Programación lineal — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 9 son básicos y del 10 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía para Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (ejercicio de álgebra, 3 puntos, a veces con dos opciones de las que se elige una). Los marcados como competenciales piden modelizar, interpretar el resultado en el contexto o justificar. Las soluciones están al final.

Región factible y vértices

1. Representa la región definida por \(x+y\le6\), \(2x+y\ge4\), \(x\ge0\), \(y\ge0\) y calcula sus vértices.

2. Maximiza \(F(x,y)=3x+2y\) sujeta a \(x+2y\le10\), \(3x+y\le15\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).

3. Minimiza \(F(x,y)=2x+5y\) sujeta a \(x+y\ge4\), \(x\le6\), \(y\le5\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).

4. Calcula los vértices de la región \(x+y\ge2\), \(x-y\le2\), \(x+y\le6\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).

5. Una región es el cuadrilátero de vértices \((0,0)\), \((4,0)\), \((3,3)\) y \((0,2)\). Halla el máximo y el mínimo de \(F(x,y)=4x-y\) en ella.

Casos particulares y planteamiento

6. Maximiza \(F(x,y)=2x+2y\) sujeta a \(x+y\le5\), \(x\le4\), \(y\le4\), \(x\ge0\), \(y\ge0\). ¿Cuántas soluciones óptimas hay? Descríbelas.

7. Dada la región \(x+y\ge3\), \(x\ge0\), \(y\ge0\), halla el mínimo y el máximo de \(F(x,y)=2x+y\) si existen.

8. Una tienda de bolsos fabrica bolsos de tipo A (beneficio de 8 €) y de tipo B (beneficio de 12 €). Un bolso A necesita 1 hora de cosido y uno B, 2 horas; hay 40 horas disponibles. Además, se pueden hacer como mucho 20 bolsos A. Plantea el problema y halla cuántos de cada tipo maximizan el beneficio.

9. Estudia si existe región factible en \(x+y\le2\), \(x+y\ge5\), \(x\ge0\), \(y\ge0\) y razona qué ocurre con el problema de maximizar \(F(x,y)=x+y\).

Problemas tipo PAU

10. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una granja escuela compra dos piensos, P1 (0,90 € el kilo) y P2 (1,20 € el kilo). Cada animal necesita al día al menos 30 unidades de proteína y 14 de calcio. Un kilo de P1 aporta 3 unidades de proteína y 1 de calcio, y un kilo de P2 aporta 2 de proteína y 2 de calcio.

  1. (0,75 puntos) Plantea el problema: variables, restricciones y función de coste.

  2. (0,75 puntos) Dibuja la región factible.

  3. (0,75 puntos) Calcula sus vértices.

  4. (0,75 puntos) Halla la combinación de piensos de coste mínimo y su coste, e interpreta el resultado.

11. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Un taller fabrica sillas (\(x\)) y mesas (\(y\)). Una silla necesita 1 hora de carpintería y 3 de barnizado; una mesa, 2 horas de carpintería y 1 de barnizado. Hay 40 horas de carpintería y 60 de barnizado. Cada silla deja 30 € de beneficio y cada mesa, 50 €.

  1. (0,75 puntos) Plantea el problema de programación lineal.

  2. (0,75 puntos) Representa la región factible y calcula sus vértices.

  3. (0,75 puntos) Calcula cuántas sillas y mesas dan el máximo beneficio y cuál es.

  4. (0,75 puntos) ¿Se agotan las horas de carpintería y de barnizado en esa solución? Justifícalo.

12. (Tipo PAU · 3 puntos) Elige una de las dos opciones.

Opción A. Un taller de cerámica fabrica jarrones (\(x\), beneficio de 20 €) y platos (\(y\), beneficio de 15 €). Sujeto a \(2x+y\le60\) (horno), \(x+y\le50\) (decoración), \(x\le25\) y \(x\ge0\), \(y\ge0\):

  1. (1 punto) Dibuja la región factible.

  2. (1 punto) Calcula sus vértices.

  3. (1 punto) Halla el beneficio máximo y dónde se alcanza.

Opción B. Una cocina solidaria prepara bandejas de tipo A (1,5 € de coste) y de tipo B (2 € de coste). Debe preparar al menos 8 bandejas en total y cubrir con ellas una cantidad de nutrientes que exige \(2x+y\ge12\).

  1. (1 punto) Plantea el problema y dibuja la región factible.

  2. (1 punto) Calcula sus vértices.

