Muestreo e inferencia — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 9 son básicos y del 10 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía para Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (ejercicio de estadística, 2 puntos, sin opciones). Los marcados como competenciales piden modelizar, interpretar el resultado en el contexto o justificar. Las soluciones están al final y usan la tabla de la normal con \(z\) redondeado a dos decimales. En todos los ejercicios las muestras son de muestreo aleatorio simple y la desviación típica \(\sigma\) de la población es conocida. Los valores críticos son \(z_{\alpha/2}=1{,}96\) (confianza del \(95\,\%\), que aparece en la tabla) y, cuando el enunciado lo indica, \(1{,}645\) (\(90\,\%\)) y \(2{,}575\) (\(99\,\%\)). En los ejercicios 23 y 24 el valor crítico no se indica y la solución muestra los procedimientos aceptados (valor más cercano e interpolación).

Muestreo y distribuciones muestrales

1. a) Para conocer el gasto medio de los 12 000 estudiantes de una universidad se pregunta a 150 que salen de la biblioteca. ¿Es un muestreo aleatorio simple? b) El \(40\,\%\) de los hogares de una ciudad tiene fibra óptica; en una muestra de 150 hogares, el \(38\,\%\) la tiene. Indica el parámetro y el estadístico. c) ¿Es grande una muestra de 25 individuos?

2. Una población tiene media \(\mu=50\) y desviación típica \(\sigma=12\). Con muestras de \(n=36\) individuos, calcula: a) la distribución de \(\overline{X}\); b) \(P(\overline{X}>52)\); c) \(P(48<\overline{X}<53)\).

3. El \(50\,\%\) de los votantes de una ciudad apoya una propuesta. Con muestras de \(n=100\) votantes, calcula: a) la distribución de la proporción muestral \(\hat p\); b) \(P(\hat p\ge0{,}58)\); c) \(P(\hat p\le0{,}45)\).

Intervalos de confianza y tamaño muestral

4. En una población con \(\sigma=15\), una muestra de \(n=100\) tiene media \(\overline{x}=80\). Halla el intervalo de confianza del \(95\,\%\) para la media.

5. En una población con \(\sigma=30\), una muestra de \(n=144\) tiene media \(\overline{x}=200\). Halla el intervalo de confianza del \(99\,\%\) para la media (usa \(z_{\alpha/2}=2{,}575\)).

6. En una muestra de \(n=400\) personas, el \(20\,\%\) declara ir al trabajo en bicicleta. Halla el intervalo de confianza del \(95\,\%\) para la proporción de la población.

7. Con \(\sigma=20\), ¿qué tamaño muestral mínimo hace falta para estimar la media con un error máximo de \(4\) y una confianza del \(95\,\%\)?

8. Se quiere estimar una proporción, de la que no se sabe nada, con un error máximo de \(0{,}04\) y una confianza del \(95\,\%\). Calcula el tamaño muestral mínimo.

9. Un intervalo de confianza del \(95\,\%\) para una media es \((46{,}08;\ 53{,}92)\), con \(\sigma=20\). Calcula la media muestral, el error máximo admisible y el tamaño de la muestra.

Problemas tipo PAU

10. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) El salario mensual, en euros, de los trabajadores de un sector tiene media \(\mu=1850\) y desviación típica \(\sigma=200\). Se toman muestras de \(n=64\) trabajadores.

  1. (0,5 puntos) Escribe la distribución de la media muestral \(\overline{X}\).

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(\overline{X}>1890)\).

  3. (0,5 puntos) Calcula \(P(1800<\overline{X}<1900)\).

  4. (0,5 puntos) Calcula la misma probabilidad del apartado c) con muestras de \(n=16\) e interpreta la diferencia.

11. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) El \(35\,\%\) de los hogares de una ciudad usa algún servicio de transporte compartido. Se toma una muestra de \(n=200\) hogares.

  1. (0,5 puntos) Escribe la distribución de la proporción muestral \(\hat p\).

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(\hat p\ge0{,}40)\).

  3. (0,5 puntos) Calcula \(P(\hat p\le0{,}30)\).

  4. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que \(\hat p\) esté entre \(0{,}30\) y \(0{,}40\) e interpreta el resultado.

