PAU Andalucía — Distribuciones binomial y normal

Ejercicios de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es distribuciones binomial y normal: 12 ejercicios de convocatorias ordinarias y extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la resolución breve con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

Se usa la tabla de la normal N(0,1) que acompaña a cada examen: los resultados se dan con los valores de la tabla (z a dos decimales), no con la calculadora.

2026

Ordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 4 · Ordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque D · (2 puntos) · Examen

Una empresa de alquiler de patinetes eléctricos quiere analizar el comportamiento de sus usuarios durante la hora punta de la mañana en una determinada ciudad. La duración del trayecto de cada usuario (en minutos) se distribuye según una ley Normal con media 18 y desviación típica 4.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario tarde menos de 15 minutos en hacer su trayecto? (0,75 puntos)

  2. Se sabe que cada usuario que desbloquea un patinete tiene una probabilidad de \(0{,}9\) de completar su trayecto sin incidencias. Si 120 usuarios desbloquean un patinete para moverse por la ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 110 completen el trayecto sin incidencias? (1,25 puntos)

Relacionado también con: Muestreo e inferencia.

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

a) Probabilidad de tardar menos de 15 minutos. 1. \(X\sim N(18,\ 4)\): se tipifica \(Z=\dfrac{X-18}{4}\). 2. Se usa que \(P(Z<-0{,}75)=1-P(Z<0{,}75)\) y se lee en la tabla \(\Phi(0{,}75)=0{,}7734\): \[P(X<15)=P\!\left(Z<\dfrac{15-18}{4}\right)=P(Z<-0{,}75)=1-P(Z<0{,}75)=1-0{,}7734=\mathbf{0{,}2266}.\]

Interpretación: algo más de \(2\) de cada \(10\) usuarios tardan menos de \(15\) minutos.

b) Al menos 110 sin incidencias. 1. Sea \(Y\) el número de usuarios, de \(120\), que completan el trayecto sin incidencias: \(Y\sim B(120;\ 0{,}9)\). 2. Comprobación: \(np=108\ge5\) y \(nq=12\ge5\), se aproxima por \(Y'\sim N\!\left(108,\ \sqrt{120\cdot0{,}9\cdot0{,}1}\right)=N(108,\ 3{,}2863)\). 3. Corrección por continuidad y tabla (\(\Phi(0{,}46)=0{,}6772\)): \[P(Y\ge110)=P(Y'>109{,}5)=P\!\left(Z>\frac{109{,}5-108}{3{,}2863}\right)=P(Z>0{,}46)=1-0{,}6772=\mathbf{0{,}3228}.\]

Ordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 3B · Ordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque C · (2 puntos) · Examen

Sea \(X\) una variable aleatoria que sigue una distribución Normal de media 16 y varianza 4. Se pide:

  1. Calcule la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores comprendidos entre \(14{,}5\) y \(16{,}2\). (0,75 puntos)

  2. Halle el valor de \(a\) para el que \(P[X\ge a]=0{,}25\). (0,5 puntos)

  3. Se consideran muestras de tamaño 64, ¿qué distribución sigue la variable media muestral? ¿Qué probabilidad hay de que, elegida una muestra al azar, la media sea superior a \(16{,}3\)? (0,75 puntos)

Relacionado también con: Muestreo e inferencia.

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

Distribución de la media y de la proporción muestral.

