PAU Andalucía — Programación lineal
Ejercicios de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es programación lineal: 34 ejercicios de convocatorias ordinarias y extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.
Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la resolución breve con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.
2026
Ordinaria 2026
Ejercicio 1B · Ordinaria 2026 · Bloque A · (3 puntos) · Examen
Una empresa maderera fabrica tableros de dos tipos, DM y aglomerado, a partir de madera triturada. Para producir \(1\ \text{m}^{2}\) de tablero DM se consumen \(10\ \text{m}^{3}\) de madera triturada y se obtiene un beneficio de 10 €. Para producir \(1\ \text{m}^{2}\) de tablero aglomerado se consumen \(30\ \text{m}^{3}\) de madera triturada y se obtiene un beneficio de 20 €. La empresa puede fabricar diariamente como máximo \(12\ \text{m}^{2}\) de tableros DM y \(18\ \text{m}^{2}\) de tableros de aglomerado. Además, la capacidad total de la empresa limita la producción conjunta a \(26\ \text{m}^{2}\) diarios y dispone de \(600\ \text{m}^{3}\) de madera triturada al día. Determine cuántos metros cuadrados de cada tipo de tablero deben producirse diariamente para maximizar el beneficio total y calcule cuál es ese beneficio.
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = m\(^2\) de tablero DM e \(y\) = m\(^2\) de aglomerado al día.
- Restricciones.
- Máximo de cada tablero: \(x\le12\) e \(y\le18\).
- Capacidad conjunta: \(x+y\le26\).
- Madera: \(10x+30y\le600\iff x+3y\le60\).
- No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
- Función objetivo. Beneficio: \(B(x,y)=10x+20y\).
- Vértices: \((0,0)\), \((0,18)\), \((6,18)\) (corte de \(y=18\) con \(x+3y=60\)), \((9,17)\) (corte de \(x+y=26\) con \(x+3y=60\)), \((12,14)\) (corte de \(x=12\) con \(x+y=26\)) y \((12,0)\).
- Valor de \(B\) en cada vértice:
| Vértice | \((0,0)\) | \((0,18)\) | \((6,18)\) | \((9,17)\) | \((12,14)\) | \((12,0)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(B\) | \(0\) | \(360\) | \(420\) | \(430\) | \(400\) | \(120\) |
- Conclusión. El máximo es \(430\), en \((9,17)\): se agotan la capacidad conjunta (\(9+17=26\)) y la madera (\(90+510=600\)).
Deben producirse \(9\) m\(^2\) de tablero DM y \(17\) m\(^2\) de aglomerado, con un beneficio máximo de \(430\) €.
Ordinaria · Suplente 1 2026
Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque A · (3 puntos) · Examen
Una empresa fabrica dos productos, \(P_1\) y \(P_2\), a partir de tres recursos productivos: mano de obra, energía y capital. La disponibilidad anual de energía y de capital son \(3\,500\) unidades y \(1\,300\) unidades respectivamente. Para poder optar a una ayuda del gobierno para el fomento del empleo, la empresa va a contratar, al menos, \(4\,200\) horas anuales. Cada unidad de \(P_1\) necesita para su fabricación 10 horas de mano de obra, 10 unidades de energía y 5 unidades de capital; siendo el precio de cada unidad de \(P_1\) 800 euros. Cada unidad de \(P_2\) necesita para su fabricación 20 horas de mano de obra y 5 unidades de energía; vendiéndose a 400 euros la unidad de \(P_2\).
La empresa vende todo lo que produce y quiere maximizar sus ingresos anuales por la venta de los dos productos.
¿Cuántas unidades de cada producto han de fabricarse anualmente para maximizar los ingresos? ¿Cuál es dicho ingreso óptimo? (2,5 puntos)
¿Es posible alcanzar el máximo elaborando un único producto? (0,5 puntos)
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
a) Ingreso máximo. 1. Incógnitas. \(x\) = unidades de \(P_1\) e \(y\) = unidades de \(P_2\) al año. 2. Restricciones. - Energía: \(10x+5y\le3\,500\iff2x+y\le700\). - Capital (solo lo usa \(P_1\)): \(5x\le1\,300\iff x\le260\). - Mano de obra, al menos \(4\,200\) horas para la ayuda: \(10x+20y\ge4\,200\iff x+2y\ge420\). - No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\). 3. Función objetivo. Ingresos: \(I(x,y)=800x+400y\). 4. Vértices: \((0,210)\) (corte de \(x=0\) con \(x+2y=420\)), \((0,700)\) (corte de \(x=0\) con \(2x+y=700\)), \((260,180)\) (corte de \(x=260\) con \(2x+y=700\)) y \((260,80)\) (corte de \(x=260\) con \(x+2y=420\)). 5. Valor de \(I\) en cada vértice:
| Vértice | \((0,210)\) | \((0,700)\) | \((260,180)\) | \((260,80)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(I\) | \(84\,000\) | \(280\,000\) | \(280\,000\) | \(240\,000\) |
- Conclusión. El máximo se alcanza en dos vértices, \((0,700)\) y \((260,180)\), porque \(I=400(2x+y)\) y la recta de la energía \(2x+y=700\) es paralela a las rectas de nivel.
El ingreso óptimo es de \(280\,000\) € y se alcanza en todos los puntos del segmento que une \((0,700)\) y \((260,180)\) (por ejemplo, \(260\) unidades de \(P_1\) y \(180\) de \(P_2\), o \(0\) de \(P_1\) y \(700\) de \(P_2\)).
b) ¿Un único producto? 1. Solo \(P_2\) (\(x=0\), \(y=700\)): se agota la energía (\(5\cdot700=3\,500\)), se cumplen las horas (\(20\cdot700=14\,000\ge4\,200\)) y el ingreso es \(400\cdot700=280\,000\) €. 2. Solo \(P_1\) (\(y=0\)): como mucho \(x=260\) unidades, con \(800\cdot260=208\,000\) € \(<280\,000\) €.
Sí: fabricando solo \(P_2\), \(700\) unidades, se alcanza el máximo. Con solo \(P_1\) no es posible.
Ordinaria · Suplente 2 2026
Ejercicio 1B · Ordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque A · (3 puntos) · Examen
Se considera la función \(f(x,y)=2x+y\) cuando \((x,y)\) pertenece a la región factible delimitada por las inecuaciones: \[4x+2y\ge5;\qquad2x+5y\le9;\qquad x+y\le3;\qquad y\ge0\]
Dibuje la región factible y obtenga sus vértices. (1,5 puntos)
Obtenga algún punto de la región factible con abscisa \(x=1\). (0,5 puntos)
¿Para qué valores de \(x\) e \(y\) se alcanza el máximo de la función \(f\)? ¿Cuánto vale dicho máximo? Análogamente para el mínimo. (1 punto)
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
a) Región factible y vértices. 1. Rectas frontera: \(4x+2y=5\), \(2x+5y=9\), \(x+y=3\) e \(y=0\). 2. En cada una se sombrea el semiplano que cumple la desigualdad y se toma la zona común. 3. Los vértices de la región factible son \[\left(\tfrac{7}{16},\tfrac{13}{8}\right),\quad\left(\tfrac{5}{4},0\right),\quad(3,0),\quad(2,1),\] con \(\left(\tfrac{7}{16},\tfrac{13}{8}\right)\) el corte de \(4x+2y=5\) con \(2x+5y=9\), \(\left(\tfrac{5}{4},0\right)\) el de \(4x+2y=5\) con \(y=0\), \((3,0)\) el de \(x+y=3\) con \(y=0\) y \((2,1)\) el de \(x+y=3\) con \(2x+5y=9\).
b) Un punto con abscisa \(x=1\). 1. Con \(x=1\): \(4+2y\ge5\Rightarrow y\ge\dfrac{1}{2}\); \(2+5y\le9\Rightarrow y\le\dfrac{7}{5}\); \(1+y\le3\Rightarrow y\le2\). 2. Vale cualquier \(y\) entre \(\dfrac{1}{2}\) y \(\dfrac{7}{5}\). Por ejemplo, \((1,1)\) pertenece a la región (\(6\ge5\), \(7\le9\), \(2\le3\)).
c) Máximo y mínimo de \(f=2x+y\). 1. Se evalúa \(f\) en los vértices: \(f\left(\tfrac{7}{16},\tfrac{13}{8}\right)=\tfrac{5}{2}\), \(f\left(\tfrac{5}{4},0\right)=\tfrac{5}{2}\), \(f(3,0)=6\) y \(f(2,1)=5\). 2. Dos vértices dan el mismo valor mínimo: \(f=2x+y\) tiene las rectas de nivel paralelas a \(4x+2y=5\).
Máximo \(6\), en el punto \((3,0)\). Mínimo \(\dfrac{5}{2}\), que se alcanza en \(\left(\tfrac{7}{16},\tfrac{13}{8}\right)\) y en \(\left(\tfrac{5}{4},0\right)\) y, por tanto, en todo el segmento que los une.
Extraordinaria · Suplente 1 2026
Ejercicio 1 · Extraordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque A · (3 puntos) · Examen
Una empresa comercializa dos especias a granel: orégano y pimienta. Para elaborar un kilo de orégano se requieren 2 horas de secado y 2 horas de envasado, mientras que para elaborar un kilo de pimienta se requieren 1 hora de secado y 5 horas de envasado. La empresa dispone de un horno para secado que funciona 24 horas al día de lunes a viernes. Para el envasado hay 4 empleados que trabajan 40 horas a la semana como máximo cada uno. La empresa tiene el compromiso contractual de producir a la semana al menos 35 kilogramos contabilizando ambas especies. El precio de venta del orégano es de 50 € el kilogramo y el de la pimienta es de 70 € el kilogramo. Sabiendo que el coste de producción de cada kilogramo de orégano y pimienta es de 5 € y 7 € respectivamente, ¿cuántos kilogramos de cada especie deben producirse semanalmente para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál sería dicho beneficio?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = kg de orégano e \(y\) = kg de pimienta por semana.
