantiene la proporción muestral, ¿qué tamaño mínimo debe tener dicha muestra? (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{96}{120}=0{,}8\), \(n=120\).

a) Intervalo al \(95\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=1{,}96\). 2. Error máximo: \(E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}8\cdot0{,}2}{120}}=1{,}96\cdot0{,}03651=0{,}0716\). 3. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}8-0{,}0716,\ 0{,}8+0{,}0716)=(0{,}7284,\ 0{,}8716).\]

Interpretación: con confianza del \(95\,\%\), entre el \(72{,}84\,\%\) y el \(87{,}16\,\%\) de los clientes volverían al taller.

b) Tamaño mínimo con \(E\le0{,}05\) al \(97\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}985\); la tabla da exactamente \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}17\). 2. Se despeja \(n\) de \(E\le0{,}05\): \[n\ge\frac{2{,}17^2\cdot0{,}8\cdot0{,}2}{0{,}05^2}=301{,}37.\] 3. Se redondea hacia arriba.

Hacen falta al menos \(n=302\) clientes.

Ejercicio 8 · Ordinaria · Reserva 2022 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

El consumo de energía eléctrica mensual por vivienda medido en kilovatios hora (kWh) sigue una distribución Normal con varianza \(4225\ (\text{kWh})^{2}\).

1. Se toma una muestra aleatoria de 100 viviendas, obteniéndose un consumo total de 26 830 kWh. Calcule un intervalo de confianza al \(92\,\%\) para estimar el consumo medio poblacional. (1 punto)

2. Calcule el tamaño mínimo de la muestra necesario para estimar el consumo medio de energía eléctrica mensual por vivienda, con un error máximo de 5 kWh y con un nivel de confianza del \(98\,\%\). (1 punto)

3. Tras una campaña para incentivar el ahorro energético se toma una nueva muestra y el intervalo de confianza para el consumo medio que se obtiene es \((224{,}08;\ 255{,}92)\). Calcule la media del consumo de energía eléctrica mensual por vivienda para dicha muestra. (0,5 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\sigma=\sqrt{4225}=65\) kWh.

a) Intervalo al \(92\,\%\). 1. Media muestral: \(\bar x=\dfrac{26\,830}{100}=268{,}3\). 2. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=1{,}75\) y error máximo \(E=1{,}75\cdot\dfrac{65}{\sqrt{100}}=11{,}375\). 3. Intervalo: \[IC=(268{,}3-11{,}375,\ 268{,}3+11{,}375)=(256{,}925,\ 279{,}675).\]

Interpretación: con confianza del \(92\,\%\), el consumo medio mensual por vivienda está entre \(256{,}925\) y \(279{,}675\) kWh.

b) Tamaño mínimo con \(E\le5\) al \(98\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}99\) y en la tabla \(\Phi(2{,}33)=0{,}9901\) (el más cercano a \(0{,}99\)), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}33\). 2. Se despeja \(n\) de \(E\le5\): \[n\ge\left(\frac{2{,}33\cdot65}{5}\right)^2=917{,}48.\] 3. Se redondea hacia arriba.

Hacen falta al menos \(n=918\) viviendas.

c) Media muestral del nuevo intervalo. 1. El intervalo es simétrico alrededor de la media muestral, que es su punto medio: \[\bar x=\dfrac{224{,}08+255{,}92}{2}=\mathbf{240}\text{ kWh}.\]

Ordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente 2022 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se desea estimar la proporción de personas mayores de 45 años de una determinada ciudad que tienen presbicia (vista cansada). Para ello, se toma una muestra aleatoria de 540 personas mayores de 45 años, obteniéndose que 378 tienen presbicia.

1. Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del \(97\,\%\), para estimar la proporción poblacional de personas mayores de 45 años con presbicia en dicha ciudad. (1,5 puntos)

2. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, ¿cuántas personas se deberán seleccionar como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un \(3\,\%\)? (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{378}{540}=0{,}7\), \(n=540\).

Valor crítico. Nivel \(97\,\%\): \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}985\) y la tabla da \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}17\).

a) Intervalo. 1. Error máximo: \(E=2{,}17\sqrt{\dfrac{0{,}7\cdot0{,}3}{540}}=2{,}17\cdot0{,}01972=0{,}0428\). 2. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}7-0{,}0428,\ 0{,}7+0{,}0428)=(0{,}6572,\ 0{,}7428).\]

Interpretación: con confianza del \(97\,\%\), entre el \(65{,}72\,\%\) y el \(74{,}28\,\%\) de los mayores de 45 años tienen presbicia.

b) Tamaño mínimo. 1. Se impone \(E\le0{,}03\) y se despeja \(n\): \[E\le0{,}03\iff n\ge\dfrac{2{,}17^2\cdot0{,}7\cdot0{,}3}{0{,}03^2}=1\,098{,}74.\] 2. Se redondea hacia arriba.

Hay que seleccionar al menos \(n=1\,099\) personas.

Ejercicio 8 · Ordinaria · Suplente 2022 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

El peso en gramos de las tortugas terrestres de una reserva natural sigue una ley Normal de varianza \(121\ \text{g}^{2}\). Para estimar el peso medio de las tortugas de la reserva, se toma una muestra de 10 tortugas, obteniéndose los siguientes datos:

\[980\quad1002\quad950\quad985\quad1100\quad1085\quad895\quad1000\quad912\quad1006\]

1. Halle un intervalo de confianza para el peso medio de las tortugas con un nivel de confianza del \(97\,\%\). (1,5 puntos)

2. ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para asegurar con un nivel de confianza del \(94\,\%\) que el error máximo cometido sea de 5 g? (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\sigma=\sqrt{121}=11\) g y \(n=10\). Suma de los datos: \(9\,915\), luego \(\bar x=\dfrac{9\,915}{10}=991{,}5\).

a) Intervalo al \(97\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=2{,}17\). 2. Error máximo: \(E=2{,}17\cdot\dfrac{11}{\sqrt{10}}=7{,}548\). 3. Intervalo: \[IC=(991{,}5-7{,}548,\ 991{,}5+7{,}548)=(983{,}95,\ 999{,}05).\]

Interpretación: con confianza del \(97\,\%\), el peso medio de las tortugas está entre \(983{,}95\) y \(999{,}05\) g.

b) Tamaño mínimo al \(94\,\%\). 1. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}97\) y la tabla da \(\Phi(1{,}88)=0{,}9699\), el valor más cercano, así que \(z_{\alpha/2}=1{,}88\). 2. Se impone \(E\le5\) y se despeja \(n\): \[n\ge\left(\frac{1{,}88\cdot11}{5}\right)^2=17{,}11.\] 3. Se redondea hacia arriba.