12. (Tipo PAU · 2 puntos) Una muestra de \(n=100\) personas tiene una edad media \(\overline{x}=62\) años y la desviación típica de la población es \(\sigma=12\) años. Halla el intervalo de confianza para la edad media poblacional:

  1. (0,5 puntos) con una confianza del \(90\,\%\) (\(z_{\alpha/2}=1{,}645\));

  2. (0,5 puntos) con una confianza del \(95\,\%\);

  3. (0,5 puntos) con una confianza del \(99\,\%\) (\(z_{\alpha/2}=2{,}575\));

  4. (0,5 puntos) ordena los tres intervalos por su amplitud y explica la relación con la confianza.

13. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) En una encuesta a 500 personas, 140 aprueban una medida municipal.

  1. (0,5 puntos) Calcula la proporción muestral \(\hat p\).

  2. (0,5 puntos) Calcula el error típico \(\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\).

  3. (0,5 puntos) Halla el intervalo de confianza del \(95\,\%\) para la proporción de la población que aprueba la medida.

  4. (0,5 puntos) Interpreta el intervalo e indica si se puede afirmar que la mayoría de la población aprueba la medida.

14. (Tipo PAU · 2 puntos) Con \(\sigma=25\), se quiere estimar la media con un error máximo de \(5\). Calcula el tamaño muestral mínimo con una confianza:

  1. (0,5 puntos) del \(95\,\%\);

  2. (0,5 puntos) del \(90\,\%\) (\(z_{\alpha/2}=1{,}645\));

  3. (0,5 puntos) del \(99\,\%\) (\(z_{\alpha/2}=2{,}575\));

  4. (0,5 puntos) explica por qué el tamaño crece con la confianza.

15. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) Un instituto de opinión quiere estimar con un error máximo de \(0{,}025\) y una confianza del \(95\,\%\) la proporción de personas que usan una aplicación.

  1. (0,5 puntos) Calcula el tamaño muestral mínimo si no se tiene ninguna información previa.

  2. (0,5 puntos) Calcula el tamaño mínimo si un estudio previo estimó que la proporción era \(0{,}3\).

  3. (0,5 puntos) Compara ambos resultados e indica cuál es el más razonable si no se conoce la proporción.

  4. (0,5 puntos) Calcula el tamaño mínimo sin información previa si se admite un error de \(0{,}05\) e interpreta la diferencia con a).

16. (Tipo PAU · 2 puntos) Un intervalo de confianza del \(95\,\%\) para una media, con \(\sigma=15\), es \((97{,}06;\ 102{,}94)\).

  1. (0,5 puntos) Calcula la media muestral.

  2. (0,5 puntos) Calcula el error máximo admisible.

  3. (0,5 puntos) Calcula el tamaño de la muestra.

  4. (0,5 puntos) Con la misma muestra, halla el intervalo del \(99\,\%\) (\(z_{\alpha/2}=2{,}575\)).

17. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) En una encuesta a 400 usuarios de transporte público, elegidos al azar de una lista de abonados, 252 se declaran satisfechos.

  1. (0,5 puntos) Calcula la proporción muestral de usuarios satisfechos.

  2. (0,5 puntos) Halla el intervalo de confianza del \(90\,\%\) (\(z_{\alpha/2}=1{,}645\)) para la proporción de la población.

  3. (0,5 puntos) Interpreta el intervalo.

  4. (0,5 puntos) ¿Se puede asegurar, con esa confianza, que más de la mitad de los usuarios está satisfecha?

18. (Tipo PAU · 2 puntos) Una población tiene \(\sigma=10\).

  1. (0,5 puntos) Con muestras de \(n=25\), escribe la distribución de \(\overline{X}\) (en función de \(\mu\)).

  2. (0,5 puntos) Calcula, para \(n=25\), la probabilidad de que \(\overline{X}\) se aleje de \(\mu\) menos de 3 unidades.

  3. (0,5 puntos) Halla el tamaño de muestra mínimo para que esa distancia sea menor que \(2\) con probabilidad \(0{,}95\).

  4. (0,5 puntos) Justifica la relación entre este apartado y el cálculo del tamaño mínimo para el error máximo.

19. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) La duración de las llamadas de un servicio de atención telefónica tiene una desviación típica conocida de \(\sigma=40\) segundos. Se quiere estimar la duración media con una confianza del \(95\,\%\) y distintos tamaños de muestra.