- Horas disponibles. Horno: \(24\cdot5=120\) h. Envasado: \(4\cdot40=160\) h.
- Restricciones.
- Secado: \(2x+y\le120\).
- Envasado: \(2x+5y\le160\).
- Producción mínima: \(x+y\ge35\).
- No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
- Función objetivo. Beneficio por kg (precio − coste): orégano \(50-5=45\) €, pimienta \(70-7=63\) €. Así \(B(x,y)=45x+63y\).
- Vértices: \((5,30)\) (corte de \(x+y=35\) con \(2x+5y=160\)), \((35,0)\) (corte de \(x+y=35\) con \(y=0\)), \((60,0)\) (corte de \(2x+y=120\) con \(y=0\)) y \((55,10)\) (corte de \(2x+y=120\) con \(2x+5y=160\)).
- Valor de \(B\) en cada vértice:
| Vértice | \((5,30)\) | \((35,0)\) | \((60,0)\) | \((55,10)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(B\) | \(2\,115\) | \(1\,575\) | \(2\,700\) | \(3\,105\) |
- Conclusión. El máximo es \(3\,105\), en \((55,10)\): se agotan las horas de secado (\(110+10=120\)) y las de envasado (\(110+50=160\)).
Deben producirse 55 kg de orégano y 10 kg de pimienta a la semana, con un beneficio máximo de \(3\,105\) €.
Extraordinaria · Suplente 2 2026
Ejercicio 1B · Extraordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque A · (3 puntos) · Examen
Consideremos el recinto definido por las siguientes inecuaciones: \[3x-4y\le6;\qquad x+y\le9;\qquad x+4y\le24;\qquad3x+2y\ge6;\qquad x\ge0\]
Represente gráficamente el recinto y calcule sus vértices. (1,75 puntos)
Indique razonadamente si los puntos \(P(3;\,0{,}9)\) y \(Q(1;\,5{,}9)\) pertenecen al recinto. (0,5 puntos)
Obtenga el valor máximo y mínimo de la función objetivo \(F(x,y)=2x+3y-2\) en el recinto anterior, así como los puntos donde se alcanzan. (0,75 puntos)
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
a) Recinto y vértices. 1. Rectas frontera: \(3x-4y=6\), \(x+y=9\), \(x+4y=24\), \(3x+2y=6\) y \(x=0\). 2. En cada una se sombrea el semiplano que cumple la desigualdad y se toma la zona común. 3. Los vértices del recinto son \[(0,3),\quad(0,6),\quad(2,0),\quad(4,5),\quad(6,3),\] donde \((0,3)\) es el corte de \(x=0\) con \(3x+2y=6\), \((0,6)\) el de \(x=0\) con \(x+4y=24\), \((4,5)\) el de \(x+4y=24\) con \(x+y=9\), \((6,3)\) el de \(x+y=9\) con \(3x-4y=6\) y \((2,0)\) el de \(3x-4y=6\) con \(3x+2y=6\).
b) Pertenencia de \(P\) y \(Q\). Un punto pertenece al recinto si cumple las cinco desigualdades. 1. \(P(3;0{,}9)\): \(3\cdot3-4\cdot0{,}9=5{,}4\le6\); \(3+0{,}9=3{,}9\le9\); \(3+4\cdot0{,}9=6{,}6\le24\); \(3\cdot3+2\cdot0{,}9=10{,}8\ge6\); \(3\ge0\). \(P\) pertenece al recinto. 2. \(Q(1;5{,}9)\): \(1+4\cdot5{,}9=24{,}6>24\), no cumple \(x+4y\le24\). \(Q\) no pertenece al recinto.
c) Máximo y mínimo de \(F(x,y)=2x+3y-2\). 1. Se evalúa \(F\) en los vértices: \(F(0,3)=7\), \(F(0,6)=16\), \(F(2,0)=2\), \(F(4,5)=21\), \(F(6,3)=19\).
Máximo \(21\) en el punto \((4,5)\) y mínimo \(2\) en el punto \((2,0)\).
2025
Ordinaria · Modelo B 2025
Ejercicio 2 · Ordinaria · Modelo B 2025 · Bloque B · (2,5 puntos) · Examen
Un agricultor cultiva dos tipos de lechuga: iceberg y romana. Por razones de demanda, en cada ciclo de cultivo, la cantidad de iceberg debe ser al menos la mitad de la de romana, pero no puede superar las 1500 unidades. Además, deben cultivarse en total entre 900 y 2400 lechugas. El cultivo de iceberg requiere 15 litros de agua por unidad, mientras que el de romana necesita 18 litros de agua por unidad. ¿Cuántas unidades de cada tipo de lechuga deben cultivarse para minimizar el consumo total de agua?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = unidades de iceberg e \(y\) = unidades de romana.
- Restricciones.
- Iceberg al menos la mitad que romana: \(x\ge\dfrac y2\).
- Iceberg como máximo \(1\,500\): \(x\le1\,500\).
- Total entre \(900\) y \(2\,400\): \(900\le x+y\le2\,400\).
- No negatividad: \(y\ge0\).
- Función objetivo. Consumo de agua en litros, a minimizar: \(W(x,y)=15x+18y\).
- Vértices: \((300,600)\) (corte de \(y=2x\) con \(x+y=900\)), \((800,1600)\) (corte de \(y=2x\) con \(x+y=2\,400\)), \((1\,500,900)\) (corte de \(x=1\,500\) con \(x+y=2\,400\)), \((1\,500,0)\) y \((900,0)\).
- Valor de \(W\) en cada vértice:
| Vértice | \((300,600)\) | \((800,1\,600)\) | \((1\,500,900)\) | \((1\,500,0)\) | \((900,0)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(W\) | \(15\,300\) | \(40\,800\) | \(38\,700\) | \(22\,500\) | \(13\,500\) |
- Conclusión. El mínimo es \(13\,500\), en \((900,0)\).
El consumo mínimo, \(13\,500\) litros, se obtiene cultivando \(900\) lechugas iceberg y ninguna romana.
Ordinaria · Suplente 1 · Modelo A 2025
Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente 1 · Modelo A 2025 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Una empresa de catering dispone semanalmente de 58 horas de cocina, 50 horas de empaquetado y \(60\ \text{dm}^{3}\) de almacenamiento en cámaras frigoríficas para elaborar dos tipos de menús: premium y estándar. Ambos menús requieren tiempo, tanto de preparación como de empaquetado, y espacio de almacenamiento en frigoríficos. Concretamente, el menú premium requiere de 2 horas de cocina, 2 horas de empaquetado y ocupa \(1\ \text{dm}^{3}\) en frigoríficos. Por su parte, el menú estándar requiere de 3 horas de cocina, 1 hora de empaquetado y ocupa \(4\ \text{dm}^{3}\) en frigoríficos. El beneficio obtenido por cada menú premium es de \(10{,}50\) € y por cada menú estándar es de \(5{,}50\) €. La empresa sabe que venderá todos los menús producidos. Determine cuántos menús de cada tipo deben elaborarse semanalmente para maximizar el beneficio total y a cuánto asciende este beneficio.
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = menús premium e \(y\) = menús estándar a la semana.
- Restricciones.
- Cocina: \(2x+3y\le58\).
- Empaquetado: \(2x+y\le50\).
- Almacenamiento: \(x+4y\le60\).
- No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
- Función objetivo. Beneficio: \(B(x,y)=10{,}5x+5{,}5y\).
- Vértices: \((0,0)\), \((0,15)\), \(\left(\dfrac{52}{5},\dfrac{62}{5}\right)\) (corte de \(x+4y=60\) con \(2x+3y=58\)), \((23,4)\) (corte de \(2x+3y=58\) con \(2x+y=50\)) y \((25,0)\).
- Valor de \(B\) en cada vértice:
| Vértice | \((0,0)\) | \((0,15)\) | \(\left(\frac{52}{5},\frac{62}{5}\right)\) | \((23,4)\) | \((25,0)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(B\) | \(0\) | \(82{,}5\) | \(177{,}4\) | \(263{,}5\) | \(262{,}5\) |
- Conclusión. El máximo es \(263{,}5\), en \((23,4)\). Almacenamiento usado: \(23+16=39\le60\) (sobra espacio).
Deben elaborarse 23 menús premium y 4 estándar, con un beneficio máximo de \(263{,}50\) €.
Ordinaria · Suplente 1 · Modelo B 2025
Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente 1 · Modelo B 2025 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Una agricultora vende en su tienda online frutas y hortalizas envasándolas en cajas de dos tipos diferentes. La caja «El regalo de la tierra» la vende a \(19{,}75\) € y contiene 3 kg de frutas y \(3{,}5\) kg de hortalizas. La caja «El tesoro de la huerta» contiene 2 kg de frutas y 4 kg de hortalizas y la vende a \(18{,}50\) €. La agricultora dispone semanalmente de 210 kg de hortalizas y 150 kg de frutas. Debe vender al menos 12 cajas de «El regalo de la tierra» y no menos de 15 cajas de «El tesoro de la huerta». ¿Cuántas cajas de cada tipo debe vender a la semana para que el ingreso por la venta sea máximo? ¿A cuánto asciende este ingreso?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = cajas «El regalo de la tierra» e \(y\) = cajas «El tesoro de la huerta» a la semana.
- Restricciones.
- Frutas: \(3x+2y\le150\).