Hace falta una muestra de al menos \(n=18\) tortugas.

Extraordinaria 2022

Ejercicio 7 · Extraordinaria 2022 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Una fábrica de tornillos quiere hacer un estudio sobre la proporción de tornillos que cumplen las especificaciones del fabricante. Para ello ha seleccionado una muestra aleatoria de 1500 tornillos, resultando que 1425 cumplen las especificaciones del fabricante.

1. Determine un intervalo de confianza para la proporción de tornillos que cumplen con las especificaciones del fabricante con un nivel de confianza del \(97\,\%\). (1,5 puntos)

2. Manteniendo la proporción muestral y el nivel de confianza del apartado anterior, ¿cuál tendría que ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al \(1\,\%\)? (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{1425}{1500}=0{,}95\), \(n=1500\). Nivel \(97\,\%\): \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}985\) y la tabla da \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}17\).

a) Intervalo. 1. Error máximo: \(E=2{,}17\sqrt{\dfrac{0{,}95\cdot0{,}05}{1500}}=2{,}17\cdot0{,}005627=0{,}0122\). 2. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}95-0{,}0122,\ 0{,}95+0{,}0122)=(0{,}9378,\ 0{,}9622).\]

Interpretación: con confianza del \(97\,\%\), entre el \(93{,}78\,\%\) y el \(96{,}22\,\%\) de los tornillos cumplen las especificaciones.

b) Tamaño mínimo. 1. Se impone \(E<0{,}01\) y se despeja \(n\): \[E<0{,}01\iff n>\dfrac{2{,}17^2\cdot0{,}95\cdot0{,}05}{0{,}01^2}=2\,236{,}73.\] 2. Se redondea hacia arriba.

Hacen falta al menos \(n=2\,237\) tornillos.

Ejercicio 8 · Extraordinaria 2022 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

El número de días que los titulados en un cierto máster tardan en encontrar su primer trabajo sigue una distribución Normal de media \(\mu\) desconocida y desviación típica 3 días.

1. Se elige una muestra aleatoria de 100 titulados obteniéndose una media muestral de 8,1 días. Calcule un intervalo de confianza al \(97\,\%\) para estimar la media poblacional. (1 punto)

2. Con un nivel de confianza del \(92\,\%\), calcule el tamaño muestral mínimo necesario para que el error cometido, al estimar el número medio de días que estos titulados tardan en encontrar trabajo, sea inferior a un día. (1 punto)

3. Suponiendo \(\mu=7{,}61\) días y tomando muestras aleatorias de 36 titulados, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria media muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a 8 días? (0,5 puntos)

Relacionado también con: Distribuciones binomial y normal.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Distribución de la media y de la proporción muestral.

1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Intervalo al \(97\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=2{,}17\) (tabla: \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\)). 2. Error máximo: \(E=2{,}17\cdot\dfrac{3}{\sqrt{100}}=0{,}651\). 3. Intervalo: \(\bar x\pm E\): \[IC=(8{,}1-0{,}651,\ 8{,}1+0{,}651)=(7{,}449,\ 8{,}751).\]

Interpretación: con confianza del \(97\,\%\), los titulados tardan de media entre \(7{,}449\) y \(8{,}751\) días en encontrar su primer trabajo.

b) Tamaño mínimo al \(92\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=1{,}75\). 2. Se impone \(E<1\) y se despeja \(n\): \(E<1\iff n>(1{,}75\cdot3)^2=27{,}5625\). 3. Se redondea hacia arriba.

Hace falta una muestra de al menos \(n=28\) titulados.

c) Distribución de la media muestral. 1. Si la población es normal, \(\bar X\sim N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\): \(\bar X\sim N\!\left(7{,}61,\ \dfrac{3}{\sqrt{36}}\right)=N(7{,}61,\ 0{,}5)\). 2. Se tipifica: \(P(\bar X>8)=P\!\left(Z>\dfrac{8-7{,}61}{0{,}5}\right)=P(Z>0{,}78)\). 3. Con la tabla: \(1-\Phi(0{,}78)=1-0{,}7823\): \[P(\bar X>8)=P\!\left(Z>\frac{8-7{,}61}{0{,}5}\right)=P(Z>0{,}78)=1-0{,}7823=\mathbf{0{,}2177}.\]

Interpretación: en torno al \(22\,\%\) de las muestras de 36 titulados darían una media superior a 8 días.

Extraordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 7 · Extraordinaria · Reserva 2022 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

1. Se divide una población en cuatro estratos de tamaño \(60\,000\), \(20\,000\), \(24\,000\) y \(16\,000\) personas. En dicha población se realiza un muestreo estratificado por afijación proporcional, seleccionándose 144 personas del tercer estrato. Determine el tamaño total de la muestra y su composición. (1,25 puntos)

2. Dada la población \(\{1,4,7\}\), establezca todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y determinar la media y la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas estas muestras. (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

Muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional: el tamaño de la muestra en cada estrato es \(n_i=n\cdot\dfrac{N_i}{N}\). Con una población pequeña, las muestras de tamaño \(n\) se forman eligiendo \(n\) elementos: con reemplazamiento (orden importa) hay \(N^n\); sin reemplazamiento y sin orden, \(\binom{N}{n}\). La media de las medias muestrales es la media de la población.