  3. (1 punto) Halla el coste mínimo y cuántas bandejas de cada tipo lo consiguen.

13. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una asociación contrata monitores de tipo A (60 € al día) y de tipo B (80 € al día). Debe haber al menos 10 monitores en total y, como cada monitor A atiende a 1 grupo y cada monitor B a 3, la cobertura exige \(x+3y\ge18\).

  1. (0,75 puntos) Plantea el problema y dibuja la región factible.

  2. (0,75 puntos) Calcula los vértices.

  3. (0,75 puntos) Halla el coste mínimo diario.

  4. (0,75 puntos) Justifica que el problema de maximizar el coste no tiene solución e interpreta por qué.

14. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una empresa de reparto usa furgonetas pequeñas (\(x\), beneficio de 3 mil euros por viaje) y grandes (\(y\), beneficio de 6 mil euros). Por limitaciones de personal, \(x+2y\le12\), y no puede salir más de 8 furgonetas pequeñas (\(x\le8\)), con \(x\ge0\), \(y\ge0\).

  1. (0,75 puntos) Dibuja la región factible y calcula sus vértices.

  2. (0,75 puntos) Calcula el beneficio en cada vértice.

  3. (0,75 puntos) Observa que hay más de un vértice óptimo. Describe todas las soluciones óptimas y da una que tenga valores enteros distinta de los vértices.

  4. (0,75 puntos) Explica geométricamente por qué ocurre.

15. (Tipo PAU · 3 puntos) Un colegio contrata furgonetas de 9 plazas (60 € al día) y autocares de 50 plazas (400 € al día) para una excursión de 200 personas. Solo puede contratar 12 vehículos como máximo.

  1. (0,75 puntos) Plantea el problema.

  2. (0,75 puntos) Calcula el mínimo cuando \(x\) e \(y\) pueden ser números reales cualesquiera (vértices de la región).

  3. (0,75 puntos) Como los vehículos son enteros, la solución anterior no vale. Comprueba que el vértice óptimo no tiene coordenadas enteras.

  4. (0,75 puntos) Halla la solución óptima con valores enteros y su coste.

16. (Tipo PAU · 3 puntos) Una empresa de limpieza ofrece servicios a oficinas (\(x\), beneficio de 40 €) y a domicilios (\(y\), beneficio de 25 €). El personal necesita 2 horas por oficina y 1 por domicilio, con 100 horas disponibles; el desplazamiento, 1 hora por servicio con 70 horas disponibles; y no puede atender más de 45 oficinas.

  1. (0,5 puntos) Escribe el sistema de inecuaciones.

  2. (1 punto) Dibuja la región factible y calcula sus vértices.

  3. (0,75 puntos) Halla el beneficio máximo.

  4. (0,75 puntos) Si el beneficio por oficina bajara a 20 €, ¿cambia la solución óptima?

17. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una pastelería elabora tartas (\(x\), 40 € de beneficio) y bizcochos (\(y\), 30 € de beneficio). Dispone de 60 kg de harina y cada tarta usa 2 kg y cada bizcocho 1 kg; de 75 horas de trabajo, con 1 y 3 horas respectivamente; y tiene encargados como máximo 20 bizcochos.

  1. (0,75 puntos) Plantea el problema y calcula los vértices de la región.

  2. (0,75 puntos) Halla la producción de beneficio máximo.

  3. (0,75 puntos) ¿Qué recursos se agotan en la solución óptima?

  4. (0,75 puntos) ¿Cuánto sobra del recurso que no se agota? Interpreta.

18. (Tipo PAU · 3 puntos) Una región queda definida por \(x+2y\le10\), \(3x+y\le15\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).

  1. (1 punto) Calcula sus vértices.

  2. (1 punto) Halla el máximo de \(F_1(x,y)=3x+2y\).

  3. (1 punto) Halla el máximo de \(F_2(x,y)=x+3y\) y compara las dos soluciones.

19. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) En la región del ejercicio anterior se estudia \(F(x,y)=kx+y\), donde \(k>0\) es el precio relativo de un producto.

  1. (0,75 puntos) Calcula \(F\) en cada vértice en función de \(k\).

  2. (1,5 puntos) Halla los valores de \(k\) para los que el máximo se alcanza en el vértice \((4,3)\).

  3. (0,75 puntos) Indica dónde está el máximo si \(k=5\) y si \(k=0{,}25\), e interpreta el resultado.

20. (Tipo PAU · 3 puntos) Una región es el cuadrilátero de vértices \((0,0)\), \((6,0)\), \((4,3)\) y \((0,5)\).

