Matrices y determinantes — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 9 son básicos y del 10 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía para Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (ejercicio de álgebra, 3 puntos, a veces con dos opciones de las que se elige una). Los marcados como competenciales piden modelizar, interpretar el resultado en el contexto o justificar. Las soluciones están al final.

Operaciones y determinantes

1. Dadas \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}3&0\\1&2\end{pmatrix}\), calcula \(A+B\), \(2A-B\), \(A\cdot B\) y \(B\cdot A\). ¿Se cumple \(A\cdot B=B\cdot A\)?

2. Sean \(A=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\\1&3\end{pmatrix}\). Indica las dimensiones de \(A\cdot B\), \(B\cdot A\) y \(A^t\), y calcula \(A\cdot B\) y \(A^t\).

3. Halla \(a\) y \(b\) para que sea simétrica la matriz \(A=\begin{pmatrix}2&a&1\\3&1&b\\1&-2&4\end{pmatrix}\).

4. Calcula \(\begin{vmatrix}3&-2\\1&4\end{vmatrix}\) y, por la regla de Sarrus, \(\begin{vmatrix}2&1&0\\-1&3&2\\1&0&4\end{vmatrix}\).

5. Sea \(A\) una matriz de orden 3 con \(|A|=-2\). Calcula \(|A^t|\), \(|3A|\), \(|A^2|\), \(|A^{-1}|\) y \(|A\cdot A^t|\), indicando la propiedad que usas.

Inversa, rango y ecuaciones matriciales

6. Calcula la inversa de \(A=\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}\) y comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I_2\).

7. Calcula por adjuntos la inversa de \(A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&-1\\2&1&0\end{pmatrix}\).

8. Calcula el rango de \(\begin{pmatrix}1&2&-1&3\\2&4&-2&6\\0&1&1&2\end{pmatrix}\) por Gauss.

9. Resuelve \(A\cdot X=B\) con \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\).

Problemas tipo PAU

10. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una papelería con dos tiendas vende libros, cuadernos y mochilas. Las matrices \(V\) y \(W\) recogen las unidades vendidas en la semana 1 y en la semana 2 (filas: tienda 1 y tienda 2; columnas: libros, cuadernos y mochilas): \[V=\begin{pmatrix}30&20&5\\25&40&10\end{pmatrix},\qquad W=\begin{pmatrix}35&15&8\\20&45&12\end{pmatrix}\] Los precios, en euros, son \(p=\begin{pmatrix}12\\3\\25\end{pmatrix}\).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(V+W\) e interpreta el elemento de la fila 2 y columna 3.

  2. (1 punto) Calcula los ingresos totales de cada tienda en las dos semanas.

  3. (0,75 puntos) Calcula \(W-V\) e indica en qué tiendas y productos bajaron las ventas.

  4. (0,5 puntos) Para una campaña se rebajan los precios un \(10\,\%\). Calcula el nuevo vector de precios y el ingreso de la tienda 1 en la semana 2 con esos precios.

11. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una fábrica elabora tres productos usando dos materias primas. La matriz \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\\4&2\end{pmatrix}\) da las unidades de cada materia prima (columnas) que necesita una unidad de cada producto (filas). Los precios de las materias primas son \(q=\begin{pmatrix}5\\8\end{pmatrix}\) euros por unidad, y el plan semanal de producción es \(r=\begin{pmatrix}10&20&5\end{pmatrix}\).

  1. (0,5 puntos) Calcula \(A\cdot q\) e interpreta sus elementos.

  2. (1 punto) Calcula \(r\cdot A\) e interpreta el resultado.

  3. (0,75 puntos) Calcula el coste de las materias primas del plan de producción de dos formas, \((r\cdot A)\cdot q\) y \(r\cdot(A\cdot q)\), y justifica que coincidan.

  4. (0,75 puntos) Si el precio de la segunda materia prima sube a 10 €, ¿cuánto aumenta el coste del plan semanal?

12. (Tipo PAU · 3 puntos) Elige una de las dos opciones.

Opción A. Sea \(A=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}\).

  1. (1 punto) Calcula \(A^2\) y \(A^3\).

