Funciones lineales y cuadráticas — relación de ejercicios

Ejercicios de funciones lineales y cuadráticas de 3º ESO en Andalucía, con soluciones paso a paso. Con problemas y situaciones competenciales.

Relación de 24 ejercicios: del 1 al 10 son básicos, del 11 al 20 son problemas y los 4 últimos son competenciales (situaciones de la vida cotidiana en el estilo de las pruebas de diagnóstico). Las soluciones están al final, plegadas.

Ejercicios básicos

1. Indica la pendiente y la ordenada en el origen de: a) \(y=3x-2\) b) \(y=-\frac{1}{2}x+4\) c) \(y=5\) d) \(2x+y=6\). ¿Cuáles son crecientes?

2. Halla la ecuación de la recta que pasa por \(A(1,2)\) y \(B(4,11)\) y calcula dónde corta a los ejes.

3. Halla la recta de pendiente \(-2\) que pasa por \((3,5)\) y la recta paralela a ella que pasa por el origen.

4. ¿Se cortan las rectas \(y=2x+1\) e \(y=-x+7\)? Halla el punto.

5. Para \(y=x^2-6x+5\) calcula el vértice, los cortes con los ejes y el eje de simetría.

6. Indica si estas parábolas tienen máximo o mínimo y en qué punto: a) \(y=-x^2+4x\) b) \(y=2x^2+4x+5\).

7. Haz una tabla de valores y esboza \(y=-x^2+2x+3\) con \(x=-2,-1,0,1,2,3,4\).

8. ¿Qué recta pasa por los puntos \((0,-3)\) y \((2,1)\)? Haz una tabla con tres puntos más.

9. Decide si la tabla es lineal o cuadrática: a) \(x=0,1,2,3\); \(y=1,4,7,10\) b) \(x=0,1,2,3\); \(y=1,2,5,10\).

10. Resuelve gráficamente (con la tabla): ¿en qué puntos corta \(y=x^2-4\) a la recta \(y=x-2\)?

Problemas

11. Una tarifa de agua cobra \(5\) € fijos más \(1{,}2\) € por m³. Escribe la función, calcula la factura de \(18\) m³ y cuántos m³ se consumieron si se pagaron \(26{,}6\) €.

12. Un coche circula a velocidad constante. A los \(2\) h ha recorrido \(150\) km y a las \(5\) h, \(375\) km. Halla la fórmula \(e(t)\), la velocidad y dónde estaba al empezar.

13. Un fabricante vende un producto a \(12\) € la unidad y tiene unos costes fijos de \(900\) € y variables de \(7\) € por unidad. Escribe las funciones de ingresos, costes y beneficio y halla el punto de equilibrio.

14. La altura (m) de una pelota lanzada es \(h(t)=-5t^2+20t+1\). Calcula la altura máxima, cuándo la alcanza y cuándo cae al suelo (aproxima).

15. Se dispone de \(60\) m de valla para un corral rectangular. Si un lado mide \(x\), expresa el área \(A(x)\), halla \(x\) para que sea máxima y calcula esa área.

16. Halla la parábola \(y=x^2+bx+c\) que pasa por \((0,3)\) y por \((1,0)\) y calcula su vértice.

17. Un cine tiene \(400\) espectadores si cobra \(6\) €. Por cada euro que sube el precio, pierde \(40\) espectadores. Expresa los ingresos \(I(x)\) si sube \(x\) euros, y halla el precio que maximiza los ingresos.

18. Dos tarifas de móvil: A, \(15\) € más \(0{,}03\) €/min; B, \(0{,}08\) €/min sin cuota. ¿Para qué minutos conviene cada una? Dibuja mentalmente las dos rectas.

19. La recta que une \((−1,4)\) y \((3,−4)\), ¿pasa por el punto \((1,0)\)? Calcula su ecuación.

20. Una piedra se deja caer y su distancia recorrida es \(d(t)=5t^2\) metros. ¿Qué distancia recorre en \(1,\ 2\) y \(3\) s? ¿Cuántos segundos tarda en caer \(80\) m? Observa si es proporcional al tiempo.

Competenciales

21. Contratar internet. Una compañía ofrece: plan A, \(30\) € al mes con instalación gratis; plan B, \(24\) € al mes más \(60\) € de instalación (pago único). a) Escribe el coste acumulado de cada plan tras \(m\) meses. b) ¿En qué mes iguala B a A? c) ¿Cuánto ahorras con B en 2 años?