  1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
  2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
  3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

Datos. \(X\sim N(16,\ 2)\) (la desviación típica es \(\sqrt4=2\)).

a) Entre \(14{,}5\) y \(16{,}2\). 1. Se tipifica: \(Z=\dfrac{X-16}{2}\). 2. Con \(P(Z<-0{,}75)=1-0{,}7734\) y la tabla: \[P(14{,}5<X<16{,}2)=P\!\left(\dfrac{14{,}5-16}{2}<Z<\dfrac{16{,}2-16}{2}\right)=P(-0{,}75<Z<0{,}1)=0{,}5398-(1-0{,}7734)=\mathbf{0{,}3132}.\]

b) Valor \(a\) con \(P[X\ge a]=0{,}25\). 1. \(P(X\ge a)=0{,}25\iff P(X<a)=0{,}75\). 2. En la tabla \(\Phi(0{,}67)=0{,}7486\) y \(\Phi(0{,}68)=0{,}7517\); \(0{,}75\) está entre ambos, y se interpola: \(z\approx0{,}675\). 3. Se deshace la tipificación: \(a=16+2\cdot0{,}675=\mathbf{17{,}35}\).

c) Media muestral con \(n=64\). 1. \(\bar X\sim N\!\left(16,\ \dfrac{2}{\sqrt{64}}\right)=N(16,\ 0{,}25)\). 2. Se tipifica y se lee en la tabla (\(\Phi(1{,}2)=0{,}8849\)): \[P(\bar X>16{,}3)=P\!\left(Z>\frac{16{,}3-16}{0{,}25}\right)=P(Z>1{,}2)=1-0{,}8849=\mathbf{0{,}1151}.\]

Extraordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 4A · Extraordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque D · (2 puntos) · Examen

La probabilidad de que Paco gane un partido de bádminton es \(0{,}8\).

  1. En un torneo participan 10 jugadores (incluido Paco) y cada jugador juega un partido con cada uno de los restantes jugadores. Calcule la probabilidad de que Paco:

  2. Gane exactamente 8 partidos. (0,5 puntos)

  1. Gane como mucho 8 partidos. (0,5 puntos)
  1. Si a lo largo de un año Paco juega 80 partidos, ¿cuál es la probabilidad de que pierda más de 10 pero menos de 20 partidos ese año? (1 punto)

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

a) Torneo. Paco juega \(9\) partidos (uno contra cada uno de los otros \(9\) jugadores). \(X\) = «partidos ganados»: \(X\sim B(9;\ 0{,}8)\).

i) Exactamente \(8\). 1. \(P(X=8)=\dbinom98\,0{,}8^8\cdot0{,}2=9\cdot0{,}8^8\cdot0{,}2\approx\mathbf{0{,}3020}\).

ii) Como mucho \(8\). 1. Se pasa al suceso contrario: \(P(X\le8)=1-P(X=9)=1-0{,}8^9\approx\mathbf{0{,}8658}\).

b) Partidos perdidos en un año. 1. \(Y\) = «partidos perdidos» de \(80\): \(Y\sim B(80;\ 0{,}2)\). 2. Comprobación: \(np=16\ge5\) y \(nq=64\ge5\), se aproxima por \(Y'\sim N\!\left(16,\ \sqrt{80\cdot0{,}2\cdot0{,}8}\right)=N(16,\ 3{,}5777)\). 3. «Más de \(10\) pero menos de \(20\)» son \(11,\dots,19\): con corrección por continuidad, \(10{,}5<Y'<19{,}5\). 4. Se tipifica y se lee en la tabla (\(\Phi(0{,}98)=0{,}8365\) y \(\Phi(1{,}54)=0{,}9382\)): \[P=P\!\left(\frac{10{,}5-16}{3{,}5777}<Z<\frac{19{,}5-16}{3{,}5777}\right)=P(-1{,}54<Z<0{,}98)=0{,}8365-(1-0{,}9382)=\mathbf{0{,}7747}.\]

Extraordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 4A · Extraordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque D · (2 puntos) · Examen

El tiempo, en minutos, que tardan los autobuses de cierta ciudad en recorrer la ruta principal, sigue una distribución Normal de media 40 y desviación típica 5. La empresa clasifica un viaje como «rápido» si el autobús tarda menos de \(33{,}6\) minutos en recorrer el trayecto.

