Distribuciones binomial y normal — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 9 son básicos y del 10 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía para Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (ejercicio de estadística, 2 puntos, sin opciones). Los marcados como competenciales piden modelizar, interpretar el resultado en el contexto o justificar. Las soluciones están al final y usan la tabla de la normal con \(z\) redondeado a dos decimales (cuatro decimales hasta \(z=2{,}6\) y cinco desde \(z=2{,}7\)), no el valor exacto de la calculadora. Cuando un valor de probabilidad no aparece en la tabla, se aceptan el valor más cercano y la interpolación, y se indican ambos.

Variables aleatorias y binomial

1. Una variable \(X\) toma los valores \(0,1,2,3\) con probabilidades \(0{,}2\); \(0{,}4\); \(0{,}3\) y \(0{,}1\). Calcula \(\mu\), \(\sigma^2\) y \(\sigma\).

2. La variable \(X\) tiene densidad \(f(x)=2x\) para \(0\le x\le1\) (y \(0\) fuera). Comprueba que el área vale \(1\) y calcula \(P(X\le0{,}5)\) y \(\mu\).

3. Sea \(X\sim B(6;\,0{,}4)\). Calcula: a) \(P(X=2)\); b) \(P(X\ge1)\); c) \(\mu\) y \(\sigma\).

Distribución normal

4. Sea \(X\sim N(100,\,15)\). Calcula: a) \(P(X\le115)\); b) \(P(X>130)\); c) \(P(85<X<115)\).

5. Sea \(X\sim N(50,\,8)\). Calcula: a) \(P(X\le62)\); b) \(P(X\ge44)\); c) \(P(40<X<56)\).

6. Sea \(X\sim N(70,\,10)\). Halla \(k\) tal que: a) \(P(X\le k)=0{,}9332\); b) \(P(X\le k)=0{,}9772\).

7. Sea \(X\sim N(100,\,20)\). Halla \(k\) tal que \(P(X\le k)=0{,}80\). (El valor \(0{,}80\) no aparece en la tabla: resuelve con el valor más cercano y con la interpolación.)

Binomial y normal

8. Sea \(X\sim B(100;\,0{,}5)\). a) Comprueba que se puede aproximar por una normal y escribe sus parámetros. Calcula, con corrección por continuidad: b) \(P(X=50)\); c) \(P(X\ge58)\); d) \(P(X>58)\).

9. Decide si se puede aproximar por una normal: a) \(B(40;\,0{,}1)\); b) \(B(60;\,0{,}1)\). En el caso en que se pueda, calcula \(P(X\le4)\) con corrección por continuidad.

Problemas tipo PAU

10. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) El tiempo de entrega de una empresa de reparto, en minutos, sigue una distribución \(N(30,\,6)\).

  1. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que una entrega tarde como máximo 36 minutos.

  2. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que tarde más de 42 minutos.

  3. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que tarde entre 24 y 39 minutos.

  4. (0,5 puntos) Interpreta el resultado del apartado b) en el contexto.

11. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) El peso, en gramos, de los paquetes de arroz de una máquina sigue una distribución \(N(500,\,12)\).

  1. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que un paquete pese menos de 488 g.

  2. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que pese más de 520 g.

  3. (0,5 puntos) Halla el peso \(k\) tal que el \(90{,}32\,\%\) de los paquetes pesa \(k\) gramos o menos.

  4. (0,5 puntos) Interpreta los resultados de a) y c).

12. (Tipo PAU · 2 puntos) El \(20\,\%\) de los clientes de una tienda paga con tarjeta. Se eligen 10 clientes al azar, de forma independiente. Sea \(X\) el número de ellos que pagan con tarjeta.

  1. (0,5 puntos) Indica la distribución de \(X\) y calcula \(P(X=2)\).

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(X\le1)\).

  3. (0,5 puntos) Calcula \(P(X\ge1)\).

  4. (0,5 puntos) Calcula la media y la desviación típica de \(X\).

13. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) La duración, en horas, de una bombilla sigue una distribución \(N(1000,\,100)\).

  1. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que una bombilla dure menos de 900 horas.

  2. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que dure entre 900 y 1100 horas.