  1. (1,5 puntos) Escribe las inecuaciones que la definen.

  2. (0,75 puntos) Calcula el máximo de \(F(x,y)=5x+4y\) en ella.

  3. (0,75 puntos) Comprueba que el punto \((3,3)\) pertenece a la región y que \(F(3,3)\) es menor que el máximo.

21. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una persona dispone de 20 000 € para invertir en bonos (\(x\) euros, rentabilidad del \(4\,\%\)) y en un fondo (\(y\) euros, rentabilidad del \(7\,\%\)). Quiere invertir al menos 5 000 € en bonos y al menos 2 000 € en el fondo, y en el fondo no más de 4 000 € más que en bonos.

  1. (0,75 puntos) Plantea el problema.

  2. (0,75 puntos) Calcula los vértices de la región.

  3. (0,75 puntos) Halla la inversión que maximiza el interés anual y su valor.

  4. (0,75 puntos) Interpreta el resultado: ¿invierte todo el dinero disponible? ¿Qué rentabilidad total obtiene?

22. (Tipo PAU · 3 puntos) Un gimnasio municipal programa sesiones de yoga (\(x\), coste de 40 €) y de pilates (\(y\), coste de 30 €). Debe ofrecer al menos 10 sesiones en total, no más de 8 de yoga y no más de 9 de pilates.

  1. (0,75 puntos) Plantea el problema.

  2. (0,75 puntos) Dibuja la región factible y calcula los vértices.

  3. (0,75 puntos) Halla el programa de coste mínimo.

  4. (0,75 puntos) Justifica que la región no incluye el punto \((0,10)\) y por qué.

23. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) En el taller del ejercicio 11, el dueño estudia ampliar las horas de carpintería de 40 a 50.

  1. (0,75 puntos) Calcula la nueva región factible y sus vértices.

  2. (0,75 puntos) Halla el nuevo beneficio máximo y cuántas sillas y mesas se hacen.

  3. (0,75 puntos) ¿Cuánto aumenta el beneficio por esas 10 horas extra?

  4. (0,75 puntos) Calcula el beneficio extra por cada hora adicional y úsalo para decidir si compensa ampliar las horas si cada hora extra cuesta 20 €.

24. (Tipo PAU · 3 puntos) Un pedido debe repartirse entre dos almacenes: \(x+y=10\) unidades, con al menos 2 en el primero y al menos 1 en el segundo. El coste de transporte es \(F(x,y)=3x+2y\).

  1. (0,75 puntos) Describe la región factible y razona por qué es un segmento.

  2. (0,75 puntos) Calcula sus extremos.

  3. (0,75 puntos) Halla el coste mínimo y el máximo.

  4. (0,75 puntos) Escribe \(F\) en función de \(x\) y comprueba el resultado.

25. (Tipo PAU · 3 puntos) Un ayuntamiento concede becas de comedor (\(x\), 40 € cada una) y de transporte (\(y\), 60 € cada una) con un presupuesto de 11 000 €. Quiere dar al menos 50 becas de comedor y 30 de transporte, y no más de 200 de comedor.

  1. (0,75 puntos) Plantea el problema para maximizar el número total de becas.

  2. (0,75 puntos) Calcula los vértices de la región factible.

  3. (0,75 puntos) Halla el número máximo de becas y cómo se reparten.

  4. (0,75 puntos) Comprueba si se gasta todo el presupuesto.

Soluciones

Rectas: \(x+y=6\) pasa por \((6,0)\) y \((0,6)\); \(2x+y=4\) pasa por \((2,0)\) y \((0,4)\). Con el punto de prueba \((0,0)\): \(0\le6\) se cumple (el semiplano de \(x+y\le6\) contiene al origen) y \(0\ge4\) no se cumple (el semiplano de \(2x+y\ge4\) es el que no contiene al origen). La región está entre ambas rectas, en el primer cuadrante.

Vértices: \((2,0)\) (\(y=0\) con \(2x+y=4\)), \((6,0)\) (\(y=0\) con \(x+y=6\)), \((0,6)\) (\(x=0\) con \(x+y=6\)) y \((0,4)\) (\(x=0\) con \(2x+y=4\)). Las rectas \(x+y=6\) y \(2x+y=4\) se cortan en \((-2,8)\), que no cumple \(x\ge0\) y no es vértice.