22. El puente colgante. El cable de un puente describe la parábola \(y=0{,}01x^2-0{,}6x+10\) (en metros, con \(x\) medido desde el extremo izquierdo). a) ¿A qué altura está el cable en el extremo (\(x=0\))? b) ¿Dónde está su punto más bajo y a qué altura? c) ¿A qué altura está en \(x=60\)?

23. La parabólica de la azotea. Una antena parabólica tiene sección \(y=\frac{x^2}{16}\) (metros). a) Completa la tabla para \(x=-4,-2,0,2,4\). b) ¿Qué profundidad tiene la antena si su diámetro es \(8\) m? c) ¿Dónde cambia el signo de la pendiente?

24. Un negocio de zumos. Una tienda vende \(x\) zumos al día a un precio de \((5-0{,}02x)\) € cada uno. a) Expresa los ingresos \(I(x)\). b) ¿Cuántos zumos conviene vender para maximizar los ingresos y cuáles son? c) ¿Cuántos zumos hacen que los ingresos sean cero?

Soluciones

  1. \(m=3\), \(n=-2\) (creciente). b) \(m=-\frac{1}{2}\), \(n=4\) (decreciente). c) \(m=0\), \(n=5\) (constante). d) \(y=-2x+6\): \(m=-2\), \(n=6\) (decreciente). Solo es creciente la a).

\(m=\frac{11-2}{4-1}=3\). \(y-2=3(x-1)\Rightarrow y=3x-1\). Con \(OY\): \((0,-1)\). Con \(OX\): \(3x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}\).

Recta creciente que pasa por los dos puntos dados y corta a los ejes en los puntos marcados en rojo.

Recta del ejercicio 2.

\(y-5=-2(x-3)\Rightarrow y=-2x+11\). Paralela: misma pendiente, \(y=-2x\).

Distinta pendiente: se cortan. \(2x+1=-x+7\Rightarrow3x=6\Rightarrow x=2\), \(y=5\). Punto \((2,5)\).

Una recta creciente y otra decreciente que se cortan en un punto, marcado en rojo.

Las dos rectas del ejercicio 4.

\(x_v=\frac{6}{2}=3\), \(y_v=9-18+5=-4\): \(V(3,-4)\). Cortes con \(OX\): \(x^2-6x+5=0\Rightarrow x=1,\ 5\). Con \(OY\): \((0,5)\). Eje: \(x=3\).

Parábola abierta hacia arriba con el vértice en rojo, los dos cortes con el eje horizontal y el corte con el eje vertical.

Parábola del ejercicio 5.
  1. \(a<0\): máximo. \(x_v=2\), \(y_v=4\): \((2,4)\). b) \(a>0\): mínimo. \(x_v=-1\), \(y_v=2-4+5=3\): \((-1,3)\).

\(y=-5,\ 0,\ 3,\ 4,\ 3,\ 0,\ -5\). Vértice \((1,4)\) (máximo). Cortes con \(OX\): \(-1\) y \(3\).

Parábola abierta hacia abajo con siete puntos de la tabla marcados; el vértice, el más alto, está en rojo.

Parábola del ejercicio 7.

\(m=\frac{1+3}{2}=2\), \(n=-3\): \(y=2x-3\). Tabla: \(x=1\to-1\); \(x=3\to3\); \(x=-1\to-5\).

Recta creciente que pasa por los dos puntos dados, en rojo, y por otros tres de la tabla.

Recta del ejercicio 8.
  1. Diferencias: \(3,3,3\). Lineal, \(y=3x+1\). b) Primeras diferencias \(1,3,5\) y segundas \(2,2\). Cuadrática, \(y=x^2+1\).

\(x^2-4=x-2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=2\) o \(x=-1\). Puntos \((2,0)\) y \((-1,-3)\).

Una parábola y una recta que se cortan en dos puntos, marcados en amarillo.

Parábola y recta del ejercicio 10.

\(C(x)=5+1{,}2x\). \(C(18)=5+21{,}6=26{,}6\) €. \(5+1{,}2x=26{,}6\Rightarrow x=18\) m³.

\(m=\frac{375-150}{5-2}=75\) km/h. \(e=75t+n\): \(150=150+n\Rightarrow n=0\). \(e(t)=75t\) y empezó en el origen.

\(I=12x\), \(C=900+7x\), \(B=5x-900\). Equilibrio: \(12x=900+7x\Rightarrow x=180\) unidades.