  1. Calcule la probabilidad de que un viaje sea «rápido». (0,5 puntos)

  2. Calcule la probabilidad de que al menos 3 de 5 trayectos seleccionados de esta ruta hayan sido «rápidos». (0,75 puntos)

  3. Seleccionados 80 trayectos de esta ruta, calcule la probabilidad de que a lo sumo 15 sean «rápidos». (0,75 puntos)

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

Datos. \(T\sim N(40,\ 5)\).

a) Viaje «rápido». 1. Se tipifica y se lee en la tabla (\(\Phi(1{,}28)=0{,}8997\)): \[P(T<33{,}6)=P\!\left(Z<\dfrac{33{,}6-40}{5}\right)=P(Z<-1{,}28)=1-P(Z<1{,}28)=1-0{,}8997=\mathbf{0{,}1003}.\]

b) Al menos \(3\) de \(5\). 1. \(X\) = «viajes rápidos de \(5\)»: \(X\sim B(5;\ 0{,}1003)\), con \(p=0{,}1003\) y \(q=0{,}8997\). 2. Se suman los casos \(3\), \(4\) y \(5\): \[P(X\ge3)=\binom53p^3q^2+\binom54p^4q+p^5=0{,}00817+0{,}00046+0{,}00001\approx\mathbf{0{,}0086}.\]

c) A lo sumo \(15\) de \(80\). 1. \(Y\) = «viajes rápidos de \(80\)»: \(Y\sim B(80;\ 0{,}1003)\). 2. Comprobación: \(np=8{,}02\ge5\) y \(nq=71{,}98\ge5\), se aproxima por \(Y'\sim N\!\left(8{,}02,\ \sqrt{80\cdot0{,}1003\cdot0{,}8997}\right)=N(8{,}02;\ 2{,}687)\). 3. Corrección por continuidad y tabla (\(\Phi(2{,}78)=0{,}9973\)): \[P(Y\le15)=P(Y'<15{,}5)=P\!\left(Z<\frac{15{,}5-8{,}02}{2{,}687}\right)=P(Z<2{,}78)=\mathbf{0{,}9973}.\]

Interpretación: es casi seguro que no más de \(15\) de los \(80\) trayectos sean rápidos.

2025

Ordinaria · Modelo A 2025

Ejercicio 5 · Ordinaria · Modelo A 2025 · Bloque C · (2,5 puntos) · Examen

Una empresa de marketing ha lanzado una campaña publicitaria para promocionar un nuevo servicio de energía solar para hogares. Según estudios previos, se estima que el \(20\,\%\) de las personas que ven el anuncio terminan contratando el servicio. Para analizar más en profundidad la efectividad de la campaña, se seleccionan aleatoriamente a 20 personas que han visto el anuncio.

  1. Calcule la probabilidad de que exactamente 10 personas contraten el servicio. (0,75 puntos)

  2. Determine la probabilidad de que al menos 2 personas contraten el servicio. (0,75 puntos)

  3. Determine el valor esperado del número de personas que contratarán el servicio de entre las seleccionadas. (0,5 puntos)

  4. ¿Cuántas personas, de entre las que han visto el anuncio, se deberían seleccionar para que el número esperado de personas que contraten el servicio sea mayor o igual a 13? (0,5 puntos)

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

Modelo. Sea \(X\) el número de personas, de \(20\), que contratan el servicio: \(X\sim B(20;\ 0{,}2)\).

a) Exactamente 10. 1. \(P(X=10)=\dbinom{20}{10}\,0{,}2^{10}\cdot0{,}8^{10}=184\,756\cdot0{,}2^{10}\cdot0{,}8^{10}\approx\mathbf{0{,}0020}\).