  3. (0,5 puntos) Se eligen 5 bombillas al azar. Con el resultado del apartado a), calcula la probabilidad de que exactamente una dure menos de 900 horas.

  4. (0,5 puntos) Calcula el número medio de bombillas, entre las 5, que duran menos de 900 horas e interpreta el resultado.

14. (Tipo PAU · 2 puntos) El \(30\,\%\) de los usuarios de una aplicación contrata la versión de pago. Se eligen 200 usuarios al azar. Sea \(X\) el número de ellos que la contratan.

  1. (0,5 puntos) Justifica que \(X\) se puede aproximar por una normal y escribe sus parámetros.

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(X\ge70)\).

  3. (0,5 puntos) Calcula \(P(X\le55)\).

  4. (0,5 puntos) Calcula \(P(X=60)\).

15. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) En una fábrica, el \(2\,\%\) de las piezas sale defectuoso. Sea \(X\) el número de piezas defectuosas en un lote.

  1. (0,5 puntos) Para un lote de 150 piezas, comprueba si se puede aproximar la binomial por una normal.

  2. (0,5 puntos) Para un lote de 500 piezas, comprueba las condiciones y escribe la normal que aproxima a \(X\).

  3. (0,5 puntos) En el lote de 500 piezas, calcula \(P(X\ge15)\).

  4. (0,5 puntos) En el lote de 500 piezas, calcula \(P(X<8)\) e interpreta el resultado.

16. (Tipo PAU · 2 puntos) Una variable \(X\) sigue una distribución \(N(72,\,\sigma)\) y se sabe que \(P(X\le80)=0{,}9772\).

  1. (0,5 puntos) Halla \(\sigma\).

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(X\ge76)\).

  3. (0,5 puntos) Halla \(k\) tal que \(P(X>k)=0{,}0228\).

  4. (0,5 puntos) Calcula \(P(68<X<76)\).

17. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) El salario mensual, en euros, de los trabajadores de una empresa sigue una distribución \(N(1800,\,300)\).

  1. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que un trabajador gane más de 2400 €.

  2. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que gane entre 1500 y 2100 €.

  3. (0,5 puntos) Halla el salario mínimo del \(10\,\%\) de los trabajadores mejor pagados. (El valor \(0{,}90\) no aparece en la tabla: resuelve con el valor más cercano y con la interpolación.)

  4. (0,5 puntos) Interpreta el resultado de a).

18. (Tipo PAU · 2 puntos) El \(55\,\%\) de los votantes de una ciudad apoya una propuesta. Se encuestan 120 votantes elegidos al azar. Sea \(X\) el número de ellos que la apoyan.

  1. (0,5 puntos) Justifica que \(X\) se puede aproximar por una normal y escribe sus parámetros.

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(X>70)\).

  3. (0,5 puntos) Calcula \(P(X\ge60)\).

  4. (0,5 puntos) Calcula \(P(60\le X\le72)\).

19. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) Dos máquinas llenan botellas de 500 mL. El volumen que echa la primera sigue una \(N(500,\,4)\) y el de la segunda, una \(N(500,\,2)\).

  1. (0,5 puntos) Calcula la probabilidad de que una botella de la primera máquina tenga entre 497 y 503 mL.

  2. (0,5 puntos) Calcula la misma probabilidad para la segunda máquina.

  3. (0,5 puntos) Calcula, para cada máquina, la probabilidad de que una botella tenga menos de 495 mL.

  4. (0,5 puntos) Interpreta los resultados: ¿qué máquina es más precisa y por qué?

20. (Tipo PAU · 2 puntos) Una variable \(X\) toma los valores \(0,1,2,3\) con probabilidades \(0{,}1\); \(k\); \(0{,}4\) y \(0{,}2\).

  1. (0,5 puntos) Halla \(k\).

  2. (0,5 puntos) Calcula la media.

  3. (0,5 puntos) Calcula la varianza y la desviación típica.

  4. (0,5 puntos) Calcula \(P(X\ge2)\).

21. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) En una tómbola, el boleto cuesta 2 €. Con probabilidad \(0{,}1\) da un premio de 10 €, con probabilidad \(0{,}3\) da un premio de 2 € y con probabilidad \(0{,}6\) no da premio. Sea \(G\) la ganancia neta (premio menos precio).

