PAU Andalucía — Probabilidad

Ejercicios de Matemáticas II de la prueba de acceso a la universidad en Andalucía (PAU, antes PEvAU) de 2021 a 2026 cuyo tema principal es probabilidad: 7 ejercicios de convocatorias ordinarias, extraordinarias y de sus reservas o suplentes. Repasa antes la teoría, los ejercicios del tema y las actividades interactivas.

Debajo de cada ejercicio hay tres desplegables, de menos a más ayuda: Ayuda 1 · Recordatorio (la teoría que necesitas, sin tocar los datos), Ayuda 2 · Método (los pasos a seguir) y la solución paso a paso con el resultado. Inténtalo con la menor ayuda posible.

Probabilidad y distribución normal no entraron en Matemáticas II hasta la convocatoria de 2025: los anteriores exámenes (2021–2024) no tienen ejercicios de este tema.

2026

Ordinaria 2026

Ejercicio 4.2 · Ordinaria 2026 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen

Disponemos de dos bolsas con monedas de oro y monedas de plata. En la primera hay 2 monedas de oro y 3 monedas de plata. En la segunda hay 6 monedas de oro y 3 de plata. Sin mirar, extraemos una moneda al azar de la primera bolsa y la depositamos en la segunda bolsa. Luego extraemos una moneda de la segunda bolsa.

  1. Calcula la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro, sabiendo que la moneda que se extrajo de la primera bolsa era de plata. (0,75 puntos)

  2. Calcula la probabilidad de que la moneda que se extrajo de la primera bolsa fuera de plata, sabiendo que la segunda moneda es de oro. (1,75 puntos)

Probabilidad condicionada.

\(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (probabilidad de \(A\) sabiendo que ocurrió \(B\)). Regla del producto: \(P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)\). \(A\) y \(B\) son independientes si \(P(A|B)=P(A)\).

Probabilidad total y teorema de Bayes.

Si \(A_1,\dots,A_n\) forman un sistema completo de sucesos: \(P(B)=\sum P(A_i)\,P(B|A_i)\) (probabilidad total) y \(P(A_j|B)=\dfrac{P(A_j)\,P(B|A_j)}{P(B)}\) (Bayes).

Probabilidad condicionada.

  1. Identifica qué suceso es la condición («sabiendo que», «si ha ocurrido»): va en el denominador.
  2. Calcula la intersección y la probabilidad de la condición.
  3. Divide e interpreta el resultado en palabras.

Probabilidad total y teorema de Bayes.

  1. Dibuja un diagrama de árbol: primera etapa con el sistema completo, segunda con \(B\) y \(B^C\).
  2. Multiplica a lo largo de cada rama.
  3. Probabilidad total: suma las ramas que terminan en \(B\).
  4. Bayes: divide la rama pedida entre la probabilidad total.

Sucesos. Sean \(O_1\) y \(P_1\) «sale oro» y «sale plata» en la 1.ª extracción, y \(O_2\) «la 2.ª moneda es de oro». Bolsa 1: 2 oro y 3 plata; bolsa 2: 6 oro y 3 plata.

a) Probabilidad condicionada. 1. Si pasó una plata, la bolsa 2 tiene 6 oro y 4 plata (10 monedas). 2. \(P(O_2\mid P_1)=\dfrac{6}{10}\).

\(P(O_2\mid P_1)=\dfrac35\).

b) Teorema de Bayes. 1. Probabilidades de la 1.ª extracción: \(P(P_1)=\tfrac35\) y \(P(O_1)=\tfrac25\). 2. Si pasó oro, la bolsa 2 tiene 7 oro y 3 plata: \(P(O_2\mid O_1)=\tfrac7{10}\). 3. Probabilidad total de que la 2.ª sea de oro: \[P(O_2)=\tfrac35\cdot\tfrac6{10}+\tfrac25\cdot\tfrac7{10}=\tfrac9{25}+\tfrac7{25}=\tfrac{16}{25}.\] 4. Bayes: \(P(P_1\mid O_2)=\dfrac{P(P_1)\,P(O_2\mid P_1)}{P(O_2)}=\dfrac{9/25}{16/25}\).

