Estadística — relación de ejercicios

Relación de 24 ejercicios: del 1 al 10 son básicos, del 11 al 20 son problemas y los 4 últimos son competenciales (situaciones de la vida cotidiana en el estilo de las pruebas de diagnóstico). Las soluciones están al final, plegadas.

Ejercicios básicos

1. Clasifica cada variable (cualitativa, cuantitativa discreta o continua): a) color del pelo b) número de hermanos c) estatura d) nota en un examen (0 a 10, con decimales) e) deporte favorito f) número de móviles en casa.

2. Las notas de 20 alumnos son: \(3,\ 5,\ 4,\ 5,\ 2,\ 3,\ 5,\ 4,\ 3,\ 5,\ 4,\ 4,\ 3,\ 5,\ 2,\ 4,\ 3,\ 4,\ 5,\ 4\). Construye la tabla de frecuencias (absoluta, relativa, porcentaje y acumulada).

3. Calcula la media, la mediana y la moda de \(4,\ 8,\ 6,\ 5,\ 3,\ 8,\ 9,\ 7\).

4. Para los datos \(2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 10\) calcula el rango, la varianza y la desviación típica.

5. En un diagrama de sectores, la categoría «fútbol» tiene frecuencia relativa \(0{,}35\) y «baloncesto» \(0{,}2\). ¿Qué ángulo corresponde a cada una? Si la muestra es de \(80\) personas, ¿cuántas hay en cada una?

6. Los pesos (kg) de \(10\) alumnos son: \(52,\ 47,\ 55,\ 60,\ 49,\ 53,\ 58,\ 51,\ 56,\ 54\). Calcula la media y la mediana y di cuál es más representativa.

7. En una empresa, 9 empleados cobran \(1\,400\) € y el jefe cobra \(8\,000\) €. Calcula la media y la mediana de los sueldos. ¿Cuál describe mejor lo típico?

8. Completa la tabla y calcula la media: \(x_i=1,2,3,4,5\) con \(f_i=3,5,8,6,2\).

9. Los datos ordenados de una muestra son: \(2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 9,\ 10,\ 12\). Calcula los cuartiles \(Q_1\), \(Q_2\) y \(Q_3\) y el recorrido intercuartílico.

10. Dos jugadores de baloncesto meten en 6 partidos: A: \(10,12,11,9,13,11\); B: \(4,18,6,16,8,14\). Calcula la media y la desviación típica de cada uno y decide quién es más regular.

Problemas

11. Las estaturas de 20 alumnos se agrupan: \([150,160)\): 4; \([160,170)\): 9; \([170,180)\): 5; \([180,190)\): 2. Calcula las marcas de clase, la media aproximada y el intervalo modal.

12. Una profesora anota los minutos que tardan \(10\) alumnos en llegar al instituto: \(5,\ 10,\ 10,\ 15,\ 15,\ 15,\ 20,\ 20,\ 25,\ 45\). Calcula media, mediana y moda. ¿Qué influye el dato \(45\)? ¿Y sin él?

13. Un equipo de natación tiene tiempos (s): \(52,\ 55,\ 53,\ 51,\ 54,\ 52,\ 53\). Calcula la media y la desviación típica. ¿Qué porcentaje de datos está en \(\bar{x}\pm\sigma\)?

14. La nota media de 20 alumnos es 6,2. Se incorpora un alumno que saca un 9. ¿Cuál es la nueva media? Si en lugar de eso, se va un alumno con un 4, ¿cuál es la media de los 19 restantes?

15. En una encuesta sobre el medio de transporte al instituto responden 200 alumnos: autobús 90, a pie 60, bici 30, coche 20. Calcula los porcentajes y el ángulo de cada sector.

16. Una muestra tiene media \(50\) y desviación típica \(5\); otra tiene media \(200\) y desviación típica \(12\). Calcula el coeficiente de variación de cada una y razona cuál es más dispersa en términos relativos.

17. Una tienda registra las ventas diarias de camisetas en una semana: \(12,\ 15,\ 9,\ 20,\ 14,\ 30,\ 10\). Calcula la media, la mediana, el rango y los cuartiles. ¿Hay algún valor atípico?

