Funciones lineales y cuadráticas — relación de ejercicios

Relación de 24 ejercicios: del 1 al 10 son básicos, del 11 al 20 son problemas y los 4 últimos son competenciales (situaciones de la vida cotidiana en el estilo de las pruebas de diagnóstico). Las soluciones están al final, plegadas.

Ejercicios básicos

1. Indica la pendiente y la ordenada en el origen de: a) \(y=3x-2\) b) \(y=-\frac{1}{2}x+4\) c) \(y=5\) d) \(2x+y=6\). ¿Cuáles son crecientes?

2. Halla la ecuación de la recta que pasa por \(A(1,2)\) y \(B(4,11)\) y calcula dónde corta a los ejes.

3. Halla la recta de pendiente \(-2\) que pasa por \((3,5)\) y la recta paralela a ella que pasa por el origen.

4. ¿Se cortan las rectas \(y=2x+1\) e \(y=-x+7\)? Halla el punto.

5. Para \(y=x^2-6x+5\) calcula el vértice, los cortes con los ejes y el eje de simetría.

6. Indica si estas parábolas tienen máximo o mínimo y en qué punto: a) \(y=-x^2+4x\) b) \(y=2x^2+4x+5\).

7. Haz una tabla de valores y esboza \(y=-x^2+2x+3\) con \(x=-2,-1,0,1,2,3,4\).

8. ¿Qué recta pasa por los puntos \((0,-3)\) y \((2,1)\)? Haz una tabla con tres puntos más.

9. Decide si la tabla es lineal o cuadrática: a) \(x=0,1,2,3\); \(y=1,4,7,10\) b) \(x=0,1,2,3\); \(y=1,2,5,10\).

10. Resuelve gráficamente (con la tabla): ¿en qué puntos corta \(y=x^2-4\) a la recta \(y=x-2\)?

Problemas

11. Una tarifa de agua cobra \(5\) € fijos más \(1{,}2\) € por m³. Escribe la función, calcula la factura de \(18\) m³ y cuántos m³ se consumieron si se pagaron \(26{,}6\) €.

12. Un coche circula a velocidad constante. A los \(2\) h ha recorrido \(150\) km y a las \(5\) h, \(375\) km. Halla la fórmula \(e(t)\), la velocidad y dónde estaba al empezar.

13. Un fabricante vende un producto a \(12\) € la unidad y tiene unos costes fijos de \(900\) € y variables de \(7\) € por unidad. Escribe las funciones de ingresos, costes y beneficio y halla el punto de equilibrio.

14. La altura (m) de una pelota lanzada es \(h(t)=-5t^2+20t+1\). Calcula la altura máxima, cuándo la alcanza y cuándo cae al suelo (aproxima).

15. Se dispone de \(60\) m de valla para un corral rectangular. Si un lado mide \(x\), expresa el área \(A(x)\), halla \(x\) para que sea máxima y calcula esa área.

16. Halla la parábola \(y=x^2+bx+c\) que pasa por \((0,3)\) y por \((1,0)\) y calcula su vértice.

17. Un cine tiene \(400\) espectadores si cobra \(6\) €. Por cada euro que sube el precio, pierde \(40\) espectadores. Expresa los ingresos \(I(x)\) si sube \(x\) euros, y halla el precio que maximiza los ingresos.

18. Dos tarifas de móvil: A, \(15\) € más \(0{,}03\) €/min; B, \(0{,}08\) €/min sin cuota. ¿Para qué minutos conviene cada una? Dibuja mentalmente las dos rectas.

19. La recta que une \((−1,4)\) y \((3,−4)\), ¿pasa por el punto \((1,0)\)? Calcula su ecuación.

20. Una piedra se deja caer y su distancia recorrida es \(d(t)=5t^2\) metros. ¿Qué distancia recorre en \(1,\ 2\) y \(3\) s? ¿Cuántos segundos tarda en caer \(80\) m? Observa si es proporcional al tiempo.

Competenciales

21. Contratar internet. Una compañía ofrece: plan A, \(30\) € al mes con instalación gratis; plan B, \(24\) € al mes más \(60\) € de instalación (pago único). a) Escribe el coste acumulado de cada plan tras \(m\) meses. b) ¿En qué mes iguala B a A? c) ¿Cuánto ahorras con B en 2 años?

22. El puente colgante. El cable de un puente describe la parábola \(y=0{,}01x^2-0{,}6x+10\) (en metros, con \(x\) medido desde el extremo izquierdo). a) ¿A qué altura está el cable en el extremo (\(x=0\))? b) ¿Dónde está su punto más bajo y a qué altura? c) ¿A qué altura está en \(x=60\)?

23. La parabólica de la azotea. Una antena parabólica tiene sección \(y=\frac{x^2}{16}\) (metros). a) Completa la tabla para \(x=-4,-2,0,2,4\). b) ¿Qué profundidad tiene la antena si su diámetro es \(8\) m? c) ¿Dónde cambia el signo de la pendiente?

24. Un negocio de zumos. Una tienda vende \(x\) zumos al día a un precio de \((5-0{,}02x)\) € cada uno. a) Expresa los ingresos \(I(x)\). b) ¿Cuántos zumos conviene vender para maximizar los ingresos y cuáles son? c) ¿Cuántos zumos hacen que los ingresos sean cero?