  1. (0,5 puntos) Calcula el error máximo admisible con \(n=100\).

  2. (0,5 puntos) Calcula el error máximo admisible con \(n=400\).

  3. (0,5 puntos) Calcula el error máximo admisible con \(n=900\).

  4. (0,5 puntos) Interpreta cómo cambia el error al aumentar el tamaño de la muestra y cuántas veces hay que aumentar \(n\) para dividir el error entre 2.

20. (Tipo PAU · 2 puntos) Una población tiene \(\mu=75\) y \(\sigma=10\). Se toman muestras con reemplazamiento de \(n=40\) individuos.

  1. (0,5 puntos) Justifica que \(\overline{X}\) sigue aproximadamente una normal y escribe sus parámetros.

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(\overline{X}>77)\).

  3. (0,5 puntos) Calcula \(P(\overline{X}<74)\).

  4. (0,5 puntos) Calcula \(P(73<\overline{X}<77)\).

21. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) En una encuesta a 600 personas, el \(54\,\%\) está a favor de una propuesta.

  1. (0,5 puntos) Calcula el error típico de la proporción muestral.

  2. (0,5 puntos) Halla el intervalo de confianza del \(95\,\%\) para la proporción de la población a favor.

  3. (0,5 puntos) Interpreta el intervalo: ¿se puede afirmar con claridad que hay mayoría a favor?

  4. (0,5 puntos) ¿Qué tamaño de muestra haría falta para que el error máximo fuera de \(0{,}02\) con la misma confianza, tomando \(p=0{,}54\)?

22. (Tipo PAU · 2 puntos) El peso medio de una muestra de \(n=100\) naranjas es \(\overline{x}=250\) g y \(\sigma=20\) g.

  1. (0,5 puntos) Halla el intervalo de confianza del \(95\,\%\) para el peso medio.

  2. (0,5 puntos) Halla el intervalo del \(90\,\%\) (\(z_{\alpha/2}=1{,}645\)).

  3. (0,5 puntos) Calcula la amplitud de ambos intervalos y compáralos.

  4. (0,5 puntos) ¿Qué tamaño de muestra se necesita para un error máximo de \(2\) g al \(95\,\%\)?

23. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) Una empresa quiere estimar el tiempo medio de espera de sus llamadas, en minutos, con \(\sigma=3\) y una muestra de \(n=36\) llamadas cuya media es \(7{,}5\) minutos.

  1. (0,5 puntos) Calcula el error típico \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).

  2. (0,5 puntos) Indica el valor \(P(Z\le z_{\alpha/2})\) para una confianza del \(99\,\%\) y explica por qué no aparece en la tabla.

  3. (0,5 puntos) Halla el intervalo de confianza del \(99\,\%\) con cada uno de los procedimientos aceptados (valor más cercano e interpolación).

  4. (0,5 puntos) Interpreta el intervalo y comenta si las diferencias entre procedimientos son relevantes.

24. (Tipo PAU · 2 puntos) Con \(\sigma=30\), se quiere estimar una media con un error máximo de \(5\).

  1. (0,5 puntos) Calcula el tamaño mínimo para una confianza del \(95\,\%\).

  2. (0,5 puntos) Halla \(P(Z\le z_{\alpha/2})\) para una confianza del \(90\,\%\) y explica por qué no aparece en la tabla.

  3. (0,5 puntos) Calcula el tamaño mínimo para el \(90\,\%\) con cada uno de los procedimientos aceptados (los dos valores más cercanos y la interpolación).

  4. (0,5 puntos) Calcula el tamaño mínimo para el \(99\,\%\) usando \(z_{\alpha/2}=2{,}575\) y comenta por qué todos los valores son aceptables.

25. (Tipo PAU · 2 puntos) Un fabricante afirma que el \(8\,\%\) de sus piezas es defectuoso. Se toman muestras de \(n=200\) piezas.

  1. (0,5 puntos) Escribe la distribución de la proporción muestral \(\hat p\).

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(\hat p>0{,}12)\).

  3. (0,5 puntos) Calcula \(P(\hat p<0{,}05)\).

  4. (0,5 puntos) Una muestra concreta de 200 piezas tiene un \(10\,\%\) de defectuosas. Halla el intervalo de confianza del \(95\,\%\) para la proporción de piezas defectuosas.

