PAU Andalucía — Matrices y determinantes

Ejercicios de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es matrices y determinantes: 28 ejercicios de convocatorias ordinarias y extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la resolución breve con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

2026

Ordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 1A · Ordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque A · (3 puntos) · Examen

Se consideran las matrices \(A=\begin{pmatrix}m&0&1\\0&1&0\\2&0&m+1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}\), \(C=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&3\end{pmatrix}\), siendo \(m\) un número real.

1. Halle los valores de \(m\) para que el rango de \(A\) sea 3. (0,75 puntos)

2. Calcule los valores de \(m\) para los que \(A\) no tiene inversa. (0,25 puntos)

3. Para \(m=2\), calcule \(A^{-1}\) y resuelva la ecuación \(X\cdot A=C\). (1,25 puntos)

4. Para \(m=1\), clasifique el sistema \(A\cdot Y=B\) atendiendo al número de soluciones que tiene. (0,75 puntos)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

NotaAyuda 2 · Método

Determinantes y parámetros.

1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Matriz inversa.

1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

TipSolución

a) Valores de \(m\) con rango \(3\). 1. El rango de la matriz \(3\times3\) es \(3\) si y solo si \(|A|\neq0\). 2. Determinante: \(|A|=\left|\begin{matrix}m&0&1\\0&1&0\\2&0&m+1\end{matrix}\right|=m(m+1)-2=m^2+m-2=(m-1)(m+2)\).

El rango es \(3\) si \(m\neq1\) y \(m\neq-2\).

b) \(A\) sin inversa. 1. \(A\) no tiene inversa si \(|A|=0\), es decir, cuando el rango es menor que \(3\).

\(A\) no tiene inversa si \(m=1\) o \(m=-2\).

c) Inversa y ecuación \(XA=C\) para \(m=2\). 1. \(A=\begin{pmatrix}2&0&1\\0&1&0\\2&0&3\end{pmatrix}\), \(|A|=4\neq0\). 2. Inversa: \(A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{3}{4}&0&-\frac{1}{4}\\0&1&0\\-\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\). 3. Se multiplica \(XA=C\) por la derecha por \(A^{-1}\) (la incógnita está a la izquierda de \(A\)): \(X=CA^{-1}\). 4. Se calcula: \[X=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{4}&0&-\frac{1}{4}\\0&1&0\\-\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{4}&0&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{2}&1&\frac{3}{2}\end{pmatrix}.\]

d) Clasificación de \(AY=B\) para \(m=1\). 1. \(A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\2&0&2\end{pmatrix}\), con \(|A|=0\) y rango \(2\). 2. La matriz ampliada \(\left(A\mid B\right)\) también tiene rango \(2\): la tercera ecuación, \(2y_1+2y_3=6\), es el doble de la primera, \(y_1+y_3=3\). 3. Rouché–Frobenius: \(\operatorname{rango}A=\operatorname{rango}(A\mid B)=2<3\) incógnitas.

Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, \(y_2=2\) e \(y_1+y_3=3\)).

Extraordinaria 2026

Ejercicio 1 · Extraordinaria 2026 · Bloque A · (3 puntos) · Examen

Se consideran las matrices \(A=\begin{pmatrix}2&m&0\\-1&m&2\\0&m&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}\), \(C=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\).

1. Calcule los valores de \(m\) para que el rango de la matriz \(A\) sea 3. (0,75 puntos)

2. Para \(m=1\), resuelva la ecuación matricial \(A^{t}\cdot X-B^{2}=2\cdot X\). (1,75 puntos)

3. ¿Es posible encontrar una matriz \(D\) que satisfaga \(C^{t}\cdot A=B\cdot D\)? (0,5 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

NotaAyuda 2 · Método

Determinantes y parámetros.

1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

TipSolución

a) Valores de \(m\) con rango \(3\). 1. El rango de la matriz \(3\times3\) es \(3\) si y solo si \(|A|\neq0\). 2. Determinante: \(|A|=\left|\begin{matrix}2&m&0\\-1&m&2\\0&m&1\end{matrix}\right|=2(m-2m)-m(-1-0)=-2m+m=-m\).

El rango es \(3\) si \(m\neq0\).

b) Ecuación matricial (con \(m=1\)). 1. Se agrupan los términos con \(X\): \(A^tX-B^2=2X\Rightarrow A^tX-2X=B^2\Rightarrow\left(A^t-2I_3\right)X=B^2\). 2. Matrices: \(A^t-2I_3=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&-1&1\\0&2&-1\end{pmatrix}\), con \(\left|A^t-2I_3\right|=-1\neq0\) (es invertible), y \(B^2=\begin{pmatrix}3&0&4\\1&1&2\\2&0&3\end{pmatrix}\). 3. Se multiplica por la izquierda por \(\left(A^t-2I_3\right)^{-1}\) (la incógnita está a la derecha): \[X=\left(A^t-2I_3\right)^{-1}B^2=\begin{pmatrix}6&1&9\\-3&0&-4\\-8&0&-11\end{pmatrix}.\] 4. Comprobación: la primera fila de \(\left(A^t-2I_3\right)X\) es \(-1\cdot(-3,0,-4)=(3,0,4)\), la primera de \(B^2\).

c) ¿Existe \(D\) con \(C^tA=BD\)? 1. \(C^t\) es \(1\times3\) y \(A\) es \(3\times3\), luego \(C^t\cdot A\) es \(1\times3\). 2. \(B\) es \(3\times3\), luego \(B\cdot D\) tiene \(3\) filas, sea cual sea \(D\). 3. Una matriz de \(1\) fila no puede ser igual a una de \(3\) filas.

No es posible encontrar tal matriz \(D\).

2025

Ordinaria · Modelo A 2025

Ejercicio 1 · Ordinaria · Modelo A 2025 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

1. Plantee y resuelva el siguiente problema de forma matricial: (1,75 puntos)

El gerente de una empresa de productos hospitalarios desea introducir un nuevo producto en el mercado nacional. Para ello contrata a 3 vendedores que se han encargado de las zonas A, B y C del país, respectivamente. El vendedor de la zona A ha trabajado 40 horas, ha realizado 10 demostraciones y 5 viajes para dicha promoción. El vendedor de la zona \(B\) ha trabajado el doble de horas que el de la zona A, realizando 15 demostraciones y 8 viajes. En cuanto al vendedor de la zona C, ha trabajado 100 horas, ha realizado 25 demostraciones y 10 viajes. El gerente debe abonarles 75 € por hora trabajada, 300 € por demostración y 250 € por viaje realizado. Teniendo en cuenta que, además, debe aplicárseles una retención en concepto del impuesto del IRPF del \(15\,\%\) si la cantidad a abonar al vendedor es menor de diez mil euros y del \(18\,\%\) en caso contrario, determine la cantidad final que cobrará cada vendedor.

2. Sea \(A=\begin{pmatrix}-2&2&1\\3&a-1&2\\4&0&3\end{pmatrix}\). ¿Para qué valores de \(a\) es la matriz \(A\) invertible? (0,75 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

NotaAyuda 2 · Método

1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

TipSolución

a) Planteamiento matricial. 1. Matriz de trabajo \(T\) (filas: vendedores \(A\), \(B\), \(C\); columnas: horas, demostraciones, viajes) y vector de precios \(P\) (€ por hora, demostración y viaje). El vendedor \(B\) trabaja el doble que \(A\): \(2\cdot40=80\) horas. \[T=\begin{pmatrix}40&10&5\\80&15&8\\100&25&10\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}75\\300\\250\end{pmatrix}.\] 2. Cantidad bruta a abonar a cada vendedor: \[T\cdot P=\begin{pmatrix}40\cdot75+10\cdot300+5\cdot250\\80\cdot75+15\cdot300+8\cdot250\\100\cdot75+25\cdot300+10\cdot250\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\,250\\12\,500\\17\,500\end{pmatrix}.\] 3. Retención: \(15\,\%\) al vendedor \(A\) (\(7\,250<10\,000\)) y \(18\,\%\) a \(B\) y \(C\). Se cobra el \(85\,\%\) o el \(82\,\%\), que se recoge en la matriz diagonal \(D=\begin{pmatrix}0{,}85&0&0\\0&0{,}82&0\\0&0&0{,}82\end{pmatrix}\). 4. Cantidad final: \[D\cdot T\cdot P=\begin{pmatrix}0{,}85\cdot7\,250\\0{,}82\cdot12\,500\\0{,}82\cdot17\,500\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\,162{,}5\\10\,250\\14\,350\end{pmatrix}.\]

Cobrarán: zona \(A\) \(6\,162{,}50\) €, zona \(B\) \(10\,250\) € y zona \(C\) \(14\,350\) €.

b) Valores de \(a\) con \(A\) invertible. 1. \(A\) es invertible si y solo si \(|A|\neq0\). 2. Se desarrolla por la primera fila: \(|A|=-2\left[3(a-1)-0\right]-2\,(9-8)+1\cdot\left[0-4(a-1)\right]=-10a+8=-2(5a-4)\). 3. Se anula en \(a=\dfrac{4}{5}\).