Vértices: \((0,0)\); \((5,0)\) (\(y=0\) con \(3x+y=15\)); \((0,5)\) (\(x=0\) con \(x+2y=10\)); y la intersección de \(x+2y=10\) y \(3x+y=15\): de la segunda, \(y=15-3x\), y en la primera \(x+30-6x=10\), luego \(x=4\) e \(y=3\): \((4,3)\).

  • \(F(0,0)=0\).
  • \(F(5,0)=3\cdot5+2\cdot0=15\).
  • \(F(0,5)=3\cdot0+2\cdot5=10\).
  • \(F(4,3)=3\cdot4+2\cdot3=18\).

El máximo es \(18\) y se alcanza en \((4,3)\).

Región: por encima de \(x+y=4\) (el origen no cumple \(x+y\ge4\)), con \(x\le6\) e \(y\le5\). Vértices: \((4,0)\), \((6,0)\), \((6,5)\), \((0,5)\) y \((0,4)\).

  • \(F(4,0)=2\cdot4+5\cdot0=8\).
  • \(F(6,0)=12\).
  • \(F(6,5)=2\cdot6+5\cdot5=37\).
  • \(F(0,5)=25\).
  • \(F(0,4)=20\).

El mínimo es \(8\) y se alcanza en \((4,0)\).

Las rectas \(x+y=2\), \(x-y=2\) y \(x+y=6\) junto con los ejes. Vértices:

  • \((0,2)\): \(x=0\) con \(x+y=2\).
  • \((2,0)\): \(y=0\) con \(x+y=2\) (y con \(x-y=2\)).
  • \((4,2)\): \(x-y=2\) con \(x+y=6\) (sumando, \(2x=8\)).
  • \((0,6)\): \(x=0\) con \(x+y=6\).

El punto \((6,0)\) (\(y=0\) con \(x+y=6\)) incumple \(x-y\le2\), y \((0,-2)\) incumple \(y\ge0\): no son vértices.

Se evalúa \(F\) en los cuatro vértices:

  • \(F(0,0)=0\).
  • \(F(4,0)=4\cdot4-0=16\).
  • \(F(3,3)=4\cdot3-3=9\).
  • \(F(0,2)=4\cdot0-2=-2\).

El máximo es \(16\) en \((4,0)\) y el mínimo es \(-2\) en \((0,2)\).

Vértices: \((0,0)\), \((4,0)\), \((4,1)\) (\(x=4\) con \(x+y=5\)), \((1,4)\) (\(y=4\) con \(x+y=5\)) y \((0,4)\).

  • \(F(0,0)=0\), \(F(4,0)=8\) y \(F(0,4)=8\).
  • \(F(4,1)=2\cdot4+2\cdot1=10\).
  • \(F(1,4)=2\cdot1+2\cdot4=10\).

El máximo, \(10\), se alcanza en dos vértices consecutivos, \((4,1)\) y \((1,4)\): hay infinitas soluciones óptimas, todos los puntos del segmento \(x+y=5\) con \(1\le x\le4\) (la recta de nivel \(2x+2y=10\) es paralela a ese lado).

La región es no acotada: por encima de la recta \(x+y=3\) en el primer cuadrante. Sus vértices son \((3,0)\) y \((0,3)\).

  • \(F(3,0)=2\cdot3+0=6\).
  • \(F(0,3)=0+3=3\).

Como \(F=2x+y\ge0\) y crece al alejarse, hay mínimo: \(3\) en \((0,3)\). No hay máximo: en \((1000,0)\) ya vale \(2000\), y puede crecer sin límite.

Sean \(x\) e \(y\) el número de bolsos de tipo A y B. Maximizar \(F(x,y)=8x+12y\) sujeta a \(x+2y\le40\), \(x\le20\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).

Vértices: \((0,0)\), \((20,0)\), \((20,10)\) (\(x=20\) con \(x+2y=40\)) y \((0,20)\).

  • \(F(0,0)=0\) y \(F(20,0)=160\).
  • \(F(20,10)=8\cdot20+12\cdot10=280\).
  • \(F(0,20)=240\).

El máximo beneficio es \(280\) € con \(20\) bolsos de tipo A y \(10\) de tipo B.

Las condiciones \(x+y\le2\) y \(x+y\ge5\) no pueden cumplirse a la vez: una suma no puede ser a la vez menor o igual que \(2\) y mayor o igual que \(5\). La región factible es vacía (las dos franjas son paralelas y no se solapan).

Por tanto, el problema de maximizar \(F(x,y)=x+y\) no tiene solución: no hay ningún punto que cumpla todas las restricciones.