- Hortalizas: \(3{,}5x+4y\le210\).
- Mínimos de venta: \(x\ge12\) e \(y\ge15\).
- Función objetivo. Ingreso: \(I(x,y)=19{,}75x+18{,}5y\).
- Vértices: \((12,15)\), \((12,42)\) (corte de \(x=12\) con \(3{,}5x+4y=210\)), \((36,21)\) (corte de \(3x+2y=150\) con \(3{,}5x+4y=210\)) y \((40,15)\) (corte de \(3x+2y=150\) con \(y=15\)).
- Valor de \(I\) en cada vértice:
| Vértice | \((12,15)\) | \((12,42)\) | \((36,21)\) | \((40,15)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(I\) | \(514{,}5\) | \(1\,014\) | \(1\,099{,}5\) | \(1\,067{,}5\) |
- Conclusión. El máximo es \(1\,099{,}5\), en \((36,21)\) (se agotan frutas y hortalizas).
Debe vender 36 cajas de «El regalo de la tierra» y 21 de «El tesoro de la huerta», con un ingreso máximo de \(1\,099{,}50\) €.
Ordinaria · Suplente 2 · Modelo A 2025
Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente 2 · Modelo A 2025 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Un servicio técnico recibe un encargo para revisar lavadoras y frigoríficos de una empresa de apartahoteles. La revisión de cada lavadora requiere 100 minutos de trabajo, mientras que cada frigorífico requiere 50 minutos. El servicio técnico dispone de 26 horas y 40 minutos para hacer las revisiones. Por política de empresa, no se aceptan encargos de más de 12 lavadoras ni de más de 16 frigoríficos. Sabiendo que las revisiones se pagan a 50 € la hora, en ambos tipos de electrodomésticos, ¿cuántos electrodomésticos de cada clase debe revisar el servicio técnico para maximizar el ingreso con el encargo? ¿A cuánto asciende este ingreso máximo?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = lavadoras e \(y\) = frigoríficos revisados.
- Restricciones.
- Tiempo disponible: \(26\ \text{h}\ 40\ \text{min}=1\,600\) min, luego \(100x+50y\le1\,600\iff2x+y\le32\).
- No más de 12 lavadoras: \(x\le12\).
- No más de 16 frigoríficos: \(y\le16\).
- No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
- Función objetivo. Se paga a \(50\) €/h \(=\dfrac{5}{6}\) €/min, así que el ingreso es \(I(x,y)=\dfrac{5}{6}\left(100x+50y\right)=\dfrac{250}{3}x+\dfrac{125}{3}y\).
- Vértices: \((0,0)\), \((12,0)\), \((12,8)\), \((8,16)\) y \((0,16)\).
- Valor de \(I\) en cada vértice:
| Vértice | \((0,0)\) | \((12,0)\) | \((12,8)\) | \((8,16)\) | \((0,16)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(I\) | \(0\) | \(1\,000\) | \(1\,333{,}33\) | \(1\,333{,}33\) | \(666{,}67\) |
- Conclusión. El máximo se alcanza en los dos vértices \((12,8)\) y \((8,16)\) y, por tanto, en todos los puntos del segmento \(2x+y=32\) que los une (aquellos en que se agotan los \(1\,600\) minutos).
Ingreso máximo: \(1\,333{,}33\) € (es decir, \(\dfrac{4\,000}{3}\) €), por ejemplo revisando 12 lavadoras y 8 frigoríficos, u 8 lavadoras y 16 frigoríficos (o cualquier combinación entera con \(2x+y=32\), \(8\le x\le12\): \((11,10)\), \((10,12)\), \((9,14)\)).
Ordinaria · Suplente 2 · Modelo B 2025
Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente 2 · Modelo B 2025 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Un fabricante produce mensualmente dos tipos de abonos ecológicos, \(A\) y \(B\), que vende en su totalidad, obteniendo unos beneficios de 15 y 10 euros por kilogramo (kg), respectivamente. La producción de abono del tipo \(A\) no puede superar los 200 kg; el doble de la producción de \(B\) menos el triple de la producción de \(A\) es a lo sumo 100 kg. Además, la producción de \(A\) más el doble de la producción de \(B\) es como mucho de 500 kg. Obtenga las cantidades que este fabricante debe producir de sendos abonos para obtener el máximo beneficio e indique el valor de este beneficio.
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = kg de abono \(A\) e \(y\) = kg de abono \(B\) al mes.
- Restricciones.
- \(A\) no supera \(200\) kg: \(x\le200\).
- El doble de \(B\) menos el triple de \(A\) es a lo sumo \(100\): \(2y-3x\le100\).
- \(A\) más el doble de \(B\), como mucho \(500\): \(x+2y\le500\).
- No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
- Función objetivo. Beneficio: \(B(x,y)=15x+10y\).
- Vértices: \((0,0)\), \((0,50)\), \((100,200)\) (corte de \(2y-3x=100\) con \(x+2y=500\)), \((200,150)\) (corte de \(x=200\) con \(x+2y=500\)) y \((200,0)\).
- Valor de \(B\) en cada vértice:
| Vértice | \((0,0)\) | \((0,50)\) | \((100,200)\) | \((200,150)\) | \((200,0)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(B\) | \(0\) | \(500\) | \(3\,500\) | \(4\,500\) | \(3\,000\) |
- Conclusión. El máximo es \(4\,500\), en \((200,150)\).
Debe producir \(200\) kg de abono \(A\) y \(150\) kg de abono \(B\), con un beneficio máximo de \(4\,500\) €.
2024
Ordinaria · Modelo A 2024
Ejercicio 2 · Ordinaria · Modelo A 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Un agricultor posee una finca con un olivar intensivo de secano y desea transformar una parte de la misma en regadío, pero manteniendo un mínimo de 20 hectáreas de cultivo de secano. Para ello, anualmente dispone de \(30\,000\ \text{m}^{3}\) de agua, de \(5\,500\) kg de abono y de \(3\,000\) kg de productos fitosanitarios. Cada hectárea de olivar de regadío necesita \(1\,500\ \text{m}^{3}\) de agua, \(110\) kg de abono y \(80\) kg de productos fitosanitarios; mientras que cada hectárea de olivar de secano precisa de \(100\) kg de abono y \(50\) kg de productos fitosanitarios. Se sabe que la producción anual por hectárea es de \(5\,000\) kg en secano y de \(10\,000\) kg en regadío. Determine el número de hectáreas de olivar de secano y de regadío que el agricultor debe cultivar para maximizar su producción, así como la producción máxima esperada.
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = hectáreas de secano e \(y\) = hectáreas de regadío.
- Restricciones.
- Agua (solo riega el regadío): \(1\,500y\le30\,000\iff y\le20\).
- Abono: \(100x+110y\le5\,500\).
- Fitosanitarios: \(50x+80y\le3\,000\).
- Mínimo de secano: \(x\ge20\).
- No negatividad: \(y\ge0\).
- Función objetivo. Producción (kg): \(P(x,y)=5\,000x+10\,000y\).
- Vértices: \((20,0)\), \((20,20)\), \((28,20)\) (corte de \(y=20\) con \(50x+80y=3\,000\)), \((44,10)\) (corte de \(50x+80y=3\,000\) con \(100x+110y=5\,500\)) y \((55,0)\).
- Valor de \(P\) en cada vértice:
| Vértice | \((20,0)\) | \((20,20)\) | \((28,20)\) | \((44,10)\) | \((55,0)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(100\,000\) | \(300\,000\) | \(340\,000\) | \(320\,000\) | \(275\,000\) |
- Conclusión. El máximo es \(340\,000\), en \((28,20)\): se agota el agua (\(1\,500\cdot20=30\,000\) m³) y los fitosanitarios (\(50\cdot28+80\cdot20=3\,000\) kg).
Debe cultivar 28 hectáreas de secano y 20 de regadío, con una producción máxima de \(340\,000\) kg.
Ordinaria · Modelo B 2024
Ejercicio 2 · Ordinaria · Modelo B 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Una empresa tiene un presupuesto de \(78\,000\) € para promocionar un producto y quiere contratar la emisión de anuncios por radio y televisión. El coste de emisión de un anuncio de radio es de \(2\,400\) € y de un anuncio de televisión de \(3\,600\) €. La empresa quiere que la diferencia entre el número de anuncios emitidos de cada tipo no sea mayor que 10 y que se emitan un mínimo de 10 anuncios en total. Si la emisión de un anuncio de radio llega a \(34\,000\) personas y de un anuncio de televisión a \(72\,000\) personas, ¿cuántas emisiones de cada tipo debe contratar para que la audiencia sea la mayor posible? ¿A cuánto ascendería dicha audiencia?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = anuncios de radio e \(y\) = anuncios de televisión.
- Restricciones.
- Presupuesto: \(2\,400x+3\,600y\le78\,000\iff2x+3y\le65\).
- La diferencia no es mayor que 10: \(|x-y|\le10\), es decir, \(x-y\le10\) e \(y-x\le10\).
- Mínimo de 10 anuncios en total: \(x+y\ge10\).
- No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
- Función objetivo. Audiencia: \(A(x,y)=34\,000x+72\,000y\).
- Vértices: \((0,10)\), \((10,0)\), \((19,9)\) (corte de \(x-y=10\) con \(2x+3y=65\)) y \((7,17)\) (corte de \(y-x=10\) con \(2x+3y=65\)).
- Valor de \(A\) en cada vértice:
| Vértice | \((0,10)\) | \((10,0)\) | \((19,9)\) | \((7,17)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(A\) | \(720\,000\) | \(340\,000\) | \(1\,294\,000\) | \(1\,462\,000\) |
- Conclusión. El máximo es \(1\,462\,000\), en \((7,17)\): el gasto es \(2\,400\cdot7+3\,600\cdot17=78\,000\) € (se agota el presupuesto).