\(A\) es invertible si \(a\neq\dfrac{4}{5}\).

Ordinaria · Suplente 1 · Modelo A 2025

Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente 1 · Modelo A 2025 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&1&2\\2&2&2\end{pmatrix}\).

1. Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales: (1,75 puntos) \[\left(A+I_3\right)\cdot X+Y=A-I_3\qquad\qquad X-Y=I_3\]

2. Halle el rango de las matrices \(A+I_3\) y \(A-I_3\). ¿Son matrices invertibles? (0,75 puntos)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

NotaAyuda 2 · Método

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

TipSolución

a) Sistema de ecuaciones matriciales. 1. Se suman las dos ecuaciones para eliminar \(Y\): \((A+I_3)X+Y+X-Y=(A-I_3)+I_3\Rightarrow(A+2I_3)X=A\). 2. \(A+2I_3=\begin{pmatrix}4&1&0\\0&3&2\\2&2&4\end{pmatrix}\) tiene \(|A+2I_3|=36\neq0\), luego es invertible, con \[(A+2I_3)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{9}&\frac{4}{9}&-\frac{2}{9}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}.\] 3. Se despeja \(X\) multiplicando por la izquierda por \((A+2I_3)^{-1}\): \(X=(A+2I_3)^{-1}A\). 4. De la segunda ecuación, \(Y=X-I_3\): \[X=(A+2I_3)^{-1}A=\begin{pmatrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix},\qquad Y=X-I_3=\begin{pmatrix}-\frac{4}{9}&\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{8}{9}&\frac{4}{9}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{pmatrix}.\]

b) Rangos e invertibilidad. 1. \(A+I_3=\begin{pmatrix}3&1&0\\0&2&2\\2&2&3\end{pmatrix}\) tiene \(|A+I_3|=10\neq0\): rango \(3\), es invertible. 2. \(A-I_3=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&2\\2&2&1\end{pmatrix}\) tiene \(|A-I_3|=0\) (las columnas primera y segunda son iguales). 3. Hay un menor de orden 2 no nulo: \(\left|\begin{matrix}1&0\\0&2\end{matrix}\right|=2\neq0\).

\(A-I_3\): rango \(2\), no es invertible.

2024

Ordinaria · Modelo A 2024

Ejercicio 1 · Ordinaria · Modelo A 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se consideran las matrices \(A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\a-3&a-1&1\\0&2&a\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}-1&3&2\end{pmatrix}\), \(C=\begin{pmatrix}-2&1&4\end{pmatrix}\), siendo \(a\) un número real.

1. Obtenga los valores de \(a\) para los que la matriz \(A\) tenga inversa. (0,75 puntos)

2. Para \(a=1\), resuelva la ecuación \(X\cdot A-B=C\cdot A\). (1,25 puntos)

3. Determine razonadamente la dimensión de la matriz \(D\) que permita realizar la operación \(B\cdot A+D\cdot C^{t}\cdot B\). (0,5 puntos)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Determinantes y parámetros.

1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Matriz inversa.

1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) Valores de \(a\) con inversa. 1. \(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). 2. Determinante: \(|A|=\left|\begin{matrix}1&1&-2\\a-3&a-1&1\\0&2&a\end{matrix}\right|=-2(a-5)=10-2a\). 3. Se anula en \(a=5\).

Tiene inversa si \(a\neq5\).

b) Ecuación matricial (con \(a=1\)). 1. \(|A|=8\neq0\) y \(A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\-2&0&1\\0&2&1\end{pmatrix}\), luego \(A\) es invertible. 2. Se despeja \(X\): de \(XA-B=CA\) se obtiene \(XA=B+CA\) y, multiplicando por la derecha por \(A^{-1}\) (la incógnita está a la izquierda de \(A\)): \(X=\left(B+CA\right)A^{-1}=BA^{-1}+C\). 3. Se calcula la inversa: \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{4}&-\frac{5}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}\). 4. Se multiplica y se suma \(C\): \[BA^{-1}=\begin{pmatrix}-1&3&2\end{pmatrix}A^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix},\qquad X=BA^{-1}+C=\begin{pmatrix}-2&\frac{3}{2}&\frac{11}{2}\end{pmatrix}.\]

c) Dimensión de \(D\). 1. \(B\cdot A\) es de dimensión \(1\times3\) (\(B\) es \(1\times3\) y \(A\) es \(3\times3\)). 2. En \(D\cdot C^t\cdot B\), \(C^t\) es \(3\times1\) y \(B\) es \(1\times3\), luego \(C^tB\) es \(3\times3\). 3. Para que la suma exista, \(D\cdot C^tB\) debe ser \(1\times3\); como \(C^tB\) es \(3\times3\), \(D\) tiene 1 fila y 3 columnas.

\(D\) es de dimensión \(1\times3\).

Ordinaria · Modelo B 2024

Ejercicio 1 · Ordinaria · Modelo B 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Dada la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&-1&2\\-2&0&1\end{pmatrix}\), resuelva la ecuación \(A^{2}\cdot X+A^{4}=A\).

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

1. \(|A|=-9\neq0\), luego \(A\) es invertible.
2. Se despeja el término con \(X\): \(A^2X+A^4=A\Rightarrow A^2X=A-A^4\).
3. Se multiplica por la izquierda por \(A^{-2}\) (la incógnita está a la derecha de \(A^2\)): \[X=A^{-2}\left(A-A^4\right)=A^{-1}-A^2.\]
4. Se calculan \(A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{9}&-\frac{4}{9}\\\frac{4}{9}&-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\\frac{2}{9}&\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{pmatrix}\) y \(A^2=\begin{pmatrix}1&0&4\\-4&1&0\\-4&-4&1\end{pmatrix}\).
5. Se restan: \[X=\begin{pmatrix}-\frac{8}{9}&\frac{2}{9}&-\frac{40}{9}\\\frac{40}{9}&-\frac{10}{9}&\frac{2}{9}\\\frac{38}{9}&\frac{40}{9}&-\frac{8}{9}\end{pmatrix}.\]

Ordinaria · Reserva · Modelo A 2024

Ejercicio 1 · Ordinaria · Reserva · Modelo A 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se consideran las matrices \(A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-2&1&0\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\-1&2\end{pmatrix}\) y \(C=\begin{pmatrix}1&3&2\\1&1&1\\0&3&1\end{pmatrix}\).

1. Resuelva la siguiente ecuación \(A\cdot B\cdot X\cdot C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\). (2 puntos)

2. Halle las dimensiones de las matrices \(D\) y \(E\) para que tenga sentido la igualdad \(A\cdot D=E\cdot B\). (0,5 puntos)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) Ecuación matricial. 1. \(A\cdot B=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-2&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\1&2\end{pmatrix}\), con \(|AB|=-5\neq0\), luego \((AB)^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{pmatrix}\). 2. También \(|C|=1\neq0\) y \(C^{-1}=\begin{pmatrix}-2&3&1\\-1&1&1\\3&-3&-2\end{pmatrix}\). 3. La ecuación es \((AB)\,X\,C=I'\) con \(I'=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\). Se multiplica por \((AB)^{-1}\) por la izquierda y por \(C^{-1}\) por la derecha: \(X=(AB)^{-1}\,I'\,C^{-1}\). 4. \(I'\,C^{-1}\) son las dos primeras filas de \(C^{-1}\), y se multiplica: \[X=(AB)^{-1}\,I'\,C^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&3&1\\-1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{5}&-1&-\frac{1}{5}\\-\frac{4}{5}&1&\frac{3}{5}\end{pmatrix}.\]

b) Dimensiones de \(D\) y \(E\). 1. \(A\) es \(2\times3\): para \(A\cdot D\), \(D\) debe tener \(3\) filas. Si \(D\) tiene \(k\) columnas, \(A\cdot D\) es \(2\times k\). 2. \(B\) es \(3\times2\): para \(E\cdot B\), \(E\) debe tener \(3\) columnas. Si \(E\) tiene \(m\) filas, \(E\cdot B\) es \(m\times2\). 3. Para que \(A\cdot D=E\cdot B\), ambas deben tener la misma dimensión: \(m=2\) y \(k=2\).