  1. Sean \(x\) e \(y\) los kilos de P1 y P2. Minimizar \(F(x,y)=0{,}9x+1{,}2y\) sujeta a \(3x+2y\ge30\) (proteína), \(x+2y\ge14\) (calcio), \(x\ge0\), \(y\ge0\).

  2. Rectas: \(3x+2y=30\) pasa por \((10,0)\) y \((0,15)\); \(x+2y=14\), por \((14,0)\) y \((0,7)\). En el origen ninguna se cumple (\(0\ge30\) y \(0\ge14\) son falsas), luego la región está por encima de ambas rectas. Es no acotada.

  3. Vértices: \((14,0)\) (\(y=0\) con \(x+2y=14\), que es más exigente que \(3x\ge30\)); \((0,15)\) (\(x=0\) con \(3x+2y=30\)); y la intersección de las rectas: restando, \(2x=16\), luego \(x=8\) e \(y=3\): \((8,3)\).

  4. \(F(14,0)=0{,}9\cdot14=12{,}6\), \(F(0,15)=1{,}2\cdot15=18\) y \(F(8,3)=0{,}9\cdot8+1{,}2\cdot3=10{,}8\). El mínimo es \(10{,}8\) €, con \(8\) kg de P1 y \(3\) kg de P2 por animal y día. Con esa mezcla se obtiene \(3\cdot8+2\cdot3=30\) de proteína y \(8+2\cdot3=14\) de calcio: justo lo necesario.

  1. Maximizar \(F(x,y)=30x+50y\) sujeta a \(x+2y\le40\) (carpintería), \(3x+y\le60\) (barnizado), \(x\ge0\), \(y\ge0\).

  2. Vértices: \((0,0)\); \((20,0)\) (\(y=0\) con \(3x+y=60\)); \((0,20)\) (\(x=0\) con \(x+2y=40\)); y la intersección de las dos rectas: de \(y=60-3x\), \(x+120-6x=40\), luego \(x=16\) e \(y=12\): \((16,12)\).

  3. \(F(0,0)=0\), \(F(20,0)=600\), \(F(0,20)=1000\) y \(F(16,12)=30\cdot16+50\cdot12=1080\). El máximo es \(1080\) € con \(16\) sillas y \(12\) mesas.

  4. Carpintería: \(16+2\cdot12=40\) horas, las \(40\) disponibles. Barnizado: \(3\cdot16+12=60\) horas, las \(60\) disponibles. Se agotan las dos, porque el vértice óptimo es la intersección de ambas restricciones.

Opción A.

  1. La región está limitada por \(2x+y=60\) (pasa por \((30,0)\) y \((0,60)\)), \(x+y=50\) (por \((50,0)\) y \((0,50)\)) y \(x=25\), en el primer cuadrante. El origen cumple las tres desigualdades.

  2. Vértices: \((0,0)\), \((25,0)\), \((25,10)\) (\(x=25\) con \(2x+y=60\)), \((10,40)\) (\(2x+y=60\) con \(x+y=50\): restando, \(x=10\)) y \((0,50)\).

  3. \(F=20x+15y\): \(F(0,0)=0\), \(F(25,0)=500\), \(F(25,10)=20\cdot25+15\cdot10=650\), \(F(10,40)=20\cdot10+15\cdot40=800\) y \(F(0,50)=750\). El beneficio máximo es \(800\) € con \(10\) jarrones y \(40\) platos.

Opción B.

  1. Minimizar \(F(x,y)=1{,}5x+2y\) sujeta a \(x+y\ge8\), \(2x+y\ge12\), \(x\ge0\), \(y\ge0\). El origen no cumple ninguna de las dos condiciones, luego la región está por encima de las rectas \(x+y=8\) y \(2x+y=12\); es no acotada.

  2. Vértices: \((8,0)\) (\(y=0\) con \(x+y=8\)), \((0,12)\) (\(x=0\) con \(2x+y=12\)) y \((4,4)\) (restando las dos rectas, \(x=4\)).

  3. \(F(8,0)=1{,}5\cdot8=12\), \(F(0,12)=24\) y \(F(4,4)=1{,}5\cdot4+2\cdot4=14\). El coste mínimo es \(12\) €, con \(8\) bandejas de tipo A y ninguna de tipo B.

  1. Minimizar \(F(x,y)=60x+80y\) sujeta a \(x+y\ge10\), \(x+3y\ge18\), \(x\ge0\), \(y\ge0\). El origen no cumple ninguna, así que la región queda por encima de las dos rectas y no está acotada.