Debe contratar 7 anuncios de radio y 17 de televisión, con una audiencia máxima de \(1\,462\,000\) personas.
Ordinaria · Reserva · Modelo A 2024
Ejercicio 2 · Ordinaria · Reserva · Modelo A 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Un centro de bricolaje, que almacena bidones de pintura de interior y de exterior, cuenta con una capacidad máxima de almacenaje de 160 bidones. Por una cuestión logística, en el almacén deben mantenerse al menos 60 bidones, siendo como mínimo 20 bidones de pintura interior. Además, el número de bidones de pintura exterior almacenados no podrá ser inferior al de pintura interior. Se sabe que el gasto diario por almacenar cada bidón de pintura interior es de \(1{,}50\) € y por cada bidón de pintura exterior es de \(0{,}90\) €. Calcule cuántos bidones de cada tipo se deben almacenar para que el gasto diario sea mínimo e indique cuánto supone ese gasto mínimo.
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = bidones de pintura interior e \(y\) = bidones de pintura exterior.
- Restricciones.
- Capacidad máxima: \(x+y\le160\).
- Mínimo en el almacén: \(x+y\ge60\).
- Mínimo de interior: \(x\ge20\).
- Exterior no inferior a interior: \(y\ge x\).
- Función objetivo. Gasto diario (hay que minimizarlo): \(G(x,y)=1{,}5x+0{,}9y\).
- Vértices: \((20,40)\) (corte de \(x=20\) con \(x+y=60\)), \((20,140)\) (corte de \(x=20\) con \(x+y=160\)), \((80,80)\) (corte de \(y=x\) con \(x+y=160\)) y \((30,30)\) (corte de \(y=x\) con \(x+y=60\)).
- Valor de \(G\) en cada vértice:
| Vértice | \((20,40)\) | \((20,140)\) | \((80,80)\) | \((30,30)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(G\) | \(66\) | \(156\) | \(192\) | \(72\) |
- Conclusión. El mínimo es \(66\), en \((20,40)\): \(1{,}5\cdot20+0{,}9\cdot40=66\).
Deben almacenarse 20 bidones de pintura interior y 40 de exterior, con un gasto diario mínimo de \(66\) €.
Ordinaria · Reserva · Modelo B 2024
Ejercicio 2 · Ordinaria · Reserva · Modelo B 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Un joyero desea fabricar dos tipos de pulseras, \(A\) y \(B\), y para ello dispone de \(50\) g de oro, \(40\) g de platino y \(25\) g de plata. Para fabricar las del tipo \(A\) necesita 1 g de oro y 2 g de platino, mientras que para las del tipo \(B\) requiere 2 g de oro, 1 g de platino y 1 g de plata. Cada pulsera del tipo \(A\) se vende por \(150\) € y cada una del tipo \(B\) por \(200\) €. Si se vende toda la producción, ¿cuántas pulseras de cada tipo debe fabricar para maximizar los ingresos y a cuánto ascienden éstos? ¿Qué cantidad de cada metal sobrará cuando se fabrique el número de joyas que proporciona el máximo beneficio?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = pulseras de tipo \(A\) e \(y\) = pulseras de tipo \(B\).
- Restricciones.
- Oro: \(x+2y\le50\).
- Platino: \(2x+y\le40\).
- Plata (solo las de tipo \(B\)): \(y\le25\).
- No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
- Función objetivo. Ingresos: \(I(x,y)=150x+200y\).
- Vértices: \((0,0)\), \((0,25)\), \((10,20)\) (corte de \(x+2y=50\) con \(2x+y=40\)) y \((20,0)\).
- Valor de \(I\) en cada vértice:
| Vértice | \((0,0)\) | \((0,25)\) | \((10,20)\) | \((20,0)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(I\) | \(0\) | \(5\,000\) | \(5\,500\) | \(3\,000\) |
- Conclusión. El máximo es \(5\,500\), en \((10,20)\).
- Metales sobrantes. Con \((10,20)\): oro \(10+40=50\) g, platino \(20+20=40\) g y plata \(20\) g.
Debe fabricar 10 pulseras del tipo \(A\) y 20 del tipo \(B\), con unos ingresos máximos de \(5\,500\) €. Sobran \(0\) g de oro, \(0\) g de platino y \(5\) g de plata.
Ordinaria · Suplente · Modelo A 2024
Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente · Modelo A 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
A una tienda de decoración le han encargado decorar las mesas de un salón de celebraciones con centros florales y candelabros. En el salón se montan siempre entre 12 y 40 mesas. En cada mesa solo se puede colocar un centro floral o un candelabro y, además, el número de candelabros no puede ser superior a una tercera parte de los centros florales. Si el precio de cada centro floral es de 32 € y el de cada candelabro de 35 €, ¿cuántos artículos de cada tipo debe seleccionar la tienda para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = centros florales e \(y\) = candelabros.
- Restricciones.
- Entre 12 y 40 mesas, un artículo por mesa: \(12\le x+y\le40\).
- Candelabros no superiores a la tercera parte de los centros: \(y\le\dfrac x3\).
- No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
- Función objetivo. Ingresos: \(I(x,y)=32x+35y\).
- Vértices: \((12,0)\), \((40,0)\), \((30,10)\) (corte de \(x+y=40\) con \(x=3y\)) y \((9,3)\) (corte de \(x+y=12\) con \(x=3y\)).
- Valor de \(I\) en cada vértice:
| Vértice | \((12,0)\) | \((40,0)\) | \((30,10)\) | \((9,3)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(I\) | \(384\) | \(1\,280\) | \(1\,310\) | \(393\) |
- Conclusión. El máximo es \(1\,310\), en \((30,10)\): \(32\cdot30+35\cdot10=1\,310\).
Debe seleccionar 30 centros florales y 10 candelabros, con unos ingresos de \(1\,310\) €.
Ordinaria · Suplente · Modelo B 2024
Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente · Modelo B 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Para un proyecto de software libre se dispone de 150 desarrolladores de Javascript y 120 de Python. Es necesario formar equipos de trabajo de dos tipos. El primer tipo estará compuesto por 2 desarrolladores de Javascript y 3 de Python, y el segundo tipo por 6 de Javascript y 4 de Python. Se requieren al menos 6 equipos del segundo tipo. Determine cuántos equipos de cada tipo se podrán formar para obtener el mayor número de equipos posible. En tal caso, ¿cuántos desarrolladores de Javascript y Python se utilizarán?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = equipos del primer tipo e \(y\) = equipos del segundo.
- Restricciones.
- Javascript: \(2x+6y\le150\).
- Python: \(3x+4y\le120\).
- Al menos 6 equipos del segundo tipo: \(y\ge6\).
- No negatividad: \(x\ge0\).
- Función objetivo. Hay que maximizar el número de equipos: \(F(x,y)=x+y\).
- Vértices: \((0,6)\), \((0,25)\), \((12,21)\) (corte de \(2x+6y=150\) con \(3x+4y=120\)) y \((32,6)\) (corte de \(3x+4y=120\) con \(y=6\)).
- Valor de \(F\) en cada vértice:
| Vértice | \((0,6)\) | \((0,25)\) | \((12,21)\) | \((32,6)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x+y\) | \(6\) | \(25\) | \(33\) | \(38\) |
- Conclusión. El máximo es \(38\), en \((32,6)\). Desarrolladores utilizados: Javascript \(2\cdot32+6\cdot6=100\) y Python \(3\cdot32+4\cdot6=120\) (se agotan los de Python).
Se pueden formar 32 equipos del primer tipo y 6 del segundo (38 equipos), con 100 desarrolladores de Javascript y 120 de Python.
2023
Ordinaria · Modelo A 2023
Ejercicio 1 · Ordinaria · Modelo A 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Sean la función \(F(x,y)=5x-3y\) y la región del plano \(R\) definida mediante las inecuaciones \[2x-3y\le1;\qquad4x+y\le9;\qquad x+y\le5;\qquad9x-y\ge0;\qquad y\ge0\]
Dibuje la región \(R\) y calcule sus vértices. (1,3 puntos)
Indique razonadamente si los puntos \(A(2,2)\) y \(B(1;3{,}5)\) pertenecen a la región \(R\). (0,5 puntos)
Obtenga los puntos de la región \(R\) donde \(F\) alcanza el máximo y el mínimo y calcule sus correspondientes valores. (0,7 puntos)
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
a) Región y vértices. 1. Rectas frontera: \(2x-3y=1\), \(4x+y=9\), \(x+y=5\), \(9x-y=0\) e \(y=0\). 2. En cada una se sombrea el semiplano que cumple la desigualdad (se prueba un punto, por ejemplo \((1,1)\)) y se toma la zona común. 3. Los vértices de la región \(R\) son \[(0,0),\quad\left(\tfrac{1}{2},0\right),\quad(2,1),\quad\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{11}{3}\right),\quad\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{9}{2}\right),\] con \(\left(\tfrac{1}{2},0\right)\) el corte de \(2x-3y=1\) con \(y=0\), \((2,1)\) el de \(2x-3y=1\) con \(4x+y=9\), \(\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{11}{3}\right)\) el de \(4x+y=9\) con \(x+y=5\) y \(\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{9}{2}\right)\) el de \(x+y=5\) con \(9x-y=0\).
b) Pertenencia de puntos. Un punto pertenece a \(R\) si cumple todas las inecuaciones. 1. \(A(2,2)\): \(4x+y=4\cdot2+2=10>9\), no cumple \(4x+y\le9\): \(A\) no pertenece a \(R\). 2. \(B(1;3{,}5)\): \(2-10{,}5=-8{,}5\le1\); \(4+3{,}5=7{,}5\le9\); \(1+3{,}5=4{,}5\le5\); \(9-3{,}5=5{,}5\ge0\); \(3{,}5\ge0\). Cumple todas: \(B\) pertenece a \(R\).
c) Máximo y mínimo de \(F(x,y)=5x-3y\). 1. Se evalúa \(F\) en los vértices: \(F(0,0)=0\), \(F\left(\tfrac{1}{2},0\right)=\tfrac{5}{2}\), \(F(2,1)=7\), \(F\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{11}{3}\right)=-\tfrac{13}{3}\), \(F\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{9}{2}\right)=-11\).