\(D\) es \(3\times2\) y \(E\) es \(2\times3\).

Ordinaria · Reserva · Modelo B 2024

Ejercicio 1 · Ordinaria · Reserva · Modelo B 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se consideran las matrices \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}3&2\\2&0\end{pmatrix}\), \(C=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\).

1. Determine las matrices \(X\) e \(Y\) que satisfacen simultáneamente las ecuaciones \(2\cdot X-Y=4\cdot A\) y \(X+Y=B\). (1 punto)

2. Calcule la matriz \(C^{2024}\). (0,75 puntos)

3. Si \(D\) es una matriz de dimensión \(2\times3\), razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y, en aquellos casos en los que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante: (0,75 puntos)

\[A^{t}\cdot B+D\cdot D^{t}\qquad\qquad D\cdot B^{t}+A\qquad\qquad D^{t}\cdot A^{t}+D\]

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) Sistema de ecuaciones matriciales. 1. Se suman las dos ecuaciones para eliminar \(Y\): \((2X-Y)+(X+Y)=4A+B\Rightarrow3X=4A+B\), luego \(X=\dfrac{4A+B}{3}\). 2. De la segunda ecuación, \(Y=B-X\). 3. Se calcula: \[4A+B=\begin{pmatrix}0&4\\4&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3&2\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6\\6&0\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}1&2\\2&0\end{pmatrix},\qquad Y=B-X=\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}.\] 4. Comprobación: \(2X-Y=\begin{pmatrix}0&4\\4&0\end{pmatrix}=4A\) y \(X+Y=B\).

b) Potencia \(C^{2024}\). 1. Se calculan las primeras potencias: \(C^2=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\) y \(C^3=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}\). 2. Patrón, que se demuestra por inducción: \(C^n=\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}\).

\(C^{2024}=\begin{pmatrix}1&0\\2024&1\end{pmatrix}\).

c) Operaciones posibles. \(D\) es \(2\times3\), luego \(D^t\) es \(3\times2\); \(A\) y \(B\) son \(2\times2\). 1. \(A^tB+DD^t\): \(A^tB\) es \(2\times2\) y \(DD^t\) es \((2\times3)(3\times2)=2\times2\). Se puede y el resultado es \(2\times2\). 2. \(DB^t+A\): \(DB^t\) es \((2\times3)(2\times2)\), y el número de columnas de \(D\) (\(3\)) no coincide con el de filas de \(B^t\) (\(2\)). No se puede. 3. \(D^tA^t+D\): \(D^tA^t\) es \((3\times2)(2\times2)=3\times2\) y \(D\) es \(2\times3\); no se pueden sumar matrices de distinta dimensión. No se puede.

Ordinaria · Suplente · Modelo A 2024

Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente · Modelo A 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se consideran las matrices \(P=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&-1&-1\end{pmatrix}\) y \(J=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\).

1. Halle la matriz \(A\) que satisfaga la ecuación \(P^{-1}\cdot A\cdot P=J\). (1,5 puntos)

2. Compruebe que \(A^{3}=P\cdot J^{3}\cdot P^{-1}\). (1 punto)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) Matriz \(A\). 1. De \(P^{-1}AP=J\) se multiplica por \(P\) a la izquierda y por \(P^{-1}\) a la derecha: \(A=PJP^{-1}\). 2. \(|P|=-2\neq0\) y \(P^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1&0\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\). 3. Primer producto: \[PJ=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&-1\\0&2&0\\2&-1&1\end{pmatrix}.\] 4. Segundo producto: \[A=PJP^{-1}=\begin{pmatrix}2&1&-1\\0&2&0\\2&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1&0\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\0&2&0\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}.\]

b) Comprobación de \(A^3=PJ^3P^{-1}\). 1. Se sustituye \(A=PJP^{-1}\) y se agrupan los factores contiguos \(P^{-1}P=I\): \[A^3=\left(PJP^{-1}\right)\left(PJP^{-1}\right)\left(PJP^{-1}\right)=PJ\left(P^{-1}P\right)J\left(P^{-1}P\right)JP^{-1}=PJ^3P^{-1}.\] 2. Comprobación con números: \(J^3=\begin{pmatrix}8&12&0\\0&8&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\) y \[PJ^3P^{-1}=\begin{pmatrix}8&12&-1\\0&8&0\\8&4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1&0\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{7}{2}&\frac{33}{2}&\frac{9}{2}\\0&8&0\\\frac{9}{2}&\frac{15}{2}&\frac{7}{2}\end{pmatrix}=A^3.\]

Ordinaria · Suplente · Modelo B 2024

Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente · Modelo B 2024 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se consideran las matrices \(M=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}\), \(N=\begin{pmatrix}3&2&2\\5&2&1\\7&4&0\end{pmatrix}\) y \(V=\begin{pmatrix}5-a^{2}\\a-1\\a^{2}\end{pmatrix}\), siendo \(a\) un número real.

1. Halle el valor de \(a\) para que se verifique que \(M^{t}\cdot V=\begin{pmatrix}5&1&5\end{pmatrix}^{t}\). (0,75 puntos)

2. Calcule \(M^{-1}\) y resuelva la ecuación matricial \(X\cdot M-I_3=N\). (1,25 puntos)

3. Razone si las operaciones \(2\cdot V\cdot N^{t}\) y \(\left(N+M^{t}\right)\cdot V\) se pueden realizar y, en aquellos casos en que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante. (0,5 puntos)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) Valor de \(a\). 1. \(M^t=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}\). 2. Se multiplica por \(V\): \[M^tV=\begin{pmatrix}(5-a^2)+2(a-1)+a^2\\(a-1)+a^2\\(5-a^2)+a^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a+3\\a^2+a-1\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\5\end{pmatrix}.\] 3. De \(2a+3=5\) resulta \(a=1\), y se cumple también \(a^2+a-1=1\).

\(a=1\).

b) Inversa y ecuación matricial. 1. \(|M|=2\neq0\) y \(M^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-1&0&1\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\). 2. Se despeja \(X\): de \(XM-I_3=N\) se obtiene \(XM=N+I_3\) y, multiplicando por la derecha por \(M^{-1}\) (la incógnita está a la izquierda de \(M\)), \(X=(N+I_3)M^{-1}\). 3. Con \(N+I_3=\begin{pmatrix}4&2&2\\5&3&1\\7&4&1\end{pmatrix}\): \[X=\begin{pmatrix}4&2&2\\5&3&1\\7&4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-1&0&1\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&1\\0&3&1\end{pmatrix}.\]

c) Operaciones posibles. 1. \(2\cdot V\cdot N^t\): \(V\) es \(3\times1\) y \(N^t\) es \(3\times3\); el número de columnas de \(V\) (\(1\)) no coincide con el de filas de \(N^t\) (\(3\)). No se puede realizar. 2. \((N+M^t)\cdot V\): \(N+M^t\) es \(3\times3\) (suma de dos matrices \(3\times3\)) y \(V\) es \(3\times1\). Se puede realizar y es de dimensión \(3\times1\).

2023

Ordinaria · Modelo A 2023

Ejercicio 2 · Ordinaria · Modelo A 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Dadas las matrices \(A=\begin{pmatrix}a&1&0\\0&a&2\\0&1&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}2&-1\\a&-1\end{pmatrix}\), \(C=\begin{pmatrix}2&-1\\1&-1\\2&0\end{pmatrix}\):

1. Calcule los valores del parámetro \(a\) para los que tanto \(A\) como \(B\) admitan inversa. (1 punto)

2. Para \(a=1\), halle una matriz \(X\) que satisfaga \(A\cdot X\cdot B=C\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

NotaAyuda 2 · Método

Determinantes y parámetros.

1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Matriz inversa.

1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

TipSolución

a) Valores de \(a\) con inversa. 1. \(A\) y \(B\) tienen inversa si y solo si \(|A|\neq0\) y \(|B|\neq0\). 2. Se desarrolla \(|A|\) por la primera columna: \(|A|=a\cdot(a-2)\). Además \(|B|=-2+a=a-2\). 3. Ambas tienen inversa si \(a(a-2)\neq0\) y \(a-2\neq0\).