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Distribución de la media y de la proporción muestral.

1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

1. Si hay estratos, calcula la fracción \(\dfrac{n}{N}\) y multiplícala por el tamaño de cada estrato; redondea sin que la suma cambie.
2. Si piden muestras posibles, decide primero si hay reemplazamiento y si importa el orden; después enumera o cuenta.
3. Para la media y la varianza de las medias muestrales, escribe todas las medias, calcula su media y la media de sus cuadrados menos el cuadrado de la media.

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Muestreo estratificado con afijación proporcional. 1. Población total: \(60\,000+20\,000+24\,000+16\,000=120\,000\). 2. En afijación proporcional se muestrea la misma fracción de cada estrato. Con el tercero: \(\dfrac{144}{24\,000}=0{,}006\). 3. Tamaño total: \(0{,}006\cdot120\,000=720\). 4. Composición: \(0{,}006\cdot60\,000=360\), \(0{,}006\cdot20\,000=120\), \(144\) y \(0{,}006\cdot16\,000=96\) (suman \(720\)).

Muestra total de 720 personas: 360, 120, 144 y 96.

b) Muestras de tamaño 2 de \(\{1,4,7\}\). 1. Con reemplazamiento hay \(3^2=9\) muestras: \((1,1),(1,4),(1,7),(4,1),(4,4),(4,7),(7,1),(7,4),(7,7)\). 2. Sus medias son \(1,\ 2{,}5,\ 4,\ 2{,}5,\ 4,\ 5{,}5,\ 4,\ 5{,}5,\ 7\). 3. Media de las medias: \(\mu_{\bar x}=\dfrac{36}{9}=4\) (coincide con la media de la población). 4. Varianza: \(\sigma_{\bar x}^2=\dfrac{9+2{,}25+0+2{,}25+0+2{,}25+0+2{,}25+9}{9}=\dfrac{27}{9}=3\).

Media \(4\) y desviación típica \(\sqrt3\approx1{,}7321\).

Ejercicio 8 · Extraordinaria · Reserva 2022 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se desea estimar la proporción de estudiantes de una universidad que proceden de otras provincias, para ello se selecciona una muestra de tamaño 2100 de los que 630 lo cumplen.

1. Calcule un intervalo de confianza con un nivel del \(97{,}5\,\%\) para estimar la proporción poblacional de estudiantes de esa universidad procedentes de otras provincias. (1,25 puntos)

2. En una nueva muestra que mantiene la misma proporción muestral, y con el mismo nivel de confianza, queremos que el error máximo cometido sea de 0,01. Halle su tamaño mínimo. (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{630}{2100}=0{,}3\), \(n=2100\).

Valor crítico. Nivel \(97{,}5\,\%\): \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}9875\) y en la tabla \(\Phi(2{,}24)=0{,}9875\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}24\).

a) Intervalo. 1. Error máximo: \(E=2{,}24\sqrt{\dfrac{0{,}3\cdot0{,}7}{2100}}=2{,}24\cdot0{,}01=0{,}0224\). 2. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}3-0{,}0224,\ 0{,}3+0{,}0224)=(0{,}2776,\ 0{,}3224).\]

Interpretación: con confianza del \(97{,}5\,\%\), entre el \(27{,}76\,\%\) y el \(32{,}24\,\%\) de los estudiantes proceden de otras provincias.

b) Tamaño mínimo. 1. Se impone \(E=0{,}01\) (como máximo) y se despeja \(n\): \[E=0{,}01\Rightarrow n\ge\dfrac{2{,}24^2\cdot0{,}3\cdot0{,}7}{0{,}01^2}=10\,536{,}96.\] 2. Se redondea hacia arriba.

El tamaño mínimo es \(n=10\,537\).

Extraordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 7 · Extraordinaria · Suplente 2022 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se desea estimar la proporción de jóvenes de una localidad que están suscritos a una determinada plataforma de televisión. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 100 jóvenes de los que 36 afirman estar suscritos a dicha plataforma.

1. Determine un intervalo de confianza, con un nivel del \(92\,\%\), para la proporción de jóvenes que están suscritos a esta plataforma. (1,5 puntos)

2. Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño muestral mínimo que se debería tomar si se quisiera que el error máximo fuera 0,025. (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\hat p=\dfrac{36}{100}=0{,}36\), \(n=100\), \(z_{\alpha/2}=1{,}75\) (nivel \(92\,\%\): el valor de la tabla más próximo a \(\Phi=0{,}96\)).

a) Intervalo. 1. Error máximo: \(E=1{,}75\sqrt{\dfrac{0{,}36\cdot0{,}64}{100}}=1{,}75\cdot0{,}048=0{,}084\). 2. Intervalo: \(\hat p\pm E\): \[IC=(0{,}36-0{,}084,\ 0{,}36+0{,}084)=(0{,}276,\ 0{,}444).\]

Interpretación: con confianza del \(92\,\%\), entre el \(27{,}6\,\%\) y el \(44{,}4\,\%\) de los jóvenes están suscritos.

b) Tamaño mínimo. 1. Se impone \(E\le0{,}025\) y se despeja \(n\): \[E\le0{,}025\iff n\ge\dfrac{1{,}75^2\cdot0{,}36\cdot0{,}64}{0{,}025^2}=1\,128{,}96.\] 2. Se redondea hacia arriba.

El tamaño mínimo es \(n=1\,129\).