18. Las edades de las 12 personas de un equipo son: \(22,\ 25,\ 24,\ 22,\ 30,\ 28,\ 25,\ 22,\ 26,\ 27,\ 24,\ 25\). Calcula la moda (o modas), la mediana y la media.

19. Se pregunta a 50 personas por el número de libros leídos al año: \(0\): 8; \(1\): 12; \(2\): 15; \(3\): 10; \(4\): 5. Calcula la media, la mediana y la desviación típica.

20. Una clase tiene notas medias de 6,5 (chicas, 14 alumnas) y 5,5 (chicos, 11 alumnos). Calcula la nota media de toda la clase.

Competenciales

21. Elegir un portero. Dos porteros han encajado estos goles en 8 partidos: Luis: \(0,\ 3,\ 1,\ 0,\ 4,\ 0,\ 2,\ 2\); Pablo: \(1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2\). a) Calcula la media y la desviación típica de cada uno. b) Si el entrenador quiere el menor número medio de goles, ¿a quién elige? c) Si quiere regularidad, ¿a quién?

22. El tiempo de reacción. En una prueba de reflejos, un grupo de 12 personas obtiene (en milisegundos): \(210,\ 230,\ 250,\ 225,\ 240,\ 215,\ 235,\ 245,\ 220,\ 260,\ 232,\ 238\). a) Calcula la media y la mediana. b) Calcula el rango. c) ¿Qué porcentaje de las personas tarda menos de \(240\) ms?

23. La encuesta de ocio. Se pregunta a 120 alumnos cuántas horas semanales dedican a videojuegos. Resultados por intervalos: \([0,2)\): 30; \([2,4)\): 42; \([4,6)\): 30; \([6,8)\): 12; \([8,10)\): 6. a) Calcula la media (con marcas de clase). b) ¿En qué intervalo está la mediana? c) ¿Qué porcentaje dedica \(6\) horas o más?

24. Una encuesta que engaña. Un periódico titula: «El 80 % de los españoles está a favor de las clases por la tarde». Se preguntó a 50 personas a la salida de un gimnasio vespertino. a) ¿Cuál es la población y cuál la muestra? b) ¿Es una muestra representativa? Razona. c) Propón una forma mejor de elegir la muestra.

Soluciones

  1. Cualitativa. b) Cuantitativa discreta. c) Cuantitativa continua. d) Cuantitativa continua. e) Cualitativa. f) Cuantitativa discreta.

Tabla de frecuencias:

\(x_i\) \(f_i\) \(h_i\) % \(F_i\)
2 2 \(0{,}10\) 10 2
3 5 \(0{,}25\) 25 7
4 7 \(0{,}35\) 35 14
5 6 \(0{,}30\) 30 20

Total: \(N=20\).

Media \(=\frac{4+8+6+5+3+8+9+7}{8}=\frac{50}{8}=6{,}250\). Ordenados: \(3,4,5,6,7,8,8,9\); mediana \(=\frac{6+7}{2}=6{,}5\). Moda \(=8\).

Media \(=\frac{40}{7}\approx5{,}714\). Rango \(=10-2=8\). Varianza \(=\frac{4+16+16+25+49+64+100}{7}-(5{,}714)^2\approx6{,}49\). Desviación típica \(\approx2{,}55\).

Fútbol: \(0{,}35\cdot360=126^\circ\) y \(28\) personas. Baloncesto: \(0{,}2\cdot360=72^\circ\) y \(16\) personas.

Suma \(=535\); media \(=53{,}5\). Ordenados: \(47,49,51,52,53,54,55,56,58,60\); mediana \(=\frac{53+54}{2}=53{,}5\). Coinciden, así que ambas son representativas (no hay valores atípicos).

Media: \(\frac{9\cdot1400+8000}{10}=2060\) €. Mediana: \(1400\) €. La mediana describe mejor lo típico, porque la media está inflada por el sueldo extremo.

\(N=24\). \(\sum x_if_i=3+10+24+24+10=71\). Media \(=\frac{71}{24}\approx2{,}96\).

\(Q_2=\frac{6+7}{2}=6{,}5\). \(Q_1\) es la mediana de la mitad inferior \((2,3,5,6)\): \(\frac{3+5}{2}=4\). \(Q_3\) es la mediana de la mitad superior \((7,9,10,12)\): \(\frac{9+10}{2}=9{,}5\). \(Q_3-Q_1=5{,}5\).