  2. (1 punto) Deduce la expresión de \(A^n\) y calcula \(A^{10}\).

  3. (1 punto) Demuestra por inducción la expresión de \(A^n\).

Opción B. Sea \(B=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}\).

  1. (1 punto) Comprueba que \(B^2-3B+2I_2=O\).

  2. (1 punto) A partir de esa igualdad, deduce que \(B\) es invertible y calcula \(B^{-1}\) sin usar determinantes ni el método de Gauss.

  3. (1 punto) Comprueba el resultado calculando \(|B|\) y \(B^{-1}\) con la fórmula de las matrices de orden 2.

13. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(A_m=\begin{pmatrix}m&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{pmatrix}\).

  1. (1,25 puntos) Calcula \(|A_m|\) y halla los valores de \(m\) para los que \(A_m\) no tiene inversa.

  2. (1 punto) Para \(m=2\), calcula \(A_2^{-1}\).

  3. (0,75 puntos) Halla el rango de \(A_m\) para cada valor de \(m\) del apartado a).

14. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Dos operadoras de telefonía, A y B, se reparten un mercado de 1000 (en miles de clientes): 600 de A y 400 de B, es decir, \(x=\begin{pmatrix}600\\400\end{pmatrix}\). Cada mes, el \(10\,\%\) de los clientes de A pasa a B y el \(20\,\%\) de los de B pasa a A. La matriz \(M=\begin{pmatrix}0{,}9&0{,}2\\0{,}1&0{,}8\end{pmatrix}\) transforma el vector de clientes de un mes al siguiente.

  1. (0,5 puntos) Explica el significado de cada columna de \(M\) y por qué suma 1.

  2. (1 punto) Calcula cuántos clientes tendrá cada operadora al cabo de un mes.

  3. (1 punto) Calcula \(M^2\) y, con ella, los clientes al cabo de dos meses.

  4. (0,5 puntos) Justifica que el número total de clientes se mantiene en cada mes.

15. (Tipo PAU · 3 puntos) Sean \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}\) y \(C=\begin{pmatrix}5&4\\7&6\end{pmatrix}\).

  1. (0,5 puntos) Despeja \(X\) en la ecuación matricial \(A\cdot X+B=C\) y justifica que se puede.

  2. (1,5 puntos) Calcula \(A^{-1}\) y resuelve la ecuación.

  3. (1 punto) Comprueba que la matriz obtenida cumple la ecuación.

16. (Tipo PAU · 3 puntos) Sean \(A=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\). Se quiere hallar \(X\) tal que \(X\cdot A-X=B\).

  1. (0,75 puntos) Saca factor común y explica por qué hay que escribir \(I_2\).

  2. (1 punto) Calcula \(A-I_2\) y su inversa.

  3. (1,25 puntos) Calcula \(X\).

17. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(B_m=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&m\\1&4&m^2\end{pmatrix}\).

  1. (1 punto) Calcula \(|B_m|\).

  2. (1 punto) Estudia el rango de \(B_m\) según los valores de \(m\).

  3. (1 punto) Calcula, si existe, la inversa de \(B_3\).

18. (Tipo PAU · 3 puntos) Sea \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\).

  1. (0,75 puntos) Calcula \(A^2\) y \(A^3\).

  2. (0,75 puntos) Conjetura la expresión de \(A^n\) y calcula \(A^{10}\).

  3. (0,75 puntos) Demuestra por inducción tu conjetura.

  4. (0,75 puntos) Calcula \(A^{-1}\) y comprueba que la expresión de \(A^n\) da \(A^{-1}\) al tomar \(n=-1\).

19. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Sean \(A\) y \(B\) matrices cuadradas de orden 3 con \(|A|=2\) y \(|B|=-3\).

  1. (0,5 puntos) Calcula \(|A\cdot B|\) y di qué propiedad usas.

  2. (0,5 puntos) Calcula \(|2A|\).

  3. (0,75 puntos) Calcula \(|B^t\cdot A^{-1}|\) justificando que \(A\) es invertible.

  4. (0,5 puntos) Calcula \(|A^3|\).