Ejercicio 8 · Extraordinaria · Suplente 2022 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

La vida útil de un determinado modelo de teléfono móvil (en meses) se distribuye según una ley Normal de varianza \(9{,}61\ \text{meses}^{2}\). En una muestra de 10 teléfonos, la vida útil de los mismos ha sido:

\[30{,}6\quad30\quad31{,}3\quad29{,}7\quad32{,}3\quad32\quad32{,}8\quad31{,}5\quad31{,}2\quad30{,}5\]

1. Determine un intervalo de confianza para estimar la vida útil de este modelo de teléfono móvil con un nivel de confianza del \(97\,\%\). (1,5 puntos)

2. Determine el tamaño mínimo muestral para que, con el mismo nivel de confianza, el error que se comete al estimar la duración media de la vida útil de este modelo de teléfono móvil sea inferior a 0,15 meses. (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

Datos. \(\sigma=\sqrt{9{,}61}=3{,}1\) meses y \(n=10\). Suma de los datos: \(311{,}9\), luego \(\bar x=\dfrac{311{,}9}{10}=31{,}19\).

a) Intervalo al \(97\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=2{,}17\) (tabla: \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\)). 2. Error máximo: \(E=2{,}17\cdot\dfrac{3{,}1}{\sqrt{10}}=2{,}1273\). 3. Intervalo: \[IC=(31{,}19-2{,}1273,\ 31{,}19+2{,}1273)=(29{,}0627,\ 33{,}3173).\]

Interpretación: con confianza del \(97\,\%\), la vida útil media está entre \(29{,}06\) y \(33{,}32\) meses.

b) Tamaño mínimo. 1. Se impone \(E<0{,}15\) y se despeja \(n\): \[E<0{,}15\iff n>\left(\dfrac{2{,}17\cdot3{,}1}{0{,}15}\right)^2=2\,011{,}22.\] 2. Se redondea hacia arriba.

Hace falta una muestra de al menos \(n=2\,012\) teléfonos.

2021

Ordinaria 2021

Ejercicio 7 · Ordinaria 2021 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

1. En una Escuela Politécnica hay matriculados en el último curso 60 estudiantes de Ingeniería Eléctrica, 40 de Ingeniería Informática, 30 de Ingeniería Civil, 50 de Ingeniería Mecánica y 20 de Ingeniería Aeronáutica. Se quiere hacer una encuesta al \(20\,\%\) de estos estudiantes, de manera proporcional al número de matriculados en cada titulación. (1,5 puntos)

1. ¿Qué tipo de muestreo se debe emplear?
2. ¿Cuántos alumnos debe haber en la muestra y cuántos de cada titulación?

2. Dada la población \(\{a,\,10,\,12,\,11,\,18\}\), ¿cuánto debe valer \(a\), sabiendo que la media de las medias muestrales de tamaño 3, obtenidas mediante muestreo aleatorio simple, es 13,2? (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Distribución de la media y de la proporción muestral.

1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Tipo de muestreo y composición. 1. Muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional (cada titulación es un estrato y se elige la misma fracción, el \(20\,\%\), en cada uno). 2. Total de matriculados: \(N=60+40+30+50+20=200\), así que la muestra tiene \(0{,}2\cdot200=40\) alumnos. 3. Por titulaciones: \(0{,}2\cdot60=12\) de Eléctrica, \(0{,}2\cdot40=8\) de Informática, \(0{,}2\cdot30=6\) de Civil, \(0{,}2\cdot50=10\) de Mecánica y \(0{,}2\cdot20=4\) de Aeronáutica.

Muestra de 40 alumnos: 12, 8, 6, 10 y 4.

b) Valor de \(a\). 1. La media de las medias muestrales (de tamaño 3, con reemplazamiento) coincide con la media poblacional. 2. \(\mu=\dfrac{a+10+12+11+18}{5}=\dfrac{a+51}{5}=13{,}2\), de donde \(a+51=66\).

\(a=15\).

Ejercicio 8 · Ordinaria 2021 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se desea estimar la proporción de individuos mayores de edad de una localidad que están en contra de la construcción de una central nuclear en su término municipal. Para ello, se pregunta a 100 individuos mayores de edad de esa localidad, elegidos de forma aleatoria, resultando que 45 de ellos rechazan la construcción de la central.

1. Calcule un intervalo de confianza al \(92\,\%\) para estimar la proporción real de individuos de esa localidad que están en contra de la construcción de la central. (1,5 puntos)

2. Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo de la muestra que hay que tomar, para que al estimar la proporción de individuos de esa localidad que rechazan la construcción de la central, el error cometido sea inferior al \(5\,\%\). (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

1. Datos. \(\hat p=\dfrac{45}{100}=0{,}45\) y \(n=100\) (\(n\hat p=45\ge5\) y \(n(1-\hat p)=55\ge5\)).

a) 1. Nivel \(92\,\%\): \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}96\), y en la tabla \(\Phi(1{,}75)=0{,}9599\approx0{,}96\), luego \(z_{\alpha/2}=1{,}75\). 2. Error máximo: \(E=1{,}75\sqrt{\dfrac{0{,}45\cdot0{,}55}{100}}=1{,}75\cdot0{,}0497=0{,}0871\). 3. Intervalo: \[IC=(0{,}45-0{,}0871,\ 0{,}45+0{,}0871)=(0{,}3629,\ 0{,}5371).\]

Interpretación: con una confianza del \(92\,\%\), entre el \(36{,}3\,\%\) y el \(53{,}7\,\%\) de los mayores de edad está en contra de la central.

b) 1. Error inferior al \(5\,\%\): \(E<0{,}05\). 2. Se despeja \(n\): \(E<0{,}05\iff n>\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}=\dfrac{1{,}75^2\cdot0{,}45\cdot0{,}55}{0{,}05^2}\approx303{,}19\). 3. Se redondea hacia arriba.

Hay que tomar al menos \(n=304\) individuos.

Ordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 7 · Ordinaria · Reserva 2021 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

1. Se desea tomar una muestra aleatoria estratificada de las personas de un municipio, cuyos estratos son los siguientes tramos de edad: de 0 a 25 años, de 26 a 45, de 46 a 60 y de 61 años o más. En el primer tramo hay 15 000 personas, en el segundo hay 16 800, en el tercero 11 400 y en el cuarto 6 000. Sabiendo que el muestreo se hace con afijación proporcional y se han elegido al azar 375 personas del primer tramo, calcule el tamaño de la muestra total y su composición. (1,25 puntos)

2. Dada la población \(\{1,\,3,\,5\}\), establezca todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y determine la media y la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas estas muestras. (1,25 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

Muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional: el tamaño de la muestra en cada estrato es \(n_i=n\cdot\dfrac{N_i}{N}\). Con una población pequeña, las muestras de tamaño \(n\) se forman eligiendo \(n\) elementos: con reemplazamiento (orden importa) hay \(N^n\); sin reemplazamiento y sin orden, \(\binom{N}{n}\). La media de las medias muestrales es la media de la población.

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Distribución de la media y de la proporción muestral.

1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

1. Si hay estratos, calcula la fracción \(\dfrac{n}{N}\) y multiplícala por el tamaño de cada estrato; redondea sin que la suma cambie.
2. Si piden muestras posibles, decide primero si hay reemplazamiento y si importa el orden; después enumera o cuenta.
3. Para la media y la varianza de las medias muestrales, escribe todas las medias, calcula su media y la media de sus cuadrados menos el cuadrado de la media.

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Muestreo estratificado con afijación proporcional. 1. En afijación proporcional se muestrea la misma fracción de cada estrato. En el primer tramo es \(\dfrac{375}{15\,000}=0{,}025\). 2. Población total: \(15\,000+16\,800+11\,400+6\,000=49\,200\). Muestra total: \(0{,}025\cdot49\,200=1\,230\) personas. 3. Composición: \(375\) del primer tramo, \(0{,}025\cdot16\,800=420\) del segundo, \(0{,}025\cdot11\,400=285\) del tercero y \(0{,}025\cdot6\,000=150\) del cuarto.

Muestra total de 1 230 personas: 375, 420, 285 y 150.

b) Medias muestrales. 1. Muestreo aleatorio simple (con reemplazamiento, importa el orden): \(3\cdot3=9\) muestras \((1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)\), con medias \(1,\,2,\,3,\,2,\,3,\,4,\,3,\,4,\,5\). 2. Media de las medias: \(\mu_{\bar x}=\dfrac{27}{9}=3\) (coincide con la media de la población). 3. Varianza (media de los cuadrados de las desviaciones respecto de \(3\)): \(\sigma_{\bar x}^2=\dfrac{4+1+0+1+0+1+0+1+4}{9}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}\).

Media \(3\) y desviación típica \(\sqrt{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{2}{\sqrt3}\approx1{,}1547\).

Ejercicio 8 · Ordinaria · Reserva 2021 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se quiere estimar la proporción de imprentas de una región que incluyen el uso de celulosa reciclada en los libros que imprimen. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de 50 imprentas de esa región y en ella hay 12 que usan dicho material.

1. Obtenga un intervalo de confianza al \(95\,\%\), para estimar la proporción real de imprentas que usan celulosa reciclada. (1,5 puntos)

2. Determine el tamaño mínimo de la muestra de imprentas de esa región que se deben seleccionar para que, manteniendo el mismo nivel de confianza y proporción muestral anteriores, la amplitud del intervalo sea como máximo de 0,2. (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

1. Datos. \(\hat p=\dfrac{12}{50}=0{,}24\), \(n=50\) (\(n\hat p=12\ge5\) y \(n(1-\hat p)=38\ge5\)). Nivel \(95\,\%\): \(z_{\alpha/2}=1{,}96\).

a) 1. Error máximo: \(E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}24\cdot0{,}76}{50}}=1{,}96\cdot0{,}0604=0{,}1184\). 2. Intervalo: \[IC=(0{,}24-0{,}1184,\ 0{,}24+0{,}1184)=(0{,}1216,\ 0{,}3584).\]

Interpretación: con una confianza del \(95\,\%\), entre el \(12{,}2\,\%\) y el \(35{,}8\,\%\) de las imprentas usa celulosa reciclada.

b) 1. La amplitud es \(2E\), así que \(2E\le0{,}2\iff E\le0{,}1\). 2. Se despeja \(n\): \[n\ge\frac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}=\frac{1{,}96^2\cdot0{,}24\cdot0{,}76}{0{,}1^2}\approx70{,}07.\] 3. Se redondea hacia arriba.

Hay que tomar al menos \(n=71\) imprentas.

Ordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente 2021 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Se quiere estudiar la proporción de ciudadanos enfermos de COVID-19 en una determinada población. Para ello, se elige una muestra al azar de 1000 ciudadanos, revelándose que el \(15\,\%\) de ellos están enfermos.

1. Calcule un intervalo de confianza al \(95\,\%\), para estimar la proporción real de enfermos de COVID-19 en dicha población. (1,5 puntos)

2. Determine el tamaño muestral mínimo para que, con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral anteriores, el error que se comete al estimar la proporción de ciudadanos enfermos de COVID-19 en esa población sea inferior al \(1\,\%\). (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

1. Datos. \(\hat p=0{,}15\), \(n=1000\) (\(n\hat p=150\ge5\) y \(n(1-\hat p)=850\ge5\)). Nivel \(95\,\%\): \(z_{\alpha/2}=1{,}96\).

a) 1. Error máximo: \(E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}15\cdot0{,}85}{1000}}=1{,}96\cdot0{,}01129=0{,}0221\). 2. Intervalo: \[IC=(0{,}15-0{,}0221,\ 0{,}15+0{,}0221)=(0{,}1279,\ 0{,}1721).\]

Interpretación: con una confianza del \(95\,\%\), entre el \(12{,}8\,\%\) y el \(17{,}2\,\%\) de la población está enferma.

b) 1. Error inferior al \(1\,\%\): \(E<0{,}01\). 2. Se despeja \(n\): \(E<0{,}01\iff n>\dfrac{1{,}96^2\cdot0{,}15\cdot0{,}85}{0{,}01^2}=4\,898{,}04\). 3. Se redondea hacia arriba.