Dos rectas, ingresos y costes, que se cortan en el punto de equilibrio, marcado en amarillo; a la derecha de ese punto los ingresos superan a los costes.

Ingresos y costes del ejercicio 13.

\(t_v=2\) s y \(h(2)=-20+40+1=21\) m. Suelo: \(-5t^2+20t+1=0\Rightarrow t=\frac{-20\pm\sqrt{420}}{-10}\), la positiva es \(t\approx4{,}05\) s.

Parábola abierta hacia abajo: la pelota sube hasta el máximo, marcado en rojo, y baja hasta cortar el eje horizontal, que es el suelo.

Altura de la pelota del ejercicio 14.

Otro lado: \(30-x\). \(A(x)=x(30-x)=-x^2+30x\). Vértice: \(x=15\) y \(A=225\) m². Es un cuadrado de \(15\) m.

Parábola abierta hacia abajo que corta al eje horizontal en dos puntos; el máximo, en rojo, está justo en medio.

Área del corral del ejercicio 15.

\(c=3\). \(1+b+3=0\Rightarrow b=-4\). \(y=x^2-4x+3\). Vértice: \(x=2\), \(y=-1\): \((2,-1)\).

Parábola abierta hacia arriba que pasa por los dos puntos dados; el vértice, el más bajo, está en rojo.

Parábola del ejercicio 16.

\(I(x)=(6+x)(400-40x)=-40x^2+160x+2400\). Vértice: \(x=2\), \(I=8\cdot320=2560\) €. El precio óptimo es \(8\) €.

Parábola abierta hacia abajo con el máximo de los ingresos marcado en rojo.

Ingresos del cine del ejercicio 17.

\(15+0{,}03x=0{,}08x\Rightarrow x=300\) min. Menos de \(300\) min conviene B; más de \(300\) min conviene A.

Dos rectas que se cortan en un punto, marcado en amarillo: antes de ese punto la tarifa B es la más barata y después lo es la A.

Las dos tarifas del ejercicio 18.

\(m=\frac{-4-4}{3-(-1)}=-2\). \(y-4=-2(x+1)\Rightarrow y=-2x+2\). Para \(x=1\): \(y=0\). Sí pasa.

Recta decreciente que pasa por los dos puntos dados, en rojo, y por el tercero.

Recta del ejercicio 19.

\(d(1)=5\), \(d(2)=20\), \(d(3)=45\) m. \(5t^2=80\Rightarrow t=4\) s. No es proporcional: al duplicar el tiempo (de \(1\) a \(2\)), la distancia se multiplica por \(4\).

Curva que arranca en el origen y sube cada vez más deprisa; no es una recta, así que la distancia no es proporcional al tiempo.

Caída de la piedra del ejercicio 20.
  1. \(A(m)=30m\); \(B(m)=60+24m\). b) \(30m=60+24m\Rightarrow m=10\) meses. c) A los \(24\) meses: A \(=720\) € y B \(=636\) €. Ahorras \(84\) €.

Dos rectas que se cortan a los diez meses, en amarillo; después la del plan B queda por debajo.

Los dos planes del ejercicio 21.
  1. \(10\) m. b) \(x_v=\frac{0{,}6}{0{,}02}=30\) m y \(y=0{,}01\cdot900-18+10=1\) m. c) \(y=36-36+10=10\) m: simétrico al extremo.

Parábola abierta hacia arriba: el cable cuelga desde los dos extremos, a la misma altura, hasta el punto más bajo, en rojo, en el centro.

Cable del puente del ejercicio 22.
  1. \(y=1,\ 0{,}25,\ 0,\ 0{,}25,\ 1\). b) Para \(x=\pm4\): \(y=1\) m de profundidad. c) En \(x=0\), el vértice: a la izquierda decrece y a la derecha crece.

Parábola abierta hacia arriba con vértice en el origen y los cinco puntos de la tabla marcados.

Sección de la antena del ejercicio 23.
  1. \(I(x)=x(5-0{,}02x)=5x-0{,}02x^2\). b) Vértice: \(x=\frac{-5}{-0{,}04}=125\) zumos, \(I=312{,}5\) €. c) \(5x-0{,}02x^2=0\Rightarrow x=0\) o \(x=250\).

Parábola abierta hacia abajo que corta al eje horizontal en el origen y en otro punto; el máximo, en rojo, está en medio.

Ingresos de la tienda de zumos del ejercicio 24.