Soluciones

  1. No es un muestreo aleatorio simple: quien sale de la biblioteca tiene más probabilidad de aparecer en la muestra que quien no va, así que la muestra está sesgada, aunque sea grande.

  2. El parámetro es la proporción de la población, \(p=0{,}4\) (el \(40\,\%\)). El estadístico es la proporción muestral, \(\hat p=0{,}38\).

  3. No: se consideran muestras grandes las de \(n\ge30\), y \(25<30\).

  1. \(\overline{X}\approx N\!\left(50,\ \dfrac{12}{\sqrt{36}}\right)=N(50,\,2)\).

  2. \(P(\overline{X}>52)=P\!\left(Z>\dfrac{52-50}{2}\right)=P(Z>1)=1-0{,}8413=0{,}1587\).

  3. \(P(48<\overline{X}<53)=P(-1<Z<1{,}5)=0{,}9332-(1-0{,}8413)=0{,}7745\).

  1. \(\hat p\approx N\!\left(0{,}5,\ \sqrt{\dfrac{0{,}5\cdot0{,}5}{100}}\right)=N(0{,}5;\,0{,}05)\).

  2. \(P(\hat p\ge0{,}58)=P\!\left(Z\ge\dfrac{0{,}58-0{,}5}{0{,}05}\right)=P(Z\ge1{,}6)=1-0{,}9452=0{,}0548\).

  3. \(P(\hat p\le0{,}45)=P(Z\le-1)=1-0{,}8413=0{,}1587\).

\(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=\dfrac{15}{10}=1{,}5\) y \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=1{,}96\cdot1{,}5=2{,}94\). El intervalo es \((80-2{,}94;\ 80+2{,}94)=(77{,}06;\ 82{,}94)\).

\(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=\dfrac{30}{12}=2{,}5\) y \(E=2{,}575\cdot2{,}5=6{,}4375\). El intervalo es \((200-6{,}4375;\ 200+6{,}4375)=(193{,}5625;\ 206{,}4375)\).

\(\hat p=0{,}2\) y el error típico es \(\sqrt{\dfrac{0{,}2\cdot0{,}8}{400}}=0{,}02\). Entonces \(E=1{,}96\cdot0{,}02=0{,}0392\) y el intervalo es \((0{,}2-0{,}0392;\ 0{,}2+0{,}0392)=(0{,}1608;\ 0{,}2392)\).

\(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2=\left(\dfrac{1{,}96\cdot20}{4}\right)^2=9{,}8^2=96{,}04\). Se redondea hacia arriba: \(n=97\).

Sin información, \(p=0{,}5\): \(n\ge\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,p(1-p)}{E^2}=\dfrac{1{,}96^2\cdot0{,}25}{0{,}04^2}=600{,}25\). Se redondea hacia arriba: \(n=601\).

El intervalo está centrado en la media muestral: \(\overline{x}=\dfrac{46{,}08+53{,}92}{2}=50\). El error es la semiamplitud: \(E=\dfrac{53{,}92-46{,}08}{2}=3{,}92\). Como \(E=1{,}96\dfrac{20}{\sqrt n}\), \(\sqrt n=\dfrac{1{,}96\cdot20}{3{,}92}=10\), luego \(n=100\).

  1. \(\overline{X}\approx N\!\left(1850,\ \dfrac{200}{\sqrt{64}}\right)=N(1850,\,25)\).

  2. \(P(\overline{X}>1890)=P\!\left(Z>\dfrac{1890-1850}{25}\right)=P(Z>1{,}6)=1-0{,}9452=0{,}0548\).

  3. \(P(1800<\overline{X}<1900)=P(-2<Z<2)=2\cdot0{,}9772-1=0{,}9544\).

  4. Con \(n=16\), \(\overline{X}\approx N\!\left(1850,\ \dfrac{200}{4}\right)=N(1850,\,50)\) y \(P(1800<\overline{X}<1900)=P(-1<Z<1)=0{,}6826\). Con 64 trabajadores la media muestral se concentra más alrededor de \(\mu\): es más probable (un \(95{,}44\,\%\) frente a un \(68{,}26\,\%\)) que quede a menos de 50 € de la media.