Hacen falta al menos \(n=4\,899\) ciudadanos.

Extraordinaria 2021

Ejercicio 7 · Extraordinaria 2021 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la Unión Europea (UE), se toma una muestra aleatoria de 250 de estos residentes, obteniéndose que 115 estaban a favor de dejar de pertenecer a la UE.

1. Calcule un intervalo de confianza al \(99{,}5\,\%\), para estimar la proporción real de esos residentes que está a favor de la salida del Reino Unido de la UE. (1,5 puntos)

2. Manteniendo la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra, para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la UE, con un error inferior al \(5\,\%\). (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

1. Datos. \(\hat p=\dfrac{115}{250}=0{,}46\) y \(n=250\) (\(n\hat p=115\ge5\) y \(n(1-\hat p)=135\ge5\)).
2. Valor crítico. Nivel \(99{,}5\,\%\): \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-0{,}0025=0{,}9975\). En la tabla, \(\Phi(2{,}80)=0{,}99744\) y \(\Phi(2{,}81)=0{,}99752\), y \(0{,}9975\) está más cerca del segundo: \(z_{\alpha/2}=2{,}81\).

a) 1. Error máximo: \(E=2{,}81\sqrt{\dfrac{0{,}46\cdot0{,}54}{250}}=2{,}81\cdot0{,}03152=0{,}0886\). 2. Intervalo: \[IC=(0{,}46-0{,}0886,\ 0{,}46+0{,}0886)=(0{,}3714,\ 0{,}5486).\]

Interpretación: con una confianza del \(99{,}5\,\%\), entre el \(37{,}1\,\%\) y el \(54{,}9\,\%\) de los residentes está a favor de la salida.

b) 1. Se despeja \(n\) de \(E<0{,}05\) con la misma proporción: \(E<0{,}05\iff n>\dfrac{2{,}81^2\cdot0{,}46\cdot0{,}54}{0{,}05^2}=784{,}56\). 2. Se redondea hacia arriba.

Hace falta una muestra de al menos \(n=785\) residentes.

Ejercicio 8 · Extraordinaria 2021 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Sea \(X\) una variable aleatoria que sigue una ley Normal de media poblacional desconocida y desviación típica 4.

1. ¿Cuál es la desviación típica de la distribución de las medias de las muestras de tamaño 12 de la variable aleatoria \(X\)? (0,5 puntos)

2. Para estimar la media poblacional de la variable \(X\), se toma una muestra aleatoria de tamaño 12, obteniéndose los siguientes resultados: (1 punto)

\[11{,}8\quad10\quad9{,}8\quad12\quad9{,}7\quad10{,}8\quad9{,}6\quad11{,}3\quad10{,}4\quad12{,}2\quad9{,}1\quad10{,}5\]

Con los datos obtenidos de la muestra, determine un intervalo de confianza al \(97\,\%\) para estimar la media poblacional.

3. Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra, para que, con el mismo nivel de confianza, el error cometido al estimar la media poblacional sea menor que 1,2. (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

Muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional: el tamaño de la muestra en cada estrato es \(n_i=n\cdot\dfrac{N_i}{N}\). Con una población pequeña, las muestras de tamaño \(n\) se forman eligiendo \(n\) elementos: con reemplazamiento (orden importa) hay \(N^n\); sin reemplazamiento y sin orden, \(\binom{N}{n}\). La media de las medias muestrales es la media de la población.

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Distribución de la media y de la proporción muestral.

1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

1. Si hay estratos, calcula la fracción \(\dfrac{n}{N}\) y multiplícala por el tamaño de cada estrato; redondea sin que la suma cambie.
2. Si piden muestras posibles, decide primero si hay reemplazamiento y si importa el orden; después enumera o cuenta.
3. Para la media y la varianza de las medias muestrales, escribe todas las medias, calcula su media y la media de sus cuadrados menos el cuadrado de la media.

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) La media de una muestra de tamaño \(n\) tiene desviación típica \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\): \[\sigma_{\bar X}=\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=\dfrac{4}{\sqrt{12}}=\dfrac{2}{\sqrt3}\approx\mathbf{1{,}1547}.\]

b) 1. Media muestral: \(\bar x=\dfrac{127{,}2}{12}=10{,}6\). 2. Nivel \(97\,\%\): \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}985\) y en la tabla \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}17\). 3. Error máximo: \(E=2{,}17\cdot\dfrac{4}{\sqrt{12}}=2{,}5057\). 4. Intervalo: \[IC=(10{,}6-2{,}5057,\ 10{,}6+2{,}5057)=(8{,}0943,\ 13{,}1057).\]

c) 1. Se despeja \(n\) de \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}<1{,}2\): \[n>\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2=\left(\dfrac{2{,}17\cdot4}{1{,}2}\right)^2=52{,}32.\] 2. Se redondea hacia arriba.

Hacen falta al menos \(n=53\) individuos.

Extraordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 7 · Extraordinaria · Reserva 2021 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Para un estudio acerca del uso del transporte público en una ciudad, se selecciona una muestra aleatoria de 500 individuos, obteniéndose que 175 de ellos lo usan.