Interpretación: es un suceso muy raro, porque lo esperable es que contraten unas \(4\) personas.

b) Al menos 2. 1. Suceso contrario: \(P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)\). 2. \(P(X\ge2)=1-0{,}8^{20}-20\cdot0{,}2\cdot0{,}8^{19}=1-0{,}0115-0{,}0576\approx\mathbf{0{,}9308}\).

c) Valor esperado. 1. \(E(X)=np=20\cdot0{,}2=\mathbf{4}\) personas.

d) Tamaño para esperar al menos 13. 1. Con \(n\) personas, \(E(X)=0{,}2n\ge13\iff n\ge65\).

Hay que seleccionar al menos \(65\) personas.

Ejercicio 7 · Ordinaria · Modelo A 2025 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

Los desajustes sobre el horario previsto de llegada de los trenes de alta velocidad, medidos en minutos, sigue una ley Normal con media 0 y desviación típica \(2{,}2\).

  1. Calcule el porcentaje de trenes que tienen un desajuste máximo de un minuto. (0,5 puntos)

  2. Elegidos al azar 15 trenes de alta velocidad, los desajustes han sido:

\[0,\ 1{,}3,\ -2{,}1,\ -1{,}5,\ 2,\ 0{,}8,\ 5,\ 2{,}1,\ -3,\ 1{,}8,\ 3{,}1,\ 4,\ -0{,}7,\ 1{,}6,\ -5{,}4\]

b1) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del \(96\,\%\), para la media poblacional. ¿Cuál es el error máximo que se comete en la estimación de esta media? Con este nivel de confianza y a partir de los datos obtenidos, ¿puede afirmarse que un tren tenga un retraso de 2 minutos? (1,25 puntos)

b2) Con un nivel de confianza del \(98\,\%\), ¿cuántos trenes de alta velocidad deberían elegirse, como mínimo, para que la diferencia entre la media poblacional y su estimación muestral sea como máximo de \(1{,}1\) minutos? (0,75 puntos)

Relacionado también con: Muestreo e inferencia.

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

Normal: hallar un valor o un parámetro.

Si se conoce la probabilidad y falta el valor \(x\) (percentil) o un parámetro, se busca en la tabla el \(z\) cuya \(\Phi(z)\) es la probabilidad dada (el más cercano) y se deshace la tipificación: \(x=\mu+z\,\sigma\).

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

Normal: hallar un valor o un parámetro.

  1. Plantea \(P(X\le x)=p\) y pasa a \(P\left(Z\le\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)=p\).
  2. Si \(p<0{,}5\), usa la simetría para trabajar con \(1-p\) y cambia el signo de \(z\).
  3. Busca \(p\) en el interior de la tabla y lee el \(z\).
  4. Despeja \(x\) (o el parámetro desconocido).

a) Desajuste máximo de un minuto. 1. \(X\sim N(0,\ 2{,}2)\) y se pide \(P(|X|\le1)=P(-1\le X\le1)\). 2. Se tipifica y se lee en la tabla: \[P\!\left(-\dfrac{1}{2{,}2}\le Z\le\dfrac{1}{2{,}2}\right)=P(-0{,}45\le Z\le0{,}45)=2\cdot0{,}6736-1=0{,}3472.\]

El \(34{,}72\,\%\) de los trenes.

b1) Intervalo al \(96\,\%\), error y afirmación. 1. Media muestral: la suma de los desajustes es \(9\), luego \(\bar x=\dfrac{9}{15}=0{,}6\) minutos. 2. Valor crítico: \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}98\) y en la tabla \(\Phi(2{,}05)=0{,}9798\) (el más cercano a \(0{,}98\)), luego \(z_{\alpha/2}=2{,}05\). 3. Error máximo: \(E=2{,}05\cdot\dfrac{2{,}2}{\sqrt{15}}=1{,}1645\). 4. Intervalo: \[IC=(0{,}6-1{,}1645,\ 0{,}6+1{,}1645)=(-0{,}5645,\ 1{,}7645).\]

Error máximo \(1{,}1645\) minutos. El valor \(2\) no pertenece al intervalo, luego con este nivel de confianza no puede afirmarse que el retraso medio de un tren sea de \(2\) minutos.

b2) Tamaño mínimo al \(98\,\%\). 1. Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=2{,}33\) (tabla: \(\Phi(2{,}33)=0{,}9901\)). 2. Se impone \(E\le1{,}1\) y se despeja \(n\): \(E\le1{,}1\iff n\ge\left(\dfrac{2{,}33\cdot2{,}2}{1{,}1}\right)^2=21{,}72\). 3. Se redondea hacia arriba.