Máximo \(7\) en \((2,1)\) y mínimo \(-11\) en \(\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{9}{2}\right)\).
Ordinaria · Modelo B 2023
Ejercicio 2 · Ordinaria · Modelo B 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Un artesano decide montar dos tipos de anillos utilizando dos tipos de piedras semipreciosas, una de mayor calidad que otra. Para montar uno de los anillos tarda 20 minutos y utiliza 1 de las piedras de mayor calidad y 2 de las de menor calidad. Para el otro tarda 50 minutos y utiliza 3 piedras de mayor calidad y 1 de menor calidad.
Semanalmente, el artesano dispone de 200 piedras de mayor calidad y 150 de menor calidad. Además, quiere trabajar al menos 1900 minutos a la semana.
Sabiendo que el primer tipo de anillo se vende a 21 €, el segundo a 50 € y que deben fabricarse al menos 20 anillos del primer tipo a la semana, determine cuántos anillos de cada tipo deben montarse para maximizar el valor de la venta. ¿A cuánto asciende dicho valor?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = anillos del primer tipo e \(y\) = anillos del segundo.
- Restricciones.
- Piedras de mayor calidad: \(x+3y\le200\).
- Piedras de menor calidad: \(2x+y\le150\).
- Al menos \(1900\) minutos: \(20x+50y\ge1900\iff2x+5y\ge190\).
- Al menos 20 anillos del primer tipo: \(x\ge20\).
- No negatividad: \(y\ge0\).
- Función objetivo. Valor de la venta: \(V(x,y)=21x+50y\).
- Vértices: \((20,30)\), \((20,60)\), \((50,50)\) (corte de \(x+3y=200\) con \(2x+y=150\)) y \((70,10)\).
- Valor de \(V\) en cada vértice:
| Vértice | \((20,30)\) | \((20,60)\) | \((50,50)\) | \((70,10)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(V\) | \(1\,920\) | \(3\,420\) | \(3\,550\) | \(1\,970\) |
- Conclusión. El máximo es \(3\,550\), en \((50,50)\): se agotan las dos clases de piedras (\(50+150=200\) y \(100+50=150\)).
Deben montarse 50 anillos de cada tipo, con un valor de venta de \(3\,550\) €.
Ordinaria · Reserva · Modelo A 2023
Ejercicio 2 · Ordinaria · Reserva · Modelo A 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Una empresa de material informático dispone de dos cadenas de fabricación, \(A\) y \(B\), en las que quiere aumentar su producción realizando horas extraordinarias.
En una hora extraordinaria de trabajo, la cadena \(A\) prepara 15 portátiles y 6 tablets, y la cadena \(B\) prepara 10 portátiles y 10 tablets. Los costes de producción por hora extraordinaria de \(A\) y \(B\) son de \(300\) € y \(600\) € respectivamente. La cadena \(B\) puede realizar, como máximo, el triple de horas extraordinarias que la cadena \(A\). Si para la próxima semana se debe producir adicionalmente un máximo de 360 portátiles y al menos 216 tablets, formule y resuelva el problema que permita la planificación de la empresa que minimice los costes de producción. ¿A cuánto ascienden dichos costes?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = horas extraordinarias de la cadena \(A\) e \(y\) = horas extraordinarias de la cadena \(B\).
- Restricciones.
- Portátiles, como máximo \(360\): \(15x+10y\le360\).
- Tablets, al menos \(216\): \(6x+10y\ge216\).
- \(B\) hace como máximo el triple de horas que \(A\): \(y\le3x\).
- No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
- Función objetivo. Hay que minimizar \(C(x,y)=300x+600y\).
- Vértices de la región factible: \((6,18)\) (corte de \(y=3x\) con \(6x+10y=216\)), \((8,24)\) (corte de \(y=3x\) con \(15x+10y=360\)) y \((16,12)\) (corte de \(15x+10y=360\) con \(6x+10y=216\)).
- Valor de \(C\) en cada vértice:
| Vértice | \((6,18)\) | \((8,24)\) | \((16,12)\) |
|---|---|---|---|
| \(C\) | \(12\,600\) | \(16\,800\) | \(12\,000\) |
- Conclusión. El mínimo es \(12\,000\), en \((16,12)\).
El coste mínimo es de \(12\,000\) €, con 16 horas extraordinarias en \(A\) y 12 en \(B\).
Ordinaria · Reserva · Modelo B 2023
Ejercicio 2 · Ordinaria · Reserva · Modelo B 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Una compañía de transporte marítimo de mercancías dispone de dos barcos \(B_1\) y \(B_2\) para realizar una determinada ruta, durante un año, entre dos ciudades costeras europeas. El barco \(B_1\) no puede realizar más de 14 viajes y debe realizar tantos viajes o más que el barco \(B_2\). Entre los dos barcos deben realizar al menos 10 viajes y como mucho 24. La compañía obtiene unos beneficios de \(15\,000\) € por cada viaje del barco \(B_1\) y \(17\,000\) € por cada viaje del barco \(B_2\).
Halle el número de viajes que debe realizar cada barco para que el beneficio obtenido por la empresa sea máximo y obtenga dicho beneficio.
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = viajes de \(B_1\) e \(y\) = viajes de \(B_2\).
- Restricciones.
- \(B_1\) no hace más de 14 viajes: \(x\le14\).
- \(B_1\) hace tantos viajes o más que \(B_2\): \(x\ge y\).
- Entre los dos, al menos 10 y como mucho 24: \(10\le x+y\le24\).
- No negatividad: \(y\ge0\).
- Función objetivo. Beneficio: \(B(x,y)=15\,000x+17\,000y\).
- Vértices: \((5,5)\), \((10,0)\), \((14,0)\), \((14,10)\) y \((12,12)\).
- Valor de \(B\) en cada vértice:
| Vértice | \((5,5)\) | \((10,0)\) | \((14,0)\) | \((14,10)\) | \((12,12)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(B\) | \(160\,000\) | \(150\,000\) | \(210\,000\) | \(380\,000\) | \(384\,000\) |
- Conclusión. El máximo es \(384\,000\), en \((12,12)\).
Cada barco debe realizar 12 viajes, con un beneficio máximo de \(384\,000\) €.
Ordinaria · Suplente · Modelo A 2023
Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente · Modelo A 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
El aforo de un campo de fútbol es de \(10\,000\) personas. Según el reglamento establecido por la federación de fútbol, como máximo deben ponerse a la venta \(3\,000\) entradas para los aficionados del equipo visitante y por cada aficionado visitante debe haber dos aficionados locales como mínimo y cuatro aficionados locales como máximo.
Si el precio de la entrada es de 50 € pero el aficionado local tiene un descuento del \(20\,\%\), ¿cuántos aficionados locales y visitantes deben asistir para obtener el mayor importe con la venta de las entradas?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = aficionados locales e \(y\) = aficionados visitantes.
- Restricciones.
- Aforo: \(x+y\le10\,000\).
- Entradas para visitantes: \(y\le3\,000\).
- Por cada visitante, al menos dos locales: \(x\ge2y\).
- Por cada visitante, como máximo cuatro locales: \(x\le4y\).
- No negatividad: \(y\ge0\).
- Función objetivo. Con el descuento del \(20\,\%\) la entrada local cuesta \(0{,}8\cdot50=40\) €. Importe: \(I(x,y)=40x+50y\).
- Vértices: \((0,0)\), \((6\,000,3\,000)\) (corte de \(x=2y\) con \(y=3\,000\)), \((7\,000,3\,000)\) (corte de \(x+y=10\,000\) con \(y=3\,000\)) y \((8\,000,2\,000)\) (corte de \(x+y=10\,000\) con \(x=4y\)).
- Valor de \(I\) en cada vértice:
| Vértice | \((0,0)\) | \((6\,000,3\,000)\) | \((7\,000,3\,000)\) | \((8\,000,2\,000)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(I\) | \(0\) | \(390\,000\) | \(430\,000\) | \(420\,000\) |
- Conclusión. El máximo es \(430\,000\), en \((7\,000,3\,000)\): el campo se llena y se agotan las entradas de visitantes.
Deben asistir \(7\,000\) aficionados locales y \(3\,000\) visitantes, con un importe de \(430\,000\) €.
Ordinaria · Suplente · Modelo B 2023
Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente · Modelo B 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Una empresa de pinturas quiere elaborar botes de pintura de dos colores nuevos: Júpiter y Minerva. Para ello, dispone de \(1000\) kg de pintura de color verde, \(800\) kg de color morado y \(300\) kg de color naranja. Para elaborar un bote de color Júpiter se necesitan \(10\) kg de pintura verde, \(5\) kg de morada y \(5\) kg de naranja. Para elaborar un bote de color Minerva se necesitan \(5\) kg de pintura verde y \(5\) kg de morada. Sabiendo que se obtiene un beneficio de \(30\) € por cada bote de pintura Júpiter y \(20\) € por un bote de pintura Minerva, ¿cuántos botes de cada tipo deberá fabricar la empresa para obtener un beneficio máximo? ¿Cuál será el valor de ese beneficio?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = botes Júpiter e \(y\) = botes Minerva.