  5. (0,75 puntos) ¿Se puede asegurar que \(A+B\) es invertible? Justifica la respuesta con un ejemplo.

20. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Una cooperativa envía códigos de pedido cifrados. Un par de números \(x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\) se cifra como \(y=C\cdot x\) con \(C=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\).

  1. (0,5 puntos) Comprueba que \(C\) es invertible y calcula \(C^{-1}\).

  2. (1 punto) Cifra el código \(x=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}\).

  3. (1 punto) Descifra el código recibido \(y=\begin{pmatrix}16\\27\end{pmatrix}\).

  4. (0,5 puntos) Explica por qué es imprescindible que \(|C|\neq0\) para poder descifrar, y por qué conviene aquí que \(|C|=1\).

21. (Tipo PAU · 3 puntos) Elige una de las dos opciones.

Opción A. Sea \(A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}\).

  1. (1,5 puntos) Calcula \(|A|\) y \(A^{-1}\).

  2. (1,5 puntos) Comprueba que \(A\cdot A^{-1}=I_3\).

Opción B. Sean \(A=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&1\\0&b\end{pmatrix}\).

  1. (1,5 puntos) Calcula \(A\cdot B\) y \(B\cdot A\).

  2. (1,5 puntos) Halla los valores de \(a\) y \(b\) para los que \(A\cdot B=B\cdot A\).

22. (Tipo PAU · 3 puntos) Sean \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}\).

  1. (0,5 puntos) Despeja \(X\) en la ecuación \(A^t\cdot X=B\).

  2. (1 punto) Calcula \(A^t\) y su inversa.

  3. (1,5 puntos) Calcula \(X\).

23. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Sea \(A_m=\begin{pmatrix}1&m\\2&3\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\).

  1. (0,75 puntos) Halla los valores de \(m\) para los que \(A_m\) no tiene inversa.

  2. (0,75 puntos) Para \(m=1\), calcula \(A_1^{-1}\) y resuelve \(A_1\cdot X=B\).

  3. (0,75 puntos) Para el valor de \(m\) del apartado a), estudia los rangos de \(A_m\) y de la matriz ampliada y resuelve \(A_m\cdot X=B\).

  4. (0,75 puntos) Explica por qué, aunque en c) no exista inversa, el sistema sí tiene solución.

24. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) En una red social hay cuatro usuarios. La matriz \(A\) recoge las amistades: \(a_{ij}=1\) si los usuarios \(i\) y \(j\) son amigos y \(a_{ij}=0\) si no (y \(a_{ii}=0\)): \[A=\begin{pmatrix}0&1&1&0\\1&0&1&1\\1&1&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}\]

  1. (0,5 puntos) Justifica que \(A\) es simétrica y explica qué significa en la red.

  2. (1 punto) Calcula \(A^2\).

  3. (0,75 puntos) Interpreta los elementos \((A^2)_{14}\) y \((A^2)_{22}\).

  4. (0,75 puntos) Calcula \(A\cdot u\) con \(u=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}\) e interpreta el resultado.

25. (Tipo PAU · 3 puntos · competencial) Dos plantas fabrican dos productos que consumen dos materias primas. La matriz \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\) indica las unidades de cada materia prima (columnas) por unidad de cada producto (filas). Se sabe que el consumo total de materias primas de cada planta (filas: plantas) es \(B=\begin{pmatrix}100&110\\80&70\end{pmatrix}\). Si \(X\) es la matriz de unidades fabricadas de cada producto (filas: plantas; columnas: productos), se cumple \(X\cdot A=B\).

  1. (0,5 puntos) Justifica que \(A\) es invertible.

  2. (1,5 puntos) Calcula \(X\).

  3. (1 punto) Interpreta el resultado: ¿cuántas unidades de cada producto fabrica cada planta?

Soluciones

\(A+B=\begin{pmatrix}4&2\\1&1\end{pmatrix}\) y \(2A-B=\begin{pmatrix}2&4\\0&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&0\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&4\\-1&-4\end{pmatrix}\).