  2. Vértices: \((18,0)\) (\(y=0\) con \(x+3y=18\)), \((0,10)\) (\(x=0\) con \(x+y=10\)) y la intersección de las rectas: restando, \(2y=8\), luego \(y=4\) y \(x=6\): \((6,4)\).

  3. \(F(18,0)=1080\), \(F(0,10)=800\) y \(F(6,4)=60\cdot6+80\cdot4=680\). El coste mínimo es \(680\) € al día con \(6\) monitores de tipo A y \(4\) de tipo B.

  4. La región no está acotada: hay puntos con \(x\) o \(y\) tan grandes como se quiera que cumplen todas las restricciones, y allí \(F\) crece sin límite (por ejemplo, \(F(1000,0)=60000\)). No hay máximo del coste: tiene sentido, pues no hay un tope al número de monitores que se podrían contratar.

  1. Vértices: \((0,0)\), \((8,0)\), \((8,2)\) (\(x=8\) con \(x+2y=12\)) y \((0,6)\) (\(x=0\) con \(x+2y=12\)).

  2. \(F=3x+6y\): \(F(0,0)=0\), \(F(8,0)=24\), \(F(8,2)=3\cdot8+6\cdot2=36\) y \(F(0,6)=3\cdot0+6\cdot6=36\).

  3. El máximo, \(36\) mil euros, se alcanza en \((8,2)\) y en \((0,6)\): son óptimos todos los puntos del segmento que los une, \(x+2y=12\) con \(0\le x\le8\). Una solución con valores enteros distinta de los vértices es \((4,4)\), con \(F(4,4)=3\cdot4+6\cdot4=36\).

  4. La recta de nivel \(3x+6y=36\) es paralela al lado \(x+2y=12\) de la región (\(3x+6y=3(x+2y)\)): al desplazar la recta de nivel hasta el último contacto con la región, toca todo un lado y no un solo vértice.

  1. Minimizar \(F(x,y)=60x+400y\) sujeta a \(9x+50y\ge200\) (plazas), \(x+y\le12\) (vehículos), \(x\ge0\), \(y\ge0\), con \(x\) furgonetas e \(y\) autocares.

  2. Vértices: \((0,4)\) (\(x=0\) con \(9x+50y=200\)), \((0,12)\) (\(x=0\) con \(x+y=12\)) y la intersección de \(9x+50y=200\) y \(x+y=12\): de \(x=12-y\), \(108+41y=200\), luego \(y=\frac{92}{41}\) y \(x=\frac{400}{41}\). Valores de \(F\): \(F(0,4)=1600\), \(F(0,12)=4800\) y \(F\!\left(\frac{400}{41},\frac{92}{41}\right)=\frac{60800}{41}\approx1482{,}93\). El mínimo es \(\approx1482{,}93\) en el tercer vértice.

  3. \(x=\frac{400}{41}\approx9{,}76\) e \(y=\frac{92}{41}\approx2{,}24\) no son enteros: no se pueden contratar \(9{,}76\) furgonetas.

  4. Entre los puntos enteros de la región: con \(y=2\) haría falta \(9x\ge100\), es decir \(x\ge12\), y \(x+y\le12\) lo impide. Con \(y=3\) hace falta \(9x\ge50\), es decir \(x\ge6\) (y \(x+3\le12\) permite \(x\le9\)): el mejor es \((6,3)\), con \(F(6,3)=60\cdot6+400\cdot3=1560\). Con \(y=4\) el mejor es \((0,4)\), con \(1600\). La solución entera óptima es \(6\) furgonetas y \(3\) autocares, con un coste de \(1560\) € (algo más que el mínimo real, \(1482{,}93\)).

  1. \(2x+y\le100\) (personal), \(x+y\le70\) (desplazamiento), \(x\le45\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).

  2. Vértices: \((0,0)\), \((45,0)\), \((45,10)\) (\(x=45\) con \(2x+y=100\)), \((30,40)\) (\(2x+y=100\) con \(x+y=70\): restando, \(x=30\)) y \((0,70)\).

  3. \(F=40x+25y\): \(F(0,0)=0\), \(F(45,0)=1800\), \(F(45,10)=1800+250=2050\), \(F(30,40)=40\cdot30+25\cdot40=2200\) y \(F(0,70)=1750\). El beneficio máximo es \(2200\) € con \(30\) oficinas y \(40\) domicilios.