Soluciones

  1. \(m=3\), \(n=-2\) (creciente). b) \(m=-\frac{1}{2}\), \(n=4\) (decreciente). c) \(m=0\), \(n=5\) (constante). d) \(y=-2x+6\): \(m=-2\), \(n=6\) (decreciente). Solo es creciente la a).

\(m=\frac{11-2}{4-1}=3\). \(y-2=3(x-1)\Rightarrow y=3x-1\). Con \(OY\): \((0,-1)\). Con \(OX\): \(3x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}\).

\(y-5=-2(x-3)\Rightarrow y=-2x+11\). Paralela: misma pendiente, \(y=-2x\).

Distinta pendiente: se cortan. \(2x+1=-x+7\Rightarrow3x=6\Rightarrow x=2\), \(y=5\). Punto \((2,5)\).

\(x_v=\frac{6}{2}=3\), \(y_v=9-18+5=-4\): \(V(3,-4)\). Cortes con \(OX\): \(x^2-6x+5=0\Rightarrow x=1,\ 5\). Con \(OY\): \((0,5)\). Eje: \(x=3\).

  1. \(a<0\): máximo. \(x_v=2\), \(y_v=4\): \((2,4)\). b) \(a>0\): mínimo. \(x_v=-1\), \(y_v=2-4+5=3\): \((-1,3)\).

\(y=-5,\ 0,\ 3,\ 4,\ 3,\ 0,\ -5\). Vértice \((1,4)\) (máximo). Cortes con \(OX\): \(-1\) y \(3\).

\(m=\frac{1+3}{2}=2\), \(n=-3\): \(y=2x-3\). Tabla: \(x=1\to-1\); \(x=3\to3\); \(x=-1\to-5\).

  1. Diferencias: \(3,3,3\). Lineal, \(y=3x+1\). b) Primeras diferencias \(1,3,5\) y segundas \(2,2\). Cuadrática, \(y=x^2+1\).

\(x^2-4=x-2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=2\) o \(x=-1\). Puntos \((2,0)\) y \((-1,-3)\).

\(C(x)=5+1{,}2x\). \(C(18)=5+21{,}6=26{,}6\) €. \(5+1{,}2x=26{,}6\Rightarrow x=18\) m³.

\(m=\frac{375-150}{5-2}=75\) km/h. \(e=75t+n\): \(150=150+n\Rightarrow n=0\). \(e(t)=75t\) y empezó en el origen.

\(I=12x\), \(C=900+7x\), \(B=5x-900\). Equilibrio: \(12x=900+7x\Rightarrow x=180\) unidades.

\(t_v=2\) s y \(h(2)=-20+40+1=21\) m. Suelo: \(-5t^2+20t+1=0\Rightarrow t=\frac{-20\pm\sqrt{420}}{-10}\), la positiva es \(t\approx4{,}05\) s.

Otro lado: \(30-x\). \(A(x)=x(30-x)=-x^2+30x\). Vértice: \(x=15\) y \(A=225\) m². Es un cuadrado de \(15\) m.

\(c=3\). \(1+b+3=0\Rightarrow b=-4\). \(y=x^2-4x+3\). Vértice: \(x=2\), \(y=-1\): \((2,-1)\).

\(I(x)=(6+x)(400-40x)=-40x^2+160x+2400\). Vértice: \(x=2\), \(I=8\cdot320=2560\) €. El precio óptimo es \(8\) €.

\(15+0{,}03x=0{,}08x\Rightarrow x=300\) min. Menos de \(300\) min conviene B; más de \(300\) min conviene A.

\(m=\frac{-4-4}{3-(-1)}=-2\). \(y-4=-2(x+1)\Rightarrow y=-2x+2\). Para \(x=1\): \(y=0\). Sí pasa.

\(d(1)=5\), \(d(2)=20\), \(d(3)=45\) m. \(5t^2=80\Rightarrow t=4\) s. No es proporcional: al duplicar el tiempo (de \(1\) a \(2\)), la distancia se multiplica por \(4\).

  1. \(A(m)=30m\); \(B(m)=60+24m\). b) \(30m=60+24m\Rightarrow m=10\) meses. c) A los \(24\) meses: A \(=720\) € y B \(=636\) €. Ahorras \(84\) €.
  1. \(10\) m. b) \(x_v=\frac{0{,}6}{0{,}02}=30\) m y \(y=0{,}01\cdot900-18+10=1\) m. c) \(y=36-36+10=10\) m: simétrico al extremo.
  1. \(y=1,\ 0{,}25,\ 0,\ 0{,}25,\ 1\). b) Para \(x=\pm4\): \(y=1\) m de profundidad. c) En \(x=0\), el vértice: a la izquierda decrece y a la derecha crece.
  1. \(I(x)=x(5-0{,}02x)=5x-0{,}02x^2\). b) Vértice: \(x=\frac{-5}{-0{,}04}=125\) zumos, \(I=312{,}5\) €. c) \(5x-0{,}02x^2=0\Rightarrow x=0\) o \(x=250\).