1. Halle un intervalo de confianza al \(94\,\%\) para estimar la proporción real de individuos que usan el transporte público en esa ciudad. (1,5 puntos)

2. Manteniendo la proporción muestral, ¿cuántos individuos se deberían seleccionar como mínimo, para que, con un nivel de confianza del \(97\,\%\), la proporción muestral difiera de la proporción real a lo sumo en un \(2\,\%\)? (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

1. Datos. \(\hat p=\dfrac{175}{500}=0{,}35\), \(n=500\) (se cumplen \(n\hat p=175\ge5\) y \(n(1-\hat p)=325\ge5\)).

a) Intervalo al \(94\,\%\). 1. \(1-\alpha=0{,}94\), luego \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{0{,}06}{2}=0{,}97\). En la tabla \(\Phi(1{,}88)=0{,}9699\) y \(\Phi(1{,}89)=0{,}9706\), y \(0{,}97\) está más cerca del primero: \(z_{\alpha/2}=1{,}88\). 2. Error máximo: \(E=1{,}88\sqrt{\dfrac{0{,}35\cdot0{,}65}{500}}=1{,}88\cdot0{,}02133=0{,}0401\). 3. Intervalo: \[IC=(0{,}35-0{,}0401,\ 0{,}35+0{,}0401)=(0{,}3099,\ 0{,}3901).\]

Interpretación: con una confianza del \(94\,\%\), entre el \(31{,}0\,\%\) y el \(39{,}0\,\%\) de los individuos usa el transporte público.

b) Tamaño muestral con \(E\le0{,}02\) y confianza \(97\,\%\). 1. \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{0{,}03}{2}=0{,}985\) y en la tabla \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}17\). 2. Se despeja \(n\) de \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\le0{,}02\): \[n\ge\frac{2{,}17^2\cdot0{,}35\cdot0{,}65}{0{,}02^2}=2\,678{,}19.\] 3. Se redondea hacia arriba (si fuera 2 678 no se alcanzaría la precisión).

Hay que seleccionar al menos \(n=2\,679\) individuos.

Ejercicio 8 · Extraordinaria · Reserva 2021 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

La estatura de las mujeres de una población sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica 7 cm.

1. Se toma una muestra aleatoria de 300 mujeres de esta población, que da una estatura media de 168 cm. Construya un intervalo de confianza al \(97\,\%\) para estimar la estatura media de las mujeres de esta población. (1,5 puntos)

2. Calcule el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esta población para que, con un nivel de confianza del \(94\,\%\), el error máximo cometido al estimar la estatura media de las mujeres de esa población sea inferior a 1,2 cm. (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) Intervalo al \(97\,\%\) para la media (se conoce \(\sigma=7\) y la media muestral \(168\) con \(n=300\)). 1. \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}985\) da \(z_{\alpha/2}=2{,}17\) (pues \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\)). 2. Error máximo: \(E=2{,}17\cdot\dfrac{7}{\sqrt{300}}=2{,}17\cdot0{,}4041=0{,}877\). 3. Intervalo: \[IC=(168-0{,}877,\ 168+0{,}877)=(167{,}123,\ 168{,}877).\]

Interpretación: con una confianza del \(97\,\%\), la estatura media de las mujeres está entre \(167{,}12\) y \(168{,}88\) cm.

b) Tamaño mínimo con \(E<1{,}2\) al \(94\,\%\). 1. Para el \(94\,\%\), \(z_{\alpha/2}=1{,}88\) (pues \(\Phi(1{,}88)=0{,}9699\approx0{,}97\)). 2. Se despeja \(n\) de \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}<1{,}2\): \[n>\left(\frac{1{,}88\cdot7}{1{,}2}\right)^2=120{,}27.\] 3. \(n\) debe ser entero y mayor que \(120{,}27\).

Hay que tomar al menos \(n=121\) mujeres.

Extraordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 7 · Extraordinaria · Suplente 2021 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

1. En una población constituida por los números naturales del 1 al 9, ¿cuántas muestras de tamaño 2 se pueden formar por muestreo aleatorio simple? Si se elige al azar una de esas muestras, ¿cuál es la probabilidad de que el valor medio de los dos números de esa muestra sea 5? (1 punto)

2. Para estimar la proporción de andaluces contagiados por una enfermedad infecciosa en un momento determinado, se ha tomado una muestra de 10 000 personas, resultando que 500 de ellas estaban infectadas. (1,5 puntos)

1. Con ese dato, establezca un intervalo, al \(97\,\%\) de confianza, para la proporción real de infectados en la población andaluza.
2. A la vista del intervalo obtenido, razone si se podría aceptar que el \(6\,\%\) de la población andaluza estaba infectada.
3. Se toma una nueva muestra de mayor tamaño y resulta que hay la misma proporción de positivos en la nueva muestra. Con estos nuevos datos, razone si el nuevo intervalo al \(97\,\%\) de confianza contiene al intervalo anterior o está contenido en él.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

Muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional: el tamaño de la muestra en cada estrato es \(n_i=n\cdot\dfrac{N_i}{N}\). Con una población pequeña, las muestras de tamaño \(n\) se forman eligiendo \(n\) elementos: con reemplazamiento (orden importa) hay \(N^n\); sin reemplazamiento y sin orden, \(\binom{N}{n}\). La media de las medias muestrales es la media de la población.

Intervalo de confianza para una proporción.

Con \(\hat p\) la proporción muestral: \(\left(\hat p-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\). Se usa si \(n\hat p\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Muestras posibles, estratos y distribución de las medias muestrales.

1. Si hay estratos, calcula la fracción \(\dfrac{n}{N}\) y multiplícala por el tamaño de cada estrato; redondea sin que la suma cambie.
2. Si piden muestras posibles, decide primero si hay reemplazamiento y si importa el orden; después enumera o cuenta.
3. Para la media y la varianza de las medias muestrales, escribe todas las medias, calcula su media y la media de sus cuadrados menos el cuadrado de la media.

Intervalo de confianza para una proporción.

1. Calcula \(\hat p=\dfrac{\text{éxitos}}{n}\) y comprueba las condiciones.
2. Halla \(z_{\alpha/2}\) para el nivel de confianza.
3. Calcula el error máximo y el intervalo.
4. Interpreta en el contexto (porcentaje de la población).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

a) 1. Muestreo aleatorio simple: con reemplazamiento y teniendo en cuenta el orden, \(9\cdot9=81\) muestras de tamaño 2. 2. La media vale \(5\) cuando los dos números suman \(10\): \((1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1)\), es decir, \(9\) muestras. 3. Casos favorables entre posibles.