  1. (0,5 puntos) Escribe la tabla de la distribución de \(G\).

  2. (0,5 puntos) Calcula la ganancia media \(E[G]\).

  3. (0,5 puntos) Calcula la desviación típica de \(G\).

  4. (0,5 puntos) Interpreta el signo de \(E[G]\).

22. (Tipo PAU · 2 puntos) La variable \(X\) tiene función de densidad \(f(x)=k\,x\) para \(0\le x\le2\) (y \(0\) fuera).

  1. (0,5 puntos) Halla \(k\).

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(X\le1)\).

  3. (0,5 puntos) Calcula \(P(X>1{,}5)\).

  4. (0,5 puntos) Calcula la media \(\mu\).

23. (Tipo PAU · 2 puntos · competencial) El \(25\,\%\) de los hogares de un barrio tiene una bicicleta eléctrica. Se encuestan 8 hogares al azar, de forma independiente. Sea \(X\) el número de hogares con bicicleta eléctrica.

  1. (0,5 puntos) Indica la distribución de \(X\) y calcula \(P(X=2)\).

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(X\ge1)\).

  3. (0,5 puntos) Calcula \(P(X\le2)\).

  4. (0,5 puntos) Calcula la media y la desviación típica e interpreta la media.

24. (Tipo PAU · 2 puntos) Una variable \(X\) sigue una distribución \(N(\mu,\,12)\) y se sabe que \(P(X\le100)=0{,}9505\).

  1. (0,5 puntos) Halla \(\mu\).

  2. (0,5 puntos) Con ese valor de \(\mu\), calcula \(P(X\ge90)\).

  3. (0,5 puntos) Con ese valor de \(\mu\), calcula \(P(70<X<90)\).

  4. (0,5 puntos) Compara la probabilidad de b) con la de \(P(X\le70)\) e interpreta la diferencia.

25. (Tipo PAU · 2 puntos) Una aerolínea sabe que el \(5\,\%\) de las personas con billete no se presenta al vuelo. Vende 260 billetes para un avión de 250 plazas. Sea \(X\) el número de personas que no se presentan.

  1. (0,5 puntos) Justifica que \(X\) se puede aproximar por una normal y escribe sus parámetros.

  2. (0,5 puntos) Calcula \(P(X=13)\).

  3. (0,5 puntos) Hay sobreventa efectiva (más personas que plazas) si \(X\le9\). Calcula esa probabilidad.

  4. (0,5 puntos) Interpreta el resultado de c) para la aerolínea.

Soluciones

\(\mu=0\cdot0{,}2+1\cdot0{,}4+2\cdot0{,}3+3\cdot0{,}1=0{,}4+0{,}6+0{,}3=1{,}3\). Como \(\sum x_i^2p_i=0{,}4+4\cdot0{,}3+9\cdot0{,}1=0{,}4+1{,}2+0{,}9=2{,}5\), la varianza es \(\sigma^2=2{,}5-1{,}3^2=0{,}81\) y \(\sigma=\sqrt{0{,}81}=0{,}9\).

El área es \(\displaystyle\int_0^12x\,dx=[x^2]_0^1=1\) y \(f\ge0\): es una densidad. \(P(X\le0{,}5)=\displaystyle\int_0^{0{,}5}2x\,dx=0{,}5^2=0{,}25\). La media es \(\mu=\displaystyle\int_0^1x\cdot2x\,dx=\left[\frac{2x^3}{3}\right]_0^1=\frac{2}{3}\).

  1. \(P(X=2)=\binom{6}{2}\cdot0{,}4^2\cdot0{,}6^4=15\cdot0{,}16\cdot0{,}1296=0{,}31104\).

  2. \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}6^6=1-0{,}046656=0{,}953344\).

  3. \(\mu=np=6\cdot0{,}4=2{,}4\) y \(\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{6\cdot0{,}4\cdot0{,}6}=\sqrt{1{,}44}=1{,}2\).

  1. \(P(X\le115)=P\!\left(Z\le\dfrac{115-100}{15}\right)=P(Z\le1)=0{,}8413\).

  2. \(P(X>130)=P(Z>2)=1-P(Z\le2)=1-0{,}9772=0{,}0228\).