- Restricciones.
- Pintura verde: \(10x+5y\le1\,000\).
- Pintura morada: \(5x+5y\le800\).
- Pintura naranja (solo la usa Júpiter): \(5x\le300\), es decir, \(x\le60\).
- No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
- Función objetivo. Beneficio: \(B(x,y)=30x+20y\).
- Vértices: \((0,0)\), \((0,160)\), \((40,120)\) (corte de \(10x+5y=1\,000\) con \(5x+5y=800\)), \((60,80)\) (corte de \(x=60\) con \(5x+5y=800\)) y \((60,0)\).
- Valor de \(B\) en cada vértice:
| Vértice | \((0,0)\) | \((0,160)\) | \((40,120)\) | \((60,80)\) | \((60,0)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(B\) | \(0\) | \(3\,200\) | \(3\,600\) | \(3\,400\) | \(1\,800\) |
- Conclusión. El máximo es \(3\,600\), en \((40,120)\): se agotan la pintura verde (\(400+600=1\,000\)) y la morada (\(200+600=800\)); de naranja se usan \(200\) de \(300\) kg.
Debe fabricar 40 botes Júpiter y 120 Minerva, con un beneficio máximo de \(3\,600\) €.
2022
Ordinaria 2022
Ejercicio 1 · Ordinaria 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Una pastelería decide preparar dos tipos de cajas de pastelitos para regalar a los clientes en su inauguración. En total dispone de 120 piononos y 150 pestiños. En la caja del primer tipo habrá 3 piononos y 2 pestiños y en la del segundo tipo 4 piononos y 6 pestiños. Deben preparar al menos 9 cajas del segundo tipo.
Determine cuántas cajas de cada tipo deberá preparar para realizar el máximo número de regalos posible. En este caso, indique cuántos piononos y cuántos pestiños se utilizarán.
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = cajas del primer tipo e \(y\) = cajas del segundo.
- Restricciones.
- Piononos: \(3x+4y\le120\).
- Pestiños: \(2x+6y\le150\iff x+3y\le75\).
- Al menos 9 cajas del segundo tipo: \(y\ge9\).
- No negatividad: \(x\ge0\).
- Función objetivo. Un regalo es una caja, así que hay que maximizar el número de cajas, \(F(x,y)=x+y\).
- Vértices: \((0,9)\), \((0,25)\), \((12,21)\) (corte de \(3x+4y=120\) con \(x+3y=75\)) y \((28,9)\) (corte de \(3x+4y=120\) con \(y=9\)).
- Valor de \(F\) en cada vértice:
| Vértice | \((0,9)\) | \((0,25)\) | \((12,21)\) | \((28,9)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x+y\) | \(9\) | \(25\) | \(33\) | \(37\) |
- Conclusión. El máximo es \(37\), en \((28,9)\). Piononos utilizados: \(3\cdot28+4\cdot9=120\) (se agotan). Pestiños utilizados: \(2\cdot28+6\cdot9=110\) (sobran \(40\)).
Debe preparar 28 cajas del primer tipo y 9 del segundo (37 regalos).
Ordinaria · Reserva 2022
Ejercicio 2 · Ordinaria · Reserva 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Una papelería quiere vender 400 cuadernos de vacaciones y 300 estuches de lápices de colores. Para ello ha preparado dos lotes de esos productos a precios especiales. Los lotes de tipo A contienen 2 cuadernos y 2 estuches; los lotes de tipo B contienen 3 cuadernos y 1 estuche. No es posible vender más de 100 lotes de tipo B. Cada lote de tipo A se vende a 35 € y cada lote de tipo B a 45 €. Calcule cuántos lotes de cada tipo debe vender la papelería para conseguir el máximo valor de ventas. ¿A cuánto asciende dicho valor?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = lotes de tipo A e \(y\) = lotes de tipo B.
- Restricciones.
- Cuadernos: \(2x+3y\le400\).
- Estuches: \(2x+y\le300\).
- No más de 100 lotes de tipo B: \(y\le100\).
- No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
- Función objetivo. Valor de las ventas: \(V(x,y)=35x+45y\).
- Vértices: \((0,0)\), \((0,100)\), \((50,100)\), \((125,50)\) (corte de \(2x+3y=400\) con \(2x+y=300\)) y \((150,0)\).
- Valor de \(V\) en cada vértice:
| Vértice | \((0,0)\) | \((0,100)\) | \((50,100)\) | \((125,50)\) | \((150,0)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(V\) | \(0\) | \(4\,500\) | \(6\,250\) | \(6\,625\) | \(5\,250\) |
- Conclusión. El máximo es \(6\,625\), en \((125,50)\) (se agotan cuadernos y estuches).
Debe vender 125 lotes de tipo A y 50 de tipo B, con un valor máximo de ventas de \(6\,625\) €.
Ordinaria · Suplente 2022
Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Una fábrica de juguetes educativos produce juegos de ajedrez y dominó. Para fabricar un ajedrez se necesitan 2 kg de madera y 4 horas de trabajo, mientras que para fabricar un dominó se necesita 1 kg de madera y 1 hora de trabajo. Para que la producción sea rentable hay que hacer al día al menos 3 juegos y emplear como máximo 7 kg de madera y 9 horas de trabajo. Cada ajedrez se vende por 40 € y cada dominó por 15 €. ¿Cuántos juegos de ajedrez y dominó deben fabricarse diariamente para que la ganancia obtenida sea máxima? ¿Cuál será esa ganancia?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = ajedreces e \(y\) = dominós fabricados al día.
- Restricciones.
- Al menos 3 juegos: \(x+y\ge3\).
- Madera, como máximo 7 kg: \(2x+y\le7\).
- Horas de trabajo, como máximo 9: \(4x+y\le9\).
- No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
- Función objetivo. Ganancia: \(G(x,y)=40x+15y\).
- Vértices: \((0,3)\), \((0,7)\), \((1,5)\) (corte de \(2x+y=7\) con \(4x+y=9\)) y \((2,1)\) (corte de \(4x+y=9\) con \(x+y=3\)).
- Valor de \(G\) en cada vértice:
| Vértice | \((0,3)\) | \((0,7)\) | \((1,5)\) | \((2,1)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(G\) | \(45\) | \(105\) | \(115\) | \(95\) |
- Conclusión. El máximo es \(115\), en \((1,5)\): se emplean \(2\cdot1+5=7\) kg de madera y \(4\cdot1+5=9\) horas (se agotan los dos recursos).
Deben fabricarse 1 ajedrez y 5 dominós al día, con una ganancia máxima de \(115\) €.
Extraordinaria 2022
Ejercicio 2 · Extraordinaria 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Se considera el recinto definido por las siguientes inecuaciones:
\[y-2x\le7;\qquad-x+3y\le21;\qquad x+2y\le19;\qquad x+y\le14\]
Represente dicho recinto y determine sus vértices. (1,4 puntos)
Calcule los valores máximo y mínimo de la función \(F(x,y)=x+4y\) en el recinto anterior, así como los puntos donde se alcanzan. (0,6 puntos)
¿Podría tomar la función objetivo \(F\) el valor 40 en algún punto de la región factible? ¿Y el valor 20? Justifique las respuestas. (0,5 puntos)
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
(El enunciado no impone \(x\ge0\), \(y\ge0\), así que se trabaja solo con las cuatro inecuaciones dadas.)
a) Recinto y vértices. 1. Rectas frontera: \(y=2x+7\), \(-x+3y=21\), \(x+2y=19\) y \(x+y=14\). 2. Se sombrea en cada una el semiplano que cumple la desigualdad (con un punto de prueba, por ejemplo \((0,0)\), que las cumple todas) y se toma la zona común: es un recinto no acotado, que se extiende hacia abajo. 3. Vértices: \((0,7)\) (corte de \(y=2x+7\) con \(-x+3y=21\)), \((3,8)\) (corte de \(-x+3y=21\) con \(x+2y=19\)) y \((9,5)\) (corte de \(x+2y=19\) con \(x+y=14\)). El resto de la frontera son semirrectas: la de \(y=2x+7\) hacia abajo a la izquierda de \((0,7)\) y la de \(x+y=14\) hacia abajo a la derecha de \((9,5)\).
b) Máximo y mínimo de \(F(x,y)=x+4y\). 1. En los vértices: \(F(0,7)=28\), \(F(3,8)=35\), \(F(9,5)=29\). 2. Máximo. Como la región es no acotada, hay que ver también cómo se comporta \(F\) lejos de los vértices. En la dirección \((-1,-2)\), que sigue la recta \(y=2x+7\), se cumplen las cuatro desigualdades (ninguna de las expresiones \(y-2x\), \(-x+3y\), \(x+2y\), \(x+y\) crece), y en las otras direcciones de la región \(F\) tampoco crece más allá del vértice \((3,8)\). El máximo es \(F(3,8)=35\). 3. Mínimo. Los puntos \((-t,-2t)\) con \(t\ge0\) están en la región y \(F(-t,-2t)=-9t\) se hace tan negativo como se quiera: \(F\) no tiene mínimo.
Máximo \(35\) en \((3,8)\); no hay mínimo (la región no está acotada inferiormente y \(F\) no está acotada por debajo).
c) ¿Puede valer \(40\)? ¿Y \(20\)? 1. \(40>35\), que es el máximo de \(F\) en la región: no puede alcanzarse. 2. \(F\) toma todos los valores desde \(-\infty\) hasta \(35\) (es continua y la región es conexa). Por ejemplo, \((4,4)\) cumple las cuatro desigualdades y \(4+16=20\).