Hay que elegir al menos \(n=22\) trenes.

Ordinaria · Modelo B 2025

Ejercicio 7 · Ordinaria · Modelo B 2025 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

El tiempo de adaptación a la guardería, en días, de los menores de dos años andaluces, sigue una distribución Normal de media \(10{,}5\) días y desviación típica \(1{,}5\) días.

  1. Se toma una muestra aleatoria de 25 menores de estas características. ¿Qué distribución sigue la media muestral del tiempo de adaptación? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación de esta muestra supere los 10 días? (1,25 puntos)

  2. ¿Qué porcentaje de muestras de tamaño 25 nos proporcionará un tiempo medio de adaptación entre 8 y 11 días? (1,25 puntos)

Relacionado también con: Muestreo e inferencia.

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

Distribución de la media y de la proporción muestral.

  1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
  2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
  3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

a) Distribución de la media muestral. 1. Si la población es normal, \(\bar X\sim N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\): \(\bar X\sim N\!\left(10{,}5,\ \dfrac{1{,}5}{\sqrt{25}}\right)=N(10{,}5,\ 0{,}3)\). 2. Se tipifica y se lee en la tabla: \[P(\bar X>10)=P\!\left(Z>\frac{10-10{,}5}{0{,}3}\right)=P(Z>-1{,}67)=P(Z<1{,}67)=\mathbf{0{,}9525}.\]

Interpretación: en el \(95{,}25\,\%\) de las muestras de 25 menores, el tiempo medio supera los \(10\) días.

b) Media entre 8 y 11 días. 1. Se tipifican los dos extremos: \(\dfrac{8-10{,}5}{0{,}3}=-8{,}33\) y \(\dfrac{11-10{,}5}{0{,}3}=1{,}67\). 2. \(P(-8{,}33<Z<1{,}67)\): el límite inferior queda fuera de la tabla, con probabilidad prácticamente nula a su izquierda, así que \[P(8<\bar X<11)=P(-8{,}33<Z<1{,}67)\approx P(Z<1{,}67)-0=0{,}9525.\]

El \(95{,}25\,\%\) de las muestras.

Ordinaria · Suplente 2 · Modelo A 2025

Ejercicio 6 · Ordinaria · Suplente 2 · Modelo A 2025 · Bloque C · (2,5 puntos) · Examen

Un tratamiento experimental para tratar una determinada intolerancia alimentaria mejora al \(60\,\%\) de los pacientes a los que se les suministra. Cinco pacientes deciden someterse a dicho tratamiento.

  1. Indique la distribución que sigue la variable «número de pacientes de entre los 5 que mejoran con este tratamiento». ¿Cuál es la probabilidad de que mejoren cuatro pacientes gracias al tratamiento? (0,75 puntos)

  2. Calcule la probabilidad de que al menos dos pacientes experimenten mejoría tras someterse al tratamiento. (0,75 puntos)

  3. ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren al someterse a ese tratamiento? (0,5 puntos)

  4. ¿Cuántos pacientes deberían someterse al tratamiento para que el número esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12? (0,5 puntos)