  3. \(P(85<X<115)=P(-1<Z<1)=P(Z\le1)-P(Z\le-1)=0{,}8413-(1-0{,}8413)=0{,}6826\).

  1. \(P(X\le62)=P\!\left(Z\le\dfrac{62-50}{8}\right)=P(Z\le1{,}5)=0{,}9332\).

  2. \(P(X\ge44)=P(Z\ge-0{,}75)=P(Z\le0{,}75)=0{,}7734\).

  3. \(P(40<X<56)=P(-1{,}25<Z<0{,}75)=0{,}7734-(1-0{,}8944)=0{,}6678\).

  1. En la tabla, \(0{,}9332\) corresponde a \(z=1{,}50\). Entonces \(\dfrac{k-70}{10}=1{,}5\) y \(k=70+10\cdot1{,}5=85\).

  2. En la tabla, \(0{,}9772\) corresponde a \(z=2{,}00\). Entonces \(k=70+10\cdot2=90\).

Se busca \(z\) con \(P(Z\le z)=0{,}80\). La tabla tiene \(\Phi(0{,}84)=0{,}7995\) y \(\Phi(0{,}85)=0{,}8023\): el \(0{,}80\) no aparece.

  • Valor más cercano: \(0{,}7995\) está a \(0{,}0005\) y \(0{,}8023\) a \(0{,}0023\), luego \(z=0{,}84\) y \(k=100+20\cdot0{,}84=116{,}8\).
  • Interpolación: \(z\approx0{,}84+0{,}01\cdot\dfrac{0{,}8000-0{,}7995}{0{,}8023-0{,}7995}\approx0{,}8418\) y \(k\approx100+20\cdot0{,}8418=116{,}84\).

Con cualquiera de los dos procedimientos, \(k\approx116{,}8\).

  1. Con \(n=100\) y \(p=0{,}5\): \(np=50\ge5\) y \(nq=50\ge5\). Entonces \(X\approx Y\sim N\left(50,\ \sqrt{100\cdot0{,}5\cdot0{,}5}\right)=N(50,\,5)\).

  2. \(P(X=50)=P(49{,}5<Y<50{,}5)=P(-0{,}1<Z<0{,}1)=2\cdot0{,}5398-1=0{,}0796\).

  3. \(P(X\ge58)=P(Y>57{,}5)=P\!\left(Z>\dfrac{57{,}5-50}{5}\right)=P(Z>1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668\).

  4. \(P(X>58)=P(X\ge59)=P(Y>58{,}5)=P(Z>1{,}7)=1-0{,}9554=0{,}0446\).

  1. En \(B(40;\,0{,}1)\), \(np=4<5\): no se puede aproximar por una normal.

  2. En \(B(60;\,0{,}1)\), \(np=6\ge5\) y \(nq=54\ge5\): sí. \(X\approx Y\sim N(6,\ \sqrt{60\cdot0{,}1\cdot0{,}9})=N(6;\,2{,}3238)\). Entonces \(P(X\le4)=P(Y<4{,}5)=P\!\left(Z<\dfrac{4{,}5-6}{2{,}3238}\right)=P(Z<-0{,}65)=1-0{,}7422=0{,}2578\).

  1. \(P(X\le36)=P\!\left(Z\le\dfrac{36-30}{6}\right)=P(Z\le1)=0{,}8413\).

  2. \(P(X>42)=P(Z>2)=1-0{,}9772=0{,}0228\).

  3. \(P(24<X<39)=P(-1<Z<1{,}5)=0{,}9332-(1-0{,}8413)=0{,}7745\).

  4. Algo más del \(2\,\%\) de las entregas (un \(2{,}28\,\%\)) tarda más de 42 minutos, es decir, más de dos desviaciones típicas por encima de la media: es una demora poco habitual.

  1. \(P(X<488)=P\!\left(Z<\dfrac{488-500}{12}\right)=P(Z<-1)=1-0{,}8413=0{,}1587\).

  2. \(P(X>520)=P\!\left(Z>\dfrac{520-500}{12}\right)=P(Z>1{,}67)=1-0{,}9525=0{,}0475\).