\(P(P_1\mid O_2)=\dfrac{9}{16}\).

Interpretación: haber sacado oro en la segunda bolsa hace algo más probable que la moneda que pasó fuese de plata (\(0{,}5625\) frente a \(0{,}6\) de partida): casi no cambia la creencia previa.

Ordinaria · Suplente 1 2026

Ejercicio 4.2 · Ordinaria · Suplente 1 2026 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen

Los 120 estudiantes de segundo de Bachillerato de un centro se distribuyen por clases como se indica en la tabla:

Cursan inglés Cursan francés Número de estudiantes
Clase A 30 10 40
Clase B 15 20 35
Clase C 20 5 25
Clase D 20 0 20

Se elige un estudiante al azar y se pide:

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante elegido esté en la clase A o haya cursado francés? (1,25 puntos)

  2. Si el estudiante elegido cursaba inglés, ¿cuál es la probabilidad de que esté en la clase C? (1,25 puntos)

\(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (probabilidad de \(A\) sabiendo que ocurrió \(B\)). Regla del producto: \(P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)\). \(A\) y \(B\) son independientes si \(P(A|B)=P(A)\).

  1. Identifica qué suceso es la condición («sabiendo que», «si ha ocurrido»): va en el denominador.
  2. Calcula la intersección y la probabilidad de la condición.
  3. Divide e interpreta el resultado en palabras.

Datos. Total: 120 estudiantes. Cada estudiante cursa un solo idioma (inglés o francés).

a) Clase A o francés. 1. Clase A: 40 estudiantes (todos cuentan). 2. Francés fuera de la clase A: \(20+5+0=25\). 3. Casos favorables: \(40+25=65\) (no se cuenta dos veces a los de la clase A que cursan francés). 4. \(P(A\cup F)=\dfrac{40+25}{120}\).

\(P=\dfrac{65}{120}=\dfrac{13}{24}\approx0{,}542\).

b) Probabilidad condicionada. 1. Estudiantes de inglés: \(30+15+20+20=85\). 2. De ellos, en la clase C: \(20\). 3. \(P(C\mid I)=\dfrac{20}{85}\).

\(P(C\mid I)=\dfrac{20}{85}=\dfrac{4}{17}\approx0{,}235\).

Interpretación: menos de uno de cada cuatro estudiantes de inglés es de la clase C.

Extraordinaria 2026

Ejercicio 4.2 · Extraordinaria 2026 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen

Tres máquinas A, B y C producen el 45 %, 30 % y 25 %, respectivamente, del total de los coches que se producen en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3 %, 4 % y 5 %, respectivamente.

  1. Seleccionamos un coche al azar. Calcula la probabilidad de que sea defectuoso. (1,25 puntos)

  2. Tomamos, al azar, un coche y resulta ser defectuoso. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido dicho coche? (1,25 puntos)

Si \(A_1,\dots,A_n\) forman un sistema completo de sucesos: \(P(B)=\sum P(A_i)\,P(B|A_i)\) (probabilidad total) y \(P(A_j|B)=\dfrac{P(A_j)\,P(B|A_j)}{P(B)}\) (Bayes).

  1. Dibuja un diagrama de árbol: primera etapa con el sistema completo, segunda con \(B\) y \(B^C\).
  2. Multiplica a lo largo de cada rama.
  3. Probabilidad total: suma las ramas que terminan en \(B\).
  4. Bayes: divide la rama pedida entre la probabilidad total.