  4. Con \(F=20x+25y\): \(F(0,0)=0\), \(F(45,0)=900\), \(F(45,10)=1150\), \(F(30,40)=1600\) y \(F(0,70)=1750\). Ahora el máximo es \(1750\) en \((0,70)\): sí cambia la solución óptima (solo domicilios).

  1. Maximizar \(F(x,y)=40x+30y\) sujeta a \(2x+y\le60\) (harina), \(x+3y\le75\) (horas), \(y\le20\) y \(x,y\ge0\). Vértices: \((0,0)\), \((30,0)\), \((21,18)\) (de \(2x+y=60\) y \(x+3y=75\): \(y=60-2x\), \(x+180-6x=75\), luego \(x=21\)), \((15,20)\) (\(y=20\) con \(x+3y=75\)) y \((0,20)\).

  2. \(F(0,0)=0\), \(F(30,0)=1200\), \(F(21,18)=40\cdot21+30\cdot18=1380\), \(F(15,20)=600+600=1200\) y \(F(0,20)=600\). El máximo es \(1380\) € con \(21\) tartas y \(18\) bizcochos.

  3. Harina: \(2\cdot21+18=60\) kg, los \(60\) disponibles. Horas: \(21+3\cdot18=75\), las \(75\) disponibles. Se agotan la harina y las horas de trabajo.

  4. El pedido máximo de bizcochos no se agota: se hacen \(18\) y podría hacerse hasta \(20\), así que sobran \(2\) bizcochos de capacidad en esa restricción. Interpretación: lo que limita el beneficio son la harina y el trabajo, no los encargos.

  1. Vértices: \((0,0)\), \((5,0)\), \((0,5)\) y \((4,3)\) (la intersección de \(x+2y=10\) y \(3x+y=15\)).

  2. \(F_1=3x+2y\): \(F_1(0,0)=0\), \(F_1(5,0)=15\), \(F_1(0,5)=10\) y \(F_1(4,3)=18\). Máximo \(18\) en \((4,3)\).

  3. \(F_2=x+3y\): \(F_2(0,0)=0\), \(F_2(5,0)=5\), \(F_2(0,5)=15\) y \(F_2(4,3)=4+9=13\). Máximo \(15\) en \((0,5)\). Con \(F_1\) conviene el vértice \((4,3)\) y con \(F_2\) el vértice \((0,5)\): al cambiar la función objetivo, cambia la solución óptima aunque la región sea la misma.

  1. Con los vértices \((0,0)\), \((5,0)\), \((4,3)\) y \((0,5)\): \(F(0,0)=0\), \(F(5,0)=5k\), \(F(4,3)=4k+3\) y \(F(0,5)=5\).

  2. El máximo está en \((4,3)\) si \(4k+3\ge5k\) (es decir, \(k\le3\)) y \(4k+3\ge5\) (es decir, \(k\ge\frac12\)). Por tanto, \(\frac{1}{2}\le k\le3\).

  3. Si \(k=5>3\), \(F(5,0)=25\) es mayor que \(F(4,3)=23\): el máximo está en \((5,0)\). Si \(k=0{,}25<\frac12\), \(F(0,5)=5\) es mayor que \(F(4,3)=4\): el máximo está en \((0,5)\). Interpretación: cuando el primer producto vale mucho más que el segundo (\(k\) grande), conviene dedicar todos los recursos a él; si vale poco, al segundo; y en el rango intermedio conviene producir de los dos.

  1. El lado de \((0,0)\) a \((6,0)\) es \(y\ge0\) y el de \((0,0)\) a \((0,5)\) es \(x\ge0\). La recta por \((6,0)\) y \((4,3)\) es \(3x+2y=18\) y la recta por \((4,3)\) y \((0,5)\) es \(x+2y=10\). El origen cumple \(3x+2y\le18\) y \(x+2y\le10\). Inecuaciones: \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(3x+2y\le18\) y \(x+2y\le10\).

  2. \(F=5x+4y\): \(F(0,0)=0\), \(F(6,0)=30\), \(F(4,3)=5\cdot4+4\cdot3=32\) y \(F(0,5)=20\). El máximo es \(32\) en \((4,3)\).

  3. \((3,3)\): \(3\cdot3+2\cdot3=15\le18\) y \(3+2\cdot3=9\le10\), además \(x,y\ge0\): pertenece a la región. \(F(3,3)=5\cdot3+4\cdot3=27<32\).