\(A\cdot B=\begin{pmatrix}1\cdot3+2\cdot1&1\cdot0+2\cdot2\\0\cdot3+(-1)\cdot1&0\cdot0+(-1)\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&4\\-1&-2\end{pmatrix}\) y \(B\cdot A=\begin{pmatrix}3&6\\1&0\end{pmatrix}\).

Como \(A\cdot B\neq B\cdot A\), no se cumple la igualdad: el producto de matrices no es conmutativo.

\(A\cdot B\) es de dimensión \(2\times2\), \(B\cdot A\) es \(3\times3\) y \(A^t\) es \(3\times2\).

\(A\cdot B=\begin{pmatrix}1\cdot2+0\cdot0+2\cdot1&1\cdot1+0\cdot(-1)+2\cdot3\\-1\cdot2+3\cdot0+1\cdot1&-1\cdot1+3\cdot(-1)+1\cdot3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&7\\-1&-1\end{pmatrix}\) y \(A^t=\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\\2&1\end{pmatrix}\).

\(A\) es simétrica si \(A=A^t\), es decir, si \(a_{ij}=a_{ji}\). De \(a_{12}=a_{21}\) resulta \(a=3\) y de \(a_{23}=a_{32}\) resulta \(b=-2\). El elemento \(a_{13}=a_{31}=1\) ya coincide.

Solución: \(a=3\) y \(b=-2\).

\(\begin{vmatrix}3&-2\\1&4\end{vmatrix}=3\cdot4-(-2)\cdot1=12+2=14\).

Por Sarrus: \((2\cdot3\cdot4+1\cdot2\cdot1+0\cdot(-1)\cdot0)-(0\cdot3\cdot1+2\cdot2\cdot0+1\cdot(-1)\cdot4)=(24+2+0)-(0+0-4)=26+4=30\).

  • El determinante no cambia al trasponer: \(|A^t|=-2\).
  • Al multiplicar una matriz de orden 3 por \(3\), cada fila queda multiplicada por \(3\): \(|3A|=3^3\cdot|A|=-54\).
  • El determinante de un producto es el producto de los determinantes: \(|A^2|=|A|^2=4\).
  • \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}=-\frac{1}{2}\).
  • \(|A\cdot A^t|=|A|\cdot|A^t|=4\).

\(|A|=2\cdot3-5\cdot1=1\neq0\), luego existe la inversa. Con la fórmula de orden 2:

\(A^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}\).

Comprobación: \(A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}2\cdot3+5\cdot(-1)&2\cdot(-5)+5\cdot2\\1\cdot3+3\cdot(-1)&1\cdot(-5)+3\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2\).

\(|A|=\begin{vmatrix}1&0&2\\0&1&-1\\2&1&0\end{vmatrix}=(0+0+0)-(4-1+0)=-3\neq0\).

Adjuntos: \(A_{11}=1\), \(A_{12}=-2\), \(A_{13}=-2\), \(A_{21}=2\), \(A_{22}=-4\), \(A_{23}=-1\), \(A_{31}=-2\), \(A_{32}=1\), \(A_{33}=1\). La matriz de adjuntos y su traspuesta son

\(\begin{pmatrix}1&-2&-2\\2&-4&-1\\-2&1&1\end{pmatrix}\) y \(\begin{pmatrix}1&2&-2\\-2&-4&1\\-2&-1&1\end{pmatrix}\).

Entonces \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj}A)^t=-\dfrac13\begin{pmatrix}1&2&-2\\-2&-4&1\\-2&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}\).

\(F_2-2F_1\) da la fila \((0,0,0,0)\), luego \(F_2\) depende de \(F_1\). Quedan \(F_1=(1,2,-1,3)\) y \(F_3=(0,1,1,2)\), que no son proporcionales. Por tanto \(\operatorname{rg}A=2\).

(Comprobación por menores: todos los menores de orden 3 se anulan porque \(F_2=2F_1\), y el menor \(\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0\).)

\(|A|=5-6=-1\neq0\) y \(A^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}5&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}\).

De \(A\cdot X=B\) se obtiene \(X=A^{-1}\cdot B=\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}\).