\(a\neq0\) y \(a\neq2\).

b) Ecuación \(AXB=C\) para \(a=1\). 1. \(|A|=-1\) y \(|B|=-1\): las dos son invertibles. 2. Se despeja \(X\) multiplicando por \(A^{-1}\) a la izquierda y por \(B^{-1}\) a la derecha: \(A\cdot X\cdot B=C\Rightarrow X=A^{-1}\,C\,B^{-1}\). 3. Inversas: \[A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&-2\\0&-1&2\\0&1&-1\end{pmatrix},\qquad B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-2\end{pmatrix}.\] 4. Se multiplica primero \(A^{-1}C\) y luego por \(B^{-1}\): \[A^{-1}C=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&1\\-1&-1\end{pmatrix}\ \Rightarrow\ X=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&1\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&5\\4&-5\\-2&3\end{pmatrix}.\]

Ordinaria · Modelo B 2023

Ejercicio 1 · Ordinaria · Modelo B 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&-1&1\end{pmatrix}\).

1. Pruebe que se verifica que \(A^{-1}=\dfrac{1}{2}\left(A^{2}-4A+5I_3\right)\). (1,5 puntos)

2. Dada la ecuación matricial \(X^{t}A=\begin{pmatrix}1&2&0\\3&-1&1\end{pmatrix}\), determine la dimensión de \(X\) y resuelva la ecuación. (1 punto)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Matriz inversa.

1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) Comprobación de \(A^{-1}=\frac{1}{2}\left(A^2-4A+5I_3\right)\). 1. Se calcula \(A^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&-3&1\end{pmatrix}\). 2. Se opera la combinación: \[A^2-4A+5I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&-3&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&0&0\\0&8&0\\0&-4&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&1&2\end{pmatrix}.\] 3. Se divide entre \(2\): \(\dfrac{1}{2}\left(A^2-4A+5I_3\right)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}\). 4. Por otra parte, \(|A|=2\neq0\) y la inversa de \(A\) es \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}\) (comprobable con \(A\cdot A^{-1}=I_3\)).

Coinciden: queda probado.

b) Dimensión de \(X\) y ecuación \(X^tA=\begin{pmatrix}1&2&0\\3&-1&1\end{pmatrix}\). 1. Dimensión: \(A\) es \(3\times3\) y el segundo miembro es \(2\times3\). Para que \(X^tA\) sea \(2\times3\), \(X^t\) debe ser \(2\times3\), luego \(X\) es de dimensión \(3\times2\). 2. Se multiplica por la derecha por \(A^{-1}\) (la incógnita está a la izquierda de \(A\)): \(X^t=\begin{pmatrix}1&2&0\\3&-1&1\end{pmatrix}A^{-1}\). 3. Se calcula y se traspone: \[X^t=\begin{pmatrix}1&2&0\\3&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&0\\3&0&1\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix}1&3\\1&0\\0&1\end{pmatrix}.\]

Ordinaria · Reserva · Modelo A 2023

Ejercicio 1 · Ordinaria · Reserva · Modelo A 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

1. Un agricultor vende la producción de tres tipos de uva, Tempranillo, Garnacha y Macabeo, de dos de sus fincas. La matriz \(Q=\begin{pmatrix}50&40&35\\0&60&55\end{pmatrix}\) recoge la producción, en miles de kilogramos, de estos tipos de uva en cada finca. El precio de venta por kilogramo, en céntimos de euro, según el tipo de uva y la finca, viene dado por la matriz \(P=\begin{pmatrix}40&38&42\\34&37&40\end{pmatrix}\).

Calcule el producto \(Q\cdot P^{t}\) y explique el significado económico de los elementos de la diagonal principal del resultado. Indique también la cantidad total de dinero que ha obtenido el agricultor por la venta de la cosecha de las dos fincas. (1,25 puntos)

2. Dada la siguiente ecuación matricial \(M\cdot X+N=V\):

b1) Suponiendo que \(M\) sea invertible, despeje la matriz \(X\) en la ecuación anterior. (0,5 puntos)

b2) Para \(M=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\), \(N=\begin{pmatrix}5&4\\3&2\end{pmatrix}\) y \(V=\begin{pmatrix}8&7\\6&5\end{pmatrix}\), calcule la matriz \(X\). (0,75 puntos)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

NotaAyuda 2 · Método

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

TipSolución

a) Producto \(Q\cdot P^t\). 1. Dimensiones: \(Q\) es \(2\times3\) y \(P^t\) es \(3\times2\), así que el producto es \(2\times2\). 2. Producto: \[Q\cdot P^t=\begin{pmatrix}50&40&35\\0&60&55\end{pmatrix}\begin{pmatrix}40&34\\38&37\\42&40\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\,990&4\,580\\4\,590&4\,420\end{pmatrix}.\] 3. Significado: el elemento \((i,j)\) es la producción de la finca \(i\) valorada con los precios de la finca \(j\). Los elementos de la diagonal principal son lo que obtiene el agricultor por la venta de la cosecha de cada finca con sus propios precios: \(4\,990\) por la finca 1 y \(4\,420\) por la finca 2 (en miles de kg por céntimos de euro por kg, es decir, en decenas de euros: \(49\,900\) € y \(44\,200\) €). 4. Total de las dos fincas: la suma de la diagonal, \(4\,990+4\,420=9\,410\) decenas de euros.

Ha obtenido \(94\,100\) €.

b1) Despeje de \(X\). 1. Se pasa \(N\) al otro miembro: \(MX+N=V\Rightarrow MX=V-N\). 2. Se multiplica por \(M^{-1}\) por la izquierda (la incógnita está a la derecha de \(M\)): \(X=M^{-1}(V-N)\).

b2) Cálculo de \(X\). 1. \(V-N=\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix}\) y \(M^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}\). 2. Producto: \[X=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3\\0&0\end{pmatrix}.\]

Ordinaria · Reserva · Modelo B 2023

Ejercicio 1 · Ordinaria · Reserva · Modelo B 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Una conservera fabrica latas de pisto con tomate, cebolla y pimiento siguiendo dos recetas distintas. La matriz \(\begin{pmatrix}500&300&200\\600&100&300\end{pmatrix}\) indica los gramos necesarios de cada producto para conseguir una lata de cada receta. Se dispone de dos proveedores, siendo la matriz de precios en euros por kilo de cada producto \(\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}4&0{,}6\\0{,}4&0{,}5&0{,}7\end{pmatrix}\). Los costes de producción de cada receta en euros por lata vienen dados por la matriz \(\begin{pmatrix}0{,}11&0{,}09\end{pmatrix}\). Los costes de transporte en euros por lata según cada proveedor vienen dados por la matriz \(\begin{pmatrix}0{,}02&0{,}03\end{pmatrix}\). La conservera quiere obtener un beneficio de 5 céntimos por lata. Una distribuidora compra 11 000 latas de la primera receta, siendo 5 000 del primer proveedor, y otras 11 000 de la segunda receta, siendo 6 000 del primer proveedor. ¿Cuánto debe cobrar la conservera por el pedido de esta distribuidora?

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

Planteamiento. Hay que calcular el precio por lata de cada receta y proveedor y multiplicarlo por las latas del pedido.

1. Materias primas. Con \(R=\begin{pmatrix}500&300&200\\600&100&300\end{pmatrix}\) (gramos; recetas en filas) y \(P=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}4&0{,}6\\0{,}4&0{,}5&0{,}7\end{pmatrix}\) (euros por kilo; proveedores en filas), el coste de una lata de la receta \(i\) con el proveedor \(j\) es \(\dfrac{1}{1000}\,R\cdot P^t\) (se divide entre \(1000\) para pasar de gramos a kilos): \[\frac{1}{1000}R\,P^t=\begin{pmatrix}0{,}49&0{,}49\\0{,}52&0{,}50\end{pmatrix}\quad\text{(euros por lata; filas: recetas; columnas: proveedores)}.\]
2. Precio de venta por lata \(=\) materias primas \(+\) producción \(+\) transporte \(+\) beneficio (\(0{,}05\) €):

	Proveedor 1	Proveedor 2
Receta 1	\(0{,}49+0{,}11+0{,}02+0{,}05=0{,}67\)	\(0{,}49+0{,}11+0{,}03+0{,}05=0{,}68\)
Receta 2	\(0{,}52+0{,}09+0{,}02+0{,}05=0{,}68\)	\(0{,}50+0{,}09+0{,}03+0{,}05=0{,}67\)

3. Pedido. Receta 1: \(5\,000\) latas del proveedor 1 y \(6\,000\) del proveedor 2. Receta 2: \(6\,000\) del proveedor 1 y \(5\,000\) del proveedor 2.
4. Importe total: \[5\,000\cdot0{,}67+6\,000\cdot0{,}68+6\,000\cdot0{,}68+5\,000\cdot0{,}67=3\,350+4\,080+4\,080+3\,350=14\,860.\]

La conservera debe cobrar \(14\,860\) €.