  1. Maximizar \(F(x,y)=0{,}04x+0{,}07y\) sujeta a \(x+y\le20000\), \(x\ge5000\), \(y\ge2000\) e \(y\le x+4000\).

  2. Vértices: \((5000,2000)\); \((18000,2000)\) (\(y=2000\) con \(x+y=20000\)); \((8000,12000)\) (\(y=x+4000\) con \(x+y=20000\): \(2x+4000=20000\)); y \((5000,9000)\) (\(x=5000\) con \(y=x+4000\)).

  3. \(F(5000,2000)=200+140=340\), \(F(18000,2000)=720+140=860\), \(F(8000,12000)=0{,}04\cdot8000+0{,}07\cdot12000=320+840=1160\) y \(F(5000,9000)=200+630=830\). El máximo interés es \(1160\) € con \(8000\) € en bonos y \(12000\) € en el fondo.

  4. Sí invierte todo el dinero: \(8000+12000=20000\). La rentabilidad total es \(\dfrac{1160}{20000}=0{,}058\), es decir, \(5{,}8\,\%\), entre el \(4\,\%\) y el \(7\,\%\) de los productos.

  1. Minimizar \(F(x,y)=40x+30y\) sujeta a \(x+y\ge10\), \(x\le8\), \(y\le9\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).

  2. Vértices: \((1,9)\) (\(y=9\) con \(x+y=10\)), \((8,2)\) (\(x=8\) con \(x+y=10\)) y \((8,9)\). La región es un triángulo.

  3. \(F(1,9)=40\cdot1+30\cdot9=310\), \(F(8,2)=320+60=380\) y \(F(8,9)=320+270=590\). El coste mínimo es \(310\) € con \(1\) sesión de yoga y \(9\) de pilates.

  4. \((0,10)\) cumple \(x+y\ge10\), pero \(y=10\) no cumple \(y\le9\). Por eso no está en la región y el programa \((0,10)\) no es válido.

  1. Con \(50\) horas de carpintería: \(x+2y\le50\), \(3x+y\le60\). Vértices: \((0,0)\), \((20,0)\), \((0,25)\) (\(x=0\) con \(x+2y=50\)) y la intersección: \(y=60-3x\), \(x+120-6x=50\), luego \(x=14\) e \(y=18\): \((14,18)\).

  2. \(F=30x+50y\): \(F(0,0)=0\), \(F(20,0)=600\), \(F(0,25)=1250\) y \(F(14,18)=30\cdot14+50\cdot18=1320\). El máximo es \(1320\) € con \(14\) sillas y \(18\) mesas.

  3. Antes era \(1080\) €. Ahora el beneficio aumenta \(1320-1080=240\) €.

  4. Cada hora extra aporta \(\dfrac{240}{10}=24\) €. Como cuesta \(20\) €, compensa: el beneficio neto por hora es \(24-20=4\) €, y por las \(10\) horas, \(40\) €.

  1. Con \(x+y=10\), los puntos están sobre una recta; las condiciones \(x\ge2\) e \(y\ge1\) (es decir, \(x\le9\)) recortan un trozo de ella. Una recta recortada por dos condiciones es un segmento.

  2. Extremos: \(x=2\) da \(y=8\), es decir, \((2,8)\); \(y=1\) da \(x=9\), es decir, \((9,1)\).

  3. \(F(2,8)=3\cdot2+2\cdot8=22\) y \(F(9,1)=3\cdot9+2\cdot1=29\). Coste mínimo \(22\) en \((2,8)\) y máximo \(29\) en \((9,1)\).

  4. Con \(y=10-x\): \(F=3x+2(10-x)=20+x\), creciente en \(x\) para \(2\le x\le9\). Su mínimo es \(20+2=22\) y su máximo \(20+9=29\), como antes.

  1. Maximizar \(F(x,y)=x+y\) sujeta a \(40x+60y\le11000\), \(x\ge50\), \(y\ge30\) y \(x\le200\).

  2. Vértices: \((50,30)\); \((200,30)\); \((200,50)\) (\(x=200\) con \(40x+60y=11000\): \(60y=3000\)); y \((50,150)\) (\(x=50\) con \(40x+60y=11000\): \(60y=9000\)).

  3. \(F(50,30)=80\), \(F(200,30)=230\), \(F(200,50)=250\) y \(F(50,150)=200\). El máximo es \(250\) becas: \(200\) de comedor y \(50\) de transporte.

  4. Coste: \(40\cdot200+60\cdot50=8000+3000=11000\) €. Sí, se gasta todo el presupuesto.