  1. \(V+W=\begin{pmatrix}65&35&13\\45&85&22\end{pmatrix}\). El elemento \(22\) (fila 2, columna 3) son las mochilas vendidas por la tienda 2 en las dos semanas.

  2. Se multiplica por el vector de precios: \((V+W)\cdot p=\begin{pmatrix}65\cdot12+35\cdot3+13\cdot25\\45\cdot12+85\cdot3+22\cdot25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1210\\1345\end{pmatrix}\). La tienda 1 ingresó \(1210\) € y la tienda 2, \(1345\) €.

  3. \(W-V=\begin{pmatrix}5&-5&3\\-5&5&2\end{pmatrix}\). Los elementos negativos indican que bajaron las ventas de cuadernos en la tienda 1 (\(-5\) unidades) y de libros en la tienda 2 (\(-5\) unidades).

  4. El nuevo vector de precios es \(0{,}9\,p=\begin{pmatrix}10{,}8\\2{,}7\\22{,}5\end{pmatrix}\). La tienda 1 en la semana 2 vendió \((35,15,8)\) y ingresa \(35\cdot10{,}8+15\cdot2{,}7+8\cdot22{,}5=378+40{,}5+180=598{,}5\) €.

  1. \(A\cdot q=\begin{pmatrix}2\cdot5+1\cdot8\\1\cdot5+3\cdot8\\4\cdot5+2\cdot8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18\\29\\36\end{pmatrix}\): es el coste de las materias primas de una unidad de cada producto (18 €, 29 € y 36 €).

  2. \(r\cdot A=\begin{pmatrix}10\cdot2+20\cdot1+5\cdot4&10\cdot1+20\cdot3+5\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}60&80\end{pmatrix}\): el plan semanal necesita \(60\) unidades de la primera materia prima y \(80\) de la segunda.

  3. \((r\cdot A)\cdot q=60\cdot5+80\cdot8=940\) y \(r\cdot(A\cdot q)=10\cdot18+20\cdot29+5\cdot36=940\). Coinciden por la propiedad asociativa del producto de matrices: el coste total es de \(940\) €.

  4. Con \(q'=\begin{pmatrix}5\\10\end{pmatrix}\) el coste es \(60\cdot5+80\cdot10=1100\) €. Aumenta \(1100-940=160\) € por semana.

Opción A.

  1. \(A^2=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\6&1\end{pmatrix}\) y \(A^3=A^2\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\9&1\end{pmatrix}\).

  2. Se observa que el elemento inferior izquierdo es \(3n\): \(A^n=\begin{pmatrix}1&0\\3n&1\end{pmatrix}\), y entonces \(A^{10}=\begin{pmatrix}1&0\\30&1\end{pmatrix}\).

  3. Inducción. Para \(n=1\) se cumple. Si \(A^n=\begin{pmatrix}1&0\\3n&1\end{pmatrix}\), entonces \(A^{n+1}=A^n\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\3n+3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\3(n+1)&1\end{pmatrix}\), que es la fórmula para \(n+1\). Por tanto vale para todo \(n\ge1\).

Opción B.

  1. \(B^2=\begin{pmatrix}4&3\\0&1\end{pmatrix}\), luego \(B^2-3B+2I_2=\begin{pmatrix}4&3\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6&3\\0&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O\).

  2. De \(B^2-3B+2I_2=O\) se tiene \(B\cdot(3I_2-B)=2I_2\), es decir, \(B\cdot\dfrac12(3I_2-B)=I_2\). Existe una matriz que multiplicada por \(B\) da la identidad, luego \(B\) es invertible y \(B^{-1}=\dfrac12(3I_2-B)=\dfrac12\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\0&1\end{pmatrix}\).

  3. \(|B|=2\cdot1-1\cdot0=2\neq0\) y, con la fórmula de orden 2, \(B^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}\), que coincide con el resultado de b).

  1. Por Sarrus: \(|A_m|=m^3+1+1-m-m-m=m^3-3m+2=(m-1)^2(m+2)\). No tiene inversa cuando \(|A_m|=0\), es decir, para \(m=1\) y \(m=-2\).