  3. En la tabla, \(0{,}9032\) corresponde a \(z=1{,}30\). Entonces \(k=500+12\cdot1{,}3=515{,}6\) g.

  4. El \(15{,}87\,\%\) de los paquetes pesa menos de 488 g, lo que puede incumplir el peso indicado; en cambio, el \(90{,}32\,\%\) pesa \(515{,}6\) g o menos y solo el \(4{,}75\,\%\) pesa más de 520 g. Centrar la máquina más alto reduciría los paquetes escasos.

  1. \(X\sim B(10;\,0{,}2)\) y \(P(X=2)=\binom{10}{2}\cdot0{,}2^2\cdot0{,}8^8=45\cdot0{,}04\cdot0{,}1678\approx0{,}3020\).

  2. \(P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}8^{10}+10\cdot0{,}2\cdot0{,}8^9=0{,}1074+0{,}2684=0{,}3758\).

  3. \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}8^{10}=1-0{,}1074=0{,}8926\).

  4. \(\mu=np=10\cdot0{,}2=2\) y \(\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{10\cdot0{,}2\cdot0{,}8}=\sqrt{1{,}6}\approx1{,}26\).

  1. \(P(X<900)=P\!\left(Z<\dfrac{900-1000}{100}\right)=P(Z<-1)=1-0{,}8413=0{,}1587\).

  2. \(P(900<X<1100)=P(-1<Z<1)=0{,}8413-(1-0{,}8413)=0{,}6826\).

  3. El número \(Y\) de bombillas, entre 5, que duran menos de 900 h sigue \(B(5;\,0{,}1587)\): \(P(Y=1)=\binom{5}{1}\cdot0{,}1587\cdot0{,}8413^4\approx0{,}3975\).

  4. \(\mu=np=5\cdot0{,}1587=0{,}7935\). De cada 5 bombillas, en promedio, menos de una (unas \(0{,}79\)) dura menos de 900 horas.

  1. \(X\sim B(200;\,0{,}3)\) con \(np=60\ge5\) y \(nq=140\ge5\). Entonces \(X\approx Y\sim N(60,\ \sqrt{200\cdot0{,}3\cdot0{,}7})=N(60;\,6{,}4807)\).

  2. \(P(X\ge70)=P(Y>69{,}5)=P\!\left(Z>\dfrac{69{,}5-60}{6{,}4807}\right)=P(Z>1{,}47)=1-0{,}9292=0{,}0708\).

  3. \(P(X\le55)=P(Y<55{,}5)=P\!\left(Z<\dfrac{55{,}5-60}{6{,}4807}\right)=P(Z<-0{,}69)=1-0{,}7549=0{,}2451\).

  4. \(P(X=60)=P(59{,}5<Y<60{,}5)=P(-0{,}08<Z<0{,}08)=2\cdot0{,}5319-1=0{,}0638\).

  1. \(X\sim B(150;\,0{,}02)\) y \(np=3<5\): no se puede aproximar por una normal.

  2. \(X\sim B(500;\,0{,}02)\), con \(np=10\ge5\) y \(nq=490\ge5\). Entonces \(X\approx Y\sim N(10,\ \sqrt{500\cdot0{,}02\cdot0{,}98})=N(10;\,3{,}1305)\).

  3. \(P(X\ge15)=P(Y>14{,}5)=P\!\left(Z>\dfrac{14{,}5-10}{3{,}1305}\right)=P(Z>1{,}44)=1-0{,}9251=0{,}0749\).

  4. \(P(X<8)=P(X\le7)=P(Y<7{,}5)=P\!\left(Z<\dfrac{7{,}5-10}{3{,}1305}\right)=P(Z<-0{,}80)=1-0{,}7881=0{,}2119\). Es decir, en algo más del \(21\,\%\) de los lotes de 500 piezas hay menos de 8 defectuosas.

  1. En la tabla, \(0{,}9772\) corresponde a \(z=2{,}00\). Entonces \(\dfrac{80-72}{\sigma}=2\) y \(\sigma=4\).

  2. \(P(X\ge76)=P\!\left(Z\ge\dfrac{76-72}{4}\right)=P(Z\ge1)=1-0{,}8413=0{,}1587\).

  3. \(P(X>k)=0{,}0228\Rightarrow P(X\le k)=0{,}9772\), que corresponde a \(z=2{,}00\). Entonces \(k=72+4\cdot2=80\).