Datos. \(P(A)=0{,}45\), \(P(B)=0{,}30\), \(P(C)=0{,}25\) y \(P(D\mid A)=0{,}03\), \(P(D\mid B)=0{,}04\), \(P(D\mid C)=0{,}05\), con \(D\) «defectuoso».

a) Probabilidad total. 1. Se suman las ramas del árbol que terminan en defectuoso: \[P(D)=0{,}45\cdot0{,}03+0{,}30\cdot0{,}04+0{,}25\cdot0{,}05=0{,}0135+0{,}012+0{,}0125.\]

\(P(D)=0{,}038\).

b) Teorema de Bayes. 1. \(P(M\mid D)=\dfrac{P(M)P(D\mid M)}{0{,}038}\) para cada máquina \(M\): - \(P(A\mid D)=\dfrac{0{,}0135}{0{,}038}\approx0{,}355\) - \(P(B\mid D)=\dfrac{0{,}012}{0{,}038}\approx0{,}316\) - \(P(C\mid D)=\dfrac{0{,}0125}{0{,}038}\approx0{,}329\) 2. Se elige la mayor.

La máquina A es la más probable (≈ 35,5 %).

Interpretación: aunque A tiene el menor porcentaje de defectuosos, produce tantos coches que es la causa más probable de un defectuoso.

Extraordinaria · Suplente 2 2026

Ejercicio 4.2 · Extraordinaria · Suplente 2 2026 · Bloque optativo 2 · (2,5 puntos) · Examen

Dos laboratorios, Virex y Borez, elaboran las dosis de la vacuna contra la gripe A. Para mejorar la efectividad de dicha vacuna necesitamos dos inoculaciones. En la farmacia disponen de seis dosis de Virex y dos de Borez. Se sabe que las dosis se sirven de manera aleatoria y consecutiva.

  1. Halla la probabilidad de que la segunda dosis sea del laboratorio Virex. (1,25 puntos)

  2. Si la segunda dosis es del laboratorio Virex, halla la probabilidad de que la primera hubiese sido de Borez. (1,25 puntos)

Probabilidad condicionada.

\(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (probabilidad de \(A\) sabiendo que ocurrió \(B\)). Regla del producto: \(P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)\). \(A\) y \(B\) son independientes si \(P(A|B)=P(A)\).

Probabilidad total y teorema de Bayes.

Si \(A_1,\dots,A_n\) forman un sistema completo de sucesos: \(P(B)=\sum P(A_i)\,P(B|A_i)\) (probabilidad total) y \(P(A_j|B)=\dfrac{P(A_j)\,P(B|A_j)}{P(B)}\) (Bayes).

Probabilidad condicionada.

  1. Identifica qué suceso es la condición («sabiendo que», «si ha ocurrido»): va en el denominador.
  2. Calcula la intersección y la probabilidad de la condición.
  3. Divide e interpreta el resultado en palabras.

Probabilidad total y teorema de Bayes.

  1. Dibuja un diagrama de árbol: primera etapa con el sistema completo, segunda con \(B\) y \(B^C\).
  2. Multiplica a lo largo de cada rama.
  3. Probabilidad total: suma las ramas que terminan en \(B\).
  4. Bayes: divide la rama pedida entre la probabilidad total.

Datos. Hay 8 dosis: 6 de Virex (V) y 2 de Borez (B). Se sirven al azar y sin reposición.

a) La segunda dosis es de Virex. 1. Probabilidad total según la primera dosis. Si la primera es V (probabilidad \(\tfrac68\)), quedan 5 V entre 7. Si es B (probabilidad \(\tfrac28\)), quedan 6 V entre 7. 2. Se suman las dos ramas (o se usa la simetría: la segunda dosis tiene la misma probabilidad que la primera): \[P(V_2)=\tfrac68\cdot\tfrac57+\tfrac28\cdot\tfrac67=\tfrac{30+12}{56}.\]

\(P(V_2)=\dfrac34\).

b) Teorema de Bayes. 1. \(P(B_1\cap V_2)=\tfrac28\cdot\tfrac67=\tfrac{3}{14}\). 2. \(P(B_1\mid V_2)=\dfrac{P(B_1\cap V_2)}{P(V_2)}=\dfrac{\tfrac28\cdot\tfrac67}{3/4}=\dfrac{3/14}{3/4}\).