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

a) Distribución y \(P(X=4)\). 1. \(X\) = «número de pacientes, de \(5\), que mejoran» tiene \(n=5\) pruebas independientes con probabilidad de éxito \(0{,}6\): \(X\sim B(5;\ 0{,}6)\). 2. \(P(X=4)=\binom54\,0{,}6^4\cdot0{,}4=5\cdot0{,}1296\cdot0{,}4=\mathbf{0{,}2592}.\)

b) Al menos dos. 1. Suceso contrario: \(P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)\). 2. \(P(X\ge2)=1-0{,}4^5-5\cdot0{,}6\cdot0{,}4^4=1-0{,}01024-0{,}0768=\mathbf{0{,}91296}\).

c) Número esperado. 1. \(E(X)=np=5\cdot0{,}6=\mathbf{3}\) pacientes.

d) Pacientes para esperar al menos 12. 1. \(E(X)=0{,}6n\ge12\iff n\ge20\).

Deberían someterse al menos \(20\) pacientes.

2024

Ordinaria · Modelo B 2024

Ejercicio 7 · Ordinaria · Modelo B 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

La altura de un cierto tipo de plantas de maíz sigue una distribución Normal de media 145 cm y desviación típica 22 cm.

  1. ¿Qué porcentaje de plantas tiene una altura comprendida entre 135 cm y 155 cm? (1 punto)

  2. ¿Qué altura, como mínimo, debe tener una planta para estar entre el \(50\,\%\) de las más altas? (0,5 puntos)

  3. Se selecciona una muestra aleatoria de 16 plantas. Halle la probabilidad de que la altura media de las plantas de esta muestra esté comprendida entre 140 cm y 151 cm. (1 punto)

Relacionado también con: Muestreo e inferencia.

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

a) Porcentaje entre 135 y 155 cm. 1. \(X\sim N(145,\ 22)\). Se tipifica con \(Z=\dfrac{X-145}{22}\). 2. \(P(135<X<155)=P\!\left(\dfrac{135-145}{22}<Z<\dfrac{155-145}{22}\right)=P(-0{,}45<Z<0{,}45)\). 3. Por simetría de la normal: \(P(-0{,}45<Z<0{,}45)=2\,P(Z<0{,}45)-1=2\cdot0{,}6736-1=0{,}3472\).

El \(34{,}72\,\%\) de las plantas.

b) Entre el \(50\,\%\) de las más altas. 1. Estar entre el \(50\,\%\) de las más altas equivale a superar la mediana. 2. En una normal, la mediana coincide con la media.

\(145\) cm como mínimo.

c) Altura media de 16 plantas. 1. Distribución de la media muestral: \(\bar X\sim N\!\left(145,\ \dfrac{22}{\sqrt{16}}\right)=N(145,\ 5{,}5)\). 2. Se tipifica y se lee en la tabla: \[P(140<\bar X<151)=P\!\left(\frac{140-145}{5{,}5}<Z<\frac{151-145}{5{,}5}\right)=P(-0{,}91<Z<1{,}09)=0{,}8621-(1-0{,}8186)=\mathbf{0{,}6807}.\]

Interpretación: en torno al \(68\,\%\) de las muestras de 16 plantas tienen una altura media entre \(140\) y \(151\) cm.

Ordinaria · Suplente · Modelo B 2024

Ejercicio 8 · Ordinaria · Suplente · Modelo B 2024 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

  1. El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una mesa sigue una distribución Normal de media 60 minutos y desviación típica de 30 minutos. Si en un mes ese carpintero ha fabricado 100 mesas, calcule la probabilidad de que el tiempo medio de fabricación de las mesas de esa muestra sea superior a 54 minutos. (1,25 puntos)

  2. El tiempo que un carpintero necesita para fabricar una puerta sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica de 20 minutos. En un mes ese carpintero ha fabricado 25 puertas, obteniendo un tiempo medio de fabricación de 40 minutos. Halle un intervalo de confianza para el tiempo medio de fabricación de una puerta con un nivel de confianza del \(97\,\%\). Determine el error máximo cometido al realizar la estimación. (1,25 puntos)

Relacionado también con: Muestreo e inferencia.