  4. \(P(68<X<76)=P(-1<Z<1)=0{,}8413-(1-0{,}8413)=0{,}6826\).

  1. \(P(X>2400)=P\!\left(Z>\dfrac{2400-1800}{300}\right)=P(Z>2)=1-0{,}9772=0{,}0228\).

  2. \(P(1500<X<2100)=P(-1<Z<1)=0{,}8413-(1-0{,}8413)=0{,}6826\).

  3. Se busca \(k\) con \(P(X>k)=0{,}10\), es decir, \(P(Z\le z)=0{,}90\). La tabla tiene \(\Phi(1{,}28)=0{,}8997\) y \(\Phi(1{,}29)=0{,}9015\): el \(0{,}90\) no aparece.

  • Valor más cercano: \(0{,}8997\) está a \(0{,}0003\) y \(0{,}9015\) a \(0{,}0015\), luego \(z=1{,}28\) y \(k=1800+300\cdot1{,}28=2184\) €.
  • Interpolación: \(z\approx1{,}28+0{,}01\cdot\dfrac{0{,}9000-0{,}8997}{0{,}9015-0{,}8997}\approx1{,}2817\) y \(k\approx1800+300\cdot1{,}2817=2184{,}5\) €.

Con cualquiera de los dos procedimientos, el salario mínimo del \(10\,\%\) mejor pagado es de unos \(2184\) € (con la interpolación, \(2184{,}5\) €).

  1. Solo el \(2{,}28\,\%\) de los trabajadores gana más de 2400 €, es decir, más de dos desviaciones típicas por encima del salario medio.

  1. \(X\sim B(120;\,0{,}55)\), con \(np=66\ge5\) y \(nq=54\ge5\). Entonces \(X\approx Y\sim N(66,\ \sqrt{120\cdot0{,}55\cdot0{,}45})=N(66;\,5{,}4498)\).

  2. \(P(X>70)=P(X\ge71)=P(Y>70{,}5)=P\!\left(Z>\dfrac{70{,}5-66}{5{,}4498}\right)=P(Z>0{,}83)=1-0{,}7967=0{,}2033\).

  3. \(P(X\ge60)=P(Y>59{,}5)=P\!\left(Z>\dfrac{59{,}5-66}{5{,}4498}\right)=P(Z>-1{,}19)=P(Z<1{,}19)=0{,}8830\).

  4. \(P(60\le X\le72)=P(59{,}5<Y<72{,}5)=P(-1{,}19<Z<1{,}19)=2\cdot0{,}8830-1=0{,}7660\).

  1. \(P(497<X<503)=P\!\left(\dfrac{497-500}{4}<Z<\dfrac{503-500}{4}\right)=P(-0{,}75<Z<0{,}75)=2\cdot0{,}7734-1=0{,}5468\).

  2. \(P(497<X<503)=P\!\left(-1{,}5<Z<1{,}5\right)=2\cdot0{,}9332-1=0{,}8664\).

  3. Primera máquina: \(P(X<495)=P(Z<-1{,}25)=1-0{,}8944=0{,}1056\). Segunda máquina: \(P(X<495)=P(Z<-2{,}5)=1-0{,}9938=0{,}0062\).

  4. La segunda máquina es más precisa: con la misma media, su menor desviación típica hace que el \(86{,}64\,\%\) de las botellas esté entre 497 y 503 mL (frente al \(54{,}68\,\%\)) y que solo el \(0{,}62\,\%\) tenga menos de 495 mL (frente al \(10{,}56\,\%\)).

  1. Las probabilidades suman \(1\): \(0{,}1+k+0{,}4+0{,}2=1\), luego \(k=0{,}3\).

  2. \(\mu=0\cdot0{,}1+1\cdot0{,}3+2\cdot0{,}4+3\cdot0{,}2=0{,}3+0{,}8+0{,}6=1{,}7\).

  3. \(\sum x_i^2p_i=0{,}3+4\cdot0{,}4+9\cdot0{,}2=0{,}3+1{,}6+1{,}8=3{,}7\), luego \(\sigma^2=3{,}7-1{,}7^2=0{,}81\) y \(\sigma=0{,}9\).