  1. \(\hat p\approx N\!\left(0{,}35,\ \sqrt{\dfrac{0{,}35\cdot0{,}65}{200}}\right)=N(0{,}35;\,0{,}0337)\).

  2. \(P(\hat p\ge0{,}40)=P\!\left(Z\ge\dfrac{0{,}40-0{,}35}{0{,}0337}\right)=P(Z\ge1{,}48)=1-0{,}9306=0{,}0694\).

  3. \(P(\hat p\le0{,}30)=P(Z\le-1{,}48)=1-0{,}9306=0{,}0694\).

  4. \(P(0{,}30<\hat p<0{,}40)=P(-1{,}48<Z<1{,}48)=2\cdot0{,}9306-1=0{,}8612\). En el \(86{,}12\,\%\) de las muestras de 200 hogares, el porcentaje de usuarios estará entre el \(30\,\%\) y el \(40\,\%\).

Con \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=\dfrac{12}{10}=1{,}2\):

  1. \(E=1{,}645\cdot1{,}2=1{,}974\) y el intervalo es \((60{,}026;\ 63{,}974)\).

  2. \(E=1{,}96\cdot1{,}2=2{,}352\) y el intervalo es \((59{,}648;\ 64{,}352)\).

  3. \(E=2{,}575\cdot1{,}2=3{,}09\) y el intervalo es \((58{,}91;\ 65{,}09)\).

  4. Las amplitudes son \(3{,}948\) (90 %), \(4{,}704\) (95 %) y \(6{,}18\) (99 %): el intervalo del \(90\,\%\) es el más estrecho y el del \(99\,\%\), el más ancho. A mayor confianza, mayor valor crítico y mayor error, con \(n\) fijo.

  1. \(\hat p=\dfrac{140}{500}=0{,}28\).

  2. \(\sqrt{\dfrac{0{,}28\cdot0{,}72}{500}}\approx0{,}0201\).

  3. \(E=1{,}96\cdot0{,}0201\approx0{,}0394\) y el intervalo es \((0{,}28-0{,}0394;\ 0{,}28+0{,}0394)=(0{,}2406;\ 0{,}3194)\).

  4. Con una confianza del \(95\,\%\), la proporción de personas que aprueban la medida está entre el \(24{,}06\,\%\) y el \(31{,}94\,\%\). Como todo el intervalo está por debajo de \(0{,}5\), no se puede afirmar que la mayoría aprueba la medida.

Con \(\dfrac{\sigma}{E}=\dfrac{25}{5}=5\):

  1. \(n\ge(1{,}96\cdot5)^2=96{,}04\), luego \(n=97\).

  2. \(n\ge(1{,}645\cdot5)^2=67{,}65\), luego \(n=68\).

  3. \(n\ge(2{,}575\cdot5)^2=165{,}77\), luego \(n=166\).

  4. Una mayor confianza exige un valor crítico mayor (\(1{,}645<1{,}96<2{,}575\)) y, como \(n\) crece con \(z_{\alpha/2}^2\), hace falta una muestra más grande para mantener el mismo error máximo.

  1. Con \(p=0{,}5\): \(n\ge\dfrac{1{,}96^2\cdot0{,}25}{0{,}025^2}=1536{,}64\), luego \(n=1537\).

  2. Con \(p=0{,}3\): \(n\ge\dfrac{1{,}96^2\cdot0{,}3\cdot0{,}7}{0{,}025^2}=1290{,}78\), luego \(n=1291\).

  3. Con \(p=0{,}5\) se obtiene el mayor tamaño posible porque \(p(1-p)\) es máximo ahí. Si no se conoce la proporción, es lo más razonable: garantiza el error pedido sea cual sea \(p\).

  4. Con \(E=0{,}05\): \(n\ge\dfrac{1{,}96^2\cdot0{,}25}{0{,}05^2}=384{,}16\), luego \(n=385\). Al duplicar el error máximo, el tamaño se divide aproximadamente entre \(4\) (\(1537\) frente a \(385\)).

  1. La media muestral es el centro del intervalo: \(\overline{x}=\dfrac{97{,}06+102{,}94}{2}=100\).

  2. \(E=\dfrac{102{,}94-97{,}06}{2}=2{,}94\).

  3. \(2{,}94=1{,}96\dfrac{15}{\sqrt n}\Rightarrow\sqrt n=\dfrac{1{,}96\cdot15}{2{,}94}=10\), luego \(n=100\).