  2. Para \(m=2\): \(|A_2|=4\). Los adjuntos de \(A_2=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}\) son \(3\) en la diagonal y \(-1\) fuera de ella, y la matriz es simétrica, luego \(A_2^{-1}=\dfrac14\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{pmatrix}\).

  3. Para \(m=1\) todas las filas son \((1,1,1)\): \(\operatorname{rg}A_1=1\). Para \(m=-2\) las filas son \((-2,1,1)\), \((1,-2,1)\) y \((1,1,-2)\), y el menor \(\begin{vmatrix}-2&1\\1&-2\end{vmatrix}=3\neq0\) da rango al menos 2, pero \(|A_{-2}|=0\): \(\operatorname{rg}A_{-2}=2\).

  1. Cada columna indica cómo se reparten los clientes de una operadora al mes siguiente: la primera columna dice que de los clientes de A, el \(90\,\%\) se queda en A y el \(10\,\%\) pasa a B; la segunda, que de los de B, el \(20\,\%\) pasa a A y el \(80\,\%\) se queda. Cada columna suma \(0{,}9+0{,}1=1\) y \(0{,}2+0{,}8=1\) porque todos los clientes van a alguna de las dos operadoras.

  2. \(x_1=M\cdot x=\begin{pmatrix}0{,}9\cdot600+0{,}2\cdot400\\0{,}1\cdot600+0{,}8\cdot400\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}620\\380\end{pmatrix}\): tras un mes, A tiene \(620\) y B tiene \(380\).

  3. \(M^2=\begin{pmatrix}0{,}9\cdot0{,}9+0{,}2\cdot0{,}1&0{,}9\cdot0{,}2+0{,}2\cdot0{,}8\\0{,}1\cdot0{,}9+0{,}8\cdot0{,}1&0{,}1\cdot0{,}2+0{,}8\cdot0{,}8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}83&0{,}34\\0{,}17&0{,}66\end{pmatrix}\) y \(x_2=M^2\cdot x=\begin{pmatrix}634\\366\end{pmatrix}\): tras dos meses, A tiene \(634\) y B tiene \(366\).

  4. La suma de los dos elementos de \(M\cdot x\) es \((0{,}9+0{,}1)x_A+(0{,}2+0{,}8)x_B=x_A+x_B\), porque las columnas suman 1. Así el total se mantiene en \(1000\) en cada mes (por ejemplo, \(620+380=1000\) y \(634+366=1000\)).

  1. De \(A\cdot X+B=C\) se tiene \(A\cdot X=C-B\) y, si \(A\) es invertible, \(X=A^{-1}\cdot(C-B)\) (la inversa se multiplica por la izquierda). Como \(|A|=2\cdot1-1\cdot1=1\neq0\), \(A\) es invertible.

  2. \(A^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\) y \(C-B=\begin{pmatrix}4&4\\5&3\end{pmatrix}\), luego \(X=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&4\\5&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\6&2\end{pmatrix}\).

  3. \(A\cdot X=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\6&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&4\\5&3\end{pmatrix}\) y sumando \(B\) resulta \(\begin{pmatrix}5&4\\7&6\end{pmatrix}=C\). Se cumple.

  1. \(X\cdot A-X=X\cdot(A-I_2)\). Hay que escribir \(I_2\) porque \(A-1\) no tiene sentido: no se puede restar un número a una matriz; \(X=X\cdot I_2\).

  2. \(A-I_2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\), con \(|A-I_2|=1\neq0\) y \((A-I_2)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\).

  3. De \(X\cdot(A-I_2)=B\) se obtiene \(X=B\cdot(A-I_2)^{-1}\) (la inversa se multiplica por la derecha): \(X=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\).

  1. Restando la primera fila a las otras dos, \(F_2-F_1=(0,1,m-1)\) y \(F_3-F_1=(0,3,m^2-1)\), el determinante no cambia y \(|B_m|=1\cdot\bigl(1\cdot(m^2-1)-3\cdot(m-1)\bigr)=(m-1)(m+1-3)=(m-1)(m-2)\).