  4. \(P(X\ge2)=0{,}4+0{,}2=0{,}6\).

  1. La ganancia neta es premio menos 2 €: \(G=8\) con probabilidad \(0{,}1\), \(G=0\) con \(0{,}3\) y \(G=-2\) con \(0{,}6\).

  2. \(E[G]=8\cdot0{,}1+0\cdot0{,}3+(-2)\cdot0{,}6=0{,}8+0-1{,}2=-0{,}4\) €.

  3. \(E[G^2]=64\cdot0{,}1+0+4\cdot0{,}6=6{,}4+2{,}4=8{,}8\), luego \(\sigma^2=8{,}8-(-0{,}4)^2=8{,}64\) y \(\sigma=\sqrt{8{,}64}\approx2{,}94\) €.

  4. \(E[G]=-0{,}4<0\): en promedio, quien juega pierde 0,40 € por boleto. El juego es desfavorable para el jugador (y favorable para la tómbola).

  1. El área debe valer \(1\): \(\displaystyle\int_0^2kx\,dx=\left[\frac{kx^2}{2}\right]_0^2=2k=1\), luego \(k=\frac{1}{2}\).

  2. \(P(X\le1)=\displaystyle\int_0^1\frac x2\,dx=\left[\frac{x^2}{4}\right]_0^1=\frac{1}{4}\).

  3. \(P(X>1{,}5)=\displaystyle\int_{1{,}5}^2\frac x2\,dx=\left[\frac{x^2}{4}\right]_{1{,}5}^2=1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16}\).

  4. \(\mu=\displaystyle\int_0^2x\cdot\frac x2\,dx=\left[\frac{x^3}{6}\right]_0^2=\frac{4}{3}\).

  1. \(X\sim B(8;\,0{,}25)\) y \(P(X=2)=\binom{8}{2}\cdot0{,}25^2\cdot0{,}75^6=28\cdot0{,}0625\cdot0{,}17798\approx0{,}3115\).

  2. \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}75^8=1-0{,}10011=0{,}8999\).

  3. \(P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0{,}10011+0{,}26697+0{,}31146=0{,}6785\).

  4. \(\mu=np=8\cdot0{,}25=2\) y \(\sigma=\sqrt{8\cdot0{,}25\cdot0{,}75}=\sqrt{1{,}5}\approx1{,}22\). De cada 8 hogares encuestados, en promedio 2 tienen bicicleta eléctrica.

  1. En la tabla, \(0{,}9505\) corresponde a \(z=1{,}65\). Entonces \(\dfrac{100-\mu}{12}=1{,}65\), luego \(\mu=100-12\cdot1{,}65=80{,}2\).

  2. \(P(X\ge90)=P\!\left(Z\ge\dfrac{90-80{,}2}{12}\right)=P(Z\ge0{,}82)=1-0{,}7939=0{,}2061\).

  3. \(P(70<X<90)=P(-0{,}85<Z<0{,}82)=0{,}7939-(1-0{,}8023)=0{,}5962\).

  4. \(P(X\le70)=P(Z\le-0{,}85)=1-0{,}8023=0{,}1977\). Hay una probabilidad parecida (\(0{,}2061\) frente a \(0{,}1977\)) de estar por encima de 90 que por debajo de 70, porque ambos valores están casi a la misma distancia de la media \(80{,}2\).

  1. \(X\sim B(260;\,0{,}05)\), con \(np=13\ge5\) y \(nq=247\ge5\). Entonces \(X\approx Y\sim N(13,\ \sqrt{260\cdot0{,}05\cdot0{,}95})=N(13;\,3{,}5143)\).

  2. \(P(X=13)=P(12{,}5<Y<13{,}5)=P(-0{,}14<Z<0{,}14)=2\cdot0{,}5557-1=0{,}1114\).

  3. \(P(X\le9)=P(Y<9{,}5)=P\!\left(Z<\dfrac{9{,}5-13}{3{,}5143}\right)=P(Z<-1)=1-0{,}8413=0{,}1587\).

  4. En aproximadamente el \(15{,}87\,\%\) de los vuelos se presentarán más de 250 personas y habrá que dejar a alguien en tierra, de modo que la compañía debe valorar el coste de las compensaciones frente al de las plazas vacías.