Ordinaria · Suplente · Modelo A 2023

Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente · Modelo A 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

1. Se considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&m&-2\\1&m&4\end{pmatrix}\).

a1) Obtenga para qué valores de \(m\) la matriz \(A\) tiene inversa. (0,5 puntos)

a2) Calcule, en caso de existir, la inversa de \(A\) para \(m=1\). (1 punto)

2. Despeje y simplifique \(X\) en la ecuación \(X\cdot B-B^{2}+B=0\), sabiendo que la matriz \(B\) es invertible. (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

NotaAyuda 2 · Método

Determinantes y parámetros.

1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Matriz inversa.

1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

TipSolución

a1) Valores de \(m\) con inversa. 1. \(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). 2. Determinante: \(|A|=\left|\begin{matrix}1&-1&0\\0&m&-2\\1&m&4\end{matrix}\right|=(4m+2m)+(0+2)=6m+2\). 3. Se anula en \(m=-\dfrac{1}{3}\).

\(A\) tiene inversa si \(m\neq-\dfrac{1}{3}\).

a2) Inversa para \(m=1\). 1. \(|A|=8\neq0\). 2. Se calcula la adjunta, se traspone y se divide entre \(8\): \[A^{-1}=\frac{1}{8}\begin{pmatrix}6&4&2\\-2&4&2\\-1&-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{pmatrix}.\]

b) Despeje de \(X\). 1. Se pasan los términos sin \(X\) al otro miembro: \(XB-B^2+B=0\Rightarrow XB=B^2-B\). 2. Se multiplica por \(B^{-1}\) por la derecha (la incógnita está a la izquierda de \(B\)): \(X=\left(B^2-B\right)B^{-1}\). 3. Se simplifica: \(B^2B^{-1}=B\) y \(BB^{-1}=I\).

\(X=B-I\).

Ordinaria · Suplente · Modelo B 2023

Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente · Modelo B 2023 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se consideran las matrices \[A=\begin{pmatrix}5&-7&6\\7&0&4\\0&3&-1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&2&-9\\-2&0&11\\0&4&-7\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\]

1. Halle las dimensiones de las siguientes matrices \(C^{t}AC\), \(CC^{t}B\). (0,5 puntos)

2. Calcule, en caso de existir, las inversas de las matrices \(A\) y \(B\). (1 punto)

3. Resuelva el siguiente sistema matricial (1 punto) \[\begin{cases}2X+3Y=A\\-3X+4Y=B\end{cases}\]

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Matriz inversa.

1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) Dimensiones. 1. \(C^tAC\): \(C^t\) es \(1\times3\), \(A\) es \(3\times3\) y \(C\) es \(3\times1\), luego \(C^tAC\) es \(1\times1\). 2. \(CC^tB\): \(C\) es \(3\times1\) y \(C^t\) es \(1\times3\), luego \(CC^t\) es \(3\times3\); con \(B\) de \(3\times3\), \(CC^tB\) es \(3\times3\).

b) Inversas. 1. \(|A|=17\neq0\): \(A\) tiene inversa \[A^{-1}=\frac{1}{17}\begin{pmatrix}-12&11&-28\\7&-5&22\\21&-15&49\end{pmatrix}.\] 2. \(|B|=0\) (la tercera fila es combinación lineal de las otras dos): \(B\) no tiene inversa.

c) Sistema matricial. Se resuelve por reducción, como un sistema ordinario con matrices. 1. Para eliminar \(Y\): \(4\cdot(2X+3Y=A)-3\cdot(-3X+4Y=B)\) da \(17X=4A-3B\). 2. Para eliminar \(X\): \(3\cdot(2X+3Y=A)+2\cdot(-3X+4Y=B)\) da \(17Y=3A+2B\). 3. Se calculan las combinaciones y se divide entre \(17\): \[X=\frac{4A-3B}{17}=\begin{pmatrix}1&-2&3\\2&0&-1\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad Y=\frac{3A+2B}{17}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&0&2\\0&1&-1\end{pmatrix}.\]

2022

Ordinaria 2022

Ejercicio 2 · Ordinaria 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se consideran las matrices \[A=\begin{pmatrix}a&1&0\\0&a&1\\3&4&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&-1&0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1&3&-1\end{pmatrix}\] donde \(a\) es un número real.

1. Halle los valores del parámetro \(a\) para que la matriz \(A\) tenga inversa. (0,75 puntos)

2. Para \(a=2\), calcule la matriz inversa de \(A\). (0,75 puntos)

3. Para \(a=2\), resuelva la ecuación matricial \(X\cdot A+I_3=B^{t}\cdot C\). (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

NotaAyuda 2 · Método

Determinantes y parámetros.

1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Matriz inversa.

1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

TipSolución

a) Valores de \(a\) con inversa. 1. \(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). 2. Determinante: \(|A|=\left|\begin{matrix}a&1&0\\0&a&1\\3&4&1\end{matrix}\right|=a(a-4)-1\cdot(0-3)=a^2-4a+3=(a-1)(a-3)\). 3. Se anula en \(a=1\) y \(a=3\).

Tiene inversa si \(a\neq1\) y \(a\neq3\).

b) Inversa para \(a=2\). 1. \(|A|=-1\neq0\), luego existe \(A^{-1}\). 2. Se calcula la matriz de adjuntos, se traspone y se divide entre \(|A|=-1\).

Calculando la adjunta traspuesta: \[A^{-1}=\begin{pmatrix}2&1&-1\\-3&-2&2\\6&5&-4\end{pmatrix}.\]

c) Ecuación matricial (con \(a=2\)). 1. Se despeja \(X\): de \(XA+I_3=B^tC\) se obtiene \(XA=B^tC-I_3\) y, multiplicando por la derecha por \(A^{-1}\) (la incógnita está a la izquierda de \(A\)), \(X=\left(B^tC-I_3\right)A^{-1}\). 2. Producto \(B^tC\) (columna por fila, da una matriz \(3\times3\)): con \(B^t=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\), \(B^tC=\begin{pmatrix}2&6&-2\\-1&-3&1\\0&0&0\end{pmatrix}\). 3. Se resta la identidad: \(B^tC-I_3=\begin{pmatrix}1&6&-2\\-1&-4&1\\0&0&-1\end{pmatrix}\). 4. Se multiplica por \(A^{-1}\): \[X=\begin{pmatrix}1&6&-2\\-1&-4&1\\0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&-1\\-3&-2&2\\6&5&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-28&-21&19\\16&12&-11\\-6&-5&4\end{pmatrix}.\]

Ordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 1 · Ordinaria · Reserva 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se consideran las matrices \[A=\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&-1&1\\2&-1&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&-1&-1\\1&-1&1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}3\\-7\\-2\end{pmatrix}\]

1. Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones y realice las que sean posibles: (1 punto)

\[C\cdot A,\qquad A+B,\qquad C^{t}\cdot B^{t}\]

2. Resuelva la ecuación matricial \(A\cdot X=B\cdot X+C\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) Operaciones posibles. Un producto \(M\cdot N\) solo se puede hacer si las columnas de \(M\) coinciden con las filas de \(N\); una suma, si tienen la misma dimensión. 1. \(C\cdot A\): \(C\) es \(3\times1\) y \(A\) es \(3\times3\). El número de columnas de \(C\) (1) no coincide con el de filas de \(A\) (3): no se puede efectuar. 2. \(A+B\): ambas son \(3\times3\), sí se puede: \[A+B=\begin{pmatrix}2&-1&2\\-2&-2&0\\3&-2&1\end{pmatrix}.\] 3. \(C^t\cdot B^t\): \(C^t\) es \(1\times3\) y \(B^t\) es \(3\times3\), sí se puede y el resultado es \(1\times3\): \[C^tB^t=\begin{pmatrix}3&-7&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&-1&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&6&8\end{pmatrix}.\]

b) Ecuación matricial. 1. Se agrupan los términos con \(X\): \(AX=BX+C\Rightarrow AX-BX=C\Rightarrow(A-B)X=C\). 2. \(A-B=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\\1&0&-1\end{pmatrix}\) y \(|A-B|=2\neq0\), luego es invertible. 3. Se despeja \(X\) multiplicando por la izquierda por \((A-B)^{-1}\) (la incógnita está a la derecha): \(X=(A-B)^{-1}C\). 4. Se calcula: \[X=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}&1\\1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\-7\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{11}{2}\\3\\-\frac{7}{2}\end{pmatrix}.\]

Ordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 2 · Ordinaria · Suplente 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se consideran las matrices \[A=\begin{pmatrix}7&-6&-2\\3&1&4\\-5&0&-4\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&2&3\\5&3&4\\-4&0&1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-2&-3&0\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}a^{2}&0&-1\\1&-1&a\end{pmatrix}\]

1. Resuelva la siguiente ecuación matricial \(A^{t}-X\cdot A=3I_3\). (1,5 puntos)

2. ¿Existe algún valor del parámetro \(a\) para el que se verifique \(C^{t}\cdot D=B\)? En caso afirmativo, calcule dicho valor. (1 punto)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Determinantes y parámetros.

1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) Ecuación matricial. 1. Se despeja el término con \(X\): \(A^t-XA=3I_3\Rightarrow XA=A^t-3I_3\). 2. \(|A|=10\neq0\), luego existe \(A^{-1}\). Se multiplica por la derecha por \(A^{-1}\) (la incógnita está a la izquierda de \(A\)): \(X=\left(A^t-3I_3\right)A^{-1}\). 3. Matrices: \(A^t-3I_3=\begin{pmatrix}4&3&-5\\-6&-2&0\\-2&4&-7\end{pmatrix}\) y \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{2}{5}&-\frac{12}{5}&-\frac{11}{5}\\-\frac{4}{5}&-\frac{19}{5}&-\frac{17}{5}\\\frac{1}{2}&3&\frac{5}{2}\end{pmatrix}\). 4. Producto: \[X=\begin{pmatrix}-\frac{13}{2}&-36&-\frac{63}{2}\\4&22&20\\-\frac{59}{10}&-\frac{157}{5}&-\frac{267}{10}\end{pmatrix}.\]

b) ¿Existe \(a\) con \(C^tD=B\)? 1. Dimensiones: \(C^t\) es \(3\times2\) y \(D\) es \(2\times3\), luego \(C^tD\) es \(3\times3\), como \(B\). 2. Producto: \[C^tD=\begin{pmatrix}1&-2\\2&-3\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a^2&0&-1\\1&-1&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2-2&2&-1-2a\\2a^2-3&3&-2-3a\\-a^2&0&1\end{pmatrix}.\] 3. Se iguala elemento a elemento con \(B\): \(a^2-2=2\), \(-1-2a=3\), \(2a^2-3=5\), \(-2-3a=4\) y \(-a^2=-4\). 4. Las cinco ecuaciones se cumplen a la vez solo para \(a=-2\) (de \(-1-2a=3\) sale \(a=-2\), y ese valor cumple también las demás).

Sí existe: \(a=-2\).

Extraordinaria 2022

Ejercicio 1 · Extraordinaria 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se consideran las matrices \(A=\begin{pmatrix}1&1&2\\-2&0&1\\0&-1&-1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}-2&1\\3&1\\0&2\end{pmatrix}\), \(C=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\\-2&3\end{pmatrix}\).

1. Determine la matriz \(X\) que verifica \(A\cdot X+B=A^{2}\cdot C\). (1,5 puntos)

2. Determine las dimensiones de dos matrices \(P\) y \(Q\) sabiendo que \[A\cdot P^{t}+C=C\cdot(Q\cdot B)\] (1 punto)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) Ecuación matricial. 1. Se despeja el término con \(X\): \(AX+B=A^2C\Rightarrow AX=A^2C-B\). 2. \(|A|=3\neq0\), luego \(A\) es invertible. Se multiplica por la izquierda por \(A^{-1}\) (la incógnita está a la derecha de \(A\)): \(X=A^{-1}\left(A^2C-B\right)\). 3. Se calculan \(A^2\) y los productos: \(A^2=\begin{pmatrix}-1&-1&1\\-2&-3&-5\\2&1&0\end{pmatrix}\) y \[A^2C=\begin{pmatrix}-2&2\\11&-16\\1&3\end{pmatrix},\qquad A^2C-B=\begin{pmatrix}0&1\\8&-17\\1&1\end{pmatrix}.\] 4. Con \(A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{pmatrix}\): \[X=A^{-1}\begin{pmatrix}0&1\\8&-17\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{7}{3}&\frac{19}{3}\\-\frac{13}{3}&\frac{10}{3}\\\frac{10}{3}&-\frac{13}{3}\end{pmatrix}.\]

b) Dimensiones de \(P\) y \(Q\). 1. \(A\) es \(3\times3\) y \(C\) es \(3\times2\). 2. Para que \(A\cdot P^t+C\) exista, \(A\cdot P^t\) debe ser \(3\times2\) (como \(C\)). Como \(A\) es \(3\times3\), \(P^t\) es \(3\times2\) y \(P\) es \(2\times3\). 3. Para que \(C\cdot(Q\cdot B)\) sea \(3\times2\), \(Q\cdot B\) debe ser \(2\times2\) (columnas de \(C\) = filas de \(Q\cdot B\) = 2 y columnas 2). Como \(B\) es \(3\times2\), \(Q\) es \(2\times3\).

Extraordinaria · Reserva 2022

Ejercicio 1 · Extraordinaria · Reserva 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Considere la matriz \[A=\begin{pmatrix}2&-3&-a-1\\-1&a&a+1\\1&-3&-a\end{pmatrix}\] donde \(a\) es un número real. Determine de manera justificada:

1. Los valores de \(a\) para los que la matriz \(A\) tiene inversa. (0,75 puntos)

2. Las matrices \(A^{2}\), \(A^{3}\) y \(A^{2022}\) para \(a=4\). (0,75 puntos)

3. La matriz \(X\) que verifica que \(X\cdot A=I_3\) para \(a=3\). (1 punto)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Determinantes y parámetros.

1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Matriz inversa.

1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) Valores de \(a\) con inversa. 1. \(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). 2. Determinante: \(|A|=\left|\begin{matrix}2&-3&-a-1\\-1&a&a+1\\1&-3&-a\end{matrix}\right|=-a(a-4)=-a^2+4a\). 3. Se anula en \(a=0\) y \(a=4\).

La matriz tiene inversa si \(a\neq0\) y \(a\neq4\).

b) Potencias para \(a=4\). 1. La matriz es \(A=\begin{pmatrix}2&-3&-5\\-1&4&5\\1&-3&-4\end{pmatrix}\). 2. Multiplicando \(A\cdot A\) se obtiene \[A^2=\begin{pmatrix}2&-3&-5\\-1&4&5\\1&-3&-4\end{pmatrix}=A.\] 3. Como \(A^2=A\), entonces \(A^3=A^2\cdot A=A\cdot A=A\) y, por inducción, \(A^n=A\) para todo \(n\ge1\). En particular, \(A^{2022}=A\).

\(A^2=A^3=A^{2022}=A=\begin{pmatrix}2&-3&-5\\-1&4&5\\1&-3&-4\end{pmatrix}\).

c) Matriz \(X\) con \(XA=I_3\) para \(a=3\). 1. \(|A|=-3\cdot(3-4)=3\neq0\): \(A\) es invertible. 2. \(XA=I_3\) significa que \(X\) es la inversa de \(A\): \(X=A^{-1}\). 3. Se calcula la inversa (adjunta traspuesta dividida entre \(|A|=3\)): \[X=\begin{pmatrix}1&1&0\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}&-\frac{4}{3}\\0&1&1\end{pmatrix}.\]

Extraordinaria · Suplente 2022

Ejercicio 2 · Extraordinaria · Suplente 2022 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se consideran las matrices \(A=\begin{pmatrix}a&2&0\\8&a&0\\0&0&a\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1\\-2\\10\end{pmatrix}\), donde \(a\) es un número real.

1. Determine los valores de \(a\) para que la matriz \(A\) sea no invertible. (0,75 puntos)

2. Para \(a=5\), calcule la inversa de la matriz \(A\). (1 punto)

3. Para \(a=5\), resuelva la ecuación matricial \(A\cdot X=B\). (0,75 puntos)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

NotaAyuda 2 · Método

Determinantes y parámetros.