El valor \(40\) no puede alcanzarse; el valor \(20\) sí.
Extraordinaria · Reserva 2022
Ejercicio 2 · Extraordinaria · Reserva 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Una sastrería dispone de \(70\ \text{m}^{2}\) de tela de lino y de \(150\ \text{m}^{2}\) de tela de algodón. En la confección de un traje se emplea \(1\ \text{m}^{2}\) de tela de lino y \(3\ \text{m}^{2}\) de tela de algodón, y en un vestido se necesitan \(2\ \text{m}^{2}\) de tela de cada tipo. Se obtienen 60 euros de beneficio por cada traje y 70 euros por cada vestido. Determine el número de trajes y vestidos que se deben confeccionar para obtener el máximo beneficio, así como dicho beneficio máximo.
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = trajes e \(y\) = vestidos.
- Restricciones.
- Lino: \(x+2y\le70\).
- Algodón: \(3x+2y\le150\).
- No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
- Función objetivo. Beneficio: \(B(x,y)=60x+70y\).
- Vértices: \((0,0)\), \((0,35)\), \((40,15)\) (corte de \(x+2y=70\) con \(3x+2y=150\)) y \((50,0)\).
- Valor de \(B\) en cada vértice:
| Vértice | \((0,0)\) | \((0,35)\) | \((40,15)\) | \((50,0)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(B\) | \(0\) | \(2\,450\) | \(3\,450\) | \(3\,000\) |
- Conclusión. El máximo es \(3\,450\), en \((40,15)\): se gastan \(40+30=70\) m² de lino y \(120+30=150\) m² de algodón (se agotan las dos telas).
Hay que confeccionar 40 trajes y 15 vestidos, con un beneficio máximo de \(3\,450\) €.
Extraordinaria · Suplente 2022
Ejercicio 1 · Extraordinaria · Suplente 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Se considera el recinto definido por las siguientes inecuaciones:
\[x+2y\ge7;\qquad2x-y\le4;\qquad4x-y\ge1;\qquad3x+2y\le20\]
Represente dicho recinto y calcule sus vértices. (2 puntos)
Obtenga el valor máximo de la función \(F(x,y)=x+3y\) en el recinto anterior, así como el punto donde se alcanza. (0,5 puntos)
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
a) Recinto y vértices. 1. Rectas frontera: \(x+2y=7\), \(2x-y=4\), \(4x-y=1\), \(3x+2y=20\). 2. En cada una se sombrea el semiplano que cumple la desigualdad (se prueba un punto, por ejemplo \((3,3)\)) y se toma la zona común. 3. Los vértices del recinto son \[(1,3),\quad(2,7),\quad(3,2),\quad(4,4),\] donde \((1,3)\) es el corte de \(x+2y=7\) con \(4x-y=1\), \((2,7)\) el de \(4x-y=1\) con \(3x+2y=20\), \((4,4)\) el de \(3x+2y=20\) con \(2x-y=4\) y \((3,2)\) el de \(2x-y=4\) con \(x+2y=7\).
b) Máximo de \(F(x,y)=x+3y\). 1. Se evalúa \(F\) en los vértices: \(F(1,3)=10\), \(F(2,7)=23\), \(F(3,2)=9\) y \(F(4,4)=16\).
El máximo vale \(23\) y se alcanza en el punto \((2,7)\).
2021
Ordinaria 2021
Ejercicio 1 · Ordinaria 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Una empresa de recambios industriales produce dos tipos de baterías, \(A\) y \(B\). Su producción semanal debe ser de al menos 10 baterías en total y el número de baterías de tipo \(B\) no puede superar en más de 10 unidades a las fabricadas de tipo \(A\). Cada batería de tipo \(A\) tiene unos gastos de producción de 150 euros y cada batería de tipo \(B\) de 100 euros, disponiendo de un máximo de 6000 euros a la semana para el coste total de producción.
Si la empresa vende todo lo que produce y cada batería de tipo \(A\) genera un beneficio de 130 euros y la de tipo \(B\) de 140 euros, ¿cuántas baterías de cada tipo tendrán que producir a la semana para que el beneficio total sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = baterías de tipo \(A\) e \(y\) = baterías de tipo \(B\) producidas a la semana.
- Restricciones.
- Al menos 10 baterías en total: \(x+y\ge10\).
- Las de tipo \(B\) no superan en más de 10 a las de tipo \(A\): \(y\le x+10\).
- Gastos de producción, como máximo \(6000\) €: \(150x+100y\le6000\), es decir, \(3x+2y\le120\).
- No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
- Función objetivo. El beneficio es \(B(x,y)=130x+140y\) (se vende todo lo que se produce).
- Vértices de la región factible (cortes de dos fronteras): \((10,0)\) (de \(y=0\) y \(x+y=10\)), \((40,0)\) (de \(y=0\) y \(3x+2y=120\)), \((20,30)\) (de \(y=x+10\) y \(3x+2y=120\)) y \((0,10)\) (de \(x=0\) y \(y=x+10\)).
- Beneficio en cada vértice:
| Vértice | \((10,0)\) | \((40,0)\) | \((20,30)\) | \((0,10)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(B\) | \(1\,300\) | \(5\,200\) | \(6\,800\) | \(1\,400\) |
- Conclusión. El máximo es \(6\,800\), en \((20,30)\). Gasto: \(150\cdot20+100\cdot30=6000\) € (se agota el presupuesto).
Hay que producir 20 baterías de tipo \(A\) y 30 de tipo \(B\), con un beneficio máximo de \(6\,800\) €.
Ordinaria · Reserva 2021
Ejercicio 1 · Ordinaria · Reserva 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
- Una frutería vende dos tipos de surtidos de frutos rojos, \(A\) y \(B\). El surtido de tipo \(A\) contiene 75 g de arándanos, 100 g de frambuesas y se vende a 2,40 euros, mientras que el de tipo \(B\) contiene 75 g de arándanos, 50 g de frambuesas y se vende a 1,80 euros. La frutería dispone de un total de 3,75 kg de arándanos y 4 kg de frambuesas y el número de surtidos que vende del tipo \(A\), siempre es menor o igual al doble de los del tipo \(B\).
Formule, sin resolver, el problema que permite obtener el número de surtidos de cada tipo que debe vender para que el beneficio sea máximo. (1 punto)
- Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus vértices: (1,5 puntos)
\[x+4y\ge5\qquad x+2y\ge4\qquad 7x+5y\le35\qquad x\ge0\]
¿En qué punto de la región anterior la función \(F(x,y)=2x+y\) alcanza el mínimo y cuál es dicho valor?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
a) Formulación. 1. Incógnitas. \(x\) = número de surtidos de tipo \(A\), \(y\) = número de surtidos de tipo \(B\). 2. Función objetivo. Cada \(A\) se vende a 2,40 € y cada \(B\) a 1,80 €: hay que maximizar \(F(x,y)=2{,}4x+1{,}8y\). 3. Restricciones (pasando kilos a gramos: 3,75 kg \(=3750\) g y 4 kg \(=4000\) g): - arándanos: \(75x+75y\le3750\iff x+y\le50\), - frambuesas: \(100x+50y\le4000\iff2x+y\le80\), - los de tipo \(A\) no superan el doble de los de tipo \(B\): \(x\le2y\), - no negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
b) Región y mínimo de \(F(x,y)=2x+y\). 1. Fronteras: \(x+4y=5\), \(x+2y=4\), \(7x+5y=35\) y \(x=0\). Con un punto de prueba se ve que la región queda por encima de las dos primeras rectas, bajo la tercera y a la derecha de \(x=0\). 2. Vértices (cortes de dos fronteras): \((0,7)\) (de \(x=0\) y \(7x+5y=35\)), \((0,2)\) (de \(x=0\) y \(x+2y=4\)), \(\left(3,\frac{1}{2}\right)\) (de \(x+4y=5\) y \(x+2y=4\)) y \((5,0)\) (de \(x+4y=5\) y \(7x+5y=35\)). 3. Se evalúa \(F=2x+y\) en cada vértice:
| Vértice | \((0,7)\) | \((0,2)\) | \(\left(3,\frac{1}{2}\right)\) | \((5,0)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(F=2x+y\) | \(7\) | \(2\) | \(\frac{13}{2}\) | \(10\) |
- El menor valor es \(2\).
El mínimo se alcanza en el punto \((0,2)\) y vale \(2\).
Ordinaria · Suplente 2021
Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Se consideran las siguientes inecuaciones:
\[5x-3y\ge-9\qquad x+y\le11\qquad 6x+y\le36\qquad x+2y\ge6\]
Represente la región factible definida por las inecuaciones anteriores y determine sus vértices. (1,5 puntos)
¿Pertenece el punto \((5,7)\) a la región factible anterior? (0,25 puntos)
Calcule los valores máximo y mínimo de la función \(F(x,y)=10x-6y\) en la región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan. (0,75 puntos)
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
a) Región factible. 1. Las rectas frontera son \(5x-3y=-9\), \(x+y=11\), \(6x+y=36\) y \(x+2y=6\). Con un punto de prueba (por ejemplo \((2,4)\)) se comprueba qué lado cumple cada desigualdad. 2. Los vértices de la región factible son \[(0,3),\quad(3,8),\quad(5,6),\quad(6,0),\] que se obtienen cortando \(x+2y=6\) con \(x=0\), \(5x-3y=-9\) con \(x+y=11\), \(x+y=11\) con \(6x+y=36\) y \(6x+y=36\) con \(y=0\), respectivamente. (La región es el cuadrilátero de esos cuatro vértices.)
b) Pertenencia. Se sustituye el punto en cada desigualdad. Para \((5,7)\): \(5+7=12>11\), no cumple \(x+y\le11\). No pertenece a la región.
c) Máximo y mínimo de \(F=10x-6y\). 1. Se evalúa \(F\) en los vértices: \(F(0,3)=-18\), \(F(3,8)=-18\), \(F(5,6)=14\), \(F(6,0)=60\). 2. El mayor valor es \(60\) y el menor \(-18\), que se repite en dos vértices.