  2. Si \(m\neq1\) y \(m\neq2\), \(|B_m|\neq0\) y \(\operatorname{rg}B_m=3\). Si \(m=1\), \(B_1=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&4&1\end{pmatrix}\) tiene la primera y la tercera columna iguales, y el menor \(\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\neq0\): \(\operatorname{rg}B_1=2\). Si \(m=2\), \(B_2=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\1&4&4\end{pmatrix}\) tiene las dos últimas columnas iguales y el mismo menor no nulo: \(\operatorname{rg}B_2=2\).

  3. Para \(m=3\): \(|B_3|=2\neq0\), luego existe la inversa. Con los adjuntos de \(B_3=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{pmatrix}\) resulta \(B_3^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}6&-5&1\\-6&8&-2\\2&-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-\frac{5}{2}&\frac{1}{2}\\-3&4&-1\\1&-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\).

  1. \(A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}\) y \(A^3=A^2\cdot A=\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}\).

  2. El elemento de la esquina superior derecha es \(2n\): \(A^n=\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}\), luego \(A^{10}=\begin{pmatrix}1&20\\0&1\end{pmatrix}\).

  3. Inducción. Para \(n=1\) se cumple. Si \(A^n=\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}\), entonces \(A^{n+1}=A^n\cdot A=\begin{pmatrix}1&2n+2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2(n+1)\\0&1\end{pmatrix}\). Vale para todo \(n\ge1\).

  4. \(|A|=1\) y \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\). La fórmula \(\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}\) con \(n=-1\) da exactamente esa matriz.

  1. El determinante de un producto es el producto de los determinantes: \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|=2\cdot(-3)=-6\).

  2. Como \(A\) es de orden 3, \(|2A|=2^3\cdot|A|=8\cdot2=16\).

  3. \(|A|=2\neq0\), luego \(A\) es invertible y \(|A^{-1}|=\dfrac12\). Entonces \(|B^t\cdot A^{-1}|=|B^t|\cdot|A^{-1}|=|B|\cdot\dfrac{1}{|A|}=-3\cdot\dfrac12=-\frac{3}{2}\).

  4. \(|A^3|=|A|^3=2^3=8\).

  5. No se puede asegurar: el determinante de una suma no es la suma de los determinantes. Contraejemplo: \(A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) (\(|A|=2\)) y \(B=\begin{pmatrix}-2&0&0\\0&1&0\\0&0&\frac{3}{2}\end{pmatrix}\) (\(|B|=-3\)) cumplen las condiciones, pero \(A+B=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&2&0\\0&0&\frac52\end{pmatrix}\) tiene \(|A+B|=0\) y no es invertible.

  1. \(|C|=2\cdot2-1\cdot3=1\neq0\), luego \(C\) es invertible y \(C^{-1}=\dfrac11\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}\).

  2. \(y=C\cdot x=\begin{pmatrix}2\cdot3+1\cdot5\\3\cdot3+2\cdot5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\19\end{pmatrix}\).

  3. \(x=C^{-1}\cdot y=\begin{pmatrix}2\cdot16-1\cdot27\\-3\cdot16+2\cdot27\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}\).

  4. Para recuperar \(x\) hace falta \(C^{-1}\), que solo existe si \(|C|\neq0\). Si no existiera, distintos códigos podrían dar el mismo cifrado y no se podría descifrar. Con \(|C|=1\) la inversa tiene entradas enteras y se obtienen enteros al descifrar, sin fracciones.

Opción A.

  1. Por Sarrus, \(|A|=(1\cdot1\cdot0+0\cdot1\cdot1+1\cdot0\cdot1)-(1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot1+0\cdot0\cdot0)=0-2=-2\neq0\). La matriz de adjuntos es \(\begin{pmatrix}-1&1&-1\\1&-1&-1\\-1&-1&1\end{pmatrix}\), simétrica, y \(A^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1&1&-1\\1&-1&-1\\-1&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\).

  2. \(A\cdot A^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}=\dfrac12\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I_3\).

Opción B.

  1. \(A\cdot B=\begin{pmatrix}1&1+ab\\0&b\end{pmatrix}\) y \(B\cdot A=\begin{pmatrix}1&a+1\\0&b\end{pmatrix}\).