1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Matriz inversa.

1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

TipSolución

a) Valores de \(a\) con \(A\) no invertible. 1. \(A\) no es invertible si y solo si \(|A|=0\). 2. Se desarrolla por la tercera fila: \(|A|=a\left(a^2-16\right)=a(a-4)(a+4)\). 3. Se anula en \(a=0\), \(a=4\) y \(a=-4\).

\(A\) no es invertible si \(a=0\), \(a=4\) o \(a=-4\).

b) Inversa para \(a=5\). 1. \(|A|=5\cdot9=45\neq0\), luego existe \(A^{-1}\). 2. Se calcula la adjunta, se traspone y se divide entre \(45\).

Calculando la adjunta traspuesta: \[A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{5}{9}&-\frac{2}{9}&0\\-\frac{8}{9}&\frac{5}{9}&0\\0&0&\frac{1}{5}\end{pmatrix}.\]

c) Ecuación \(AX=B\). 1. Se multiplica por la izquierda por \(A^{-1}\) (la incógnita está a la derecha de \(A\)): \(X=A^{-1}B\). 2. Se calcula: \[X=\begin{pmatrix}\frac{5}{9}&-\frac{2}{9}&0\\-\frac{8}{9}&\frac{5}{9}&0\\0&0&\frac{1}{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-2\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}.\]

2021

Ordinaria 2021

Ejercicio 2 · Ordinaria 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&-1&m\\0&2&-3\\m&1&1\end{pmatrix}\), con \(m\) un parámetro real.

1. ¿Para qué valores del parámetro \(m\) existe la matriz inversa de \(A\)? (0,7 puntos)

2. Para \(m=2\), resuelva la ecuación matricial \(X\cdot A-A^{2}=I_3\). (1,8 puntos)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Determinantes y parámetros.

1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Matriz inversa.

1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) Valores de \(m\) con inversa. 1. \(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). 2. Determinante: \(|A|=\left|\begin{matrix}1&-1&m\\0&2&-3\\m&1&1\end{matrix}\right|=-2m^2+3m+5=-(m+1)(2m-5)\). 3. Se anula en \(m=-1\) y \(m=\dfrac52\).

La inversa existe si \(m\neq-1\) y \(m\neq\dfrac{5}{2}\).

b) Ecuación matricial (con \(m=2\)). 1. \(|A|=3\neq0\), luego \(A\) es invertible. 2. Se despeja \(X\): de \(XA-A^2=I\) se obtiene \(XA=I+A^2\) y, multiplicando por la derecha por \(A^{-1}\) (la incógnita está a la izquierda de \(A\)), \(X=(I+A^2)A^{-1}\). 3. Se calculan las matrices: \[A^2=\begin{pmatrix}5&-1&7\\-6&1&-9\\4&1&2\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{5}{3}&1&-\frac{1}{3}\\-2&-1&1\\-\frac{4}{3}&-1&\frac{2}{3}\end{pmatrix}.\] 4. \(I+A^2=\begin{pmatrix}6&-1&7\\-6&2&-9\\4&1&3\end{pmatrix}\) y el producto es \[X=\begin{pmatrix}6&-1&7\\-6&2&-9\\4&1&3\end{pmatrix}A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{8}{3}&0&\frac{5}{3}\\-2&1&-2\\\frac{2}{3}&0&\frac{5}{3}\end{pmatrix}.\]

Ordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 2 · Ordinaria · Reserva 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la ecuación matricial \((10I_3-A)\cdot X=B\), donde \(A=\begin{pmatrix}2&1&0\\4&2&0\\2&2&5\end{pmatrix}\) y \(B\) es una matriz con tres filas y una columna.

1. Razone qué dimensión ha de tener la matriz \(X\). (0,5 puntos)

2. ¿Tiene solución la ecuación matricial anterior para cualquier matriz \(B\) de orden \(3\times1\)? ¿Por qué? (0,5 puntos)

3. Resuelva dicha ecuación matricial si \(B=\begin{pmatrix}5&20&-3\end{pmatrix}^{t}\). (1,5 puntos)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) Dimensión de \(X\). 1. \(10I_3-A\) es \(3\times3\) y \(B\) es \(3\times1\). 2. Para que el producto \((3\times3)\cdot X\) dé una matriz \(3\times1\), \(X\) ha de tener 3 filas (columnas de la primera) y 1 columna (las de \(B\)).

\(X\) es de dimensión \(3\times1\).

b) ¿Solución para cualquier \(B\)? 1. \(10I_3-A=\begin{pmatrix}8&-1&0\\-4&8&0\\-2&-2&5\end{pmatrix}\). 2. Se calcula el determinante por la última columna: \(|10I_3-A|=5\cdot(64-4)=300\neq0\). 3. Es invertible, luego \(X=(10I_3-A)^{-1}B\) existe y es única para cualquier \(B\) de orden \(3\times1\).

c) Resolución. 1. Se usa la inversa (por adjuntos): \((10I_3-A)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{60}&0\\\frac{1}{15}&\frac{2}{15}&0\\\frac{2}{25}&\frac{3}{50}&\frac{1}{5}\end{pmatrix}\). 2. Se multiplica por \(B=\begin{pmatrix}5&20&-3\end{pmatrix}^{t}\): \[X=(10I_3-A)^{-1}\begin{pmatrix}5\\20\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}.\] 3. Comprobación en la ecuación original: \(8\cdot1-3=5\), \(-4+24=20\), \(-2-6+5=-3\).

Ordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 1 · Ordinaria · Suplente 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}\).

1. Calcule \(A^{40}\) y \(\left(A^{t}\right)^{30}\). (0,7 puntos)

2. Calcule \(\left(A^{-1}+A\right)^{2}\). (0,6 puntos)

3. Resuelva la ecuación matricial \(\left(A^{t}+I_2\right)\cdot X=A^{t}-I_2\). (1,2 puntos)

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Matriz inversa.

1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) Potencias. 1. Se calculan las primeras: \(A^2=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}\); el elemento \((2,1)\) va valiendo \(-1,-2,\dots\) 2. Patrón (que se comprueba por inducción): \(A^n=\begin{pmatrix}1&0\\-n&1\end{pmatrix}\). 3. La traspuesta de una potencia es la potencia de la traspuesta: \(\left(A^t\right)^{30}=\left(A^{30}\right)^t\). Así \[A^{40}=\begin{pmatrix}1&0\\-40&1\end{pmatrix},\qquad\left(A^t\right)^{30}=\left(A^{30}\right)^t=\begin{pmatrix}1&-30\\0&1\end{pmatrix}.\]

b) Suma de \(A\) y su inversa. 1. \(|A|=1\) y \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\). 2. \(A^{-1}+A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2I_2\). 3. Al cuadrado: \(\left(2I_2\right)^2=4I_2\): \[\left(A^{-1}+A\right)^2=4I_2=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}.\]

c) Ecuación matricial. 1. \(A^t+I_2=\begin{pmatrix}2&-1\\0&2\end{pmatrix}\), con determinante \(4\neq0\); \(A^t-I_2=\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix}\). 2. La incógnita está a la derecha del factor conocido: \(X=\left(A^t+I_2\right)^{-1}\left(A^t-I_2\right)\), con \(\left(A^t+I_2\right)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\). 3. Se multiplica: \[X=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-\frac{1}{2}\\0&0\end{pmatrix}.\]

Extraordinaria 2021

Ejercicio 1 · Extraordinaria 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se considera la matriz \(A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&0&2\\0&2&a\end{pmatrix}\).

1. Determine para qué valores del parámetro \(a\), la matriz \(A\) tiene inversa. (0,7 puntos)

2. Para \(a=1\), calcule la inversa de \(A\). (1 punto)

3. Para \(a=1\), resuelva la ecuación matricial \(A\cdot X=B^{t}\), siendo \(B=\begin{pmatrix}0&1&-1\end{pmatrix}\). (0,8 puntos)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

NotaAyuda 2 · Método

Determinantes y parámetros.

1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Matriz inversa.

1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

TipSolución

a) Valores de \(a\) con inversa. 1. \(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). 2. Se desarrolla por la primera fila: \(|A|=\left|\begin{matrix}2&1&0\\1&0&2\\0&2&a\end{matrix}\right|=2(0-4)-1(a-0)=-a-8\). 3. \(|A|=0\iff a=-8\).

