Probabilidad — relación de ejercicios

Relación de 25 ejercicios: del 1 al 7 son básicos y del 8 al 25 siguen el estilo de la PAU de Andalucía (2021 en adelante). Las soluciones están al final.

Sucesos y reglas básicas

1. Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la suma sea 7 y de que sea al menos 10.

2. Sean \(A\) y \(B\) con \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}4\) y \(P(A\cap B)=0{,}2\). Calcula \(P(A\cup B)\), \(P(A\mid B)\), \(P(\overline A\cap B)\) y estudia si son independientes.

3. Sean \(A\) y \(B\) con \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}6\) y \(P(A\cup B)=0{,}9\). Calcula \(P(A\cap B)\), \(P(\overline A\cap\overline B)\), \(P(A\mid B)\), \(P(B\mid A)\) y \(P(\overline A\cup\overline B)\). ¿Son independientes?

4. En un grupo de 200 personas hay 120 mujeres y 80 hombres. Fuman 30 mujeres y 40 hombres. Se elige una persona al azar. Calcula \(P(\text{fuma})\), \(P(\text{mujer}\mid\text{fuma})\) y \(P(\text{fuma}\mid\text{hombre})\). ¿Son independientes «ser mujer» y «fumar»?

5. Una urna tiene 5 bolas rojas y 3 azules. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que ambas sean rojas y de que sean de distinto color.

6. Sean \(A\) y \(B\) independientes con \(P(A)=0{,}3\) y \(P(B)=0{,}5\). Calcula \(P(A\cup B)\) y \(P(A\cap\overline B)\).

7. Un tirador acierta en cada disparo con probabilidad \(0{,}3\), de forma independiente. Si dispara 3 veces, ¿cuál es la probabilidad de acertar al menos una vez?

Probabilidad total y Bayes

8. (Tipo PAU) Una fábrica tiene dos líneas: la A produce el 60 % de las piezas con un 2 % de defectuosas y la B el 40 % restante con un 5 % de defectuosas. Calcula la probabilidad de que una pieza sea defectuosa y, si lo es, de que proceda de A.

9. (Tipo PAU) Una enfermedad afecta al 1 % de la población. Una prueba da positivo en el 95 % de los enfermos y en el 5 % de los sanos. Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que esté enferma?

10. (Tipo PAU) Tres máquinas producen el 50 %, 30 % y 20 % de las piezas, con un 1 %, 2 % y 3 % de defectuosas, respectivamente. Se toma una pieza defectuosa. Calcula la probabilidad de que venga de cada máquina.

11. (Tipo PAU) En un centro el 55 % del alumnado son chicas. Practica deporte el 40 % de las chicas y el 50 % de los chicos. Se elige una persona que practica deporte. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica?

12. (Tipo PAU) Se elige una urna al azar entre dos. La urna I tiene 3 bolas blancas y 2 negras; la urna II tiene 1 blanca y 4 negras. Se extrae una bola. Calcula la probabilidad de que sea blanca y, si lo es, de que venga de la urna I.

13. (Tipo PAU) Se sabe que \(P(A)=0{,}4\), \(P(B\mid A)=0{,}5\) y \(P(B\mid\overline A)=0{,}2\). Calcula \(P(B)\) y \(P(A\mid B)\).

14. (Tipo PAU) En un examen tipo test de cuatro opciones, un alumno sabe la respuesta con probabilidad \(0{,}6\) y, si no la sabe, responde al azar. Calcula la probabilidad de acertar y, si ha acertado, de que supiera la respuesta.

15. Hay tres cajas: una con dos monedas de oro, otra con una de oro y una de plata y otra con dos de plata. Se elige una caja al azar y se saca una moneda, que es de oro. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra moneda de esa caja también sea de oro?

16. (Problema clásico) En un concurso hay tres puertas y un premio detrás de una de ellas. Eliges una; el presentador, que sabe dónde está el premio, abre otra sin premio y te ofrece cambiar. Calcula la probabilidad de ganar si cambias y si no cambias.

Combinatoria y cálculo con sucesos

17. Se extraen dos cartas de una baraja española de 40 sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que las dos sean ases y de que al menos una sea rey.

18. De un grupo de 10 personas, 6 mujeres y 4 hombres, se elige un comité de 3. Calcula la probabilidad de que haya al menos un hombre.

19. Al lanzar dos dados, calcula la probabilidad de sacar un doble y la de que el producto sea par.

20. (Tipo PAU) Al lanzar dos dados, calcula la probabilidad de que la suma sea 8 sabiendo que el primer dado ha salido par.