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

a) Tiempo medio de 100 mesas. 1. Distribución de la media muestral: \(\bar X\sim N\!\left(60,\ \dfrac{30}{\sqrt{100}}\right)=N(60,\ 3)\). 2. Se tipifica y se usa la simetría de la normal: \[P(\bar X>54)=P\!\left(Z>\frac{54-60}{3}\right)=P(Z>-2)=P(Z<2)=\mathbf{0{,}9772}.\]

Interpretación: es muy probable (casi el \(98\,\%\)) que el tiempo medio de las 100 mesas supere los \(54\) minutos.

b) Intervalo al \(97\,\%\) y error máximo. 1. Datos: \(\bar x=40\), \(\sigma=20\), \(n=25\). Valor crítico: \(z_{\alpha/2}=2{,}17\) (tabla: \(\Phi(2{,}17)=0{,}9850\)). 2. Error máximo: \(E=2{,}17\cdot\dfrac{20}{\sqrt{25}}=2{,}17\cdot4=8{,}68\). 3. Intervalo: \(\bar x\pm E\): \[IC=(40-8{,}68,\ 40+8{,}68)=(31{,}32,\ 48{,}68).\]

Error máximo \(8{,}68\) minutos.

Interpretación: con confianza del \(97\,\%\), el tiempo medio de fabricación de una puerta está entre \(31{,}32\) y \(48{,}68\) minutos.

2023

Ordinaria · Reserva · Modelo B 2023

Ejercicio 8 · Ordinaria · Reserva · Modelo B 2023 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

El tiempo de adaptación al uso de unas gafas progresivas depende de la persona, de la graduación de las lentes y del tipo de progresivo elegido. No obstante, se sabe que el tiempo de adaptación sigue una ley Normal de media \(12{,}5\) días y desviación típica \(2{,}5\) días.

  1. Se toma una muestra aleatoria de 16 individuos que han comenzado a utilizar este tipo de gafas, ¿qué distribución sigue la media muestral del tiempo de adaptación? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación a las gafas progresivas para dicha muestra supere los 12 días? (1,25 puntos)

  2. Si la muestra elegida es de tamaño 25, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio muestral de adaptación a las gafas progresivas diste de 12 días a lo sumo 1 día? (1,25 puntos)

Relacionado también con: Muestreo e inferencia.

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

Distribución de la media y de la proporción muestral.

  1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
  2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
  3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

a) Media muestral con \(n=16\). 1. Distribución: \(\bar X\sim N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\): \[\bar X\sim N\!\left(12{,}5,\ \dfrac{2{,}5}{\sqrt{16}}\right)=N(12{,}5,\ 0{,}625).\] 2. Se tipifica y se usa la simetría de la normal, \(P(Z>-a)=P(Z<a)\): \[P(\bar X>12)=P\!\left(Z>\frac{12-12{,}5}{0{,}625}\right)=P(Z>-0{,}8)=P(Z<0{,}8)=\mathbf{0{,}7881}.\]

Interpretación: algo menos del \(79\,\%\) de las muestras de 16 personas tienen una media superior a 12 días.

b) Media muestral con \(n=25\). 1. Distribución: \(\bar X\sim N\!\left(12{,}5,\ \dfrac{2{,}5}{5}\right)=N(12{,}5,\ 0{,}5)\). 2. «Dista de \(12\) a lo sumo \(1\)» significa \(11\le\bar X\le13\). 3. Se tipifica: \[P(11\le\bar X\le13)=P\!\left(\frac{11-12{,}5}{0{,}5}\le Z\le\frac{13-12{,}5}{0{,}5}\right)=P(-3\le Z\le1)=P(Z\le1)-P(Z\le-3).\] 4. Con la tabla, \(P(Z\le1)=0{,}8413\) y \(P(Z\le-3)=1-0{,}99865=0{,}00135\): \[P=0{,}8413-0{,}00135\approx\mathbf{0{,}8400}.\]

2021

Ordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 8 · Ordinaria · Suplente 2021 · Bloque D · (2,5 puntos) · Examen

El peso de los paquetes de arroz de una marca comercial concreta sigue una ley Normal de media 1000 g y varianza 256 g\(^{2}\).