  4. \(E=2{,}575\cdot\dfrac{15}{10}=3{,}8625\) y el intervalo es \((100-3{,}8625;\ 100+3{,}8625)=(96{,}1375;\ 103{,}8625)\).

  1. \(\hat p=\dfrac{252}{400}=0{,}63\).

  2. El error típico es \(\sqrt{\dfrac{0{,}63\cdot0{,}37}{400}}\approx0{,}0241\), luego \(E=1{,}645\cdot0{,}0241\approx0{,}0397\) y el intervalo es \((0{,}63-0{,}0397;\ 0{,}63+0{,}0397)=(0{,}5903;\ 0{,}6697)\).

  3. Con una confianza del \(90\,\%\), la proporción de usuarios satisfechos está entre el \(59{,}03\,\%\) y el \(66{,}97\,\%\). Si se repitiera la encuesta muchas veces, aproximadamente el \(90\,\%\) de los intervalos obtenidos contendría la proporción real.

  4. Sí: todo el intervalo está por encima de \(0{,}5\), así que, con esta confianza, más de la mitad de los usuarios está satisfecha.

  1. \(\overline{X}\approx N\!\left(\mu,\ \dfrac{10}{\sqrt{25}}\right)=N(\mu,\,2)\).

  2. \(P(|\overline{X}-\mu|<3)=P\!\left(|Z|<\frac{3}{2}\right)=P(-1{,}5<Z<1{,}5)=2\cdot0{,}9332-1=0{,}8664\).

  3. \(P(|Z|<z_{\alpha/2})=0{,}95\) cuando \(z_{\alpha/2}=1{,}96\), y la distancia es \(z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}<2\). Entonces \(n>\left(\dfrac{1{,}96\cdot10}{2}\right)^2=96{,}04\), luego \(n=97\).

  4. Que \(\overline{X}\) esté a una distancia menor que \(E\) de \(\mu\) con probabilidad \(1-\alpha\) equivale a que \(\mu\) esté en el intervalo de confianza \(\overline{x}\pm E\) con \(E=z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt n\), así que el cálculo del tamaño mínimo es el mismo.

  1. \(E=1{,}96\cdot\dfrac{40}{\sqrt{100}}=1{,}96\cdot4=7{,}84\).

  2. \(E=1{,}96\cdot\dfrac{40}{\sqrt{400}}=1{,}96\cdot2=3{,}92\).

  3. \(E=1{,}96\cdot\dfrac{40}{\sqrt{900}}\approx2{,}61\).

  4. El error disminuye al aumentar \(n\): pasa de \(7{,}84\) a \(3{,}92\) al multiplicar \(n\) por \(4\). Como \(E\) depende de \(1/\sqrt n\), para dividir el error entre \(2\) hay que cuadruplicar el tamaño de la muestra.

  1. Como \(n=40\ge30\), \(\overline{X}\approx N\!\left(75,\ \dfrac{10}{\sqrt{40}}\right)=N(75;\,1{,}5811)\).

  2. \(P(\overline{X}>77)=P\!\left(Z>\dfrac{77-75}{1{,}5811}\right)=P(Z>1{,}26)=1-0{,}8962=0{,}1038\).

  3. \(P(\overline{X}<74)=P(Z<-0{,}63)=1-0{,}7357=0{,}2643\).

  4. \(P(73<\overline{X}<77)=P(-1{,}26<Z<1{,}26)=2\cdot0{,}8962-1=0{,}7924\).

  1. \(\sqrt{\dfrac{0{,}54\cdot0{,}46}{600}}\approx0{,}0203\).

  2. \(E=1{,}96\cdot0{,}0203\approx0{,}0399\) y el intervalo es \((0{,}54-0{,}0399;\ 0{,}54+0{,}0399)=(0{,}5001;\ 0{,}5799)\).

  3. Con una confianza del \(95\,\%\), entre el \(50{,}01\,\%\) y el \(57{,}99\,\%\) de la población está a favor. El extremo inferior apenas supera \(0{,}5\): con esta muestra, la mayoría a favor es muy ajustada y no se puede afirmar con claridad.

  4. \(n\ge\dfrac{1{,}96^2\cdot0{,}54\cdot0{,}46}{0{,}02^2}=2385{,}63\), luego \(n=2386\).