21. (Tipo PAU) Demuestra que \(P(\overline A\cap\overline B)=1-P(A)-P(B)+P(A\cap B)\).

22. (Tipo PAU) Sean \(A\) y \(B\) incompatibles con \(P(A)=0{,}3\) y \(P(B)=0{,}4\). Calcula \(P(A\cup B)\), \(P(\overline A\cap B)\) y \(P(A\mid B)\). ¿Son independientes?

23. (Tipo PAU) De una baraja española de 40 cartas se extrae una. Sean \(R\) «es rey» y \(O\) «es de oros». Calcula \(P(R\cup O)\) y \(P(R\mid O)\) y estudia si son independientes.

24. Un sistema tiene dos componentes independientes que funcionan con probabilidad \(0{,}9\) y \(0{,}8\). Calcula la probabilidad de que funcione el sistema si están en serie (deben funcionar los dos) y en paralelo (basta con uno).

25. (Tipo PAU) Demuestra que \(P(A\mid B)+P(\overline A\mid B)=1\).

Soluciones

Hay 36 resultados equiprobables. Suma 7: \((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\), es decir \(\dfrac{6}{36}=\dfrac16\).

Suma \(\ge10\): \((4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)\), es decir \(\dfrac{6}{36}=\dfrac16\).

\(P(A\cup B)=0{,}5+0{,}4-0{,}2=0{,}7\).
\(P(A\mid B)=\dfrac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5\).
\(P(\overline A\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=0{,}2\).
Independientes: \(P(A)P(B)=0{,}5\cdot0{,}4=0{,}2=P(A\cap B)\). Sí.

\(P(A\cap B)=0{,}5+0{,}6-0{,}9=0{,}2\).
\(P(\overline A\cap\overline B)=1-0{,}9=0{,}1\).
\(P(A\mid B)=\dfrac{0{,}2}{0{,}6}=\dfrac13\) y \(P(B\mid A)=\dfrac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4\).
\(P(\overline A\cup\overline B)=1-0{,}2=0{,}8\).
\(P(A)P(B)=0{,}3\neq0{,}2\): dependientes.

\(P(\text{fuma})=\dfrac{70}{200}=0{,}35\).
\(P(\text{mujer}\mid\text{fuma})=\dfrac{30}{70}=\dfrac37\).
\(P(\text{fuma}\mid\text{hombre})=\dfrac{40}{80}=0{,}5\).
\(P(\text{mujer})P(\text{fuma})=0{,}6\cdot0{,}35=0{,}21\) y \(P(\text{mujer}\cap\text{fuma})=\dfrac{30}{200}=0{,}15\). No coinciden: dependientes.

\(P(RR)=\dfrac58\cdot\dfrac47=\dfrac{20}{56}=\dfrac5{14}\).

Distinto color: \(P(RA)+P(AR)=\dfrac58\cdot\dfrac37+\dfrac38\cdot\dfrac57=\dfrac{30}{56}=\dfrac{15}{28}\).

\(P(A\cup B)=0{,}3+0{,}5-0{,}3\cdot0{,}5=0{,}65\). \(P(A\cap\overline B)=P(A)\,P(\overline B)=0{,}3\cdot0{,}5=0{,}15\).

\(P(\text{al menos un acierto})=1-P(\text{ningún acierto})=1-0{,}7^3=1-0{,}343=0{,}657\).

\(P(D)=0{,}6\cdot0{,}02+0{,}4\cdot0{,}05=0{,}012+0{,}020=0{,}032\).

\(P(A\mid D)=\dfrac{0{,}012}{0{,}032}=\dfrac38=0{,}375\).

\(P(+)=0{,}01\cdot0{,}95+0{,}99\cdot0{,}05=0{,}0095+0{,}0495=0{,}059\).

\(P(\text{enfermo}\mid+)=\dfrac{0{,}0095}{0{,}059}=\dfrac{19}{118}\approx0{,}161\).

Solo el 16 % de los positivos están realmente enfermos, porque la enfermedad es poco frecuente.

\(P(D)=0{,}5\cdot0{,}01+0{,}3\cdot0{,}02+0{,}2\cdot0{,}03=0{,}005+0{,}006+0{,}006=0{,}017\).

\(P(M_1\mid D)=\dfrac{0{,}005}{0{,}017}=\dfrac5{17}\), \(P(M_2\mid D)=\dfrac{0{,}006}{0{,}017}=\dfrac6{17}\), \(P(M_3\mid D)=\dfrac{0{,}006}{0{,}017}=\dfrac6{17}\).