  1. Calcule la probabilidad de que el peso medio de las muestras de tamaño 64 sea menor que 996 g. (0,75 puntos)

  2. Tras varias denuncias presentadas por falta de peso en los citados paquetes, una organización de consumidores ha procedido a tomar una muestra de 64 paquetes, resultando que la suma de los pesos ha sido de 63 744 g. Halle un intervalo de confianza al \(90\,\%\) para estimar el peso medio real de los paquetes de arroz de esa marca. (1,5 puntos)

  3. A la vista del intervalo obtenido y teniendo en cuenta que el peso que marca el paquete es de 1000 g, ¿cree que la denuncia tiene base? (0,25 puntos)

Relacionado también con: Muestreo e inferencia.

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

\(X\sim N(\mu,\sigma)\) se tipifica con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\). La tabla da \(P(Z\le z)\). Simetría: \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\); \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). Cualquier valor \(z\) se redondea a dos decimales.

Distribución de la media y de la proporción muestral.

Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), la media de muestras de tamaño \(n\) cumple \(\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\). Para \(n\ge30\) vale aunque \(X\) no sea normal. La proporción muestral \(\hat p\approx N\left(p,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)\) si \(np\ge5\) y \(n(1-p)\ge5\).

Distribución normal: cálculo de probabilidades.

  1. Escribe la probabilidad pedida con \(X\) y tipifica cada extremo.
  2. Redondea \(z\) a dos decimales y busca \(\Phi(z)\) en la tabla (para \(z<0\) usa la simetría).
  3. Combina: restas para intervalos, \(1-\Phi\) para «mayor que».
  4. Interpreta el resultado como proporción o probabilidad.

Distribución de la media y de la proporción muestral.

  1. Identifica \(\mu\), \(\sigma\) y \(n\) (o \(p\) y \(n\)).
  2. Escribe la distribución de \(\overline{X}\) (o de \(\hat p\)) con su desviación típica \(\sigma/\sqrt{n}\).
  3. Tipifica con esa desviación típica y usa la tabla.

a) Distribución de la media muestral. 1. \(X\sim N(1000,\,16)\) (la desviación típica es \(\sqrt{256}=16\) g). 2. Para muestras de tamaño \(64\): \(\bar X\sim N\!\left(1000,\dfrac{16}{\sqrt{64}}\right)=N(1000,\,2)\). 3. Se tipifica y se usa la simetría de la tabla: \[P(\bar X<996)=P\!\left(Z<\frac{996-1000}{2}\right)=P(Z<-2)=1-P(Z<2)=1-0{,}9772=\mathbf{0{,}0228}.\]

b) Intervalo al \(90\,\%\). 1. Media muestral: \(\bar x=\dfrac{63\,744}{64}=996\) g. 2. Nivel \(90\,\%\): \(\Phi(z_{\alpha/2})=0{,}95\), que está entre \(\Phi(1{,}64)=0{,}9495\) y \(\Phi(1{,}65)=0{,}9505\); se toma \(z_{\alpha/2}=1{,}645\). 3. Error máximo: \(E=1{,}645\cdot\dfrac{16}{\sqrt{64}}=3{,}29\). 4. Intervalo: \[IC=(996-3{,}29,\ 996+3{,}29)=(992{,}71,\ 999{,}29).\]

c) Interpretación. El valor \(1000\) g no pertenece al intervalo: al \(90\,\%\) de confianza el peso medio real es menor que el que indica el paquete. La denuncia parece tener base.

También trabajan este tema

Ejercicios cuyo tema principal es otro pero en los que aparece este tema:

Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF oficial del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.