Con \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=\dfrac{20}{10}=2\):

  1. \(E=1{,}96\cdot2=3{,}92\) y el intervalo es \((246{,}08;\ 253{,}92)\).

  2. \(E=1{,}645\cdot2=3{,}29\) y el intervalo es \((246{,}71;\ 253{,}29)\).

  3. La amplitud es \(2E\): \(7{,}84\) g al \(95\,\%\) y \(6{,}58\) g al \(90\,\%\). El intervalo del \(90\,\%\) es más estrecho porque su confianza es menor.

  4. \(n\ge\left(\dfrac{1{,}96\cdot20}{2}\right)^2=384{,}16\), luego \(n=385\).

  1. \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=\dfrac{3}{6}=0{,}5\).

  2. Para el \(99\,\%\), \(P(Z\le z_{\alpha/2})=1-\dfrac{0{,}01}{2}=0{,}995\). En la tabla, \(\Phi(2{,}57)=0{,}9949\) y \(\Phi(2{,}58)=0{,}9951\): el \(0{,}995\) no aparece y está a la misma distancia de ambos.

  3. Hay tres resultados aceptables:

  • Valor más cercano \(z=2{,}57\): \(E=2{,}57\cdot0{,}5=1{,}285\) y el intervalo es \((6{,}215;\ 8{,}785)\).
  • Valor más cercano \(z=2{,}58\): \(E=2{,}58\cdot0{,}5=1{,}29\) y el intervalo es \((6{,}21;\ 8{,}79)\).
  • Interpolación \(z=2{,}575\): \(E=2{,}575\cdot0{,}5=1{,}2875\) y el intervalo es \((6{,}2125;\ 8{,}7875)\).
  1. Con una confianza del \(99\,\%\), el tiempo medio de espera está entre unos \(6{,}2\) y \(8{,}8\) minutos. Los tres intervalos difieren en menos de \(0{,}01\) minutos en los extremos: la diferencia entre procedimientos no es relevante.

  1. \(n\ge\left(\dfrac{1{,}96\cdot30}{5}\right)^2=(1{,}96\cdot6)^2=138{,}30\), luego \(n=139\).

  2. Para el \(90\,\%\), \(P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}95\). En la tabla, \(\Phi(1{,}64)=0{,}9495\) y \(\Phi(1{,}65)=0{,}9505\): el \(0{,}95\) no aparece y está a la misma distancia de ambos.

  3. Con \(\dfrac{\sigma}{E}=6\):

  • \(z=1{,}64\): \(n\ge(1{,}64\cdot6)^2=96{,}83\), luego \(n=97\).
  • \(z=1{,}65\): \(n\ge(1{,}65\cdot6)^2=98{,}01\), luego \(n=99\).
  • Interpolación \(z=1{,}645\): \(n\ge(1{,}645\cdot6)^2=97{,}42\), luego \(n=98\).
  1. Con \(z=2{,}575\): \(n\ge(2{,}575\cdot6)^2=238{,}70\), luego \(n=239\). Los valores \(97\), \(98\) y \(99\) del apartado c) son válidos porque cada uno usa un valor de la tabla de forma coherente; la diferencia es de una o dos unidades y no cambia las conclusiones.

  1. \(\hat p\approx N\!\left(0{,}08,\ \sqrt{\dfrac{0{,}08\cdot0{,}92}{200}}\right)=N(0{,}08;\,0{,}0192)\).

  2. \(P(\hat p>0{,}12)=P\!\left(Z>\dfrac{0{,}12-0{,}08}{0{,}0192}\right)=P(Z>2{,}09)=1-0{,}9817=0{,}0183\).

  3. \(P(\hat p<0{,}05)=P\!\left(Z<\dfrac{0{,}05-0{,}08}{0{,}0192}\right)=P(Z<-1{,}56)=1-0{,}9406=0{,}0594\).

  4. \(\hat p=0{,}1\) y el error típico es \(\sqrt{\dfrac{0{,}1\cdot0{,}9}{200}}\approx0{,}0212\). Entonces \(E=1{,}96\cdot0{,}0212\approx0{,}0416\) y el intervalo es \((0{,}1-0{,}0416;\ 0{,}1+0{,}0416)=(0{,}0584;\ 0{,}1416)\).