\(P(B_1\mid V_2)=\dfrac27\).

2025

Ordinaria 2025

Ejercicio 7 · Ordinaria 2025 · Bloque optativo 3 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

En la tabla siguiente se recoge el número de coches y motos que se presentaron a la ITV en el año 2023:

Coches Motos
Aptos 116.383 160.667
No aptos 2.679 3.447

Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto? (1,25 puntos)

  2. Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto? (1,25 puntos)

Probabilidad condicionada.

\(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (probabilidad de \(A\) sabiendo que ocurrió \(B\)). Regla del producto: \(P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)\). \(A\) y \(B\) son independientes si \(P(A|B)=P(A)\).

Probabilidad total y teorema de Bayes.

Si \(A_1,\dots,A_n\) forman un sistema completo de sucesos: \(P(B)=\sum P(A_i)\,P(B|A_i)\) (probabilidad total) y \(P(A_j|B)=\dfrac{P(A_j)\,P(B|A_j)}{P(B)}\) (Bayes).

Probabilidad condicionada.

  1. Identifica qué suceso es la condición («sabiendo que», «si ha ocurrido»): va en el denominador.
  2. Calcula la intersección y la probabilidad de la condición.
  3. Divide e interpreta el resultado en palabras.

Probabilidad total y teorema de Bayes.

  1. Dibuja un diagrama de árbol: primera etapa con el sistema completo, segunda con \(B\) y \(B^C\).
  2. Multiplica a lo largo de cada rama.
  3. Probabilidad total: suma las ramas que terminan en \(B\).
  4. Bayes: divide la rama pedida entre la probabilidad total.

Datos. Total de vehículos: \(116\,383+160\,667+2\,679+3\,447=283\,176\).

a) Moto o apto. 1. El suceso contrario de «moto o apto» es «coche no apto»: ni es moto ni es apto. 2. \(P(\text{coche no apto})=\dfrac{2\,679}{283\,176}\). 3. \(P(\text{moto}\cup\text{apto})=1-\dfrac{2\,679}{283\,176}=\dfrac{280\,497}{283\,176}\approx\mathbf{0{,}9905}\).

b) Probabilidad condicionada. 1. Hay \(116\,383+2\,679=119\,062\) coches. 2. \(P(\text{no apto}\,|\,\text{coche})=\dfrac{2\,679}{116\,383+2\,679}=\dfrac{2\,679}{119\,062}\approx\mathbf{0{,}0225}\).

Interpretación: algo más del \(2\,\%\) de los coches no pasa la inspección.

Ordinaria · Suplente 2 2025

Ejercicio 7 · Ordinaria · Suplente 2 2025 · Bloque optativo 3 · (2,5 puntos) · Examen A · Examen B

Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de 29 %, 51 % y 20 %. Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tazas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes 18 %, 31 % y 11 %, respectivamente.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado? (0,75 puntos)

  2. Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso? (1,75 puntos)

\(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (probabilidad de \(A\) sabiendo que ocurrió \(B\)). Regla del producto: \(P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)\). \(A\) y \(B\) son independientes si \(P(A|B)=P(A)\).

  1. Identifica qué suceso es la condición («sabiendo que», «si ha ocurrido»): va en el denominador.
  2. Calcula la intersección y la probabilidad de la condición.
  3. Divide e interpreta el resultado en palabras.

Sucesos y datos. \(E\) = expreso, \(M\) = medio, \(A\) = americano y \(D\) = descafeinado: \(P(E)=0{,}29\), \(P(M)=0{,}51\) y \(P(A)=0{,}20\). Si el café lleva cafeína con probabilidad \(18\,\%\), \(31\,\%\) y \(11\,\%\), entonces \(P(D|E)=0{,}82\), \(P(D|M)=0{,}69\) y \(P(D|A)=0{,}89\).

a) Expreso descafeinado. 1. Regla del producto: \(P(E\cap D)=P(E)\cdot P(D|E)=0{,}29\cdot0{,}82=\mathbf{0{,}2378}\).

b) Probabilidad a posteriori (Bayes). 1. Probabilidad total de descafeinado: \[P(D)=0{,}2378+0{,}51\cdot0{,}69+0{,}2\cdot0{,}89=0{,}2378+0{,}3519+0{,}178=0{,}7677.\] 2. Teorema de Bayes: \[P(E|D)=\frac{0{,}2378}{0{,}7677}=\mathbf{0{,}3098}.\]

Interpretación: entre los cafés descafeinados, algo menos de un tercio son expresos.