\(P(\text{deporte})=0{,}55\cdot0{,}4+0{,}45\cdot0{,}5=0{,}22+0{,}225=0{,}445\).

\(P(\text{chica}\mid\text{deporte})=\dfrac{0{,}22}{0{,}445}=\dfrac{44}{89}\approx0{,}494\).

\(P(B)=\dfrac12\cdot\dfrac35+\dfrac12\cdot\dfrac15=\dfrac{3}{10}+\dfrac1{10}=\dfrac25\).

\(P(\text{I}\mid B)=\dfrac{3/10}{2/5}=\dfrac34\).

\(P(B)=0{,}4\cdot0{,}5+0{,}6\cdot0{,}2=0{,}2+0{,}12=0{,}32\).

\(P(A\mid B)=\dfrac{0{,}2}{0{,}32}=\dfrac58=0{,}625\).

\(P(\text{acierta})=0{,}6\cdot1+0{,}4\cdot\dfrac14=0{,}6+0{,}1=0{,}7\).

\(P(\text{sabía}\mid\text{acierta})=\dfrac{0{,}6}{0{,}7}=\dfrac67\approx0{,}857\).

Sea \(G\) «sale oro». \(P(G)=\dfrac13\cdot1+\dfrac13\cdot\dfrac12+\dfrac13\cdot0=\dfrac12\).

La otra moneda es de oro solo si se eligió la caja de dos oros: \(P=\dfrac{1/3}{1/2}=\dfrac23\) (no \(\frac12\), como sugiere la intuición).

Si no cambias, ganas con probabilidad \(\dfrac13\) (acertaste a la primera).

Si cambias, ganas si tu primera puerta era errónea (probabilidad \(\dfrac23\)), porque el presentador elimina la otra errónea. Probabilidad de ganar cambiando: \(\dfrac23\).

\(P(\text{dos ases})=\dfrac{4}{40}\cdot\dfrac{3}{39}=\dfrac{12}{1560}=\dfrac1{130}\).

\(P(\text{al menos un rey})=1-P(\text{ningún rey})=1-\dfrac{36}{40}\cdot\dfrac{35}{39}=1-\dfrac{1260}{1560}=\dfrac{300}{1560}=\dfrac5{26}\).

\(P(\text{al menos un hombre})=1-P(\text{solo mujeres})=1-\dfrac{\binom63}{\binom{10}3}=1-\dfrac{20}{120}=\dfrac56\).

Doble: \(\dfrac{6}{36}=\dfrac16\).

Producto par: es impar solo si los dos números son impares, con \(3\cdot3=9\) casos. \(P(\text{par})=1-\dfrac{9}{36}=\dfrac34\).

El primer dado par da \(3\cdot6=18\) casos. De ellos, suma 8: \((2,6),(4,4),(6,2)\), es decir 3 casos.

\(P=\dfrac{3}{18}=\dfrac16\).

Por De Morgan, \(\overline A\cap\overline B=\overline{A\cup B}\), luego \[P(\overline A\cap\overline B)=1-P(A\cup B)=1-\big(P(A)+P(B)-P(A\cap B)\big)=1-P(A)-P(B)+P(A\cap B)\]

Incompatibles: \(P(A\cap B)=0\).

\(P(A\cup B)=0{,}3+0{,}4=0{,}7\).
\(P(\overline A\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=0{,}4\).
\(P(A\mid B)=\dfrac{0}{0{,}4}=0\).
\(P(A)P(B)=0{,}12\neq0=P(A\cap B)\): dependientes.

\(P(R)=\dfrac4{40}\), \(P(O)=\dfrac{10}{40}\) y \(P(R\cap O)=\dfrac1{40}\).

\(P(R\cup O)=\dfrac{4+10-1}{40}=\dfrac{13}{40}\). \(P(R\mid O)=\dfrac{1/40}{10/40}=\dfrac1{10}=P(R)\).

Como \(P(R)P(O)=\dfrac1{10}\cdot\dfrac14=\dfrac1{40}=P(R\cap O)\), son independientes.

Serie: \(0{,}9\cdot0{,}8=0{,}72\). Paralelo: \(1-(0{,}1\cdot0{,}2)=1-0{,}02=0{,}98\).

\[P(A\mid B)+P(\overline A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}+\frac{P(\overline A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A\cap B)+P(\overline A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1\] porque \(A\cap B\) y \(\overline A\cap B\) son incompatibles y su unión es \(B\).