Hay \(81\) muestras y \(P(\bar x=5)=\dfrac{9}{81}=\dfrac{1}{9}\).

b) Datos: \(\hat p=\dfrac{500}{10\,000}=0{,}05\), \(n=10\,000\) (\(n\hat p=500\ge5\) y \(n(1-\hat p)\ge5\)).

1. Intervalo al \(97\,\%\). \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{0{,}03}{2}=0{,}985\) y \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}17\). Error máximo: \(E=2{,}17\sqrt{\dfrac{0{,}05\cdot0{,}95}{10\,000}}=2{,}17\cdot0{,}00218=0{,}0047\). \[IC=(0{,}05-0{,}0047,\ 0{,}05+0{,}0047)=(0{,}0453,\ 0{,}0547).\]
2. ¿Se puede aceptar el \(6\,\%\)? \(0{,}06\) no pertenece al intervalo (\(0{,}06>0{,}0547\)): no se puede aceptar, con ese nivel de confianza, que el \(6\,\%\) estuviera infectado.
3. Muestra mayor. Con la misma proporción y mayor \(n\), el error \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) es menor: el nuevo intervalo está contenido en el anterior (mismo centro \(0{,}05\), menor amplitud).

Ejercicio 8 · Extraordinaria · Suplente 2021 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

El tiempo, en horas, que los alumnos de un instituto dedican a estudiar para los exámenes finales, se distribuye siguiendo una ley Normal de media desconocida y varianza 81. Se toma una muestra aleatoria de 16 alumnos de dicho instituto, obteniéndose los siguientes tiempos:

\[30\quad42\quad38\quad45\quad52\quad60\quad21\quad26\quad33\quad44\quad28\quad49\quad32\quad51\quad49\quad40\]

1. Obtenga un intervalo, con un \(95\,\%\) de confianza, para estimar el tiempo medio de estudio de los alumnos de ese instituto. (1,5 puntos)

2. Calcule el mínimo tamaño de la muestra que se ha de tomar, para estimar el tiempo medio de estudio de esos alumnos con un error inferior a 2 horas y un nivel de confianza del \(98\,\%\). (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Intervalo de confianza para la media.

Con \(\sigma\) conocida: \(\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Valores críticos: \(1{,}645\) (90 %), \(1{,}96\) (95 %), \(2{,}575\) (99 %). El centro es \(\overline{x}\) y la mitad de la amplitud es el error máximo \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

\(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (media) o \(E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\) (proporción). Despejando, \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\) o \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2}\). A mayor confianza, más amplitud; a mayor \(n\), menos amplitud.

NotaAyuda 2 · Método

Intervalo de confianza para la media.

1. Anota \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) y el nivel de confianza; halla \(z_{\alpha/2}\): la tabla da \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{\alpha}{2}\).
2. Calcula el error máximo \(E\).
3. Escribe el intervalo \((\overline{x}-E,\ \overline{x}+E)\).
4. Interpreta: «con una confianza del …, la media poblacional está entre … y …».

Error máximo, nivel de confianza y tamaño de la muestra.

1. Si dan la amplitud del intervalo, el error es la mitad: \(E=\dfrac{b-a}{2}\).
2. Despeja la incógnita (\(n\), \(z_{\alpha/2}\) o \(E\)) de la fórmula.
3. Tamaño muestral: redondea siempre hacia arriba al entero siguiente.
4. Si falta \(z_{\alpha/2}\), léelo en la tabla y de él saca el nivel de confianza \(1-\alpha\).

TipSolución

1. Datos. \(\sigma=\sqrt{81}=9\), \(n=16\).

a) 1. Media muestral: la suma de los datos es \(640\), luego \(\bar x=\dfrac{640}{16}=40\). 2. Para el \(95\,\%\), \(z_{\alpha/2}=1{,}96\). Error máximo: \(E=1{,}96\cdot\dfrac{9}{\sqrt{16}}=4{,}41\). 3. Intervalo: \[IC=(40-4{,}41,\ 40+4{,}41)=(35{,}59,\ 44{,}41).\]

Interpretación: con una confianza del \(95\,\%\), el tiempo medio de estudio está entre \(35{,}59\) y \(44{,}41\) horas.

b) 1. Nivel \(98\,\%\): \(\Phi(z_{\alpha/2})=1-\dfrac{0{,}02}{2}=0{,}99\). En la tabla \(\Phi(2{,}32)=0{,}9898\) y \(\Phi(2{,}33)=0{,}9901\), y \(0{,}99\) está más cerca del segundo: \(z_{\alpha/2}=2{,}33\). 2. Se despeja \(n\) de \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}<2\): \[n>\left(\frac{2{,}33\cdot9}{2}\right)^2=109{,}93.\] 3. Se redondea al entero siguiente.

Hace falta una muestra de al menos \(n=110\) alumnos.

También trabajan este tema

Ejercicios cuyo tema principal es otro pero en los que aparece este tema:

• 2026 Ordinaria · Suplente 1, ejercicio 4 (tema principal: Distribuciones binomial y normal)
• 2026 Ordinaria · Suplente 2, ejercicio 3B (tema principal: Distribuciones binomial y normal)
• 2025 Ordinaria · Modelo A, ejercicio 7 (tema principal: Distribuciones binomial y normal)
• 2025 Ordinaria · Modelo B, ejercicio 7 (tema principal: Distribuciones binomial y normal)
• 2024 Ordinaria · Modelo B, ejercicio 7 (tema principal: Distribuciones binomial y normal)
• 2024 Ordinaria · Suplente · Modelo B, ejercicio 8 (tema principal: Distribuciones binomial y normal)
• 2023 Ordinaria · Reserva · Modelo B, ejercicio 8 (tema principal: Distribuciones binomial y normal)
• 2021 Ordinaria · Suplente, ejercicio 8 (tema principal: Distribuciones binomial y normal)

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Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF oficial del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.