Máximo \(60\) en \((6,0)\). Mínimo \(-18\), que se alcanza en \((0,3)\) y en \((3,8)\) y, por tanto, en todos los puntos del segmento que los une (porque \(F=-18\) es la recta \(5x-3y=-9\) multiplicada por 2, es decir, la recta de nivel es paralela a ese lado de la región).
Extraordinaria 2021
Ejercicio 2 · Extraordinaria 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Se consideran las siguientes inecuaciones:
\[5x-4y\le-19\qquad3x-4y\le-13\qquad x\ge-7\qquad-x-y\ge2\]
Represente la región factible definida por las inecuaciones anteriores y determine sus vértices. (1,5 puntos)
¿Cuáles son los puntos en los que se alcanzan el mínimo y el máximo de la función \(G(x,y)=-\dfrac{1}{5}x+\dfrac{5}{2}y\) en la citada región factible? ¿Cuál es su valor? (0,5 puntos)
Responda de forma razonada si la función \(G(x,y)=-\dfrac{1}{5}x+\dfrac{5}{2}y\) puede alcanzar el valor \(\dfrac{47}{3}\) en la región factible hallada. (0,5 puntos)
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
a) Región factible. 1. Las inecuaciones se escriben como semiplanos; la última, \(-x-y\ge2\), equivale a \(x+y\le-2\). Las rectas frontera son \(5x-4y=-19\), \(3x-4y=-13\), \(x=-7\) y \(x+y=-2\). 2. Se comprueba cada semiplano con un punto de prueba y se halla su intersección: es el triángulo de vértices \[(-7,-2),\quad(-7,5),\quad(-3,1).\] 3. Cada vértice es el corte de dos fronteras: \(x=-7\) corta a \(x+y=-2\) en \((-7,5)\) y a \(3x-4y=-13\) en \((-7,-2)\); \(5x-4y=-19\) y \(3x-4y=-13\) se cortan en \((-3,1)\), que está también en \(x+y=-2\).
b) Máximo y mínimo de \(G\). Se evalúa \(G(x,y)=-\dfrac15x+\dfrac52y\) en los vértices: - \(G(-7,-2)=\dfrac{7}{5}-5=-\dfrac{18}{5}\), - \(G(-7,5)=\dfrac{7}{5}+\dfrac{25}{2}=\dfrac{139}{10}\), - \(G(-3,1)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{31}{10}\).
Mínimo \(-\dfrac{18}{5}\) en \((-7,-2)\) y máximo \(\dfrac{139}{10}\) en \((-7,5)\).
c) ¿Puede valer \(\dfrac{47}{3}\)? En la región (acotada) todos los valores de \(G\) están entre su mínimo y su máximo. Como \(\dfrac{47}{3}\approx15{,}67>\dfrac{139}{10}=13{,}9\), que es el máximo de \(G\) en la región, no puede alcanzar ese valor.
Extraordinaria · Reserva 2021
Ejercicio 1 · Extraordinaria · Reserva 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
La Agencia Espacial Europea contará con un presupuesto de 2,4 millones de euros para financiar misiones sobre Observación de la Tierra y para financiar programas de Transporte Espacial. Cada misión supone una inversión de 200 000 euros y cada programa, 100 000 euros. Teniendo en cuenta que en la decisión final deben superarse los 2 millones de euros de inversión y el número de misiones debe ser al menos 4, pero no más de la mitad del número de programas, ¿cuántas misiones y cuántos programas se deben llevar a cabo para obtener el máximo de la función \(F(x,y)=0{,}6x+0{,}4y\), con \(x\) misiones e \(y\) programas?
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = número de misiones, \(y\) = número de programas. La inversión total, en millones de euros, es \(0{,}2x+0{,}1y\) (200 000 € = \(0{,}2\) millones por misión y 100 000 € = \(0{,}1\) por programa).
- Restricciones.
- Presupuesto de \(2{,}4\) millones: \(0{,}2x+0{,}1y\le2{,}4\iff2x+y\le24\).
- Hay que superar los 2 millones: \(0{,}2x+0{,}1y\ge2\iff2x+y\ge20\).
- Al menos 4 misiones: \(x\ge4\).
- Misiones no más de la mitad de los programas: \(x\le\dfrac y2\iff2x\le y\).
- Región factible. Es la zona del plano entre las rectas \(2x+y=20\) y \(2x+y=24\), a la derecha de \(x=4\) y por encima de \(y=2x\) (se comprueba cada semiplano con un punto de prueba).
- Vértices (cortes de dos rectas de la frontera):
- \(x=4\) con \(2x+y=20\): \((4,12)\).
- \(x=4\) con \(2x+y=24\): \((4,16)\).
- \(y=2x\) con \(2x+y=20\): \((5,10)\).
- \(y=2x\) con \(2x+y=24\): \((6,12)\).
- Función objetivo \(F(x,y)=0{,}6x+0{,}4y\) en cada vértice:
| Vértice | \((4,12)\) | \((4,16)\) | \((5,10)\) | \((6,12)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(F=0{,}6x+0{,}4y\) | \(7{,}2\) | \(8{,}8\) | \(7\) | \(8{,}4\) |
- Conclusión. El máximo está en \((4,16)\).
Hay que llevar a cabo 4 misiones y 16 programas, y el máximo de \(F\) es \(8{,}8\). (Inversión: \(0{,}2\cdot4+0{,}1\cdot16=2{,}4\) millones, todo el presupuesto.)
Extraordinaria · Suplente 2021
Ejercicio 1 · Extraordinaria · Suplente 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen
Un laboratorio farmacéutico tiene una línea de producción con dos medicamentos \(A\) y \(B\), con marca comercial y genérico respectivamente, de los cuales, entre los dos como máximo puede fabricar 10 unidades a la hora. Desde el punto de vista del rendimiento, se han de producir al menos 4 unidades por hora entre los dos y por motivos de política sanitaria, la producción de \(A\) ha de ser como mucho 2 unidades más que la de \(B\).
Cada unidad de tipo \(A\) que vende le produce un beneficio de 60 euros, mientras que cada unidad de tipo \(B\) le produce un beneficio de 25 euros. Si se vende todo lo que se produce, determine las unidades de cada medicamento que deberá fabricar por hora para maximizar su beneficio y obtenga el valor de dicho beneficio.
Programación lineal: planteamiento.
Programación lineal: se optimiza una función objetivo \(F(x,y)\) sujeta a restricciones lineales (desigualdades). Las condiciones de no negatividad \(x\ge0,\ y\ge0\) suelen estar implícitas en el contexto.
Programación lineal: región factible y óptimo.
La región factible es la intersección de los semiplanos de las restricciones. Si está acotada, el óptimo de \(F\) se alcanza en un vértice (o en todo un lado si la recta de nivel es paralela a él).
Programación lineal: planteamiento.
- Define \(x\) e \(y\) (cantidad de cada producto, con unidades).
- Escribe una desigualdad por cada limitación («como máximo» \(\le\), «al menos» \(\ge\)) y la función objetivo (beneficio, coste, número de unidades…).
- Ordena los datos en una tabla (recursos por unidad de producto) para no confundir coeficientes.
Programación lineal: región factible y óptimo.
- Dibuja cada recta (dos puntos) y sombrea el semiplano que cumple la desigualdad probando el punto \((0,0)\).
- Marca la región común y halla los vértices resolviendo los sistemas de dos rectas que se cortan en ellos.
- Evalúa \(F\) en cada vértice y elige el mayor (máximo) o el menor (mínimo).
- Responde con el contexto: valores de \(x\) e \(y\), valor óptimo y, si lo piden, recursos sobrantes.
- Incógnitas. \(x\) = unidades de \(A\) por hora, \(y\) = unidades de \(B\) por hora.
- Restricciones.
- Como máximo 10 unidades entre las dos: \(x+y\le10\).
- Al menos 4 entre las dos: \(x+y\ge4\).
- \(A\) como mucho 2 unidades más que \(B\): \(x\le y+2\), es decir, \(x-y\le2\).
- No negatividad: \(x\ge0\), \(y\ge0\).
- Función objetivo. Beneficio \(B(x,y)=60x+25y\).
- Vértices de la región factible (cortes de rectas de la frontera): \((0,4)\) (\(x=0\) con \(x+y=4\)), \((0,10)\) (\(x=0\) con \(x+y=10\)), \((6,4)\) (\(x+y=10\) con \(x-y=2\)) y \((3,1)\) (\(x+y=4\) con \(x-y=2\)).
- Beneficio en cada vértice:
| Vértice | \((0,4)\) | \((0,10)\) | \((6,4)\) | \((3,1)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(B\) | \(100\) | \(250\) | \(460\) | \(205\) |
- Conclusión. El mayor valor es \(460\), en \((6,4)\). Se cumple la limitación de \(A\): \(6\le4+2\).
Debe fabricar 6 unidades de \(A\) y 4 de \(B\) por hora, con un beneficio máximo de \(460\) €.
También trabajan este tema
Ejercicios cuyo tema principal es otro pero en los que aparece este tema:
- 2025 Ordinaria · Modelo B, ejercicio 1 (tema principal: Sistemas de ecuaciones lineales)
Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF oficial del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.