Extraordinaria · Suplente 1 2025

Ejercicio 7 · Extraordinaria · Suplente 1 2025 · Bloque optativo 3 · (2,5 puntos) · PDF del examen

Una empresa fabrica bolígrafos en tres provincias: Almería, Barcelona y Cáceres. El porcentaje de producción total de bolígrafos que se fabrica en cada provincia es, respectivamente, del 20 %, 50 % y 30 %. Además, el porcentaje de bolígrafos defectuosos en cada una de ellas es del 7 %, 6 % y 2 %, respectivamente.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso? (1 punto)

  2. Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería? (1,5 puntos)

Probabilidad condicionada.

\(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (probabilidad de \(A\) sabiendo que ocurrió \(B\)). Regla del producto: \(P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)\). \(A\) y \(B\) son independientes si \(P(A|B)=P(A)\).

Probabilidad total y teorema de Bayes.

Si \(A_1,\dots,A_n\) forman un sistema completo de sucesos: \(P(B)=\sum P(A_i)\,P(B|A_i)\) (probabilidad total) y \(P(A_j|B)=\dfrac{P(A_j)\,P(B|A_j)}{P(B)}\) (Bayes).

Probabilidad condicionada.

  1. Identifica qué suceso es la condición («sabiendo que», «si ha ocurrido»): va en el denominador.
  2. Calcula la intersección y la probabilidad de la condición.
  3. Divide e interpreta el resultado en palabras.

Probabilidad total y teorema de Bayes.

  1. Dibuja un diagrama de árbol: primera etapa con el sistema completo, segunda con \(B\) y \(B^C\).
  2. Multiplica a lo largo de cada rama.
  3. Probabilidad total: suma las ramas que terminan en \(B\).
  4. Bayes: divide la rama pedida entre la probabilidad total.

Sucesos y datos. \(A\), \(B\) y \(C\) son las provincias y \(D\) es «defectuoso»: \(P(A)=0{,}2\), \(P(B)=0{,}5\), \(P(C)=0{,}3\) y \(P(D|A)=0{,}07\), \(P(D|B)=0{,}06\), \(P(D|C)=0{,}02\).

a) Probabilidad total de defectuoso. 1. \(P(D)=0{,}2\cdot0{,}07+0{,}5\cdot0{,}06+0{,}3\cdot0{,}02=0{,}014+0{,}03+0{,}006=\mathbf{0{,}05}\).

b) Teorema de Bayes. 1. \(P(\overline D)=1-0{,}05=0{,}95\) y \(P(\overline D|A)=1-0{,}07=0{,}93\). 2. \(P(A|\overline D)=\dfrac{0{,}2\cdot0{,}93}{1-0{,}05}=\dfrac{0{,}186}{0{,}95}=\mathbf{0{,}1958}\) (aprox. \(19{,}6\,\%\)).

Interpretación: de los bolígrafos buenos, el \(19{,}6\,\%\) viene de Almería: algo menos que su \(20\,\%\) de la producción, porque Almería es la provincia con mayor tasa de defectos.

Enunciados: Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad (PEvAU hasta 2024, PAU desde 2025), Matemáticas II, Andalucía, Ceuta, Melilla y centros en Marruecos (Distrito Único Andaluz). Cada ejercicio enlaza al PDF del examen completo. La clasificación por temas es propia y puede discutirse: los ejercicios mixtos figuran en su tema principal.