Tiene inversa si \(a\neq-8\).

b) Inversa para \(a=1\). 1. \(|A|=-9\neq0\). 2. Matriz de adjuntos (menores con su signo): \(\operatorname{Adj}A=\begin{pmatrix}-4&-1&2\\-1&2&-4\\2&-4&-1\end{pmatrix}\), que es simétrica, así que su traspuesta es ella misma. 3. \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\): \[A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{4}{9}&\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}&\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{pmatrix}.\]

c) Ecuación \(A\cdot X=B^t\). 1. \(A\) es invertible, luego \(X=A^{-1}B^t\) (la inversa se multiplica por la izquierda). 2. \(B^t=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\). 3. Producto: \[X=\begin{pmatrix}\frac{4}{9}&\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}&\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}.\]

Extraordinaria · Reserva 2021

Ejercicio 2 · Extraordinaria · Reserva 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se consideran las matrices \(A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&0&2\\1&1&-1\\2&1&0\end{pmatrix}\) y \(C=\begin{pmatrix}1\\-3\\1\end{pmatrix}\).

1. Calcule \(A^2\), \(A^3\), \(A^4\) y deduzca la expresión de \(A^n\), con \(n\) un número natural. (1 punto)

2. Razone si existe la inversa de la matriz \(B\). (0,5 puntos)

3. Razone si la ecuación matricial \(B\cdot X=C\) tiene solución y resuélvala en caso de que sea posible. (1 punto)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Matriz inversa.

1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) 1. Se multiplica paso a paso: \(A^2=A\cdot A\), \(A^3=A^2\cdot A\), \(A^4=A^3\cdot A\). 2. Resultado: \[A^2=\begin{pmatrix}2&0&2\\0&1&0\\2&0&2\end{pmatrix},\quad A^3=\begin{pmatrix}4&0&4\\0&1&0\\4&0&4\end{pmatrix},\quad A^4=\begin{pmatrix}8&0&8\\0&1&0\\8&0&8\end{pmatrix}.\] 3. Patrón. Los elementos no nulos de las esquinas valen \(2,4,8\), es decir, \(2^{n-1}\); el elemento central siempre es \(1\). Por tanto \[A^n=\begin{pmatrix}2^{n-1}&0&2^{n-1}\\0&1&0\\2^{n-1}&0&2^{n-1}\end{pmatrix}.\]

b) 1. Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es \(0\). 2. Se calcula por la primera fila: \(|B|=\left|\begin{matrix}1&0&2\\1&1&-1\\2&1&0\end{matrix}\right|=(0+1)+2(1-2)=-1\neq0\).

Como \(|B|\neq0\), existe \(B^{-1}\).

c) 1. \(B\) es invertible y \(C\) tiene 3 filas, así que \(B\cdot X=C\) se puede resolver y \(X\) es una matriz \(3\times1\). Multiplicando por \(B^{-1}\) por la izquierda: \(X=B^{-1}C\). 2. Se usa la inversa (adjunta traspuesta dividida entre \(|B|=-1\)): \(B^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-2&2\\2&4&-3\\1&1&-1\end{pmatrix}\). 3. Se multiplica: \[X=\begin{pmatrix}-1&-2&2\\2&4&-3\\1&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-13\\-3\end{pmatrix}.\]

La ecuación \(BX=C\) tiene solución única, la matriz columna \(X\) anterior.

Extraordinaria · Suplente 2021

Ejercicio 2 · Extraordinaria · Suplente 2021 · Bloque A · (2,5 puntos) · Examen

Se consideran las matrices \(A=\begin{pmatrix}a&4\\6&8\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}2&2\\3&3\end{pmatrix}\) y \(C=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\).

1. Calcule el valor del parámetro \(a\) para que la matriz \(A\) no tenga inversa. (0,5 puntos)

2. Para \(a=3\), resuelva la ecuación matricial \(X\cdot A-X\cdot B=C\). (1,25 puntos)

3. Para \(a=3\), compruebe que \(A^{2}=11\cdot A\) y exprese \(A^{8}\) en función de la matriz \(A\). (0,75 puntos)

Relacionado también con: Sistemas de ecuaciones lineales.

NotaAyuda 1 · Recordatorio

Determinantes y parámetros.

Determinante \(3\times3\) (Sarrus): suma de los tres productos de diagonales «hacia abajo» menos los tres «hacia arriba». Propiedad clave: \(|A|=0\) si dos filas son proporcionales; \(|k\cdot A|=k^n|A|\) para \(A\) de orden \(n\); \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\).

Matriz inversa.

\(A\) tiene inversa si y solo si \(|A|\neq0\). Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\operatorname{Adj}A\right)^t\), y se cumple \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\).

Ecuaciones matriciales.

Si \(|A|\neq0\): de \(A\cdot X=B\) sale \(X=A^{-1}\cdot B\); de \(X\cdot A=B\) sale \(X=B\cdot A^{-1}\). El orden importa: la inversa se multiplica por el mismo lado en los dos miembros. La identidad \(I\) cumple \(A\cdot I=I\cdot A=A\).

Operaciones con matrices.

Suma y resta: elemento a elemento (mismas dimensiones). Producto \(A\cdot B\): solo si columnas de \(A\) = filas de \(B\); el elemento \((i,j)\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). En general \(A\cdot B\neq B\cdot A\). La traspuesta \(A^t\) cambia filas por columnas y \((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\).

NotaAyuda 2 · Método

Determinantes y parámetros.

1. Calcula el determinante en función del parámetro (desarrolla por la fila o columna con más ceros).
2. Iguala a \(0\) y resuelve la ecuación: esos son los valores prohibidos.
3. Expresa la conclusión: «tiene inversa para todo \(a\) distinto de …».

Matriz inversa.

1. Calcula \(|A|\). Si es \(0\), no hay inversa.
2. Halla la matriz de adjuntos: cada elemento es el menor con su signo \((-1)^{i+j}\).
3. Traspón la adjunta y divide entre \(|A|\).
4. Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I\).

Ecuaciones matriciales.

1. Agrupa los términos con \(X\) en un miembro y los demás en el otro (sin olvidar \(I\) y los cambios de signo).
2. Saca \(X\) como factor común conservando su lado: \(X\cdot(A-I)\) o \((A-I)\cdot X\).
3. Despeja multiplicando por la inversa del lado correcto.
4. Calcula la inversa y el producto; comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Operaciones con matrices.

1. Comprueba las dimensiones antes de multiplicar y anota la dimensión del resultado.
2. Para potencias \(A^2,A^3,\dots\) calcula una a una y busca el patrón; después exprésalo en función de \(n\).
3. Revisa cada elemento: un solo error de signo arrastra todo lo demás.

TipSolución

a) Cuándo no hay inversa. 1. \(A\) no tiene inversa si y solo si \(|A|=0\). 2. \(|A|=8a-24=0\iff\) \(a=3\).

b) Ecuación matricial (con \(a=3\)). 1. Se saca \(X\) factor común por la izquierda: \(XA-XB=X(A-B)=C\). 2. \(A-B=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}\), con \(|A-B|=-1\neq0\), luego tiene inversa: \((A-B)^{-1}=\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}\). 3. Se despeja multiplicando por la inversa a la derecha (como \(X\) está a la izquierda): \[X=C\,(A-B)^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}.\] 4. Comprobación: \(\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}=C\).

c) Potencia \(A^8\) (con \(a=3\)). 1. \(A=\begin{pmatrix}3&4\\6&8\end{pmatrix}\) y \[A^2=\begin{pmatrix}9+24&12+32\\18+48&24+64\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}33&44\\66&88\end{pmatrix}=11A.\] 2. Reiterando: \(A^3=A^2A=11A^2=11^2A\) y, en general, \(A^n=11^{n-1}A\). 3. Para \(n=8\): \[A^8=11^7A=19\,487\,171\,A.\]

También trabajan este tema

Ejercicios cuyo tema principal es otro pero en los que aparece este tema:

• 2025 Ordinaria · Modelo B, ejercicio 1 (tema principal: Sistemas de ecuaciones lineales)
• 2025 Ordinaria · Suplente 2 · Modelo A, ejercicio 1 (tema principal: Sistemas de ecuaciones lineales)
• 2025 Ordinaria · Suplente 2 · Modelo B, ejercicio 1 (tema principal: Sistemas de ecuaciones lineales)

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Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF oficial del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.