  2. \(A\cdot B=B\cdot A\) si \(1+ab=a+1\), es decir, \(ab=a\), o \(a\,(b-1)=0\). Se cumple si \(a=0\) (con \(b\) cualquiera) o si \(b=1\) (con \(a\) cualquiera).

  1. \(A^t\cdot X=B\). Si \(A^t\) es invertible, \(X=(A^t)^{-1}\cdot B\) (inversa por la izquierda).

  2. \(A^t=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\), con \(|A^t|=1\neq0\) y \((A^t)^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}\).

  3. \(X=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\-4&3\end{pmatrix}\).

  1. \(|A_m|=1\cdot3-m\cdot2=3-2m\), que se anula para \(m=\frac{3}{2}\). Para ese valor \(A_m\) no tiene inversa.

  2. Para \(m=1\), \(A_1=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}\), \(|A_1|=1\) y \(A_1^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\end{pmatrix}\). Entonces \(X=A_1^{-1}\cdot B=\begin{pmatrix}3\cdot1-1\cdot2\\-2\cdot1+1\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\).

  3. Para \(m=\frac{3}{2}\), \(A=\begin{pmatrix}1&\frac{3}{2}\\2&3\end{pmatrix}\): la segunda fila es el doble de la primera, luego \(\operatorname{rg}A_{3/2}=1\). La matriz ampliada \(\begin{pmatrix}1&\frac{3}{2}&1\\2&3&2\end{pmatrix}\) también tiene la segunda fila doble de la primera, luego \(\operatorname{rg}(A_{3/2}|B)=1\). Como ambos rangos son \(1<2\), el sistema es compatible indeterminado: es una sola ecuación \(x+\frac{3}{2}y=1\). Con \(y=t\): \(x=1-\frac{3}{2}t\), es decir, \((x,y)=\bigl(1-\frac{3}{2}t,\ t\bigr)\).

  4. La existencia de solución depende de los rangos, no de la inversa. Aquí la segunda ecuación es múltiplo de la primera incluso en el término independiente (\(2=2\cdot1\)), así que no hay contradicción; si el término fuera otro, el sistema sería incompatible. Que \(A_m\) no tenga inversa solo impide despejar \(X=A^{-1}B\).

  1. \(A\) es simétrica porque \(a_{ij}=a_{ji}\) para todo par (por ejemplo \(a_{12}=a_{21}=1\) y \(a_{24}=a_{42}=1\)). En la red significa que la amistad es mutua: si \(i\) es amigo de \(j\), \(j\) lo es de \(i\).

  2. \(A^2=\begin{pmatrix}2&1&1&1\\1&3&1&0\\1&1&2&1\\1&0&1&1\end{pmatrix}\).

  3. \((A^2)_{14}=1\): hay un único camino de longitud 2 entre los usuarios 1 y 4, es decir, tienen un amigo en común (el usuario 2). \((A^2)_{22}=3\): es el número de amigos del usuario 2 (sus tres amigos 1, 3 y 4), porque cada amigo da un camino de ida y vuelta.

  4. \(A\cdot u=\begin{pmatrix}2\\3\\2\\1\end{pmatrix}\): cada elemento suma una fila de \(A\), es decir, el número de amigos de cada usuario (2, 3, 2 y 1).

  1. \(|A|=2\cdot2-1\cdot1=3\neq0\), luego \(A\) es invertible.

  2. De \(X\cdot A=B\) se obtiene \(X=B\cdot A^{-1}\) (inversa por la derecha). Como \(A^{-1}=\dfrac13\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{pmatrix}\), \(X=\dfrac13\begin{pmatrix}100&110\\80&70\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\dfrac13\begin{pmatrix}90&120\\90&60\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}30&40\\30&20\end{pmatrix}\).

  3. La planta 1 fabrica \(30\) unidades del producto 1 y \(40\) del producto 2; la planta 2 fabrica \(30\) del producto 1 y \(20\) del producto 2. Comprobación en la planta 1: \(30\cdot(2,1)+40\cdot(1,2)=(100,110)\), que es la primera fila de \(B\).