Ambos tienen media \(11\). \(\sigma_A=\sqrt{1{,}67}\approx1{,}29\) y \(\sigma_B=\sqrt{27{,}67}\approx5{,}26\). A es más regular (menor dispersión).

Marcas: \(155,\ 165,\ 175,\ 185\). Media \(=\frac{155\cdot4+165\cdot9+175\cdot5+185\cdot2}{20}=\frac{3350}{20}=167{,}5\) cm. Intervalo modal: \([160,170)\).

Media \(=\frac{180}{10}=18\); mediana \(=\frac{15+15}{2}=15\); moda \(=15\). Sin el \(45\): media \(=\frac{135}{9}=15\), mediana \(15\). El valor atípico sube la media pero no la mediana.

Media \(=52{,}86\). \(\sigma\approx1{,}25\). Intervalo: \([51{,}61,\ 54{,}10]\) contiene \(5\) de \(7\) datos.

Suma inicial: \(20\cdot6{,}2=124\). Con el nuevo: \(\frac{124+9}{21}\approx6{,}33\). Si se va el que sacó 4: \(\frac{124-4}{19}\approx6{,}32\).

Autobús: \(45\,\%\) y \(162^\circ\). A pie: \(30\,\%\) y \(108^\circ\). Bici: \(15\,\%\) y \(54^\circ\). Coche: \(10\,\%\) y \(36^\circ\). Suman \(100\,\%\) y \(360^\circ\).

\(CV_1=\frac{5}{50}=10\,\%\) y \(CV_2=\frac{12}{200}=6\,\%\). La primera es relativamente más dispersa, aunque su \(\sigma\) sea menor.

Ordenados: \(9,10,12,14,15,20,30\). Media \(=15{,}71\). Mediana \(=14\). Rango \(=21\). \(Q_1=10\), \(Q_3=20\). Recorrido intercuartílico \(10\): el \(30\) está por encima de \(Q_3+1{,}5\cdot10=35\)? No, \(30<35\): no es atípico.

Ordenadas: \(22,22,22,24,24,25,25,25,26,27,28,30\). Modas: \(22\) y \(25\) (3 veces cada una). Mediana \(=\frac{25+25}{2}=25\). Media \(=\frac{300}{12}=25\).

\(\sum x_if_i=0+12+30+30+20=92\); media \(=1{,}84\). La mediana está en los datos \(25\) y \(26\), ambos \(2\): mediana \(=2\). \(\sum x_i^2f_i=0+12+60+90+80=242\); varianza \(=\frac{242}{50}-1{,}84^2=1{,}4544\); \(\sigma\approx1{,}21\).

\(\frac{14\cdot6{,}5+11\cdot5{,}5}{25}=\frac{151.5}{25}=6{,}06\).

  1. Luis: media \(=1{,}50\), \(\sigma\approx1{,}41\). Pablo: media \(=1{,}50\), \(\sigma\approx0{,}50\). b) Pablo: \(1{,}5\) goles frente a \(1{,}5\) de Luis: empatan en la media. c) Pablo, mucho más regular (\(\sigma\) menor).
  1. Suma \(=2800\); media \(=233{,}33\) ms. Ordenados: \(210,215,220,225,230,232,235,238,240,245,250,260\); mediana \(=\frac{232+235}{2}=233{,}5\) ms. b) \(260-210=50\) ms. c) Menos de \(240\): 8 de \(12\), es decir, el \(66{,}7\,\%\).
  1. Marcas \(1,3,5,7,9\): \(\frac{30+126+150+84+54}{120}=\frac{444}{120}=3{,}70\) h. b) Acumuladas \(30,72,102,\dots\); la posición \(60\) y \(61\) cae en \([2,4)\). c) \(\frac{12+6}{120}=15\,\%\).
  1. Población: todos los españoles. Muestra: las 50 personas del gimnasio. b) No: está sesgada (son personas que ya van por la tarde) y es demasiado pequeña. c) Elegir al azar personas de distintas edades, ciudades y horarios (muestreo aleatorio), con un tamaño mayor.